CC BY
54. Muramatu Т. On the dual of Besov spaces // Publ. Res. Inst. Math. Kyoto Univ. 1976. 12, N 1. 123-140.
5. Шкаликов А.А., БакД.-Г. Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шрёднн-гера с потенциалами-распределениями // Матем. заметки. 2002. 71, №5. 643-651. (Bak J.-G., Shkalikov А.А. Multipliers in dual Sobolev spaces and Schrodinger operators with distribution potentials // Math. Notes. 2002. 71, N 5. 587-594.)
6. Maz'ya V., Shaposhnikova T. Theory of Sobolev multipliers. Berlin: Springer, 2009.
7. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского-Бесова с модулями непрерывности общего вида // Тр. Матем ин-та АН СССР. 1984. 170. 86-104.
Поступила в редакцию 18.11.2015
УДК 517.982.256
ПРИМЕР АНТИПРОКСИМИНАЛЬНОГО, НО НЕ 2-АНТИПРОКСИМИНАЛЬНОГО ВЫПУКЛОГО ЗАМКНУТОГО ОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА
Б. Б. Беднов1
Строится пример антипроксиминального, но не 2-антипроксиминального выпуклого замкнутого ограниченного тела в пространстве со с нормой Дэя.
Ключевые слова: антипроксиминальное тело, норма Дэя.
An example of an antiproximinal but not 2-antiproximinal convex closed bounded body is constructed in the space со endowed with Day's norm.
Key words: antiproximinal body, Day's norm.
Рассмотрим банахово пространство (X, || • ||) и непустое множество М в нем. Для точки х € X определим метрическую проекцию Рм{%) = {у £ М : \\х — у|| = р(х, М)}, где р(х, М) = inf{||a; — z\\ : z € М}. Множество М называется антипроксиминалъным, если для любой точки х € X \ М в множестве М нет ближайшей точки, т.е. Рм(%) = 0-
Для набора {xi,... ,хп} С X определим метрическую n-проекцию на множество М:
п
Pm(xi, ...,хп) = {уеМ:^2 II xi ~ УII = Р(х ь • • -,хп,М)},
г=1
где р(х 1,... ,хп,М) = inf{£r=i ||Xi — z\\ : z € M}. Множество М называется п-антипроксиминалъ-ным [1], если для любых таких х\,..., хп € X, что р(х\,..., хп, М) > р(х\,..., хп, X), выполнено Рм(х 1, • • • = 0. При п = 1 это определение дает обычные антипроксиминальные множе-
ства. Для п = 2 сформулируем определение явно: множество М называется 2-антипроксиминальным, если для любых таких Х\,Х2 € X, что р(х\,Х2,М) > р(х\,Х2,Х) = \\х\ — ЖгЦ, множество Рм{%1,%2) пусто [1].
Возможность исследования n-антипроксиминальных множеств в банаховых пространствах была высказана в работе [2] и осуществилась в работе [1]: был исследован вопрос о существовании n-антипроксиминальных замкнутых множеств с дополнительными свойствами в пространствах непрерывных и суммируемых функций со стандартными нормами. Оказалось, что в таких пространствах нет антипроксиминальных выпуклых замкнутых ограниченных тел, не обладающих свойством 2-антипроксиминальности.
Цель настоящей работы — построить пример выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального, но не 2-антипроксиминального тела в пространстве со сходящихся к нулю последовательностей с нормой Дэя [3].
1 Бедное Борислав Борисович — канд. физ.-мат. наук, переводчик-секретарь каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, доцент каф. ФН-12 "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: noriiiiQinbox.ru.
В связи с изучением антипроксиминальных множеств пространство со с нормой Дэя исследовалось в работах С. Кобзаша [4], М. Эделынтейна [5] и B.C. Балаганского [6]. Идея построения примера выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального тела в пространстве со с нормой Дэя в [5] аналогична идее построения первого примера выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального тела (в пространстве со) [7] и сильно используется в настоящей работе.
