Алгоритмы поиска точки с характерным признаком в условиях несимметричного регулярного воздействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

держит ли подграф, полученный таким образом из Of.1, совершенное паросочетание.

Очевидно, что подграф не содержит совершенного паросочетания.

S4. Положим

E1 = E1 ~{(xb у4)} = {(х2> Уз)Дхз> УзМхз> У 4)} •

S3. Выберем в Ei - (E1 u E2) = {(х2,уз)} единственное ребро (x2,Уз}, которому соответствует следующий подграф графа Of 1, содержащий совершенное паросочетание {(xb y2),(Х3, уі),(Х4, у4)} :

S3. Так как построено совершенное паросочетание п з = {(хь у 2І(х2, УзЦхз, уОДх4. УЛ, то полгіга-ем к = з, l = з .

S1. Находим

E = E2^ E3 = {(хз>У^Дхз.У4)Дх2>Уз)}.

УДК 681.3+681.5:007

АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ТОЧКИ С ХАРАКТЕРНЫМ ПРИЗНАКОМ В УСЛОВИЯХ НЕСИММЕТРИЧНОГО РЕГУЛЯРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

АЛИПОВ Н.В., АЛИПОВ И.Н., ОХАПКИН А.А., РЕБЕЗЮК Л.Н.

Разрабатываются методы защиты информации на основе алгоритмов помехоустойчивого поиска точки в условиях несимметричного регулярного воздействия.

Подобные алгоритмы поиска описывают функционирование дискретных автоматов систем защиты информации в ЭВМ [1]. Рассмотрим ряд характерных случаев, первоначально такой, когда длительность помехи l равна интервалу между двумя соседними импульсами помехи H (l = H = At, где At -длительность одного шага алгоритма). Для такого случая необходимо использовать принцип “повтор-

Поскольку E3 = Ei, то построены все совершенные паросочетания подграфа равенств O^ 1.

Паросочетанию

Л1 Ч(х1 > У 2 )Дхз > Уз)Хх 2, УіМх4 , У 4 )} соответствует последовательность весов (4,4,3,2), а паросочетанию

л2 = {(х1 , У 2 Ихз, У 4 Мх2 , У 2 )Дх4 , Уз )} -такая же последовательность. Для решения

™3 ={(хз> У1 Мх1 , У2)Xx2, УзМх4, уЛ имеем ПСЮЛедО-вательность (5,4,2,2). Таким образом,

Р1 = {л1, л2. лз} P ={л1, лз) .

Литература: 1. Свами М, Тхуласироман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984. 454 с. 2. Шахбадян К.В., Лебединская Н.Б. Эффективные методы оптимизации составления расписаний для одной машины (обзор)// Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Численные методы и вопросы организации вычислений. 5. 1981. С. 195-217. 3. Панішев А.В., Подоляка О. О., Чернищук С. Дихотомічний пошук розв’язку мінімаксної задачі про призначення // Вісник ЖІТІ, 1998. №7. С. 195-201.

Поступила в редколлегию 28.05.99 Рецензент: д-р техн. наук Евдокимов А.Г.

Панишев Анатолий Васильевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой информатики ХГАДТУ. Научные интересы: математическое моделирование, теория расписаний и ее применение. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Петровского, 25, тел. 10-77-53.

Костикова Марина Владимировна, канд. техн. наук, доцент кафедры информатики ХГАДТУ. Научные интересы: математическое моделирование, теория расписаний и ее применение. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Петровского, 25, тел. 10-77-53.

Скакалина Елена Викторовна, соискатель кафедры информатики ХГАДТУ. Научные интересы: математическое моделирование, теория расписаний и ее применение. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Петровского, 25, тел. 10-77-53.

ных сравнений”. Действительно, пусть на первом шаге алгоритма поиска некоторым образом выбраны

k точек эксперимента. Тогда возможен один из исходов:

a) x(t1) є О^1!; b) x(t1) є х^,х^+1), где x(ti) — смесь сигнала и помехи; ti — начало

поиска; q = 1,k; xk+i = 1.

