Применение вихревого метода при расчете аэродинамических характеристик тонкого крыла в установившемся сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том VI 1975

М 1

УДК 533.6.011.5:629.7.025.1

ПРИМЕНЕНИЕ ВИХРЕВОГО МЕТОДА ПРИ РАСЧЕТЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКОГО КРЫЛА В УСТАНОВИВШЕМСЯ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. И. Чубарое

Предлагается алгоритм расчёта аэродинамической нагрузки при сверхзвуковых скоростях для тонкого крыла произвольной формы в плане в установившемся потоке. В качестве конечных элементов используются прямоугольные клетки с диагоналями, параллельными линиям Маха, и постоянной интенсивностью присоединенных вихрей. По сравнению с методами, основанными на расчете возмущенного потенциала скоростей, в рассматриваемом алгоритме точность расчета распределенной нагрузки, необходимая при решении задач статической аэроупругости, обеспечивается при меньших затратах машинного времени и меньшей потребной оперативной памяти ЭЦВМ. Результаты расчетов треугольных крыльев сравниваются с известными точными решениями. Приведены результаты расчета производных коэффициентов подъемной силы, продольного и поперечного моментов крыла сверхзвукового пассажирского самолета.

При определении влияния упругих деформаций конструкции на эффективность управления и на перераспределение аэродинамической нагрузки [1] требуется многократно решать прямую задачу теории крыла: по заданному распределению местных углов атаки определить распределение аэродинамической нагрузки. В связи с этим одной из главных задач в создании современных алгоритмов вычисления аэродинамических сил является уменьшение трудоемкости и времени расчета на ЭЦВМ при сохранении достаточной точности.

Следует отметить, что алгоритм [2], являющийся конечно-разностной реализацией метода определения возмущенного потенциала при сверхзвуковых скоростях [3], практически не пригоден для решения задач статической аэроупругости, так как при расчете необходимо сохранять в оперативной памяти ЭЦВМ величины скосов в возмущенной области вне несущей поверхности крыла. Большие возможности несут в себе алгоритмы [4], основанные на представлении крыла при сверхзвуковых и дозвуковых скоростях

]

полета несущей вихревой поверхностью и на замене последней конечными элементами.

В настоящей статье описывается простой алгоритм вычисления аэродинамической нагрузки, использующий в качестве конечных элементов прямоугольные панели. Распределение интенсивнрсти присоединенных вихрей по поверхности панели принимается равномерным.

1. Постановка задачи. Воспользуемся прямоугольной правой подвижной системой координат Oxyz, связанной жестко с крылом, движущимся с постоянной скоростью U. Начало координат „0“ расположим на оси симметрии крыла, ось Ох направим по вектору скорости невозмущенного потока, ось Ог направим в сторону правого полукрыла.

Задачу обтекания тонкого слабо изогнутого крыла будем решать в линейной постановке, поэтому граничные условия непро-текания снесем на проекцию ресущей поверхности на плоскость Oxz. В этом случае потенциал возмущенной скорости для установившегося потока удовлетворяет волновому уравнению

(М2 — 1)<р,,— ?уу-?„ = 0, (1.1)

где М-— число М, и граничным условиям: на несущей поверхности (у = 0)

?у = — »(■*> *)«; (1.2) на вихревой пелене (у = 0)

(1.3)

в возмущенной области при у = 0 вне несущей поверхности и вихревой пелены

у (х, 0, z) — 0; (1.4)

на волне возмущения

<? (х, у, z) = 0. (1.5)

Функция а(х, z) в формуле (1.2) определяет распределение местных углов атаки несущей поверхности и выражается через кинематические параметры:

для симметричного обтекания

ac(*, z) = а + ~ ш, + /с(х, г) 8С; (1.6)

для антисимметричного обтекания

«а (■*> Z) = — X + /а (X, Z) 8а; (1.7)

^десь a — угол атаки крыла; — безразмерная угловая скорость тангажа; = — безразмерная угловая скорость крена;

V 8а —амплитуды симметричной и антисимметричной деформаций; /с(х, z), /а(л, г) — функции, определяющие распределение местных

углов атаки при деформациях крыла; Ьк — средняя аэродинамическая хорда; I — размах крыла.

Отклонение рулей, очевидно, представляет частный случай деформации крыла. При этом функции /с(х, г) и /а(л:, г) равны нулю на всей несущей поверхности за исключением части, соответствующей рулевым поверхностям. Распределение местных углов атаки по рулевым поверхностям определяется компоновкой органов управления летательного аппарата.

При построении решений задачи воспользуемся потенциалом возмущенных скоростей сверхзвукового вихря бесконечно малого размаха со свободными вихрями, параллельными скорости невозмущенного потока [5],

у, г —С)~--------------=-- — ................- , (1.8)

[у2 + (г - 02]_ £)2 _ ¿2 3,2 _ ¿2 (г _ г;)2 > ' 7

где k = 'tyrM.2 — 1, %, С — координаты присоединенного вихря, расположенного в плоскости 0 xz.

