CC BY
29
УДК 681.3+681.5:007
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫХ К НЕСИММЕТРИЧНЫМ РЕГУЛЯРНЫМ ПОМЕХАМ АЛГОРИТМОВ
ПОИСКА ТОЧКИ С ХАРАКТЕРНЫМ ПРИЗНАКОМ
АЛИПОВ Н.В., АЛИПОВ И.Н., ОХАПКИН А.А., РЕБЕЗЮК Л.Н.
Строятся алгоритмы помехоустойчивого поиска точки экстремума унимодальной функции в условиях несимметричного регулярного воздействия, определяющие функционирование дискретных автоматов систем защиты информации.
Рассмотрим построение таких алгоритмов для случая h = l = At. Его необходимо начинать сі = 1 ,за-тем для і = 2,3 и т.д.
Пусть k = 1, a = 4h (h - дискретность преобразования) . Тогда, как это следует из соотношения (7) в работе [1], имеют место соотношения
Т4,1,1 (0,1) = 1; Т4,1,1(1,1) = 1.
Для і = 2 (см. соотношение (8) в работе [1]) соответственно имеем
Т4,1,1 (2,1) = 2 .
Алгоритм заключается в следующем:
1- й шаг: положить x1 = h;
2- й шаг: положить xj2 = x1 = h.
Если при этом на этих шагах имеют место соотношения
x(t1 )e0,xj); x(t1 + At) є x},1), либо соотношения
(t1 )є x^); x(t1 + At)є 0,x1), 0,x1);
x(t1 + At) є x1,1) ,
x то x если
x(t1) є xU
то
x1
Пусть і = 3 . Тогда в результате совершения первого шага алгоритма могут возникнуть исходы:
a) x(t1) є 0,x1); b) x(t1) є x1,1).
Для первого исхода, как известно, на отрезке
0,x1 действует оптимальный (і -1) -шаговый алгоритм, который нами уже построен. Этот алгоритм
разобьет отрезок
0,x1) на две равные части. Поэтому 0,x1) равна двум h, т.е.
для исхода а) длина отрезка
l([0,x1]) = 2h . (1)
Для исхода b) на втором шаге эксперимент повторяем: x2 = x1. При этом могут возникнуть исходы:
bx) x(t1 +At) є 0, x2); b2) x(t1 +At)є x2,1).
Для исхода bx) характерно то, что проявление помехи обнаружено — она действовала на первом шаге алгоритма. Поскольку, по условию, она же будет проявляться и на третьем шаге алгоритма, то на
0,x1
отрезке
действует помехоустойчивый (і - 2) -
шаговый алгоритм, который разобьет его на T^g1,1 (1,1) равных частей. При таком сочетании исходов
x1 = x2 = hT41,1(1,1)=h
(2)
Исходя из минимаксного критерия для x1 , из двух его значений (см. (1) и (2)) необходимо выбрать минимальное:
xj = hmin{r4,1,1 (2,1),Т4,u(1,1)}= h . (3)
Если возникает исход b2), то на отрезке
x12,1
действует одношаговый помехоустойчивый алгоритм. По этой причине
L([x2,1]) = h . (4)
Из соотношений (3) и (4) получаем
Т41,1(3,1) = 2Т41,1(1,1) = 2 . (5)
Пусть і = 4. Тогда после совершения первого шага возникают такие же исходы, как и для і = 3 : а) и b). Для исхода а) имеет место соотношение (1):
x1 = hT41,1(3,1) = 2h. (6)
Для исхода b) выполняется второй шаг, для которого x2 = x1. При этом также может возникнуть один из исходов — bx) или b2).
Для исхода b1), как это было доказано (см. (3) в работе [1]), имеет место соотношение
l( 0,x1 ) = h<p2(а 1,k) = 2h .
