Применение теоремы о существовании и оценке решений возмущенного включения к изучению возмущенной линейной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ОЦЕНКЕ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ

© А. А. Григоренко

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]

В статье рассматривается утверждение об оценке близости решения возмущенного включения к наперед заданной непрерывной функции. Рассмотрено приложение этого утверждения для изучения возмущения линейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: возмущенное включение; оценка решений; возмущенная линейная краевая задача

Пусть X - банахово пространство с нормой || • ||х • Обозначим еошр[Х ] - множество всех непустых компактов пространства X ; рх[•, •] - расстояние от точки до множества; Нх[•, •] -расстояние по Хаусдорфу в между множествами. Пусть Мга - арифметическое пространство с нормой |-| , если А С Мга , то ||А|| = 8ир{|а| : а € А} .Пусть Ы С [а,Ь] - измеримое по Лебегу множество. Ьга(Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы ^ Мга с нормой

ЦхЦЬп(и) = ^ |х(в)| йв; и

П[Ъга[а, Ь]] - множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьга[а, Ь]; Сп[а, Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] ^ Мга с нормой ||х||с«[а,ь] = шах{|х(£)| : £ € [а, Ь]} ; С+[а, Ь] - конус неотрицательных функций пространства С1 [а, Ь]

Рассмотрим в пространстве Сп[а, Ь] включение

х € Ф(х) + VФ(х), (1)

где Ф : Сп[а, Ь] ^ еошр[Сп[а, Ь]], Ф : Сп[а, Ь] ^ П[Ьга[а, Ь]] - многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : Ьга[а, Ь] ^ Сп[а, Ь] определен равенством

ь

(уг)(г) = ! V(£,в)г(в)йв, £ € [а,Ь]. (2)

а

Включение (1) назовем возмущенным включением.

Под решением включения (1) будем понимать элемент х € Сп[а,Ь], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а,Ь] — Мп является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы V € Ф(х) и г € Ф(х) , что справедливо равенство х = V + Уг .

Пусть до € Сп[а,Ь], го € Ф(до) и шо € Ъп[а,Ь] . Представим функцию до в виде

до = го + Ушо + е, (3)

где е = до — го — Ушо . Предположим, что функция к € Ь1[а,Ь] для каждого измеримого и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству

Ръп(ы)[шо;Ф(до)] ^ к^&в, (4)

и

а непрерывная функция V : [а, Ь] — [0, то) определена соотношением

ь

V(*) = У |У(г,8)\к(з)ёз + \е(г)\, (5)

а

где \У(£, з)| - согласованная с пространством Мп норма п х п матрицы У(Ь,в) в представлении (2), е € Сп[а, Ь] - функция в правой части равенства (3).

Будем говорить, что отображения У : Ъп[а,Ь] — Сп[а,Ь], Ф: Сп[а,Ь] — сотр[Сп[а, Ь]], Ф: Сп[а,Ь] — П[Ъп[а, Ь]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотон-ные операторы Г : С+ [а, Ь] — Ъ1+[а, Ь] и Р : С+[а, Ь] — М1 , удовлетворяющие условиям: для любых х,у € Сп[а,Ь] и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполняются неравенства

hLn(и)[Ф(х), Ф(у)] < ||Гг(х — у)УЬ1(^), (6)

hcn[aM[Ф(x), Ф(у)] < Р (г (х — у)); (7)

для функции V € С+[а,Ь] , определенной соотношением (5), сходится в пространстве С1[а,Ь] ряд

те

АV Ао V = V, Aiv = А (.А) = 1,2,..., (8)

г=о

где непрерывный оператор А: С+[а, Ь] — С+[а, Ь] определен равенством

ь

(Аг)(г) = I'\У (г,в)\(Гг)Ш8 + Р (г), (9)

а отображение г: Сп[а, Ь] — С+[а, Ь] определено соотношением

(гх)(г) = \х(г)\. (10)

Пусть {(V) - сумма ряда (8), т. е.

те

{(V ) = £ А^. (11)

Теорема 1. Пусть до € Сп [а, Ъ], го € Ф(до), ^о € Ьп[а, Ъ] и пусть функция до пред-ставима равенством (3). Далее, пусть отображения V : Ьп[а, Ъ] ^ Сп[а, Ъ], Ф: Сп[а, Ъ] ^ ^ сотр[Сп[а, Ъ]], Ф : Сп[а, Ъ] ^ П[Ьп[а, Ъ]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х (х = V + Vz, V € Ф(х), г € Ф(х)) включения (1), для которого выполняются следующие оценки: при любом г € [а, Ъ]

|х(г) - 9о(*)| < £М(г); (12)

(IV - ГоУс»[а,Ч < Р(13)

при почти всех г € [а, Ъ]

|г(£) - и,о(1)1 < к(г) + (Г&))(1), (14)

где ),Р, Г, к удовлетворяют соотношениям (5), (11), (7), (6), (4), соответственно.

