О разрешимости и оценках решений возмущенного включения в пространстве непрерывных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 23, № 122

2018

Б01: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-292-302 УДК 517.911,517.968

О РАЗРЕШИМОСТИ И ОЦЕНКАХ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33

E-mail: [email protected]

Аннотация. Получено утверждение о существовании решений возмущенного включения и об оценке их близости к наперед заданной непрерывной функции. Ключевые слова: возмущенное включение; оценка близости решений к наперед заданным функциям

Работа посвящена исследованию так называемого «возмущенного включения», правая часть которого состоит из алгебраической суммы значений компактнозначного многозначного отображения и отображения, не обладающего свойством замкнутости значений. К таким включениям сводятся краевые задачи для функционально-дифференциальных включений, функционально-дифференциальные системы управления. В статье доказана теорема существования и получены оценки близости решений к наперед заданным функциям. Отметим, что этот результат дает не только условия существования решения возмущенного включения, но и способ нахождения приближенного решения путем подбора соответствующей функции, а также оценку погрешности этого решения.

Пусть X - банахово пространство с нормой Обозначим 1 ро в ]Ха - множество

всех непустых компактов пространства пространства X, рх\ х ж — расстояние от точки до множества, — расстояние по Хаусдорфу между множествами. Пусть М" —

арифметическое пространство с нормой ||х|[ если А —»К™, то |||А|||| [ ихэ; а Л А\ . Пусть { —> ]а, Ьа, — измеримое по Лебегу множество. Обозначим: Ьп){ Н— простран-

Ьт — множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ья]а, Ьа^ С™]а, Ьз. — пространство непрерывных

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-01-00553).

«с A.A. Григоренко

Введение

1. Основные понятия

ство суммируемых по Лебегу функций х ; { оо К" с нормой

функций х ; ]а, Ьаоо К" с нормой |Цс||Ьп[а,ь] [ ° с ЛИ^Н t ; Ьа — конус

неотрицательных функций пространства С1]а, Ьа Рассмотрим в пространстве С™] а, Ьа включение

х Л{ )ж+0 )2+

где ( ; С™]а, Ьаоо ipo s]C"]a, Ьщ Ф ; С"]а, Ьаоо Ф]Ь"]а, Ьаг— многозначные операторы, V ; Ln]a, Ьаоо С"]а, Ьа — линейный непрерывный интегральный оператор, определенный равенством

ь

)Vz+)t+[ V)t, s-te)s-\ds, tA]a, ba )3+

a

Включение (1) назовем возмущенным включением.

Под решением включения (1) будем понимать элемент х Л С"]а, Ьа, удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х ; ]а, Ьаоо Ж" является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы v Л ( )а'+ и z .АФ)ж-|^ что справедливо равенство х [ v 0 Vz.

Пусть q0 Л С"] а, Ьа, г0 Л { )дь+и w0 Ьа Представим функцию q0 в виде

q0[ г0 0 Vw0 0 е, )4+

где е [ qo го Vwq. Предположим, что функция к .AL1]«, Ьа для каждого измеримого { —>]а, Ьа удовлетворяет неравенству

и

а непрерывная функция и ; ]а, Ьаоо ]1, € + определена соотношением

ь

i/)t+[ |\>)t4 )6+ a

где 5-(Ц - согласованная с пространством М" норма п О п матрицы V)t, s+в

представлении (2), е Л С"]а, Ьа - функция в правой части равенства (3).

Определим отображение отображение Z ; С"]а, Ьаоо Ьа соотношением

Будем говорить, что отображения V ; L"]a, Ьаоо С™] а, Ьа, ( ; С"]а, Ьаоо ipo s]С"]а, Ьщ Ф ; Сга]а,Ьаоо Ф]Ь"]а, Ьш обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотопные операторы ; С^]а,Ьаоо 1ц_]а. Ьа и Р ; Ьаоо М1, удовлетворяющие следующим условиям:

= для любых ж, у Л С"]а, Ьа и любого измеримого множества { —)-]а, Ьа выполняются неравенства

К^и) Z)x у+ъци), )7+

Лс-мК p)z)x У+Ь= )8+

= для определенной соотношением (5) функции v Л Ьа и непрерывного оператора U ; ¿а ос Ьа, определенного равенством

ь

)Uz+)t+[ НИ&О P)zЧг

a

оо

" WV, U°v[ v, WV[ и ¿[2,3,..., )9+

J WV, [ I/, WV [ w^i/j,

сходится в пространстве С1]«, Ьа

Пусть — сумма ряда (8), то есть

оо

£)*+[ ^ WV. ): +

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть до Л С"]а, Ьа, го Л ( )до+ и'о А Ь"]а, Ьа и пусть функция до представима равенством (3). Далее, пусть отображения V ; Ь"]а. Ьа ос С"]а, Ьа, ( ; С"]а,Ьаоо 1ро 5]Сга]а,Ьш Ф ; С"]а,Ьаос Ф]Ь"]а,Ьш обладают свойством А. Тогда найдется решение х включения (1), то есть х [ V О Vг, V А ( г А которое

следующие оценки:

до)£-(Ц ^ £)г;^+при любом t ]а, )21 +

V Г0 С"КЬ] ^ )22+

^ ) £)г/-Н}£+при почти всех t А]а, )23+

где 1/,£,Р, ,к удовлетворяют соотношениям (5), (9), (7), (6), (4), соответственно.