(7)
Для исхода b2) на отрезке
x12,1
действует (см. (1)
в работе [1]) помехоустойчивый (і -2) -шаговый алгоритм, который разбивает этот отрезок на
T11g1,1(2,1) равные части. На этом основа-нии устанавливаем
Т^Д) = тт{т41,1(3,Г),92(04,1)} + T1,g1,1 (2,1) = 4 .(8) Пусть і = 5. Тогда по аналогии, если после первого
шага возникает исход а), то на отрезке
0,x1
приме-
РИ, 1999, № 3
69
няется помехоустойчивый (i -1) -шаговый алгоритм. На этом основании получаем
х1 = hT^1,1 (i -1,1) = Wi48U (4,1) = 4h . (9)
Для исхода b) выполняется второй шаг известным способом — х2 = х1.
При этом, если возникает исход ЬД, то по аналогии с ранее рассмотренными алгоритмами устанавливаем
xf = h<p 2(а1,1) = 2h.
(10)
Если же после второго шага возникает исход b2),
то отрезок
х2,1
будет разбит (i - 2) -шаговым алго-
ритмом на ТУ^ЗД) равные части:
b([x2,l]) = h^41,1(3,1) = 2h . (11)
На основании соотношений (9)-(11) устанавливаем:
Т481,1(5,1) = шт{т4ДД(4Д),Ф2(а1,1)} + Т481,1(3,1) = 4 .
Пусть i = 6. Тогда соответственно (см. приведенную схему анализа исходов) будем иметь:
УДЧ^) = штТ"(5,1), ф 2(а1,1)}+
+ Т^1,1 (4,1) = ш1п{4,4}+ 4 = 8 .
Для i = 7 будут справедливы такие соотношения:
^148и(6,1) = 8; х1д > 0; ь([х1д,х1 ]) = 4h;
Ф2(а,1) = 4; Т4ДД(5,1) = 4.
Поскольку амплитуда помехи равна 4h и непомехоустойчивый алгоритм разбивает отрезок
х11,х1
на четыре равные части (независимо от исхода реализуется одна и та же точность разбиения на всем
отрезке
0,х1 ), будем иметь
Т481,1(7,1) = Т4Д,1(6Д) + Т4Д,1(5Д) = 12 .
Можно показать, что для i > 7 при a = 4h выполняется соотношение
т481Д (1,1) = Т4ДД (i -1,1) + Т4ДД (i - 2,1). (12)
На основании приведенных примеров построения помехоустойчивых алгоритмов получим следующий
ряд значений функции Тд^ДД) (табл. 1).
Таблица 1
i 0 і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
і і 2 2 4 4 8 і2 20 32 52 84 136
Пусть a = 8 . Тогда для первых семи значений, начиная с i = 0 и кончая i = 6, значения Т^д1,1 (i,1)
равны соответствующим значениям Тд1,1 (i,1) (табл. 2).
Таблица 2
i 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 2 4 4 8
Найдем значение этой функции для i = 7. Пусть совершен первый шаг семишагового алгоритма и возник один из известных исходов — а) или b). Тогда для исхода а) соответственно будем иметь
х1 = hTj,g,1 (6,1) = 8h . (13)
Для исхода b) второй шаг, как известно, заклю-
чается в том, что х2 = х1. При этом могут возникнуть известные нам исходы ЬД и b2).
Для исхода bi) на отрезке
действует
непомехоустойчивый а1 -шаговый алгоритм, который разбивает его на ф1(аь1) равные части. Поскольку х1 = 0 , то справедливо также и соотношение
где
а1 =
і 1 u>
2 ’
і - 3
2
х2 = 1іф1(а1,1),
если (і - 3) mod 2 = 0; если (і - 3) mod 2 Ф 0; Ф1(а 1,1) = 2а1.
Для нашего примера имеем а1 =
7 - 3
= 2 . По-
этому функция ф1(2,1) принимаетзначение Ф1(2,1) = 4.
Для исхода b2) на отрезке
х2,1
действует помехо-
устойчивый (і - 2) -шаговый алгоритм. Как известно, пятишаговый помехоустойчивый алгоритм разо-
бьет отрезок
х2,1
на (5,1) равных частей. С
учетом этого анализа получаем
ТДд1,1 (7,1) = min {тДд1,1 (6,1), Ф1 (2,1)}
+
+ Т1881,1(5,1) = 8.