Напомним, что норма Дэя в пространстве со задается формулой р(х) = xij)2)^, где
(ж^,..., Xin,...) — такая перестановка координат вектора (х\,..., хп,...) = х € со, что \х^\ ^ \xi2\ ^ .... Норма р(х) эквивалентна исходной норме (||ж|| = maxj=i)2,... \%i\) и строго выпукла [3]. Замкнутый единичный шар пространства со с нормой Дэя обозначим через D. Норму функционала / из сопряженного пространства к пространству со с нормой Дэя обозначим p*(f). Через е^ обозначим стандартный базисный вектор с единицей на г-м месте и нулями на остальных местах, ¿ = 1,2,.... Замкнутый единичный шар пространства со со стандартной нормой обозначим через В.
Лемма 1. Пусть {гк} — подпоследовательность натурального ряда, функционал / = fk&rk € 1\, причем последовательность {/fc4fc} убывает их о = Y^k=i fk^k&rk € со- Тогда
P*(f) = (Sfcli(/fc2fc)2) ^ и ра венет во /(ж) = p*(f) -р{х) выполняется только для векторов х = кх о, к^О.
Доказательство. Для p*(f) верна оценка
(оо \ | / оо 2\ §
Число А2 не превосходит 1, так как р(х)2 ^ Y^k=i(^~kxrk)2 ПРИ любой подпоследовательности {гь} натурального ряда (см. доказательство леммы 1 из [3]), а поскольку 2еГ1 € D, имеем А2 = 1. Таким образом, p*(f) ^
Рассмотрим вектор Хо = YlkLi fk^kerk- Его ненулевые координаты упорядочены по убыванию в силу условия леммы, поэтому р(хо)2 = Sfcli(/fc2fc)2 = А\. Значение /(ж0) равно ^fcli(/fc2fc)2 = А\ и не превосходит p*(f) ■ р(хо) ^ А\ ■ Следовательно, p*(f) = А\ и /(ж0) = p*(f) • р(хо). Если же /(ж) = p*(f) • р(х), то х = кх о, к ^ 0, в силу строгой выпуклости множества D. Лемма доказана.
Функционал / € X* называется опорным к выпуклому замкнутому подмножеству М банахова пространства X, если найдется такой элемент х € М, что /(ж) = sup{/(z) : z € М} или /(ж) = inf{f(z) : z € M}. Множество опорных функционалов к М обозначим через J(M). Заметим, что множество J (В) в пространстве Cq состоит только из таких функционалов f G 11, у которых множество ненулевых координат конечно. Множество опорных к D функционалов содержит функционалы /, удовлетворяющие условию леммы 1.
Лемма А [8]. Для выпуклого множества М в банаховом пространстве X и линейного биективного оператора Т : X —> X выполнено равенство J(M) = T*(J(T(M))), где Т* : X* —>■ X* — сопряженный к Т оператор.
Следующая лемма характеризует антипроксиминальные множества в терминах опорных функционалов.
Лемма В [7]. Непустое выпуклое замкнутое ограниченное множество М С X антипрокси-минально тогда и только тогда, когда любой ненулевой функционал, опорный к М, не является опорным к шару пространства X.
Рассмотрим функционалы ft = е^ + J^Li 4-<-ra+1^e2;-i(2rj+i) £ h, г = 1,2,... . Построим ограниченный линейный оператор Т : со —> со, определенный равенством (Tx)i = ft (ж). Аналогично [7] докажем, что множество Т~1(В) есть выпуклое замкнутое ограниченное тело.
Действительно, множество
Т~1(В) = {х € с0 : Тх € В} = {х : \еА{Тх)\ < 1, г = 1, 2,... } = {х € с0 : Ых)\ < 1, г = 1, 2,... }
есть пересечение замкнутых полупространств, следовательно, замкнуто и выпукло. Так как норма ft как элемента пространства 1\ с обычной нормой равна 13/12, то при ||ж|| ^ 12/13 имеем \gi(x)\ ^ 1, т.е. внутренность множества Т~1(В) непуста (Т~1(В) — тело). Так как \gi(x)\ ^ ||ж|| — ||ж||/12 = ||ж|| • 11/12, то при ||ж|| > 12/11 верно неравенство |<?г(ж)| > 1, т.е. множество Т~1(В) ограничено.