Доказательство. Пусть функция д0 Л С"] а, Ьа представима в виде (3) и пусть функция А Ф)до+Для любого измеримого { —>■]«, Ьа удовлетворяет равенству

Щ> Ьп{и) [ рь"(И)]^о,Ф)доНа Тогда в силу неравенства (4) при почти всех £ А]а, Ьа справедлива оценка

)24+

Далее, пусть

Г! О

где Г\ < г0. Тогда согласно (13) для любого £ А]а, Ьа. получаем соотношения ЯоМ[ Г)г«1 щ,-И|0 №0НК

ь ь

а а

Таким образом, для любого t Л]а, ba выполняется оценка:

1Ы*+ )25+

Предположим, что функция г2 Л{ )gi+удовлетворяет равенству

IIb п ||Ь»[„:ь] [ Рс"[а,ь]]п, ( )gi4a

Тогда в силу (7) имеют место неравенства

IIb Г! |||с«м ^ Лс-[(цЧ]( )qoM P)Z)q0 P)U°v+

Пусть для функции и>2 ДФ)?1+и любого измеримого множества { —ba справедливо соотношение

ПК wi||t"(M) [ Ф)д1На

Из определения функции w2 и неравенств (6), (14) для любого измеримого { —^]о., ba вытекают оценки

IIb »ill^ ^«(и^+Ф)?!^ III Z)q0 ^ III

Пусть

q2 [ r2 0 Vw2. Тогда для любого t Л]a, ba имеют место соотношения

h)t+ ?i)i4H[ lb)i+o )Vw2^t+ n)t+

b

^ lb)i+ п)Щ0 \Y)W2 |^t,HlbM- Wl)s4ds.

а

Таким образом, при всех t Л]а7Ьа справедлива оценка

Ым- )26+

Пусть гз Л{ )Q'2+удовлетворяет равенству

IIb Ы1Ь"М] [ РС"[а,Ь]]г2,( )д3На

Тогда из соотношений (7), (15) получаем неравенства

IIb Ы\Ь»[аМ < hc~[a,b]]( )qM )Ч2На^ P)Z)ql q2^ P)Uv+ )27+

Далее, пусть Л Ф)д2+Для любого измеримого { —>]a, ba удовлетворяет равенству

ПИ ^зЦЬчм) [ Pl"(W)]w2, Ф)<?2На

Из соотношений (6), (15) вытекают оценки

С ||| г)д1 (го С ||| Ш\\1Чи). )28+

Теперь пусть

Яз [ г3 0 Ут3.

Тогда из (16), (17) для любого t „4]а. Ьа получаем неравенства

I ы*+ ъМ 0\У)п>3 Ша^-Щс

ь

а

Таким образом, для любого £ Л]а, Ьа справедлива оценка

Наконец, пусть для г 4 Л{ )дз+ имеет место равенство

ПК ^ИЬ-КЧ [ Рс>,б]]г3,( )д3На Тогда из (18) вытекают соотношения

ПК гз||Ь-м < ^мК Ь-Н Р)г)я2 Р)Ы2^

Пусть гпц _4Ф)д3Н—такая функция, что для любого измеримого { —>]а, Ьа выполняется равенство

ПК «Л«*«) [ №™(и)]™з, ( )®На

Из определения функции и из соотношений (6), (18) для любого измеримого { —>]а, Ьа вытекают оценки

С ||| дзШни) ^ III и)-

Далее, пусть

Яа [ г4 0 Учи^. Тогда для любого £ _Д]а, Ьа имеют место неравенства

1М*+ д3)ЦК1К)Н- г3М0\У)ыл тН)Н|К

ь

Продолжая этот процесс дальше, получим последовательности , и } такие, что для любого г [ 2, 3,. . . справедливо равенство

Ф [ П 0 У-Шг, )2: +

где Гг Л ( )<?г-1+ ш,; Л Ф)<?г-1+ причем имеют место следующие соотношения:

