Применение параметров Родрига - Гамильтона для оценивания стохастического вектора состояния комплексированной навигационной системы подвижного объекта при наличии помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Энергетические характеристики помехоустойчивости КО описываются следующими соотношениями [3]:

VA/KT

I

i+

J= g Sn KTs-TsoiWA/n / А/к1 ; g Sn =

аП = kToNmA/n, kTo _ 4-10-21 Вт/Гц;

PL •

а2;

где итт - среднеквадратичная погрешность при точном оценивании временного сдвига огибающей НС Si(t); £рк - отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе РК; gф2 - отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе ПФ Ф21 и Ф22; А/к2 - полоса пропускания ПФ Ф21 и Ф22; А/ш - шумовая полоса КСЗ в замкнутом состоянии; игпд - среднеквадратичная погрешность оценивания ПД.

А/к! = А/ф1/«к; А/ф! > А/д,

где gф1 - отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе КФУ; g2 - отношение сигнал/помеха по мощности на входе АП; Р.2 - мощность НС Si(f) на входе АП; и2 - дисперсия помехи п(/) на входе АП;

А/, Ыш - ширина рабочего частотного диапазона и коэффициент шума линейного тракта приемника (ЛТП) АП; А/к1 - полоса пропускания ПФ Ф2; пк -количество каналов в МО; А/д - диапазон изменения доплеровских смещений излучений различных КА СРНС «Навстар».

В КО после обнаружения НС (т.е. после принятия

гипотезы Н.) осуществляется грубое оценивание т.; г

по номеру поискового пространства по временному сдвигу с погрешностью ит = Тэ/4 и грубое оценивание

л

/д; г по номеру канала МО с погрешностью и/ =

= А/к1/2. В случае приема НС Si(t) на фоне квазибелого шума п(() основные характеристики КСЗ в установившемся режиме описываются следующими соотношениями [5, 7]:

аТт T3/gpK; gpK

_ g2^A/k2 / A/m •

V1+2g

g22 _ gsn^l A/n / A/K2 ;

Литература

1. Соловьев Ю.А. Системы спутниковой навигации. М.: Эко-Трендз, 2000.

2. Волынкин А.И., Кудрявцев И.В., Мищенко И.Н. и др. Аппаратура потребителей СРНС «Навстар». // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. № 4,5.

3. Дятлов А.П., Володин А.В., Дятлов П.А. Радиоподавление

канала обнаружения навигационных сигналов в аппаратуре потребителя СРНС «Навстар» // Тр. VIII МНТК, «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2001.

4. Дятлов А.П., Володин А.В., Дятлов П.А. Радиоподавление

канала слежения за частотой навигационных сигналов в аппаратуре потребителя СРНС «Навстар» // Тр. IX МНТК «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2003.

5. Дятлов А.П., Володин А.В., Дятлов П.А. Радиоподавление

канала слежения за задержкой навигационных сигналов в аппаратуре потребителя СРНС «Навстар» // Радиотехника. 2004. № 8.

6. Савинков А.Ю., Фурсов С.В., Зимовец К.А. и др. Определение координат мобильного абонента в городских условиях. Мобильные системы. 2003. № 10.

7.Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь. М., 1979.

8. Дятлов А.П., Дятлов П.А., Кульбикаян БХ. Корреляци-

онно-фильтровая обработка ФМ сигналов на фоне аддитивной смеси квазибелого шума и сигналоподобных помех // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2004. № 4.

Ростовский государственный университет путей сообщения

25 июня 2004 г.

агпд _ с ат

УДК 531.383

ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА - ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ КОМПЛЕКСИРОВАННОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ

© 2004 г. В.А. Погорелов, К.Ю. Яковлев, В.В. Рыжов

Эффективность управления автономными высокоскоростными подвижными объектами (ПО) во многом определяется точностью работы бортового информационно-измерительного комплекса (ИК), который может быть построен с использованием гироста-билизированной платформы (ГСП), или бесплатформенной навигационной системы (БНС) [1 - 3].

Измерительные комплексы, содержащие в своем составе ГСП, в силу их высокой стоимости, находят применение только в ИК уникальных ПО, системы управления которых предъявляют высокие требования к точности определения параметров движения [2]. В то же время низкая стоимость БНС делает привлекательным их применение в широком классе ПО [2].