Если {х — \)2 — &2.у2—&3(z— Q2 < 0, то потенциал (1.8) следует полагать равным нулю. .

Распределим элементарные вихри по несущей поверхности и сведем задачу определения потенциала к вычислению интенсивности присоединенных вихрей Г(?, С) из уравнения

\jyIfr(t,Z)?B(x — Z,y,z-Qdtdi] = — а(х, z) U, (1.9)

1 a JV=0

соответствующего условию непротекания (1.2) на несущей поверхности. В интеграле (1.9) а — часть площади крыла, расположенная в обратном конусе Маха с вершиной в точке (х, у, z). Так как потенциал возмущенных скоростей, соответствующий установившемуся потоку вокруг крыла, является суперпозицией потенциалов элементарных вихрей, то условия (1.3) —(1.5) выполняются автоматически.

Перепад давления в точках несущей поверхности определяется по формуле [5], соответствующей теореме Н. Е. Жуковского в „малом“:

Д/? = 2npr(x, z) U, (1.Ю)

тде р —плотность в невозмущенном потоке.

В соответствии с гипотезой Чаплыгина — Жуковского на дозвуковых задних кромках интенсивность присоединенных вихрей Г (х, у) должна обращаться в нуль.

2. Прямоугольные панели с постоянной интенсивностью присоединенных вихрей. Распределим элементарные вихри постоянной интенсивности Г по поверхности плоской прямоугольной панели с центром в начале координат и со сторонами 2LX и 2 Lz, параллельными осям координат. Проекции возмущенной скорости Wy для точек плоскости Охг, для которых обратные конусы М включают всю панель, вычисляются с помощью интеграла:

W, (х, 0, z) — lim -т— ГГ ----------7х—- ..=} , (2.1)

У ’ у-*о дУ JJ [*»+(*-0*] \Г(Х —А*(г-0*1

из которого следует

Wy{x, О, 2) = аг[>^±^, z-Lt

z-L^-F(Z+hLt Z + Lf)+ Z + L)\ ’ (2-2>

k

где функция

l~r"° ■ 1 " 14 (2.3)

F(x, z) — sign(z) ^ j/"^ — 1-+ arcsin -J-

Ha свободных вихрях {z = +_Lz), сходящих с панели, величина Wy не определена.

При х оо

WAX, О, z)->2Ljrr(-V--4r), (2.4>

что совпадает со значением вычисленным для дозвукового П-образного вихря с размахом 2£г и напряженностью ак=АкЬхТ.

Для прямоугольной панели с диагоналями, параллельными, линиям Маха, величины проекций возмущенной скорости ЦТ'у вычисляются на продолжениях диагоналей (| г \ > ¿г) с помощью функции Р(х, г):

ТГ,(х, 0, г) = кГР. | * | _ , (2.5>

а в центре прямоугольника — по формуле

(0, 0, 0) = — тс/гГ. (2.6)

В соответствии с (1.10) на прямоугольную панель, по которой элементарные вихри распределены с постоянной интенсивностью Г, будет действовать приложенная в центре панели подъемная сила

у-2*РГ41хЬги=^^ЗшТ, (2.7)

где Г = — величина безразмерной интенсивности элементарных

вихрей, 5П = 4 Ьх ¿г — площадь панели.

3. Схематизация крыла и расчет интенсивности элементарных вихрей. Рассмотрим плоскую пластину бесконечного размаха с хордой Ь, расположенную под углом а к набегающему потоку. Выбрав панели со сторонами сИх=Ьъ 2Ьг = кГ1 Ь, распределим их по пластине в один ряд по хорде. В этом случае граничное условие непротекания (1.9) сводится к соотношению

— тсГ — — а. (3.1)

Подставив значение безразмерной интенсивности Г=а/к в фор* мулу (2.7), получим известное соотношение для коэффициента давления

Р = т■

При применении в расчете более мелкой сетки формула (3.2) также остается справедливой.

Для расчета несущей поверхности конечного размаха правое полукрыло разобьем на прямоугольные панели с диагоналями,, параллельными линиям Маха, так что на полуразмахе уложится целое число панелей (фиг. 1). Передняя и задняя кромкк

крыла при этом представляются в виде ломаных линий. Чем мельче сетка, тем точнее аппроксимация крыла. Панель учитывается в том случае, если доля ее площади тг, расположенная на несущей поверхности, более заданной величины. Для панели, целиком лежащей на несущей поверхности, т1 =1.

Панели правого полукрыла пронумеруем по порядку так, чтобы каждая панель и симметричная ей панель левого полукрыла не индуцировали скос потока в центрах всех панелей, имеющих меньший номер (см. фиг. 1). Тогда матрица линейной системы для расчета безразмерных интенсивностей элементарных вих. рей Гг, соответствующая уравнению (1.9), имеет вид нижней треугольной матрицы. Компоненты вектора интенсивностей Гг в этом случае определяются через компоненты вектора местных углов атаки аг по рекуррентной формуле

Г, = -

;=1

(3.3)

где ЧГу1} =

Щи

и

проекция безразмерной возмущенной скорости,

вызванной /-й панелью в центре г-й панели; Д1Гугу==ДШуи/и — проекция безразмерной возмущенной скорости, вызванной панелью левого полукрыла, симметричной у'-й панели, в центре ¿-й панели; знак „ + “ в формуле (3.3) соответствует симметричному обтеканию крыла, а знак „ — “ соответствует антисимметричному обтеканию.

