Применение непрерывных динамических аналогов итерационных вычислительных схем для уравнивания геодезических построений негауссовскими способами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.16

ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГОВ ИТЕРАЦИОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНИВАНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ НЕГАУССОВСКИМИ СПОСОБАМИ

А.М. Дегтярев

Полоцкий государственный Polotsk state university,

университет, Беларусь, Belorussia,

г. Новополоцк Novopolotsk

На основе предложенного автором метода непрерывных динамических аналогов для квадратичной целевой функции рассматривается возможность его использования и для негауссовского оценивания результатов измерений в геодезических сетях с целью более гибкого использования процедуры уравнивания при наличии значимых искажающих факторов. В целях дискуссии рассмотрены перспективы развития уравнительных вычислений и программных продуктов для уравнительных вычислений.

Ключевые слова: негауссовские алгоритмы оценивания, матрица псевдовесов, уравнение геодезических построений, невязка

On the base of the method of continued dynamic analogues for quadratic objective proposed by the author, this article considers the possibility of its using also for non-Gaussian evaluation the results of the measurements in the geodesic nets with the aim of better using of the equalization procedure when there are meaningful distorting factors. For the aims of discussion the perspectives of development of compensation computations and software products for them are studied.

Keywords: non-Gaussian algorithms of evaluation, matrix of pseudoscales, the equation of geodetic constructions, misalignment.

Непрерывные динамические аналоги были введены для уравнительных вычислений параметрическим способом в схеме Гаусса-Маркова[2, 3]. Но множество исследований закона распределения результатов геодезических измерений показывает, что нередко бывают случаи, когда он отличается от нормального на величину, пренебречь которой нельзя без существенного ущерба для результатов оценивания. Такие случаи чаще всего возникают при серьёзном нарушении условий центральной предельной теоремы Ляпунова, а именно, при резкой неоднородности результатов измерений, их небольшом количестве и их коррелированности. Таким образом, ошибки измерений могут подчиняться негауссовскому закону распределения или из-за того, что для нормально Распределенных результатов измерений достаточно сильно нарушаются условия теоремы Ляпунова (условия Гаусса-Маркова), или из-за того, что он действительно негауссовский. Кроме этого, очень часто из-за небольшого числа измерений просто невозможно достоверно определить закон распределения. В этом случае, возможно более целесообразно для уравнительных вычислений использовать негауссовские алгоритмы оценивания результатов измерений.

Оценки, получаемые при использовании алгоритмов, основанных на не

нормальных законах распределения (негауссовские алгоритмы оценивания), можно условно разделить на две группы:

Алгоритмы, непосредственно получаемые из индивидуального закона распределения, полученного в результате исследований, например, на основе метода максимального правдоподобия, через, генерируемую законом распределения, целевую функцию.

Алгоритмы, корректирующие, полученные ранее,МНК-оценки посредством введения матрицы-корректора (матрицы псевдовесов) по определенному правилу.

Как для первой, так и для второй группы алгоритмов, не существует прямых методов решения задачи, а только итерационные. Поэтому, естественно, желание использовать преимущества и достоинства непрерывных аналогов итерационных вычислительных схем для оценки результатов измерений, распределение ошибок которых, по результатам предварительных исследований, существенно отличается от нормального.

Непрерывные динамические аналоги (НДА-алгоритмы) итерационных схем основаны на доказанных в [1]теоремах о существовании непрерывных погружений при решении нелинейных функциональных уравнений итерационными методами, трактовке совокупности шагов итерационного способа как механического движения по определенному закону в поле консервативныхсил, потенциальная энергия которого полностью описывается видом целевой (минимизируемой) функции Ф(х) [2], [6]. Так как производная функции Ф(х) может иметь нелинейный вид, и, следовательно, не решается прямыми методами, использование НДА-алгоритмов позволяет просто разрешить проблему неоднозначности в нахождении минимума, потому как из-за наличия члена со второй производной в алгоритме, локальные минимумы игнорируются. Не возникает также проблема плохой обусловленности, т.к. можно обойтись без использования матрицы Якоби (аналог матрицы уравнений поправок или условных уравнений при традиционном подходе), или матрицы Гессе (аналог матрицы нормальных уравнений, но только для МНК-оценок). Кроме того, алгоритм устойчив, легко реализуем на ЭВМ, допускает разного рода коррекции, а потому гибок в использовании, допускает глобальный анализ поля решений.

Рассмотрим наиболее общий вид уравнения движения [2]:

т • х + ё • х + и • х = -УФ(х). (1)

где ё - численная характеристика (число или матрица) демфирующей (мешающей) силы, например, силы трения;

и - численная характеристика (число или матрица) какой-либо управляющей (корректирующей) силы;

-УФ(х) - антиградиент минимизируемой функции, характеризующий потенциальную энергию пространства движения Г.