Лемма 2. Множество Т~1(В) антипроксиминалъно в пространстве со с норм,ой Дэя.
Эта лемма аналогична теореме 1 из [5]. Для полноты изложения приводим полное
Доказательство. По лемме А функционал g принадлежит множеству J(T~l(B)) = T*(J(B)) тогда и только тогда, когда g есть конечная линейная комбинация функционалов ft, г = 1,2,....
Докажем, что каждый такой функционал не является опорным к И. Предположим обратное: для функционала д = (Лх,..., Хп,...) = аг9г € Ь найдется такой элемент у = (у\,..., уп,...) €
И,р(у) = 1, что
д(у) = 8Щ){д(г) : г € £>}. (1)
Заметим, что функционал д имеет бесконечное число ненулевых координат, так как множества ненулевых координат у функционалов д^ — е./ и ди — не пересекаются при ] ф к. Ясно, что \Уг 0, поскольку иначе р(у — Угвг) < р(у), а д(у — Угвг) > д(у), что противоречит равенству (1). Ясно также, что если Л^ = 0, то и у^ = 0 (иначе р(у — Угвг) < р(у), а д(у — Уг^ = д{у), что противоречит равенству (1)).
Докажем, что вектор у не может иметь конечное число ненулевых координат. Пусть, напротив, Ук0 Ф 0, ук = 0 при к > ко- Выберем число к\ > ко так, чтобы А^ ф 0. Пусть А := А^/А^. Без ограничения общности уко ^ 0. Выберем положительное е < 2уко/(1 + А2) настолько малым, что число \Ае\ меньше модуля каждой ненулевой координаты вектора у и перестановка {г.,} в выражении нормы Дэя для векторов у и у = у — ееко + Аееможет быть выбрана одной и той же. Тогда
д(Ю ~ д(у) = + Ак1Ае = 0,
Ш)2 " Ш? < {Ук°~^г~У1° + ^ = 2-^е(-2ук0 + ,(1 + А2)) < 0
(здесь г — число из перестановки {г.,} в норме Дэя для вектора у, которому соответствует Ук0), что противоречит равенству (1).
Докажем, что у не может иметь и бесконечное число ненулевых координат. В противном случае найдется такое число ко > ш, что \ук0\ > \Ук\ для каждого к > ко- По доказанному выше Ак0 ф 0. Представим ко в виде 21~1(2п + 1) при некоторых целых I и п. Заметим, что п > 0 в силу строения функционалов д^, г = 1,...,т, и условия ко > т. Имеем Ук0Укг ^ 0 при к\ = 21~1{2п + 3), так как Хко^к! = а2/(4га+14га+2) > 0. Без ограничения общности считаем, что Хко > 0 (а значит, и Ук0 > 0)- Рассмотрим у = у — ееко + 4еед;1 при положительном е < |(ук0 — укг) настолько малом, что перестановка для ушу может быть выбрана одной и той же. Тогда
9(У) ~ 9(У) = + Хк14е = е(-а1/4п+1 + 4аг/4га+2) = 0,
Ш? ~ Ш)2 < (Ук° + = 2"2Г£("2^о + 2Ук1 + 5.) < 0
(здесь опять г — число из перестановки {г^}, которому соответствует Ук0), что также противоречит равенству (1).
Таким образом, функционал д не является опорным к I). По лемме В множество Т~1(В) анти-проксиминально в пространстве со с нормой Дэя. Лемма доказана.
Приведем лемму, характеризующую 2-антипроксиминальные множества в терминах опорных функционалов.
