Применение оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

I. РАДЮЕЛЕКТРОН1КА

УДК 621.382.3

ПРИМЕНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ С ЧИСТЫМ

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В. И. Гостев, И. П. Лесовой, А. Е. Чуприн

Приведены формулы для оптимальных управляющих воздействий на объекты управления с чистым запаздыванием в системах управления с цифровыми регуляторами. Изложен расчет и представлены результаты математического моделирования системы автоматического управления с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором и объектом управления "водогрейный котел + отапливаемое здание".

Приведено формули для оптимальних керуючих впливгв на об'екти керування з чистим затзнюванням у системах керування з цифровими регуляторами. Викладено розрахунок i представлет результати математичного моделювання системи автоматичного керування з оптимальним за швидкодieю цифровим регулятором i об'ектом керування "водогршний котел + опалювальний будинок".

The formulas for optimum control actions on plants of control with a dead time in control systems with digital regulators are reduced. The calculation is explained and the results of mathematical modelling of an automatic control system with optimum on speed a digital regulator and plant of control " hot-water boiler + heated building " represented.

Линейные математические модели некоторых объектов управления могут содержать звено запаздывания с

передаточной функцией вида е-Тs . При проектировании системы управления с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором и объектом управления с чистым запаздыванием так, чтобы система "аппроксимировала" произвольное входное воздействие сигналом, который линейно изменяется на интервалах регулирования, необходимо определять оптимальные управляющие воздействия на объект управления. Эти воздействия для

объекта с передаточной функцией G (s) е-Т s можно найти, модифицируя полученные в работе [1] формулы для оптимальных управляющих воздействий на объект

управления с передаточной функцией G (s) следующим образом:

1. Интервал регулирования определить как tp = Nh + Т , где N - порядок передаточной функции

объекта управления, h - шаг квантования в цифровом регуляторе, Т - время запаздывания;

2. Вместо ошибки системы 9п в момент начала п -го интервала регулирования (в момент ntp) в формулы подставить величину 9п + тДо , где До = Оп - Оп _ ^ , Оп - первая разность входного воздействия на п -м интервале регулирования ntp < t < (п + 1)tp , Оп _ 1 -первая разность входного воздействия на (п _ 1) -м интервале регулирования (п _ 1)tp < t < ntp .

Формулы для оптимальных управляющих воздействий на объекты управления без звеньев запаздывания приведены в работе [1]. Например, на вход объекта управления с передаточной функцией

О(5) = а[5(5 + а)(^ + Ь)]-1 на п -м интервале регулирования необходимо подавать воздействия [1]:

т0 = К0(Ди + £0До) + ааЬоп _ 1 ; ntp < t < ntp + Н ;

ab

m1 = q1(AU + До) + h До] + — ои _ 1;

ntp + h < t < ntp + 2h ;

ab

m2 = ^0[ q2(AU + До) + h До( 1 + q1)] + — on _ 1

ntp + 2h < t < ntp + 3h

^0 =

ab

ah( 1 - A)(1 - B) a + b h(2 + q1)

= 3 h + -0 ab (1 - A)(1 - B)

q1 = -(A + B); q2 = AB ; A = e-ah ; B = e-bh

AU = 9n , где 9n - ошибка системы в момент начала n -

го интервала регулирования, т.е. ошибка системы в момент ntp . Интервал регулирования tp = ИН = 3Н ,

где N = 3 - порядок объекта; Н - шаг квантования; на

(п _ 1) -м интервале регулирования (п _ 1) tp < t < входное воздействие характеризуется первой разностью Оп _ 1 , на п -м интервале регулирования ntp< t<(п +1)tp

- первой разностью оп ; До = оп _ оп_ 1, п =0,1,2,...