Для исхода а) характерно то, что хотя помеха и действовала на первом шаге, она не повлияла на результат эксперимента (рассматривается однополярная помеха положительной полярности, действующая в направлении 0^1). По предположению оптимальный алгоритм поиска существует и разбивает первоначальный интервал неопределенности на

+il’H(i,k) равные части. Поэтому выделенный ин-

тервал неопределенности |0,xij за оставшиеся (1 -1)

шага алгоритма разобьем на Щі^1 ,H(1 - i,k) равные

части. Следовательно, длина этого отрезка будет равна

РИ, 1999, № 2

101

l(N1)

=hT^(l -u).

(1)

Для исхода b) применяем принцип “пересечения” [2] и получаем относительно точки с характерным

признаком x интервал неопределенности где

Лх1 Л

q ’ q+1]

х

1,1

q

х1 - ah. q

О,

- ah > О;

- ah < О.

Используя на втором шаге алгоритма поиска принцип “повторных сравнений”, получая при этом, что

х2 = х1, образуем один из исходов:

bi)

b2)

Ьз)

х(ч + At) є . +Е

х(ч + At) є хї-хї+1);

х(ч + At) є .ДД *1

где q1 = 1,q- 1; q2 = q + 1,k .

Для исхода b1) характерно действие помехи на первом шаге алгоритма (произошло уменьшение

значения смеси сигнала и помехи х(^ + At)). В этом случае помеха по условию в обязательном порядке будет действовать на третьем, пятом и т.д. шагах алгоритма; на четвертом, шестом и т.д. шагах амплитуда помехи по условию равна нулю. Поэтому на нечетных шагах алгоритма необходимо определять

значение смеси сигнала и помехи х(Ч) = х + ah, а на

четных — значение координаты точки с характерным признаком. В первом случае поиск ведется в

исходном интервале неопределенности втором — в исходном интервале

неопределенности

q’ q+1)

2 2 х ,х ,,

q’ q+1

1, х1 ,, , во q’ q+1}’

j. Интервал

за оставшиеся (i - 2)

шага алгоритма следует разбить на число интервалов

фДа*) = (k +1)“ , (2)

где

' i - 2

а =

2

i - 2

2

+1,

если (i - 2) mod 2 = О; если (i - 2) mod 2 Ф О,

а интервал

22 х ,х , , q’ q+1)

— на число интервалов

Ф 2( apk) = (k +1)a1, где

(3)

a

1

'i-3 2 ’

+1,

i-3

2

если (i - 3) mod 2 = О; если (i - 3) mod 2 Ф О.

Для исхода b2) характерно то, что помех, которые привели к принятию неправильного решения относительно выделенного интервала неопределенности, не было ни на первом, ни на втором шагах алгоритма.

Поскольку в распоряжении алгоритма осталось (i - 2)

шага, то за оставшиеся шаги алгоритм разобьет

х11 J ™ mad,H

q’ q+1/

интервал неопределенности

наЧ^Д1^ - 2,k)

равные части, следовательно, длина этого отрезка составит

Lk^qj = hY^i - 2,k) . (4)

Для исхода b3) характерно действие помехи на втором шаге алгоритма (значение смеси сигнала и помехи увеличилось). Размещая равномерно точки эксперимента на нечетных шагах алгоритма на отрез-

ке

а на четных шагах

на отрезке

х^з’х^ +J , разобьем их соответственно на ф 1(a,k)

и фДa^kj равные части. Следует заметить, что для

соотношений (2), (3) характерно то, что шаги алгоритма, на которых действует помеха, определены, а для (4) характерно то, что проявление помехи не обнаружено и приходится применять принцип “пересечения” . Применение этого принципа приводит к увеличению интервала неопределенности. Из этих особенностей вытекает истинность неравенств:

4>,(a,k) - 2,k);

<P2(“1-k) ЇЧІДО-2.4 (5)

На отрезке

О,х

с одной стороны, может дей-

ствовать (i -1) -шаговый помехоустойчивый алгоритм, с другой — не помехоустойчивый, у которого

х^ = О . Поэтому необходимо исходить из соотношения

9*(apk) = minj4jgl,H(i- 1,k),92(0,1,k)J.