Далее, для общего вида линейной краевой задачи функционально-дифференциальной системы уравнений определим общую возмущенную краевую задачу, которая состоит из функционально-дифференциального включения, определяемого возмущениями линейной функционально-дифференциальной системы уравнений, и из включения для краевых условий, связанных возмущениями линейного вектор-функционала.

Пусть оператор Л: Ьп[а, Ъ] ^ Юп[а, Ъ] определен равенством

ь

(Лг)(Ь) = J г(в) йв.

Оператор Л будем называть оператором интегрирования. Рассмотрим линейный непрерывный оператор С : Юп[а, Ъ] ^ Ьп[а, Ъ]. Запишем отображение С в виде

Сх = дх + Л(-)х(а), (15)

где оператор Q: Ьп[а, Ъ] ^ Ьп[а, Ъ] (главная часть оператора С в представлении (15)) Q = СЛ, каждый столбец п х п матрицы Л(£) представляет собой результат применения оператора С к соответствующему столбцу единичной матрицы: Л(г) = (СЕ)(г). Будем предполагать, что оператор Q имеет обратный и обратный оператор Q-1 : Ьп[а, Ъ] ^ Ьп[а, Ъ] непрерывен.

Рассмотрим линейную краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения

Сх = 0, 1х = 0, (16)

где I: Юп[а, Ъ] ^ Мп - линейный непрерывный вектор-функционал.

Будем предполагать, что краевая задача (16) имеет только нулевое решение. В этом случае согласно [1, стр. 34] существует непрерывный оператор Грина С : Ьп[а, Ъ] ^ Юп[а, Ъ], определенный равенством

ь

(Сг)(г) = У С(г, в) г (в) йв, г € [а, Ъ], (17)

а

который для произвольного г € Ьп[а, Ъ] решение х € Юп[а, Ъ] краевой задачи

Сх = г, 1х = 0 (18)

представляет в виде х = Сг и, наоборот, каждое значение Сг- решение задачи (18).

Пусть X : [а,Ь] — Мпхп фундаментальная матрица решений первого уравнения (16), удовлетворяющая условию

1(Х) = Е (19)

(Е - единичная матрица, матрица 1(Х) представляет собой результат применения вектор-функционала I к соответствующему столбцу матрицы X). В этом случае краевую задачу

Сх = г, 1х = с, (20)

где г € Ьп[а,Ь], с € Мп, можно представить в виде

х = Хс + Ог. (21)

Отметим, что равенства (20) в реальных математических моделях выполняются с какой-то степенью точности. Кроме того, сами линейные операторы С : Юп[а,Ь] — Ьп[а,Ь], I: Юп[а,Ь] — Мп определяются для различных процессов с теми или иными допущениями и предположениями, которые определяются либо неполнотой информации об реальном исследуемом процессе, либо «простотой» описания самой математической модели этого процесса. В связи с этими обстоятельствами целесообразно рассмотреть включения

Сх € Ф(х), 1х € ф(х), (22)

в которых многозначные отображения Ф : Сп[а, Ь] — 2г'п][а'Ь], ф : Сп[а, Ь] — 2М" могут описать неточность информации об процессе, различного рода предположения и допущения, а также степень аппроксимации математической модели этого процесса.

Будем говорить, что функция х € Юп[а,Ь] - решение задачи (22), если х удовлетворяет и первому и второму включениям в (22).

Краевую задачу (22) будем называть возмущенной линейной краевой задачей или просто возмущенной краевой задачей. Рассмотрим интегральное включение

х € Хф(х) + ОФ(х), (23)

где X -фундаментальная матрица первого уравнения (16), удовлетворяющая равенству (19), отображение О : Ьп[а, Ь] — Юп[а, Ь] - оператор Грина, определенный соотношением (17).

Лемма 1. Возмущенная краевая задача (22) эквивалентна интегральному включению (23). Любое решение х включения (23) однозначно представимо в виде (21), где с € ф(х), г € Ф(х).

Таким образом, согласно лемме 1 частным случаем возмущенного включения (1) является возмущенная краевая задача (22).

Рассмотрим возмущенную линейную задачу (22):

Сх € Ф(х), 1х € ф(х), (24)

где Ф : Сп[а, Ь] — П[Ъп[а, Ь]], ф : Сп[а, Ь] — сотрМп- многозначные отображения. Пусть д € Сп[а,Ь], г € ф(д) и ш € Ъп[а,Ь]. Представим функцию д равенством

д = Хг + Ош + е, (25)

где е = д — Хг — Ош. Предположим, что функция к € Ь1 [а, Ь] для каждого измеримого и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству

Рьп(и) [ш; Ф(д)] <1 к(з) йз, (26)

и

а непрерывная функция V : [а, Ь] — [0, то) определена соотношением

ь

V(ь) = I \с(г,8)\к(з) ¿8 + \е(ь)\, (27)

а

где \С(Ь, 8)\ - согласованная с пространством Мп норма п х п матрицы С(Ь,8) в представлении (17), е € Сп[а, Ь] - функция в правой части равенства (25).