На вход объекта управления с передаточной функцией О (^) = а е_т я[ ^ (^ + а)(я + Ь)]-1 необходимо, начиная с момента , подавать воздействия:

или разностным уравнением

ш, =

I шкДи1 _к _ Ди ^Ди1ш1 к

V к = 0

к = 1

/ди0

Структурная схема системы управления астатическим объектом, имеющим звено запаздывания, изображена на рис.1. Аналого-цифровой преобразователь АЦП в этой схеме имеет неравномерный шаг квантования.

ш0 = К0(Ди + тДо + £0До) + 0- о

п _ 1; п^ <t <п^ +И

аЬ

ш1 = К0[ д1 (Ди + тДо + £0До) + НДо] + — оп _ 1

м + И < t < м + 2 И

аЬ

Блок "^оценки СГ

о'п.о'п-! Да

АЦП

ш2 = К0 [ д2(Ди + тДо + До) + ИДо( 1 + д1)] + —оп _ 1 ; ntp + 2И < t < ntp + 3И .

шз = аоп _ 1 при ntp + 3И < t < Мр + 3И + т . tp = N + т .

Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntp< t< ntp+NИ интервала регулирования

ntp < t<(п+1)tp можно описать передаточной функцией

Щ( 2) = МЕ) = Ш 0 + Ш 1 2_ 1 + Ш2 2 _2

2 е (2 ) Д и( 1 + 2_ 1 + 2_2 ) или разностным уравнением

Фиксатор Объект (ЦАП) управления

Цифровой регулятор

^ВД

0(э)е"

х(1)

Рисунок 1

В качестве примера рассмотрим систему автоматического управления (см. рис.1), объект управления в - которой имеет передаточную функцию

а _т я 10

О0( я) =

я (я + Ь) я (я + 1)

е 02я и основной шаг

квантования в регуляторе И =0,4. Тогда tp = NИ + т =1. На вход объекта необходимо, начиная с момента ntp , подавать воздействия:

ш0 = К0(Ди + тДо + £0До) + аоп _ 1 ; п < t < п + 0, 4 ;

I Шкег _ к_ Ди I

ш

г _ к

V к = 0

к = 1

/Ди,

ш1 = К0[ ^1(Ди + тДо + £0До) + И До] + аоп _ 1 ; п + 0, 4 < t < п + 0, 8;

где е = Ди при индексе г _ к > 0 и е = 0, ш = 0 при индексе г_ к < 0 .

Если обозначить Ди; ошибку системы в моменты ¡И ,

г =0,1,2, на интервале регулирования tp (Ди0 - ошибка системы в момент ntp , Д^ - ошибка системы в момент + И, Ди2 - ошибка системы в момент p 2

ntp + 2И ), то цифровой регулятор на каждом подинтер-вале ntp < t < ntp + NИ интервала регулирования

ntp < t <( п + 1) tp функцией

передаточной

Щ( 2) = МЕ) = ш 0 + ш 12_ 1 + ш2 2_2 е( 2) Ди0 + Ди1г_1 + Ди2 г_2

Ш2 = аоп _ 1 при п + 0, 8 < t < п + 1 ,

где К0 = —ЬЬ-; = 2 И + 1 _ ; ^ = _В ;

0 а И (1 _ В) 0 Ь 1 _ В 1

В = е_ЬИ .

Пусть входное воздействие и (t) на каждом интервале регулирования аппроксимируется линейно изменяющимся сигналом. Рассмотрим три первых интервала регулирования [0,1,2], на которых входной сигнал характеризуется первыми разностями: о0 = 1 ( До = 1 );

о1 = 1 (До = 1 ); о2 = 0 (До = _2 ) и Ди0 = 4 .

Отработка системой входного воздействия на трех первых интервалах регулирования показана на рис.2.

шг =

можно

Рисунок 2

Для статических объектов управления блок оценки о не нужен и структурная схема системы управления статическим объектом, имеющим звено запаздывания, упрощается. Например, на вход статического объекта с

передаточной функцией G(s) = ae-Ts[(s + a)(s + b)]-1

необходимо, начиная с момента ntp, подавать

воздействия:

m0 = K09n + ab9n -1; ntp < t < ntp + h ;

m1 = K0q19n + ab9n - 1; ntp + h < t < ntp + 2h ;

m2 = — 0 1 при nt + 2h < t < nt + 2h + Т .