Поскольку при построении алгоритма поиска исходим из минимаксного критерия оптимальности, то

для функции 418’H(i,k) с учетом (1), (4), (5) будет

справедливо такое соотношение:

^H(i,k) = Ф*(« pk) + k^18’H(i - 2,k) . (6) Нетрудно убедиться в справедливости выражения = ^^(1 -1,k) =... = 41№(kk) = 1. (7)

Если же i = l +1, то, применяя (l +1) раз принцип “повторных сравнений” и выбирая самый левый интервал неопределенности относительно точки с характерным признаком, получаем

Ф^1 ’H( l +1,k) = k +1. (8)

Исходы a), b), b1), b2), b3) и правила их разрешения обосновывают следующую схему помехоустойчивого алгоритма:

1-й шаг: разместить точки эксперимента согласно соотношениям:

х1 = ь(Ф*(+ (q-1 Ч#^ -2,k)) ,

где q = 1,k;

102

РИ, 1999, № 2

2-й шаг: если на первом шаге возникает исход а), то второй шаг есть первый шаг оптимального (i -1) -

0,х|);

шагового алгоритма, действующего на отрезке

если на первом шаге возникает исход b), то применить на втором шаге операции “повторных

х2 = х1 , q = 1,k ;

q q’ Ч ’

W 4

а на четных, начиная с четвертого шага,

нечетных шагах размещаются на отрезке а на четных, начиная с четвертого шага, — на отрезке

х1’Xі,, q’ q+1

2 2 х ,х , q2 q2+1

х} = hT,

a,l ,H 1

(i - u) •

Для исхода b) необходимо применить смешанную стратегию: (k - 2) точки эксперимента размес-

тить в интервале

(х!’х!+i),

а две оставшиеся точки

~q ' "k хі+1 '

b) после выполнения второго шага алгоритма может возникнуть один из исходов:

С1) х(і1 +At) є[х1д,х1) ; С2) х(д + є ^

ій“і1+1 у , q1

c3) ^t1 +А^ є[х1,

1,2

где х1+1

|х1+1 + ah’

если х1 , + ah < 1;

q +1

если х1 , + ah > 1. q +1

Для исхода с1) характерно действие помехи на первом шаге алгоритма. Поскольку проявление об-

наружено, то полуоткрытый интервал неопределен-

ности

сравнений ■

3-й шаг: если на втором шаге возникает исход b1), то начиная с третьего шага точки эксперимента на нечетных шагах алгоритма размещаются на отрезке

за оставшиеся (i-2) шага будет

разбит на

ф3(a, tt1, k) = (k + 1)H1 (k + 1)ш (k +1)а1 =

/і , i\H-1+На+а,

=(k +1) 1

равные части, где Г i -1 - Н

(10)

а =

l + Н i -1 - Н

l + Н

если (i -1 - Н) mod( l + Н) = 0; если (i -1 - Н) mod(l + Н) > 0;

на отрезке х11 ,х11 +1 , q1 = 1,q -1;

если на втором шаге возникает исход b2), то третий шаг алгоритма есть первый шаг оптимального (i - 2) -шагового алгоритма, действующего на отрезке

х1 ,х^ ,. q’ q+1

если на втором шаге возникает исход b3), то начиная с третьего шага точки эксперимента на

10,

отрезке

, q2 = q +1,k •

Используя правила выделения нового интервала неопределенности, распределения точек эксперимента на j -м шаге алгоритма и обобщенный алгоритм поиска, можно по схеме, описанной в работе [3], для любых значений параметров a,i,k построить помехоустойчивый алгоритм.

Рассмотрим еще один характерный случай, для которого Н > l • После выполнения первого шага алгоритма может возникнуть либо исход а), либо исход b) • Исход а) разрешается таким же образом, как и для первого характерного случая. Поэтому получим, что

(9)

єсли(і -1 - Н) mod(l + Н) = 0

=( или (i -1- H)mod( + Н) < l;

[(i -1 - Н) mod(l + Н) -1, если(і -1 - Н) mod( + Н) > 0.

Действительно, после второго шага, действуя на ^xq) первоначально (Н-1) шагов не помехоустойчивым алгоритмом, разобьем этот отрезок на (k+1)H_1 равные части. Поскольку на последующих l шагах действует помеха, то они пропускаются, затем на следующих Н шагах снова действуем не помехоустойчивым алгоритмом и каждый интервал неопределенности, выделенный на первой

паузе, разбиваем на (k + 1)Н равные части и т.д. Таких циклов в работе алгоритма будет, как нетрудно заметить, а. Поскольку начало цикла связано с действием помехи после паузы, то с учетом этих замечаний нетрудно установить и истинность соотношения для а1.