Для других значений і при a = 8 справедливо соотношение
Т8ДД(іД) = т«81,1(1 -1,1)+Т8ДД (і - 2,1) . Значения этой функции приведены в табл. 3.
Таблица 3
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 2 4 4 8 8 16 24 40 64 104
Анализ значений целевой функции в приведенных таблицах показывает, что если ah = 2J h, то,
начиная с і = 2 до і = (2( j +1) -1), справедливо соот-
ношение
Тд1,1 (i,1) = 2Ta8U(i - 2,1),
затем — соотношение
70
РИ, 1999, № 3
Ч^1,1 (1,1) = Ч^1,1 (І -1,1) + Ч^1,1 (І - 2,1). (14)
Для предельного значения параметра a , равного диапазону изменения координаты точки с характерным признаком, показано, что
Y1f(i -1,1) >Ф1(аь1). (15)
По этой причине для таких условий значения функции Ч{181’1(І,1) образуют 1-последовательность,
для которой 1=1, а для Ч'^^ДД) справедливо соотношение
Ч^в’Чи) = 2Ч1и(І-2,1) . (16)
В табл. 4 приведены значения функции ЧД^1,1 (i,1) при различных параметрах а и i.
Таблица 4
i a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 1 1 2 2 4 4 8 12 23 32 52 84 136 -
8 1 1 2 2 4 4 8 8 16 24 40 64 104 -
16 1 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32 48 80 -
32 1 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 96
1 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 64
Рассмотрим принцип построения алгоритмов для другого характерного случая, когда h > 1.
Пусть l = 1, h = 2, а = 4h . Тогда, как было показано,
Т41,2(0,1) = т41,2(1,2) = 1; т41,2(2,1) = 2 .
Для i = 3 после первого шага:
если возникает исход а), будем иметь
x1 = hT41,2(2,1) = 2h;
если возникает исход b), то на втором шаге при возникновении исхода еД для х^ справедливо соотношение
х2 = hфз(а,а 1,1) = 2h .
В случае возникновения исхода е2) справедливо выражение
L| ±,п 18 ,
,2 ,1
х2,
,l)) = h414812(i - 2,1) = 2h .
С учетом полученных соотношений для х2, х1 и
соотношения для длины отрезка [х2, 1 будет справедливо равенство
(3,1) = Шіп{фз (а, ад), Ч1^81,2 (2,1)}+
+ Ч'У2(1 - 2,1) = 3 .
Пусть i = 4 . Тогда аналогичным образом можно показать, что
Т481,2(3,1) = 3; фз (а, а 1,1) = 2; Ч'41,2(2Д) = 2 .
На этом основании устанавливаем
Ч1481,2 (4,1) = тт{ч51,2 (3,1 X Ф3(а а1,1)}+
+ Ч1481,2(2,1) = 4 .
Для последующих i справедливо выражение
ч481,2 (і,1) = ч481,2 (і -1,1) + ч481,2 (і - 2,1).
Для а = 8h будем соответственно иметь:
Чг(0,1) = Ч1881,2 (1,1) = 1;
Ч81,2 (2,1) = 2; Ч^РЛ) = 3;
Ч § 2 (4,1) = 4 .
Для всех і > 4 справедливо соотношение Фибоначчи:
Ч18812(і,1) = Ч812 (і -1,1) + Y812 (і - 2,1).
Для а = 16h будем иметь первоначальный ряд 1, 1, 2, 3, 4, 7, 11, 15,
затем для і > 7 будет справедливо соотношение Фибоначчи.
Показано, что если а = 2J h, то начиная с і = 2 до і = 2 j -1, для целевой функции справедливо соотношение
4tf2(U) = ттІЧа^і -1,1), Ф3 (а, ^,1)}+
+ Ч?2(1 - 2,1),
а для всех других значений справедливо соотношение Фибоначчи.