2 a n -1 p p

tp = Nh + Т .

k =_abb_

0 a (1 - A ) ( I - B )

; q1 = 1 - A - B ; A = e B = e-bh .

— „-ah .

Рассмотрим систему управления водогрейным котлом с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором.

В настоящее время системы управления отечественных водогрейных котлов малой и средней мощности, в основном, построены на основе термостатов. Данные системы отличаются простотой, дешевизной и надежностью, однако обладают всеми недостатками присущими релейным системам управления. Ниже изложен расчет оптимального по быстродействию цифрового регулятора для общего объекта управления "водогрейный котел + отапливаемое здание".

Типовое уравнение теплопередачи между внутренним воздухом здания и окружающей средой имеет вид:

Q = kA(9b - 9a) + Mcdt(9B - 9a),

где Q - тепло, передаваемое внутреннему воздуху за одну секунду, Дж/с; k - общий коэффициент теплопе-

редачи ограждающих конструкций здания, нелинейно зависящий от соотношения температур, Дж/м2/с/° С; A - граничная поверхность, нормальная к потоку тепла (площадь наружной поверхности здания), м2; M - масса внутреннего воздуха, кг; c - удельная массовая теплоемкость внутреннего воздуха, Дж/кг/° С; 9A - температура окружающей среды, ° С; 9^ -температура внутреннего воздуха, ° С. Отметим, что мощность котла в 1кВт соответствует теплу 0,2388 ккал/с или 1000 Дж/с. Величина, обратная произведению kA , называется термодинамическим сопротивлением (kA = 1 /R ).

Выражение kA(9в _ 9A) описывает тепловые потери

здания в окружающую среду. Выражение Mc-d(9R _ 9^)

d t и

описывает тепло, аккумулирующееся во внутреннем воздухе здания и обусловленное изменением его температуры. Уравнение теплопередачи справедливо для малых возмущений, когда можно считать, что зависящий от температуры коэффициент k является постоянной величиной. Кроме того, предполагается, что окружающая среда обладает бесконечно большой массой и что потери тепла зданием не повышают температуру окружающей среды.

На основании уравнения теплопередачи термодинамическую модель здания можно представить в виде структурной схемы объекта управления (см. рис.3). Вход объекта - тепло, передаваемое внутреннему воздуху Q , выход объекта - температура внутреннего воздуха 9в, внешнее возмущающее воздействие - температура окружающей среды 9A . Возмущающее воздействие можно представить в виде 9A = 90 + 91 зт юt, где 90 -средняя внешняя температура, 91 - амплитуда суточных изменений внешней температуры, ю = 2п/(24 х 3600) 1/с. 9уст - требуемая внутренняя температура (уставка). Отметим, что термодинамические свойства реальных зданий нелинейны и изменяются как со временем, так и с изменением погодных условий, поэтому модель только приближенно описывает реальный объект.

При сгорании топлива Gт (природного газа) количество выделяемой теплоты описывается выражением Gт = qmт, где q = 4, 4 • 107 Дж/кг - теплота сгорания природного газа, mт - масса поступающего топлива. Если железный котел массой mк кг наполнен водой массой mв кг и вода (вместе с котлом) нагревается на

еp ° С то °Т = ш = 01 + ^2 = сжшКеp + cвшвеp , где Сж=460 Дж/кг/ ° С - удельная теплоемкость железа, Св =4200 Дж/кг/ ° С - удельная теплоемкость воды, 01 Дж - количество теплоты, полученное котлом, ^2 Дж - количество теплоты, полученное водой.