Для исхода с3) характерно действие помехи на втором шаге алгоритма. Поскольку по условию задачи длительность помехи равна l, то её действие закончится на (l +1) -м шаге алгоритма. Проявление помехи на втором шаге алгоритма подтверждает

истинность соотношения х (

фх!+1). Действуя

на

разместить так, чтобы х2 = х1 ; xjk = х1 . Для исхода

этом отрезке на последующих шагах алгоритма (i -1 -1) раз циклически не помехоустойчивым алгоритмом (первоначально на первых j шагах алгоритма, затем пропускается l шагов, повторно на вторых Н шагах алгоритма и т.д.), разобьем его на

ФДа2,а3,k) = (k + 1)ttX2(k +1)“3 , (11)

где

а 2 =

i -1 -1

l + Н i -1 -1

l + Н

если (i -1 -1) mod( l + Н) = 0; если (i -1 -1) mod(l + Н) > 0;

если (i -1 -1) mod(l + Н) = 0; a3 = <j(i-1- 1)mod(l + Н), если (i-1- 1)mod(l+н)<H;

если (i -1 -1) mod(l +H) > H,

0,

IH,

равные части.

Для исхода c2) на третьем шаге необходимо распределить в выделенном интервале неопределен-

РИ, 1999, № 2

103

ности относительно + ^tj + At)j точки эксперимента по тому же правилу, что и для исхода b):

3 2 3 2

x, = x , x, = x ,, ,

1 q1 ’ k qj+1’

32 xi = x, + q2

22 x , - x q1+1 q1

/(k -11 , q2 = 1,k -1.

q2 q1

Пусть исход типа c2) возникает и на третьем, затем на четвертом и т.д., потом на j -м шагах алгоритма. В результате применения стратегии для исхода b) на втором, третьем и т.д., потом на j -м шагах алгоритма

интервал неопределенности ^,xq, выделенный на первом шаге алгоритма, будет уменьшен в

9(j - 1,k - 2) = (k - 1)j-1 (12)

раз.

Пусть на j -м шаге относительно |x+^t1 +(j -2)At)) выделен полуоткрытый интервал неопределенности

xj3,xj3+^ , Р = 1,k-1. При планировании (j +1 -го

шага алгоритма применена такая же стратегия, как и для исхода b). Тогда может возникнуть один из исходов:

di) ^t1 + jAt)'

xi ,xj

Т’ЛР1

d2) x(^ + j^t)1

^ j Ї

£0. P1=1,k -1;

d3) ^t1 + jA^ є[xj +1,x^),

где xp+1

j,2 _JAp+1

+ ah, если ah + xq+1 < 1; если ah + xqq+1 > 1.

Для исхода d1) характерно действие помехи на первом, втором, ... , j-м шагах алгоритма. Поскольку проявление помехи обнаружено, то интервал неопределенности |xjq,1,xj^j за оставшиеся (i - j -1) шагов алгоритма будет разбит на

Ф5^а, a^k) = (k + 1)H_1(k + 1)Ha (k +1)a1, (13)

f i - j - h

где

a =

l + H i - j - H

l + H

— 10.

a, =

если (i - j - H) mod(l + H) = 0; если (i - j - H) mod(l + H) > 0;

если (i - j - H)mod(l + H) = 0, Ч К(i_j-H)mod(l +H))-l, если(i-j-H)mod(l +H)>0, равные части.

Для исхода d3) характерно действие помехи на (j +1) -м шаге алгоритма. Оно окончится на (j +1) -м шаге. Проявление помехи на (j +1) -м шаге алгоритма подтверждает истинность соотношения:

4 .xp+1) •

Действуя на этом полуоткрытом интервале на последующих (i - j -1) шагах циклически не помехоустойчивым алгоритмом поиска (на первых его H шагах, затем l шагов пропускается, повторно на вторых H шагах и т.д.), разобьем его на

Ф6(a2,a3,k) = (k + 1)H“2(k +1)“3 , (14) где

2

' і ~l -j l+h . " і ~l - j

l + H

если (i -1 - j) mod(l + H) = 0; если (i -1 - j) mod(l + H) > 0;

__ |0, если (i -1 - j)mod(l + H) = 0

0,3 =<j(i-1-j)mod(l+H), если (i-1-j)mod(l + H)<H; |н, если (i -1 - j)mod(l+H)> H,

равные части.