Лемма С [1]. Непустое выпуклое замкнутое множество М С X 2-антипроксиминально тогда и только тогда, когда для всякого опорного к М ненулевого функционала / не существует тлких функционалов /1, /2 € X* и от,личных от, нуля, элементов х\,х% € X, что:
1) /1 + /2 = /;
2) 11/111 = ||/2||>0;
3) /кЫ = т\-Ы, к = 1,2;
4) 0 ^ {х е X : \\х\ - х\\ + \\х2 - х\\ = \\х\ - х2\\}-
Заметим, что в строго выпуклом банаховом пространстве множество {х € X : \\х\ — х\\ + \\х2 — х\\ = \\х1 ~ ж2||} совпадает с геометрическим отрезком [х\,х2]-
Теорема. Множество Т~1 (В) — выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное, но не 2-антипроксиминальное тело в пространстве со с норм,ой Дэя.
Доказательство. Выше было доказано, что множество Т~1(В) выпукло, замкнуто, ограничено и имеет непустую внутренность. Антипроксиминальность множества Т~1(В) доказана в лемме 2. Докажем, что Т~1(В) не 2-антипроксиминально.
Рассмотрим функционал
п=1 ^ '
опорный к множеству Т 1{В) по лемме A (T*e¿ = ft). Проверим, что функционалы
993 ул е4га_i _ 1023 ул е4п+1 J -9i, Л- 201661 ^ 16га ' 2016ei ^4-16га
п=1 га=1
удовлетворяют условиям 1-4 леммы С для пространства X = со с нормой Дэя р. Ясно, что /1 + /2 = ft. Сравним p*{fi) и р*(/г) и найдем такие элементы € со, что ) = p*{fi) ■ p{zi), г = 1,2. Функционалы /i и /2 удовлетворяют условиям леммы 1, поэтому
Легко проверить, что p*(fi) = р*($2)- В силу леммы 1 функционалы f\ и /2 достигают нормы на векторах, которые коллинеарны z\ = 4 • <fjj|ei + ' ' e4«-i / 0 и 22 = 4 • ^§f|ei +
Sn^i 4ra+1 • ^e^+i ф 0 соответственно. Заметим, что элемент z\ неколлинеарен элементу Z2, поэтому 0 ^ {х € со : р(хi — ж) + р(х2 — ж) = р(ж1 — Ж2)} в силу строгой выпуклости нормы р.
Из вышесказанного следует, что для функционалов / = ft,/i,/2 выполнены условия 1-4 леммы С. Поэтому множество Т~1(В) не 2-антипроксиминально. Теорема доказана.
Автор приносит благодарность П. А. Бородину за внимание к работе и полезные замечания. Работа поддержана РФФИ (проекты №14-01-00510, 15-01-08335).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бедное Б.Б. Об п-аптипроксимипальпых множествах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 3. 29-34.
2. Бородин П.А. О выпуклости Ж-чебышевских множеств // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. 75, № 5. 19-46.
3. Day M.M. Strict convexity and smoothness of normed spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. 78, N 2. 516-528.
4. Cobza§ S. Multimifoarte neproximinale in со // Rev. anal, numer. §i teor. approxim. 1973. 2. 137-141.
5. Edelstein M. Antiproximal sets //J. Approx. Theory. 1987. 49. 252-255.
6. Балаганский B.C. Об антнпрокснминальных выпуклых ограниченных множествах в пространстве со(Г) с нормой Дэя // Матем. заметки. 2006. 79, № 3. 323-338.
7. Edelstein M., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in со // Pacif. J. Math. 1972. 40, N 3. 553-560.
8. Кобзаш С. Выпуклые антипроксиминальные множества в пространствах со и с // Матем. заметки. 1975. 17, № 3. 449-457.
Поступила в редакцию 11.01.2016
УДК 519.622
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ЧЕБЫШЁВА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2
Описан подход к использованию рядов Чебышёва для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации решения задачи Ко-ши и его производной частичными суммами смещенных рядов Чебышёва. Вычисление
1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc.msu.ru.
2 Залет,кин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.