Я

я = Я Я /(Я + Я )

стен окон7 ^ стен окон' ,

, Я

стены у а ' окна у а '

стены а стены окнаАокна

Аокон пИокна^окна ,

Астен = 2Изд(1 + ™) + 2^с°8(арад'/2) + ™ ^арад_Аокон ,

р - плотность воздуха на уровне моря (1,225кг/м3). Расчет проведем для следующих конкретных данных. Здание имеет длину I=30м, ширину w=10м и высоту

И„=4м. Размеры окон: Иок„„ = wок„=1м. Количество зд окна окна

40

Рисунок 3

Водогрейный котел описывается апериодическим звеном с передаточной функцией Овк(я) = КвкЛ Твкя + 1) , в которой коэффициент передачи Квк равен максимальной мощности котла РтахкВт. Подача топлива От регулируется автоматическим клапаном АК (см. рис.3). Выходная мощность котла шРтах, где ш - степень открытия клапана (от 0 до 1). Транспортная задержка на т секунд описывается передаточной функцией е_тя .

Для регулирования выходной мощностью котла применим оптимальный по быстродействию цифровой регулятор. В блок регулятора входят АЦП, собственно регулятор, ЦАП (фиксатор нулевого порядка с

передаточной функцией Н(я)) и клапан АК с устройством его регулировки.

Рассмотрим систему водяного отопления одноэтажного здания площадью 300м2, работающую от водогрейного котла мощностью 30кВт с модулирующей горелкой.

Здание описывается необходимыми теплоизоляционными и геометрическими параметрами: длиной, шириной и высотой здания, размерами и количеством окон, формой крыши, теплопроводностью и толщиной материала стен, окон, крыши. По этим параметрам вычисляются требующиеся для термодинамической модели величины М и К. Формулы для расчета следующие:

М = ^(^арад + Изд)Р ,

окон п =6. Крышный угол а =40° , = -рад.

рад 180/п

Коэффициент теплопроводности и толщина материала: Устены=0,038Дж/м/с/К и § стены =0,2м, Уокна = =0,78Дж/м/с/К и §окна =0,01м ^крыши = Устены и ^крыши = §стены. По этим параметрам получаем

следующие требующиеся для термодинамической модели объекта управления величины М и К (размерности указаны выше): М=1778,4; К=0,0015. Другие параметры модели заданы следующими: с=1005,4; Ртах=30;

т =100; е1=5; еуст=20; Твк =300.

Рассматривая в качестве выходной величины объекта управления разность между внутренней и внешней температурами ев(0 _ е^(0 и принимая в качестве

уставки температуру еуст _ е^(t) , преобразуем структурную схему рис.3 в схему, приведенную на рис.4. Объект управления в этой схеме описывается апериодическим звеном с передаточной функцией

О(я) = а/(я + Ь), в которой

11

а = — ; Ь = -

МС МСЯ

При указанных параметрах МсЯ = 2682с = 44, 7мин.

АЦП

Рисунок 4

При моделировании опишем динамику апериодического звена (здания), используя аппроксимацию по формуле трапеций [1]:

2 _ ЬН0 аН0

Ч - 9Av = 2ГЬН(Ч_ 1_ 9Av_ 1) + ^(^ _ 1) .

0

0

Временной параметр V меняется через шаг моделирования Н0 = 0, 02Н , где Н - шаг квантования в АЦП и ЦАП. Примем Н =300с, тогда Н0=6с.

Динамику водогрейного котла при моделировании также опишем, используя формулу трапеций:

2 _ ЬН

0

КВК Н0

^ = 2+ьн0 ^ _ 1+ ТВК • 2ГЬН(^ + ^ _ 1)

Передаточную функцию общего объекта управления можно записать в виде

В = е_ЬН .