Однако ошибки измерений недорогих БНС увеличиваются пропорционально квадрату времени движения ПО, и при отсутствии дополнительной информации о параметрах его движения достигают недопустимо больших значений [3]. Таким образом, возникает задача коррекции показаний БНС. Она может быть осуществлена либо с помощью неинерциальных датчиков (баровысотомера (БВМ), указателя воздушной скорости и др.), либо от внешних навигационных систем, например, спутниковых (СНС) [4]. Очевидно, что применение СНС (имеющих требуемую точность определения параметров движения) в качестве системы коррекции приводит к потере автономности ПО, в то время как применение в ИК неинерциальных датчиков (имеющих значительно меньшую по сравнению с СНС точность) позволяет ее сохранить, что особенно важно для объектов, функционирующих в аварийных режимах эксплуатации и ПО военного назначения.

Высокая эффективность комплексирования показаний неинерциальных датчиков с показаниями БНС достигается в случае синтеза стохастического вектора состояния навигационной системы ПО в форме близкой к линейной. При этом любые допущения о характере движения ПО и распределении помех измерений приводят к значительному снижению точности навигации. Разрешить указанное противоречие оказывается возможным, если использовать параметры Родрига -Гамильтона для синтеза стохастического вектора состояния БНС. Преимущества использования параметров Родрига - Гамильтона широко раскрыты в [5]. Поэтому подчеркнем лишь то, что их применение позволяет синтезировать вектор состояния БНС в форме, близкой к линейной, а алгоритмы навигации, построенные на их основе, легко реализуются в бортовых вычислительных комплексах современных ПО.

Рассмотрим далее один из возможных способов использования параметров Родрига - Гамильтона для синтеза стохастического вектора состояния комплек-сированной навигационной системы ПО.

Введем в рассмотрение следующие правые системы координат (СК) [5]:

- инерциальную СК (ИСК) с началом в центре Земли,

- гринвичскую СК (ГрСК),

- сопровождающую СК (ССК) 0ХУ2, начало которой совпадает с центром масс ПО, а плоскость 0ХУ относительно оси 2 не вращается, т.е. юг = 0 ,

- приборную СК (ПСК) 0ху2, оси которой направлены по соответствующим осям чувствительности приборов, входящих в состав измерительного комплекса ПО.

Считаем, что в состав ИК входят три акселерометра, три датчика угловой скорости (ДУС), оси измерения которых ортогональны и совпадают с соответствующими осями ПСК, и БВМ, удовлетворяющий заданным требованиям по точности измерения в предполагаемом режиме функционирования объекта.

В качестве модели шумов измерений чувствительных элементов НС примем белый гауссовский шум (БГШ). Такой подход не накладывает принципи-

альных ограничении на решение поставленной задачи, поскольку, при необходимости, путем расширения вектора состояния за счет введения формирующих фильтров оказывается возможным получить из БГШ процесс с требуемым законом распределения.

Для синтеза вектора состояния БНС необходимо определить через его переменные текущую ориентацию ССК относительно ПСК. Для этого предварительно рассмотрим текущую ориентацию ПСК и ССК относительно ИСК.

Взаимная текущая ориентация ПСК относительно ИСК описывается известной системой кинематических уравнений [6]

х = 2 ф[х]ю ; (1

*1(0) = V х 2 (0) = х 20, Хз (0) = Хз0, х 4 (0) = х 40,

где ю = [юх ю7 mZ ] - вектор абсолютной угловой скорости ССК, проекции которого на оси ССК равны: ю^ = юХ0; ю7 = ю7() +Q cos ф ; fflZ = ^ sinф,

х = [х1 х2 хз х4 ] - вектор параметров Родрига -

— х 2 —хз —х 4

Гамильтона [6], Ф(Х) =

Xj Х 4 — Х з — X 4 Xj X 2 X з —X 2 Xj

кватер-

нионная матрица; ф - широта центра масс ПО, которая может быть выражена через параметры Родрига - Гамильтона следующим образом: ф = (-1)к агс8т2(Х1Х3 +Х0Х2) + кп, к = 0,^; ^ -скорость вращения Земли.

В свою очередь текущая ориентация трехгранника ПСК I относительно ИСК описывается вектором

ц = [ ц 2 ц3 ц4 ], записанным в параметрах Родри-га - Гамильтона:

М = -2 Ф(мОюp ;

Mi (0) = Min, М 2 (0) = М 20, Мз (0) = Мз0, М 4 (0) = М 40

(2)

где Ф(м) =

= [

— М 2 — Мз — М 4 М1 М 4 — М 3

— М 4 М1 М 2

М 3 — М 2 М1

кватернионная матри-

ца, ® p = L®x % ю z

- вектор абсолютной угловой

скорости вращения приборного трехгранника, который может быть получен по показаниям

= [ ] Г ДУС = юр + Wd, откуда

Юр = - Wd, (3)

где Wd = [[ Wy Wz ] - вектор аддитивных помех

измерения ДУСов, который может быть представлен в виде белого гауссовского вектор-шума (БГШ) с нулевым средним и матрицей интенсивностей Dd .