Если на (j +1) -м шаге возникает исход d2) и при этом (j +1) < l или (j +1) > l и (j +1) < Н, то к выделенному интервалу неопределенности применить стратегию исхода b); если же (j +1) > l; (j + 1) > Н, то к выделенному интервалу неопределенности

применить стратегию помехоустойчи-

вого (i - j -1) -шагового алгоритма. По предполо-

жению за оставшиеся (i - j -1) шага этот алгоритм разобьет выделенный интервал неопределенности на

Т,

a,l,H

ти

18 (i - j - 1,k) равные части.

В наихудшем случае интервал неопределеннос-

q,xq+1j будет разбит :

' на

Ф(і - j - 1,k) = (k - 1)j Y^(i - j -1,k) (15)

частей. С учетом соотношений (9) и (15) получим

^f’s ^i’k) =Фз(а1’а2’^ + k96(a2’а3’^ , (16) где ф*^а,1,а2,^ = minjT^g^i- 1,k),ф^а,apkjj ,

Ф6( a2,«3,k = иЦ ф(і_ j_1,k),9^ _ j_1,k^.

Исходы a), b), C1), C2), C3), d1), d2), d3) и правила их разрешения обосновывают следующую логическую схему помехоустойчивого алгоритма:

1-й шаг: разместить точки эксперимента согласно соотношениям

xq = hФ*(а,apk) + (q1 -6(а2>а3,k)) ,

где q1 = 1,k ;

выделить относительно x(t1) интервал неопреде-

ленности [J , q1 = 1,k ;

2-й шаг: если на первом шаге возникает исход а), то второй шаг есть первый шаг относительно (i -1) -

шагового алгоритма, действующего на отрезке

°,x1);

104

РИ, 1999, № 2

если на первом шаге возникает исход b), сформировать относительно x(tj) интервал неопределенности ^х^^ J, применить смешанную стратегию:

Исходным интервалом для рассматриваемого случая является интервал (0,1 + ah). Значение х определяется на основании соотношения

х = S— а, (16)

х2 = Xі ; 1 41’

х1 ,х 11

11+1>) ,q2

= 1,k -1; х? = х

q2 “V ‘qfq1+1y’ ^ ->-k~ q1+1’

3-й шаг: если возникает исход c1), то на последующих (H -1) шагах алгоритма применить не помехо -

устойчивый алгоритм, затем l шагов пропустить, потом снова применить не помехоустойчивый алгоритм и т.д.;

если возникает исход c3), то пропустить (l -1) шагов алгоритма, затем применить на последующих шагах не помехоустойчивый алгоритм поиска, потом пропустить l шагов алгоритма и на последующих H шагах применить не помехоустойчивый алгоритм поиска и т.д.;

если возникает исход c2), то применить смешанную стратегию второго шага алгоритма и перейти на четвертый шаг;

4-й шаг: если возникают исходы типа c1), c3), то их разрешают таким же образом, как и на третьем шаге алгоритма;

если возникает исход типа c2), то разрешить его так же, как он разрешался на третьем шаге, и перейти на пятый шаг;

где х — оценка координаты точки х; S — оценка смеси сигнала и помехи (х + £,(t)); а — амплитуда помехи.

Рассмотрим особенности функционирования алгоритма поиска при данной стратегии (оценки значения смеси сигнала и помехи).

В результате совершения первого шага могут, как это было раньше сказано, возникнуть исходы а) и b). Для исхода а) применяется стратегия помехоустойчивого (i -1) -шагового алгоритма поиска, а для исхода b) — смешанная стратегия. При использовании этой стратегии на втором шаге алгоритма возникают уже известные исходы: c1), c2) и c3).