В табл .5 приведены значения функции Ч^1,2 (і,1) при различных параметрах а и і.
Таблица 5
i a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 1 1 2 3 4 7 11 18 29 47 76 -
8 1 1 2 3 4 7 11 15 26 41 67 108
16 1 1 2 3 4 7 11 15 26 41 67 108
Анализ табл. 5 показывает, что, начиная с а = 8h, значения целевой функции не зависят от параметра а .
Рассмотрим еще один пример построения алгоритма поиска точки с характерным признаком, для которого h >l и l = 2, h = 3.
Для а = 4h с учетом соотношения (8) в работе [1] будем иметь
т482,3(0,1) = Ч423(11) = Ч1482,3
(2,1) = 1; Ч/1482’3(3,1) = 2 .
Пусть і = 4. Тогда после первого шага алгоритма,
как нам уже известно, на отрезке
0,х1
действует
(і -1) -шаговый алгоритм поиска, который разобьет
4 2 3
указанный отрезок на 4^8 ’ (31) равные части. Наихудшим будет случай, когда в результате выполнения второго шага алгоритма возник исход е2), затем на третьем шаге — исход е Д. При такой ситуации (см.
соотношение (13)) отрезок
0,х1
будет разбит на
Ф5 (а, а1,1) равных частей. Если же возникнет исход
е2), то отрезок
х2,1
разбиваем [1] на Ч/1482,3(2,1)
равных частей. На этом основании устанавливаем истинность соотношения
РИ, 1999, № 3
71
т«-3(4,1) = min {г^ДН), ф5 (а, а„і}}+
+ ^‘f2' 3(2, 1) = 3.
Нетрудно убедиться, что начиная с i = 3 для последующих i выполняется соотношение Фибоначчи.
Производя аналогичные преобразования, можно получить ряды целых положительных чисел, являющихся значением целевой функции для конкретных значений аргумента i.
В табл. 6 приведены значения функции T^g2’3 (i,1) при различных параметрах а и i.
Таблица 6
К 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4 1 1 1 2 3 5 8 13 21 ЗА 55 89 144 - - -
8 1 1 1 2 3 5 7 9 15 24 39 63 102 - - -
16 1 1 1 2 3 5 7 9 15 24 39 63 102 - - -
64 1 1 1 2 3 5 7 9 15 24 39 56 71 120 - -
1 1 1 2 3 5 7 9 15 24 39 56 71 1Z 191 311 447
Таким образом, на основании каждого полученного в этой работе ряда целых положительных чисел может быть построено избыточное представление десятичных чисел. Поскольку такие представления оригинальны, их можно использовать для защиты не стратегической информации.
Литература: 1. Алипов Н.В., Алипов И.Н., Охапкин А.А., Ребезюк Л.Н. Алгоритмы поиска точки с характерным признаком в условиях несимметричного регулярного воздействия // Радиоэлектроника и информатика. 1999. №2 С. 101-107.
Поступила в редколлегию 25.04.99 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руденко О.Г.
Алипов Николай Васильевич, д-р техн. наук, професор кафедры конструирования электронно-вычислительных машин ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации, алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронных вычислительных средств. Адрес: Украина, 310189, Харьков, ул. Иртышская, 8, тел. 40-94-25.
Алипов Илья Николаевич, канд. техн. наук. Научные интересы: защита информации. Адрес: Украина, 310189, Харьков, ул. Иртышская, 8, тел. 40-94-25.
Охапкин Александр Александрович, аспирант кафедры конструирования электронно-вычислительных машин ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации. Адрес: Украина, 310007, Харьков, ул. Бекетова, 19/17, кв. 21, тел. 40-94-25.
Ребезюк Леонид Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры конструирования электронно-вычислительных машин ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации, автоматизация проектирования электронных вычислительных средств. Адрес: Украина, 310136, Харьков, ул. Ком. Уборевича, 40-б, кв. 17, тел. 69-79-38.
72
РИ, 1999, № 3