С учетом (3) угловое движение БНС (2) может быть представлено в векторном виде:

А = 1 Ф[А]( - W).

(4)

Для окончательного синтеза вектора состояния навигационной системы ПО необходимо представить в замкнутой форме правые части системы уравнений (1). Для этого первоначально рассмотрим возможность представления в форме Ланжевена проекций угловой скорости ССК юХд, ют0 , которое позволило

бы записать в дальнейшем уравнения вектора состояния НС в замкнутой форме.

Учтем, что проекции угловой скорости юХо, ют0

связаны с проекциями линейной скорости объекта Ух, Ут на соответствующие оси сопровождающей СК линейными соотношениями:

Ух = -®70 (г + к), Ут = юх0 (г + к), (5)

где г - радиус Земли, к - высота объекта над уровнем моря, которая может быть получена по показаниям БВМ

(6)

где Щк - помеха измерения, описываемая в общем случае стохастическим нелинейным дифференциальным уравнением не ниже 2-го порядка:

^ = /ко (г, Щ, , /) + Д (г, Wк, , Ы к1 ;

1Ук = = /к2 (г, Щк, , t) + /кз (г, Щк, , ^ к2, (7)

/к -, / = 0,3 - известные нелинейные функции, опре-

Ч = h + Wh:

деляемые типом прибора; Ъh =

Ъ h

Ъ h2

нормирован-

ный белый гауссовский вектор-шум.

Для определения искомых выражений проекций Ух и Ут обратимся к основному уравнению инерци-альной навигации [7, с.403]

a = I/ + (2Q, +ю0) V - g,

(8)

где а - ускорение, измеряемое акселерометрами в ССК, ю0 = [соXo a¡Y о] - вектор угловой скорости ССК, обусловленные движением ПО относительно Земли, V = [X VY VZ ] - вектор скорости центра масс ПО

относительно Земли, Qз = [о Q cos в' Q sin в'] -вектор угловой скорости вращения Земли в ССК,

g=

0 Q2(r + h)cos©'sin©' - Q2(r + h) cos2 ©' -

вектор ускорения силы тяжести, g0 = g(Я, ф, к) -гравитационное ускорение, в наиболее общем случае рассматриваемое как функция g 0 = g 0(к, ф, г) высоты к и широты ф , аппроксимируемая конечным рядом Лежандра.

Стохастическое выражение для вектора ускорения а может быть получено из выражения вектора выходных сигналов акселерометров 2а = [ 22 г3 ] в

следующем виде: 2а = а + Ща = Са + Ща или, учитывая, что Ст = С-1, в виде

а = Ст (га - Ща), (9)

где С[ц, X] =£>[ц]Вт[Х] - матрица направляющих косинусов в параметрах Родрига - Гамильтона, определяющая ориентацию ПСК относительно ССК, -матрица поворота 2-го рода в параметрах Родрига -Гамильтона [6], определяющая ориентацию ПСК относительно ИСК,

D[] =

1 - 2(А2 + А2) 2(^2 + АоАз) 2(^3 - А0А2) 2(^1^2 - АоАз) 1 - 2(Ai + Аз) 2(А2Аз +А0А1) 2(А,Аз + А0А2) 2(А2Аз - А0А1) 1 - 2(Ai + А2)

В=В[ ц ] - матрица 2-го рода в параметрах Родрига -Гамильтона, определяющая ориентацию ССК относительно ИСК, Ща = [[ Щ2 Щ3 ] - вектор помех акселерометров, который в общем случае может быть описан БГШ с нулевым математическим ожиданием и известной матрицей интенсивностей Ба .

Из первого и второго уравнений системы (8), с учетом (6) и (9), а также сделанных допущений об ориентации осей ССК получим стохастические выражения для Ух и Ут :

Ух = С(1) (га - Ща )+ 2^ -- (х + Ух (г + - Щк )-1) (г?к - /к0 - /к11к1) + gх;

^т = С(2)(га - Ща )- 2^гУх +

+ (х - Ут (г + ^ - Щк)-1)к - /к0 - /к1 ^) + gт (10)

где для компактного представления стохастического вектора состояния ПО через С^ (/ = 1,2) обозначена

/-я строка матрицы С .