Для исхода c1), как отмечено, характерно действие помехи на первом шаге алгоритма. На последующих (H -1) шагах помеха отсутствует. Исходя из специфики нашей стратегии поиска, эти шаги пропускаются. Оценка значения смеси сигнала и помехи начнется на последующих l шагах. Затем H шагов пропускаются и на вторых l шагах начнется снова оценивание значения сигнала и помехи. С учетом

j -й шаг: совершается подобным образом, как и предыдущие шаги; если возник исход типа c2), то выделить интервал неопределенности

(хщхры), Р = 1,k -1;

(j +1)-й шаг: сформировать исход; если возникают исходы d1), d3), то они разрешаются таким же образом, как и исходы c1), c3);

если возникает исход d2) и при этом (j +1) < l или (j +1) > l и (j +1) < H, то в этом случае применить стратегию c2) и повторить (j +1) -й шаг;

если (j +1) > l; (j +1) > H, то к выделенному интервалу неопределенности применить стратегию помехоустойчивого (i - H) -шагового алгоритма.

Рассмотрим еще один случай, для которого характерно то, что l > H. Для такого случая стратегия поиска отличается от рассмотренных ранее тем, что в процессе поиска кодируется не х, а значение смеси сигнала

(х + £,(t)). Организационно это происходит следующим образом: отыскиваются моменты времени, когда действие помехи началось или окончилось. В первом случае осуществляется кодирование смеси сигнала и помехи на последующих (l -1) шагах алгоритма, затем H шагов пропускается, кодирование осуществляют на следующих l шагах алгоритма и т.д. Во втором случае первоначально пропускается (H -1) шагов алгоритма,

затем на последующих l шагах осуществляют кодирование смеси сигнала и помехи, потом пропускают следующие H шагов и т.д.

х1 ,х1 Л бу-q1 ’ і+1/ *

сказанного полуоткрытый интервал дет разбит на

Ф7(а4,«5,k) = (k +1)la4(k +1)“5 , (17)

где

a.

'i -1 - H

l + H ’ i -1 - H

l + H

если ( i -1 - H) mod(l + H) = 0; если (i -1 - H) mod(l + H) > 0;

a5 = Д,

l(i -1-H)mod(l + H),

если (i-1-H)mod(l+H) = 0; если (i -1-H)mod(l+H)> l; если (i-1-H)mod(/ + H) < l,

равные части.

Для исхода c3) в данном случае характерно действие помехи на втором шаге. Действуя на отрезке

на последующих (l -1) шагах не помехо-

устойчивым алгоритмом, затем пропуская H шагов алгоритма, повторно применяя на последующих l шагах не помехоустойчивый алгоритм и т.д., разобьем указанный отрезок на

Ф8(a4,a5,k) = (k +1)M(k +1)l“4(k +1)a5, (18)

где

i -1 -1

l + H ’ i - l - 1

l + H

« 4 =1

если (i - l - 1) mod(l + H) = 0; если (i - l - 1) mod(l + H) > 0;

РИ, 1999, № 2

105

— |0.

а5 =

если (i-l-1)mod(l + H) = 0 или (i-l-1)mod(l + H) < H; ((i-l-1)mod(l+H))-H, если(i-l-1)mod(l +H)>H,

равные части.

Если возникает исход c2), то на отрезке

x

2

q1+1

на первом шаге алгоритма применяется смешанная стратегия. Исход c2) может возникнуть на первом,

четвертом, ... , j -м шаге алгоритма. Пусть на j -м шаге относительно (x + £,(t}) выделен интервал неопределенности |x^,x^+^, р = 1,k-1, а на (j +1) -м шаге

применена смешанная стратегия, в результате которой возникает один из исходов di), d2), d3).

Для исхода d1) характерно действие помехи на первом, втором, ... , j -м шагах алгоритма. Пропуская (H -1) шаг (паузу между двумя соседними импульсами) , затем применяя на последующих l шагах не помехоусточивый алгоритм, повторно пропуская

H шагов алгоритма и т.д., полуоткрытый интервал неопределенности ^x^,x^+1^ разобьем на

Ф9(а6,а7,k) = (k +1)la6(k +1)la7 , где

a 6

'i ~ j ~ H

l + H ’

i ~ j ~ H

l + H

если (i - j - H) mod(l + H) < 0; если (i - j - H) mod(l + H) > 0;

|0, если (i - j - H)mod(l + H) = 0;

0,7 =(l, если (i - j - H)mod(l + H) > l;

l(i - j - H)mod(l + H), если (i - j - H)mod(l+H) < l,

равные части.