Будем говорить, что оператор Грина С : Ьп[а,Ь] — Сп[а,Ь] и многозначные отображения ф : Сп[а,Ь] — еошр[Мп], Ф: Сп[а,Ь] — П[Ьп[а, Ь]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотонные операторы Г: С+[а,Ь] — 1+\а,Ь] и Р: С+[а,Ь] — М1, удовлетворяющие условиям : для любых х,у € Сп[а,Ь] и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполняются неравенства

hьn{u) [Ф(х);Ф(у)] < \\Гг(х - у)\\ьЧи), (28)

Н[ф(х); ф(у)] < Р{2(х - у)); (29)

для функции V € С+[а,Ь], определенной соотношением (27), сходится в пространстве С1[а,Ь] ряд

те

ли, ----- Л^ = Л(

г=0

где непрерывный оператор А: С+[а, Ь] — С+[а, Ь] определен равенством

S^Aiv, A0v = V, Aiv = А(Аг-^), % = 1,2,..., (30)

ь

(Аг)(Ь) = ! \С(г,8)\(Гг)(8) й8 + ХР(г), (31)

а

где

Х = шах{\Х(Ь)\ : Ь € [а,Ь]}, (32)

а отображение 2: Сп[а, Ь] — С+[а, Ь] определено соотношением

(гх)(г) = \х(ь)\.

Пусть {(V) - сумма ряда (30), т. е.

те

{(V) = £ А^. (33)

г=о

п[

^ п\

п

Теорема 2. Пусть д € Сп[а, Ь], г € ф(д) и и> € Ъп[а, Ь] и пусть функция д предста-вима равенством (25). Далее, пусть оператор Грина С : Ьп[а,Ь] — Сп[а,Ь] и многозначные отображения ф : Сп[а, Ь] — еошр[Мп], Ф : Сп[а, Ь] — П\Ьп[а, Ь]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х задачи (24), для которого выполняются следующие оценки: при любом Ь € [а, Ь]

\х(Ь) - д(Ь)\< {(V)(Ь), (34)

\ \X(г - 1х) \ \ оп[а,ь] < ХР({(V)) (35)

при почти всех Ь € [а, Ь]

\(Сх)(1) - ш(Ь)\ < к(1)+Г({^))(Ь),

где функции V, {(V), число Х определены соотношениями (27), (33), (32), функция к удовлетворяет неравенству (26), отображения Г и Р удовлетворяют оценкам (28), (29).

Действительно, т. к. задача (24) эквивалентна включению (23), при этом отображения G: Ln[a,b] — Cn[a,b], ^Ф: Cn[a,b] — comp[Cn[a, b]], Ф: Cn[a,b] — n[Ln [a,b]] обладают свойством A, где отображение Ф задано равенством

Ф у = Хф(у),

которое для любых x,y € Cn[a, b] удовлетворяет неравенству

hcn[a,b] [ф(x), Ф(у)] < XP(Z(x - у)),

здесь число X определено равенством (32). Поэтому теорема 2 является следствием теоремы 1.

Будем говорить, что оператор Грина G : Ln[a, b] — Cn[a, b] и многозначные отображения ф : Cn[a, b] — comp[Rn], Ф: Cn[a, b] — n[Ln[a, b]] обладают свойством B, если выполняются следующие условия: найдется неотрицательная функция в € L1[a, b], что для любых x,y € Cn[a, b] и любого измеримого множества U С [a, b] выполняется неравенство

hLn(u) [Ф^);Ф(у)] <J в (s)ds\\x - y\\cn[a,b]; (36)

u

найдется число а > 0, что для любых x,y € Cn[a, b] функционал ф удовлетворяет неравенству

%(x); ф(у)] < a\\x - y\\ Cn [a,b]

(37)

для функции в € L1[a,b] и числа а > 0 справедливо соотношение

b

max / \G(t,s)\e(s)ds + аХ < 1, (38)

t€[a,b] J a

где число X определено равенством (32).

Далее, непрерывный оператор A: C+[a, b] — C+[a, b] определим равенством

b

(Az)(t) = (J \G(t,s)\e(s)ds + aX)\\z\\ciM- (39)

a

Пусть непрерывная функция v : [a, b] — [0, то) определена соотношением (27). Обозначим

= ^ AV (A0v = v, AV = A(Ai-1v)). (40)

i=0

Так как для любого г = 0,1,... выполняется оценка

11Аг»||с1 [а,Ь] < СИ"Цо^аД, (41)

где

ь

с =та^ |С(г,в)|в(в)йв + а\, (42)

ье[а,ь] )

а

и согласно неравенству (38) (< 1, то ряд (40) сходится в пространстве С1 [а, Ъ].