Производные безразмерных коэффициентов подъемной силы, продольного и поперечного моментов в соответствии с (2.7) выражаются через величины Г“, г“г, Г(?а, Г“*:

/=1

<=1 <=1

- С - о о ^ -

л“*— °п «и V VI Г«“.. ... .

СУ*-1Г-3-21 !*’ тг' Х‘'

¿ = 1

9 Ы -

— 'У Г"* 2

к 5/ 2л 1 0

N

2

/ = 1

N

т

(3.4)

где 5 — площадь крыла, ¿>А — средняя аэродинамическая хорда, / — размах крыла, Л^—число панелей.

Так как кромки крыла заменяются ломаными линиями, то в сечениях крыла по хорде и размаху наблюдаются скачки нагрузки, которые могут быть сглажены с помощью метода аналитической аппроксимации [2].

4. Примеры расчета. Для проверки алгоритма были проведены расчеты треугольного крыла с углом стреловидности передней: кромки х = 45° при числах М = 1,118; 1,414; 2,236, соответствующих дозвуковой, звуковой и сверхзвуковой передним кромкам. Начало координат выбрано в вершине прямого угла прямоугольного треугольника.

Результаты расчета интегральных аэродинамических характеристик, как видно из табл. 1, хорошо согласуются с результатами,, полученными на основе точных конических решений, даже при достаточно малом числе панелей на полукрыле (Д/= 110-=-120).

Таблица 1

м ,118 1,454 2,236

N 119 120 110

точное решение расчет точное решение расчет точное решение расчет

г“ СУ 5,183 5,254 4,000 3,851 2,000 1,996

X р 0,500 0,486 0,500 0,503 0.500 0,500

ш С * СУ 6,176 6,224 4,000 3,905 2.000 1,995

а» Я,' —6,947 -6,950 -4,500 —4,392 —2,250 —2,240

(О т/ —0,384 -0,371 —0,334 —0,312 -0,167 -0,166

На фиг. 2 и 3 для двух сечений треугольного крыла при дозвуковой (М=1,118)и сверхзвуковой (М = 2,230) передних кромках сравниваются распределения по хорде безразмерных интенсивно-

стей вихрей Г, полученные из

* II 1 1* насчет почное решение

1

1 1

\

2 -0,0ьв \ г -0,523

\

1

|

' 0 0,5 х/Ъ

Фиг. 2

расчета с учетом аналитической аппроксимации и распределения, полученные на основе точных решений.

М = 2,236 / течет ючнае ешенае

2 =0,523

ь

1 7 = 0,048 1

ч *

1

/?/Ш----------————--------------------—I

' 0 05 Х/Ь

Фиг. 3

Сравнение интегральных аэродинамических характеристик прямого и обратного треугольных крыльев при М= 1,118, приведенных в табл. 2, показывает, что основные соотношения теоремы обратимости выполняются с точностью до третьего знака.

На фиг. 4 показано распределение безразмерной интенсивности вихрей в двух сечениях обратного треугольного крыла, имеющего заднюю дозвуковую кромку (М = 1,118). В области плоского и конического решений результаты расчета практически совпа-

0,3.

V

-!—расчет точное решение

1 \— \ г- -V *0

V 1\ \

1 \

7= 0,523 \ 1 V \

\ \

\ \

1 \

\ /

Фиг. 4

Х/Ъ

дают с точными данными. При приближении к задней кромке в соответствии с гипотезой Чаплыгина — Жуковского, интенсивность вихрей стремится к нулю.

В качестве примера на фиг. 5 и 6 приведены результаты расчета интегральных аэродинамических характеристик крыла сверхзвукового пассажирского самолета в диапазоне чисел М = 1,1-5-2,5.

Крыло 4 т/ “г *** < Г • СУ

•&* ■ 5,254 —0,371 -6,950 -5,178 6,224

5,256 -0,372 -6,963 6,227 -5,182

ЛИТЕРАТУРА

1. Б и с п л и н г х о ф ф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. Перев. с англ., М., Изд. иностр. лит., 1958.

2. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., .Наука*, 1971.

3. Красилыцикова Е. А. Крыло конечного размаха в ежи маемом потоке. М., ГИТЛ, 1952.

4. Wilbur D. Middleton, Harry W. Carlson. Numerical method of estimating and optimizing supersonic aerodynamic characteristics oi arbitrary planform wings. J. Aircraft, July — Aug!, 1965.

5. Карман Т. Сверхзвуковая аэродинамика. Перев. с англ., М., Изд. иностр. лит., 1948.

Рукопись поступила 2\Ш 1973 г.