Для исхода d3) характерно действие помехи на (j +1) -м шаге алгоритма.

Действуя на отрезке

xp+1,x;

j’2 ї

P+iJ

на последующих

(l -1) шагах не помехоустойчивым алгоритмом, за-

тем пропуская H шагов алгоритма, повторно — не помехоустойчивым алгоритмом и т.д., разобьем от-

резок ы+Р j

на

Ф10(а6,a7>k) = (k +1)l 1(k +1)l“6(k +1)“7 , где

a 6

і ~l -j

, l + H ’ " і ~l - j

l + H

если ( i -1 - j) mod(l + H) = 0; если ( i -1 - j) mod(l + H) > 0;

_J0, если (i -1 - j)mod(l+H) = 0;

a-7 (i-1-j)mod(l+H)) -H, если(i-1-j)mod(l+H) >H,

равные части.

Если при выполнении (j +1) -го шага снова возник исход типа d2) и при этом (j +1) < H или (j +1) > H и (j +1) < l, то к выделенному интервалу неопределенности применить смешанную стратегию; если же (j +1) > H; (j +1) ^ l, то к вновь выделенному интервалу неопределенности применить стратегию помехоустойчивого (i - j -1) -шагового алгоритма. В этом случае интервал неопределенности (xq,xqследует разбить на ,H(i- j - 1,k)

равные части (см. соотношение (15)). Для рассматриваемого исхода в наихудшем случае для функции

^^(i’k) будет справедливо соотношение (16).

Логическая схема алгоритма для рассмотренного случая (l > H) будет иметь вид:

1- й шаг: распределить точки эксперимента согласно соотношениям:

xq = hФ*(«’a1’^ + (q1 -^ф6(а2’а3,k)), где q1 = 1,k ;

выделить относительно смеси сигнала и помехи интервал неопределенности

(xX 4 q=1’k;

2- й шаг: если на первом шаге возникает исход типа а), то второй шаг есть первый шаг оптимального

алгоритма, действующего на отрезке ^0, x^;

если на первом шаге сформирован исход b), то применить смешанную стратегию:

x2 = x1 ; x2 є[ x1 ’x1 , q2 = 1,k-1; xk = x1 +1

1 q^ q2 V q^ q^v 42 ’ k k1 ^

3- й шаг: если возникает исход c1), то пропустить (H -1) шагов алгоритма, затем на последующих l шагах применить не помехоустойчивый алгоритм, затем пропустить H шагов и т.д.;

если возникает исход c3), то на последующих (l -1) шагах применить не помехоустойчивый алгоритм, затем пропустить H шагов алгоритма, потом повторно на последующих l шагах применить не помехоустойчивый алгоритм и т.д.;

если возникает исход c2), то применить смешанную стратегию второго шага алгоритма и перейти на четвертый шаг;

4- й шаг: если возникают исходы c1) или c3), то разрешить их так же, как и на третьем шаге алгоритма;

если возник исход c2), то разрешить его так же, как и на третьем шаге алгоритма, и перейти к пятому шагу;

...;

j -й шаг: выполняется таким же образом, как и предыдущие шаги; если возникает исход типа c2), то при этом выделяется интервал неопределенности

(xP’xp+0, р=р1"1 ;

(j+1)-й шаг: сформировать исход; если возникают исходы типа d1) или d3), то разрешить их таким же образом, как и исходы c1) и c3);

106

РИ, 1999, № 2

если возникает исход с2) и при этом (j +1) < H или (j +1) > H и (j +1) < l, то повторить (j +1) -й шаг;

если возникает исход с2) и (j +1) > H; (j +1) > l, то к выделенному интервалу неопределенности применить стратегию помехоустойчивого (i -1) -шагового алгоритма.

Литература: І.Алипов И.Н., Ребезюк Л.Н. Постановка задач синтеза новых методов защиты информации // Радиотехника. Харьков, ХТУРЭ, 1997. Вып. 103. С. 60-64. І.Алипов Н.В. Разработка теории и методов решения задач помехоустойчивого поиска и преобразования информации / / Автореф. дисс. на соискание ученой степени д-ра техн. наук. Харьков, ХИРЭ, 1986. 48 с. З.Алипов И.Н. Помехоустойчивые к А1-последовательности алгоритмы поиска точки экстремума унимодальной функции // АСУ и приборы автоматики. Харьков, ХТУРЭ. 1997. Вып. 104. С. 69-75.