Из теоремы 2 вытекает

Следствие 1. Пусть q € Cn [a,b], r € <ф(д) и w € Ln[a, b] и пусть функция q пред-ставима равенством (25). Далее, пусть оператор Грина G : Ln[a, b] ^ Cn[a, b] и многозначные отображения ф : Cn[a, b] ^ comp[Rn], Ф : Cn[a, b] ^ n[Ln[a, b]] обладают свойством B. Тогда найдется такое решение x задачи (24), для которого выполняются следующие оценки: при любом t € [a, b]

|x(t) - q(t)|< f(v)(t);

||X(r - lx)||

Cn \a,b] C1 \a,b];

при почти всех t € [a, b] справедливо соотношение

|(Lx)(t) - w(t)| < k(t)+ ß(t)||f(v)||ci\a,bj,

где функции v, ((v), число X определены соотношениями (27), (40), (32), число а, функции k, ß удовлетворяют неравенствам (37), (26), (36).

Замечание 1. Если Lx = x, lx = x(a), ф^) = x0 (x0 € Rn), Ф - оператор Немыцкого, то оценки, установленные в теореме 2 и следствии 1 аналогичны оценкам опубликованных в работах [2], [3], [4]. Кроме того, эти оценки дополняют оценки [5], [6], [7] поскольку не предполагают выпуклозначности отображения ф.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

3. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы // Прикладная математика и пакеты прикладных программ. Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. C. 155-179.

4. Толстоногов А.А., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве. I // Сибирский математический журнал. 1983. Т. 24. № 6. C. 144-159.

5. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Некоторые результаты по теории возмущений многозначных операторов с выпуклыми замкнутыми значениями отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и их приложения // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 2. С. 111-120.

6. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств S -решений включения типа Гам-мерштейна // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 3. С. 294-298.

7. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Математический сборник. 1998. Т. 189. № 6. С. 3-32.

Поступила в редакцию 22 августа 2017 г.

Григоренко Анна Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: [email protected]

UDC 517.911, 517.968

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284

APPLICATION OF THE EXISTENCE THEOREM AND ESTIMATE OF SOLUTIONS OF THE PERTURBED INCLUSION TO THE STUDY OF THE PERTURBED LINEAR PROBLEM

© A. A. Grigorenko

Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]

In the article, a statement about estimation of the closeness of solutions of the perturbed inclusion to a given continuous function is formulated. An application of this statement to the study of perturbation of a linear boundary value problem for functional-differential equations is considered.

Keywords: perturbed inclusion; estimation of solutions; perturbed linear boundary value problem

REFERENCES

1. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rahmatulina L.F. Introduction to the theory of functional-differential equations. M.: Nauka, 1991. 280 p.

2. Blagodatskih V.I., Filippov A.F. Differential inclusions and optimal control // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1986. V. 169. P. 199-259.

3. Chugunov P.I. Properties of solutions of differential inclusions and managed systems // Applied Mathematics and Application Packages. Irkutsk: Izdatelstvo SAISO AN SSSR, 1980. P. 155-179.

4. Tolstonogov A.A., Chugunov P.I. Set of solutions of a differential inclusion in Banach space. I // Siberian Mathematical Journal. 1983. V. 24. Iss. 6. P. 941-954.

5. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Some results on the perturbation theory of multivalued operators with convex closed values of a Hammerstein-type map with nonconvex images and their applications // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 1997. V. 2. Iss. 2. P. 111-120.

6. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Asymptotic representation of sets of S -solutions of inclusions of Hammerstein type // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 1997. V. 2. Iss. 2. P. 294-298.

7. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Perturbation of a convex-valued operator by a set-valued map of Hammerstein type with non-convex values, and boundary-value problems for functional-differential inclusions // Sbornik: Mathematics. 1998. V. 189. Iss. 6. P. 821-848.

Received 22 August 2017

Grigorenko Anna Alexandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Григоренко А.А. Применение теоремы о существовании и оценке решений возмущенного включения к изучению возмущенной линейной задачи // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1277-1284. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284.

For citation: Grigorenko A.A. Primenenie teoremy o sushchestvovanii i ocenke reshenij vozmushchennogo vklyuche-niya k izucheniyu vozmushchennoj linejnoj zadachi [Application of the existence theorem and estimate of solutions of the perturbed inclusion to the study of the perturbed linear problem]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1277-1284. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284 (In Russian, Abstr. in Engl.).