Ы*+ Ф-ОНЮИ^ИИг )31+

\\\Ь Г^иь-м )32+

и при почти всех £ Д]а, Ьа

|Ц)г+ я^ОНК) )33+

Покажем, что последовательность сходится. Действительно, согласно неравенству (20) для любых j [ 1,2..., г [ 2,3... и t Л]а, Ьа получаем оценку

<fc)M|K «ж-МО x>o0

о lb+i)*+ ФНОИ^1^ )uj+i~2i^m >00«

Таким образом, для любых j [ 1,2,..., * [ 2,3,... и при любом t Л ]а, Ьа выполняются соотношения

оо

fo+i)t+ j )34+

Из сходимости ряда (8) следует, что последовательности фундаментальна в пространстве С™] а, Ьа, поэтому последовательность сходится. Пусть

х [ ilc сц.

woo

Докажем, что х удовлетворяет теореме. Покажем, что для х справедливо неравенство (10). Пусть в неравенстве (23) j [ 1. Тогда, учитывая, что £) и+Л С1 ]а, Ьа - сумма ряда (8), при любом t A]a, Ьа получим оценку

Переходя к пределу при i oo е в этом соотношении, получим неравенство (10). Докажем далее сходимость последовательности . Так как при t Л ]а, Ьа и любых i,j [ 2, 3 . . . выполняются соотношения

1Кж)*+ *>h-i)HI° lh*H-i)*+ >оо0

0|h+i)i+ то, согласно (21) справедлива оценка

оо

llb+i г.ЦЬм^Р) f Ukv+ )35+

Ш-1

Отсюда и из сходимости ряда (8) вытекает, что последовательность фундамен-

тальна в пространстве С™] а, Ьа. Пусть

V [ IÍD fj.

i—>-со

Приняв в соотношении (24) j [ 2 и переходя к пределу при г оо € , при этом учитывая, что Гх < г0, получим, что v удовлетворяет неравенству (11).

Наконец, рассмотрим последовательность }ui¿ | . Докажем ее сходимость. В самом деле, для любых j [ 1,2,3,..., i [ 2,3,... и при почти всех t А ] а. Ьа имеет место соотношение

IK+i)í+ |K+í)í+ iüj+i_i)í4f|0 |(tííj+í-i)í+ wj+i-2)t^\0 >ooí)

0|Ц+1 )t+ Wj)t4

Поэтому из (22) следует, что при почти всех t A]a7 Ьа выполняется оценка

со

m+i)£+ Wj)t) í )3G+

kjj 1

Следовательно, последовательность }m¡| фундаментальна в пространстве L"]a, Ьа Пусть

z [ iId wt.

i-юс

Покажем, что при почти всех t A]a,b& z удовлетворяет соотношению (12). Действительно, так как при почти всех t А]а, Ьа и любом г [ 2, 3,. . . выполняется оценка

IK+-1 )£+ b)í+

то из (25) для любого г [ 2, 3,... и при почти всех t Д]а, Ьа имеем неравенство

оо i= 0

Переходя к пределу в последнем соотношении при i оо 6 и учитывая (9), (5), при почти всех t ,А]а,Ьа получим оценку (12). Далее, переходя в равенстве (19) к пределу при г оо € , получим равенство

х [ и 0 Vz,

причем из непрерывности по Хаусдорфу отображений ( ; С"]а, Ьа ос i ро s]C"]a, Ьщ Ф ; С"]а, Ьа оо Ф]Ьп]а,Ь» вытекают включения v А ( )ж+и z А то есть х -

решение включения (1). Теорема доказана.

Замечание 1. Отметим, что теорема 1 дополняет результат работы [1], в которой аналогичные оценки получены в случае выпуклозначности отображения ( ; С™] а, Ьа ос ipo s]C"]a, Ьш При этом в [1] доказательство этих оценок основывалось на теореме Майкла [2], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле «минимальной» непрерывной ветви д ; С"]а, Ьаоо С"]a, ha отображения

( ; Сп]а, баоо 1 ро в] С™] а, Ьщ а также с помощью результата работы [3-5]. Отмстим, что предложенную в работе [1] схему в доказательстве теоремы 1 применить невозможно, поскольку теорема 1 не предполагает, что отображение ( ; Сга]а,Ьаоо ¿ро э]С"]а, Ьт выпуклозначно.

Замечание 2. Отметим, что теорема 1 не является непосредственным следствием принципа сжимающих отображений [6], поскольку оператор, порожденный правой частью включения (1), не является замкнутозначным. Это доказывает следующий пример. Пусть отображение Ф ; С1]1,2аоо Ф]Ь1]1, 2аа задано равенством

Ф)ж+[ }у ЛЬ1]!,2а; у)£+Л} 2,2| при п.в. £ Л]1, Ц ,

а оператор V ; 2аоо С1]!, 2а имеет вид

г)нЛ<1з.