Поступила в редколлегию 25.04.99 Рецензент: д-р техн. наук Руденко О.Г.

Алипов Николай Васильевич, д-р техн. наук, професор кафедры конструирования электронно-вычислительных машин ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации, алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронных вычислительных средств. Адрес: Украина, 61189, Харьков, ул. Иртышская, 8, тел. 40-94-94.

Алипов Илья Николаевич, канд. техн. наук, сотрудник кафедры конструирования электронно-вычислительных машин ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации. Адрес: Украина, 61189, Харьков, ул. Иртышская, 8, тел. 40-94-94.

Охапкин Александр Александрович, аспирант кафедры конструирования электронно-вычислительных машин ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации. Адрес: Украина, 61007, Харьков, ул.Бекетова, 19/17, кв. 21, тел. 93-45-75.

Ребезюк Леонид Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры конструирования электронно-вычислительных машин ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации, автоматизация проектирования электронных вычислительных средств. Адрес: Украина, 310136, Харьков, ул. Ком. Уборевича, 40-б, кв. 17, тел. 69-79-38.

УДК 519.21

ПРИМЕНЕНИЕ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ ФАРМАКОКИНЕТИКИ ПРИ АНАЛИЗЕ СТАБИЛЬНОСТИ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ФОРМ

ГЕРАСИН С.Н, КИРИЧЕНКО Л. О, РОДЗИНСКИЙ А.А.

Рассматриваются модели стабилизации концентрации лекарственных средств в организме человека. Обосновываются эмпирические схемы приема лекарства на основе метода фокусировки в неоднородной марковской системе.

Здесь Mi, i=0,...,n — количество препарата в каждой камере; ktj — величина, характеризующая скорость обмена препарата из i камеры вj. Стрелки обозначают направление переноса препарата из камеры в камеру. Данная модель не является, вообще говоря, вероятностной, но она станет таковой, если считать

П

M = ^ Mj = 1. Камера М0 отвечает внешней среде.

2=0

Запишем систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику данного процесса. Каждому блоку Мі поставим в соответствие состояние некоторого случайного марковского процесса. А константу скорости будем интерпретировать как соответствующие интенсивности переходов из состояния в состояние:

Традиционно в фармакокинетике принято выделять в качестве системных единиц так называемые камеры. Это название достаточно условно и за ним не скрывается какое-либо пространственное ограничение в анатомическом смысле. Фармакокинетическую камеру можно определить как часть системы, в которой равномерно распределен препарат. В частном случае камерой может быть и определенный орган, но в основе этого понятия связи с разделением организма на отдельные органы нет. Иначе говоря, понятие камеры является единицей формализованной фармакокинетической системы.

Критерием разделения организма на некоторое число камер является не степень близости к анатомофизиологической структуре, а исключительно принцип математического правдоподобия. Скажем, принцип равномерного распределения препарата в крови невыполним в конкретных условиях физиологии [1] .

Рассмотрим многочастевую модель фармакокинетики, схематично изображенную на рис. 1

k01

Рис. 1

dMo

dt

dM2

dt

dMn

dt

-—hoMo + &1oM1;

(hi(i—1) + ki(i+1))Mi + k(i+1)iMi+1 + k(i-1)iMi-1,i =1 n _1; k(n—1)nMn—1 ~hn(n-1)Mn • (1)

Это есть система уравнений Колмогорова для процессов рождения и гибели. Сумма коэффициентов главной матрицы системы по столбцам равна нулю. Значит, (1) есть система уравнений Колмогорова. Сделаем некоторые предположения на характер изменения коэффициентов kj. Будем считать, что они зависят от времени t, т.е. процесс неоднороден. Изучим поведение такого процесса на промежутке времени [0, Г]. Зависимость от времени объясняется тем, что содержание препарата в организме уменьшается. Совокупность процессов, ведущих к уменьшению концентрации, принято называть элиминацией.

Нас будет интересовать следующий специфический вопрос. Можно ли за указанный промежуток времени достичь определенной концентрации вещества (лечебного средства) в каждой из камер? Естественно, что при этом следует исходить из традици-

РИ, 1999, № 2

107