Численные значения параметров: Л=0,36788; 5=0,89417;

q1 = _0, 26205; — = —; К0 =0,33218; t =700. 1 а0 45 0 р

Результаты исследования системы автоматического управления (см. рис.3 и 4) путем математического моделирования представлены на рис.5, 6 и 7. Во всех случаях требуемая температура внутреннего воздуха здания 9уст задавалась равной 20° С, амплитуда суточных изменений внешней температуры 91 задавалась равной 5 ° С, а средняя внешняя температура 90 принималась равной +5 ° С, 0° С, -5 ° С. Закон суточных изменений внешней температуры принимался синусоидальным: 9A(0 = 90 + 5зт[2п24 х 3600)] .

О0( 5) =

а

^ (5 + а)(5 + Ь)

аКВК _ Ршах

МсТт,

где а = 1/ ТВК; а0 =

ТВК МСТВК Коэффициент передачи общего объекта управления в установившемся режиме

а0

Куст = аь = Ршах •R = 45

Поэтому требуемая уставка в автоматическом клапане определяется как

m.

= 9уст 90 = 9 уст 9 0

уст К 45

уст

Рисунок 5

Оптимальные управляющие воздействия на общий объект управления:

^ = К0 9п + ао 9п _ 1 + ^ст; шр < t < шр + Н

ml = К0 ql 9п + аЬ 9п _ 1 + шр +Н <t < шр +2 Н

m2 = — 9„ 1 + mуст при п^ + 2Н < t < пг + 2Н + т . 2 а0 п _1 у р р

tp = ИН + т .

К0 =

аЬ

а0 (1 _ A)(1 _ В)

= „_аН .

; q1 = 1 _ A _ В ; A = е

0.0

—х

/ 90= 0°С \ /

20000 40000\ 60000 80000

1.0 -0.5 -0.0 -0.5 -1.0 -I

0(0

20000 — ^ШООО 60000 80000 ^

Рисунок 6

Л. M. Карпуков, С. H. Романенко, А. С. Романенко: СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МИКРОСХЕМ СВЧ (SAMIS)

Рисунок 7

Ошибка системы е(0 = еуст _ ев(t) показывает

отличие температуры внутреннего воздуха здания ев(О

от требуемой еуст=20° С. Во всех случаях максимальная

ошибка не превышает 1 ° С. Время наблюдения 90000 с.

Начальный участок (время наблюдения 3000 с) графика ошибки (см. рис.6) приведен на рис.8, где изображены также управляющее воздействие ш(^ и изменение внутренней температуры здания ев(0 при

е0=0 ° С.

Рисунок 8

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Гостев В,И,, Стеклов В.К. Системы автоматического управления с цифровыми регуляторами: Справочник. - К.: "Радюаматор", 1998. - 704 с.

УДК 681.3.06:621.372.85

СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МИКРОСХЕМ

СВЧ (SAMIS)

Л. М. Карпуков, С. Н. Романенко, А. С. Романенко

Рассмотрены принципы построения и состав интерактивной графической системы, предназначенной для моделирования микросхем СВЧ, реализуемых на микрополосковых и щелевых линиях. Дано описание функциональных возможностей системы на этапах схемотехнического и топологического проектирования.

Розглянуто принципи побудови i состав гнтерактивног графгчног системи, яка використовуеться для моделювання мжросхем НВЧ, що реалiзуються на мiкросмужкових i щiлинних лiнiях. Надано опис функщональних можливостей системи на етапах схемотехтчного та топологiчного проектування.

The principles of construction and structure of interactive graphic system intended for modelling of microcircuits of a microwave, sold on micristrip and slot lines are considered. The

description of functional capabilities of system at stages of schematic and topological design is given.

ВВЕДЕНИЕ

Развитие и совершенствование методов и средств автоматизации проектно-исследовательских работ на базе персональных ЭВМ представляет собой актуальную задачу, решение которой способствует массовому внедрению современных информационных и вычислительных технологий в науку, технику и образование.

Рассматриваемая учебно-исследовательская система SAMIS предназначена для моделирования микросхем СВЧ, реализуемых на микрополосковых (МПЛ) и