о

Определим последовательность измеримых функций ут ; ]1,2аоо М, т [ 2,3,... следующим образом

Г 2, если *Л]1,2/3+ Ш> ^ 2, если

I 2, если £ 2/5Нг

/ 2, если ¿Л]2/5,2/3+

У2) [ 2, если ¿Л]2/3,4/5^

1 2, если ( Л]4/5,2щ

и так далее. Из определения последовательности ут ; 1, 2аоо Я, т [ 2, 3,... следует, что Уут оо 1 в пространстве С1]!, 2а при т оо € . В то же время 1 ,ДУФ)х-|г

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначно го оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Математический сборник. 1998. Т. 189. № 6. С. 3-32.

2. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Известия вузов. Математика. 1999. № 3. С. 3-16.

3. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.

4. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. II // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 4. С. 566-571.

5. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. III // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 5. С. 739-746.

6. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 12. С. 1587-1598.

Поступила в редакцию 26 марта 2018 г.

Прошла рецензирование 24 апреля 2018 г.

Принята в печать 5 июня 2018 г.

Григоренко Анна Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Григоренко А.А. О разрешимости и оценках решений возмущенного включения в пространстве непрерывных функций // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 122. С. 292-302. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-292-302

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-292-302

ON THE SOLVABILITY AND ESTIMATES OF SOLUTIONS OF A PERTURBED INCLUSION IN THE SPACE OF CONTINUOUS FUNCTIONS

A. A. Grigorenko

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation E-mail: [email protected]

Abstract. In this paper we consider the assertion oil the estimate of the closeness of the solution of a perturbed inclusion to a preassigned continuous function, and the proof of this assertion is given.

Keywords: perturbed inclusion; estimation of the proximity of solutions to previously given functions

REFERENCES

1. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Vozmushchenie vypukloznachnogo operatora mnogoznachnym otob-razheniem tipa Gammershteyna s nevypuklymi obrazami i kraevye zadachi dlya funktsional'no-differ entsial'nykh vklyucheniy [Perturbation of a convex-valued operator by a set-valued map of Hammerstein type with non-convex values, and boundary-value problems for functional-differential inclusions). Matematicheskiy sbornik - Sbornik: Mathematics, 1998, vol. 189. no. 6, pp. 3-32. (In Russian).

2. Bulgakov A.I.. Tkach L.I. Vozmushchenie odnoznachnogo operatora mnogoznachnym otobra-zheniem tipa Gammershteyna s nevypuklymi obrazami [Perturbation of a single-valued operator by a multi-valued mapping of Hammerstein type with nonconvex images]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika - Russian Mathematics, 1999, no. 3, pp. 3-16. (In Russian).

3. Bulgakov A.I. Nepreryvnye vetvi mnogoznachnykh otobrazheniy i integral'nye vklyucheniya s nevypuklymi obrazami i ikh prilozheniya. I [Continuons branches of multivalued mappings and integral inclusions with nonconvex images and their applications. 1]. Differentsial'nye uravneniya -Differential Equations, 1992, vol. 28, no. 3, pp. 371-379. (In Russian).

4. Bulgakov A.I. Nepreryvnye vetvi mnogoznachnykh otobrazheniy i integral'nye vklyucheniya s nevypuklymi obrazami i ikh prilozheniya. II [Continuons branches of multivalued mappings and integral inclusions with nonconvex images and their applications. II]. Differentsial'nye uravneniya

- Differential Equations, 1992, vol. 28, no. 4, pp. 566-571. {In Russian).

5. Bulgakov A.I. Nepreryvnye vetvi mnogoznachnykh otobrazheniy i integral'nye vklyucheniya s nevypuklymi obrazami i ikh prilozheniya. Ill [Continuons branches of multivalued mappings and integral inclusions with nonconvex images and their applications. III]. Differentsial'nye uravneniya

- Differential Equations, 1992, vol. 28, no. 5, pp. 739-746. {In Russian).

The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 17-01-00553).

6. Bulgakov A.I., Efremov A.A., Panasenko E.A. Obyknovennye differentsial'nye vklyucheniya s vnutrennimi i vneshnimi vozmushcheniyami [Ordinary diffrential inclusions with internal and external perturbations]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2000, vol. 36, no. 12, pp. 1587-1598. (In Russian).

Received 26 March 2018 Reviewed 24 April 2018 Accepted for press 5 June 2018

Grigorenko Anna Alexandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]

For citation: Grigorenko A.A. O razreshimosti i ocenkah resheniy vozmushchennogo vklyucheniya v prostranstve nepre-ryvnyh funkciy [On the solvability and estimates of solutions of a perturbed inclusion in the space of continuous functions]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 122, pp. 292-302. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-292-302 (In Russian, Abstr. in Engl.).