Объединяя в единую систему уравнения (1), (4), (7) и (10), в окончательном виде получим стохастический вектор состояния БНС:

0

X = 1 Ф[Х]

(r + Zh - Wh )-

Vx

Vy

Zh fhn fh ^h

Q cos©' Q sin ©'

(X = 2 ФМ(( - Wd);

í>x = C0)( - W(a))+ 2QzVy - (2Qy + Vx(r + Zh - Wh}-1)x

x (zZh - fho)+^x + (y + К (r + Zh - Wh )ч ) ^; Vy = C(2)(a - Wa)-2QzVx + ( - Vy(r + Zh - Wh)-1)x x Z - fho) + & -(x - Vy (r + Zh - Wh )-1)) wWht = fho (Zh, Wh W, t) + fhi(Zh, Wh, Wht, t)^hi; Wh = fh2(Zh,Wh,Wht,t) + fh3(Zh,Wh,Wht,t)^h2 . Или в каноническом виде

Y = F(Y, t) + Fo(Y, t)Z ,

(11)

+

где 7 = [ Fx VrWhiWh2 - , Z = [[ W ^ -F (Y, t) =

" Vx " ' 0 1

(r + Zh - Wh )-1 Vy + Q cos 0'

Zh - fh0 Q sin 0'

2

-

C(1) + 2%Vy - ( + Vx (r + Zh - Wh r ) - fh0) + gx C(2)Za - 2&zVx + ( - Vy (r + Zh - Wh )-1) - fh0) + gY

fh0(Z ,Wh ,Wht, t) fh2(Z,WhW,t)

Fo(Y, t) =

" 1 1 0j"2" ф3<Х)[г + Zh - Wh ]-1 fh1 1 + 2Q sin 0' ¡0 1

1 П - Ф(Ц)|0

0 ¡C0)j [ + Vx [r + Zh - Wh ]-1 — 0

0 C(2) j [x + Vy [r + Zh - Wh\-1 - fh2 |0

0 f ! 0

_ 0 ; fh2

По окончании синтеза стохастических уравнений вектора состояния БНС в виде (11) с целью возможности последующего использования методов оптимальной фильтрации необходимо получить, следуя работе [7], уравнение наблюдения за вектором У, т.е. аналитическую модель информационно-измерительного сигнала, явно зависящую от одного или нескольких компонентов вектора У и позволяющую построить его апостериорную плотность в соответствии с известными в теории фильтрации подходами.

Используя третье уравнение системы (8) и выражения проекций параметров движения в ССК через выходные сигналы измерителей и их помех, получим уравнение наблюдения за вектором состояния У:

Z3 = C- (Zh - fh2 - ( - Vx (R + Zh - Wh)-1) V

C33

+ (x + Vy (R + Zh - Wh)-1 )Vy - gz - fh3lh2)-

C31 C32 C33 C33

W

W2

W3

- 1/C33A3 l h2-

Или в каноническом виде

Z 3 = H (Y, t) + H 0 (Y, t)

Wa

(12)

где H0 =

C31 C32 1 C33 C33

1/C33f*

н(У, /) = -С- (¿к - /н - (у - (Я + - wh)-1)х

С33

х (X + Уу (Я + - Wh)-1) - - /h3 ).

Для иллюстрации возможности практического использования такого подхода было рассмотрено численное моделирование движения БНС совместно с текущей оценкой навигационных параметров на временном интервале 0 - 10000 с при шаге /=0,001 с.

Значения характеристик помех измерительного комплекса выбирались в соответствии с существующими в настоящее время ДУС, БВМ и акселерометрами.

Оценка вектора состояния У производилась на основе использования обобщенного фильтра Калмана [9, с.187], выбор которого был обусловлен близостью синтезированного вектора состояния БНС к линейной форме, а следовательно, адекватностью гауссовской аппроксимации апостериорной плотности вероятно -сти стохастического вектора состояния исследуемой БНС.

По окончании временного интервала моделирования максимальные ошибки оценивания переменных вектора состояния составили: по вертикальной составляющей скорости движения ПО - 2 %, по высоте - 6 %, по углам ориентации - 0,1 %, по угловой скорости - 0,03 %.

Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о возможности эффективного практического использования предложенного подхода в реальных навигационных системах автономных ПО.

Литература

1. Петров Б.С. Вопросы теории инерциальных навигационных систем. М., 2003.

2. Ривкин С.С., Берман З.М., Окон И.М. Определение пара-

метров ориентации объекта бесплатформенной инерци-альной системой. СПб., 1996.

3. Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами. М., 2003.

4. Интегрированные инерциально-спутниковые системы навигации: Сб. статей и докл. / Под. редакцией В.Г. Пе-шехонова СПб., 2001.

5. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М., 1976.

6. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автономные системы. Киев, 1983.

7. Командно-измерительные приборы / Под. ред. Б.И. Назарова. М., 1975.

8. Хуторцев В. В., Соколов С.В., Шевчук П.С. Современные

принципы управления и фильтрации в стохастических системах. М., 2001.

9. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А.А. Красовского М., 1987.

Ростовский военный институт ракетных войск

24 марта 2004 г.

1

l

h

2