По названию слагаемых (инерционное (И), демфирующее (Д), управляющее (У)) формулу (1) можно назвать ИДУ-схемой для поля консервативных сил. [3]Таким образом, для негауссовского алгоритма использования (1) необходимо в зависимости от предварительных исследований достаточно корректно установить вид минимизируемой функции Ф(х).

Для этого рассмотрим некоторые варианты негауссовскихминимизируемых функций. Одни из них, называемые неквадратическимиминимизируемыми функциями, в большинстве своем достаточно хорошо описываются классом экспоненциальных

распределений с плотностью вида. [4]

p(x) =

а

Х =

2ХаГ(1/ а)

Г(1 а)

Г(3/ а)'

• exp

f х - МО(х) а Л

V ^а /

(2)

где а, МО(х) - стандарт и математическое ожидание распределения;

Г(у) - гамма-функция Эйлера;

а - некоторая характерная для данного распределения постоянная.

Такое представления для класса симметричных распределений впервые было предложено в 1965 году И. А. Назаровым и Gentleman W. M. Модель интересна тем, что единственным параметром, характеризующем ее форму, а следовательно, и свойства, является показатель степени а,, через который также выражается и эксцесс распределения:

Е_Г(1/а) Г(5/а) _}2 Г(5/а)

(Г(3/а))2

Г(3/ а)

(3)

Кроме того, для интервала 1 < а < 2, вычислительные алгоритмы, полученные на основе таких распределений, называются робастными (помехоустойчивыми), а их целевые функции (функции потерь) могут иметь вид, не генерируемый семейством экспоненциальных распределений (2).

Заметим, что в своей основе эти алгоритмы ведут себя как квадратичные в окрестности, где невязка равна нулю, а на «хвостах» - как линейные или другого вида, скорость роста которых падает, и в пределе равна нулю.

Алгоритмы, основанные на таких распределениях, относятся к первому классу в предложенной классификации, но могут в процессе реализации быть сведены и к второму классу, путем подбора соответствующей матрицы псевдовесов.

Ещё один представитель второго класса алгоритмов может быть получен используя в качестве основной формулы закона распределения многомерной величины представление в виде ряда Грамма-Шарлье с ненулевыми значениями асимметрии^, эксцесса Е. После некоторых преобразований для многомерной величины ряд будет иметь вид:

Р(х) =

а л 122%

• exp

с , \2Л ✓

_ 1 ^fх-МО(х)лМ '

2 ^ I а

1 - A • (х3 + х) + — • (х4 + 4х2 +1) 6 24

(4)

Имея среднюю-квадратическую ошибку определения асимметрии и эксцесса не сложно рассчитать разность частот попадания в интервал, которой пренебрегать уже нельзя. Обозначим последний сомножитель в (4) через^:

K =

A

E

1 - — • (х3 + х) +--(х4 + 4х2 +1)

6 24 .

(5)

n

n

n

Тогда формулу (4) можно переписать как

1

ч П

( 1 п ^

p(x) = ) ■ ехр--'Е(x-MO(x))2 • W

w =1п(к)

™ а2 ■

(6)

Здесь Ж является корректором (псевдовесом), позволяющим использовать для получения алгоритма оценивания самой простой формы - формы метода наименьших квадратов.

При уравнительных вычислениях в геодезии МНК-форма также используется для получения Ьр-оценок на основе (2) и (3) в виде

X= (Ат ■ С ■ А)-1 ■ Ат ■ С ■ 1,

С = у?-2 ® Е.

где С- матрица-корректор (псевдовес), являющаяся функцией от величин поправок в измерения VI,;

а- показатель степени в (2);

® - символ произведения Катри-Рао;

Е - единичная матрица.

Вид (6) может применяться и для робастных процедур, но в качестве матрицы псевдовесов используется величина:

^ = > 0, (7)

у1

где ц'^) - производная робастной функции потерь, например, функции Хьюбера, Эндрюса, Тьюкии др. [5]

С другой стороны, ввод матрицы псевдовесов для задачи оценивания результатов измерений можно трактовать как уравнивание геодезических построений с учетом ошибок исходных данных. Известно несколько подходов при реализации этого процесса, предложенный Христовым-Коугия, 1965 г., и предложенный Маркузе Ю.И. 1972 г. [4] Формулы, реализующие алгоритмы, легко трансформируются друг в друга посредством леммы Фробениуса об обращении композиции матриц, что и было сделано Мицкевичем В.И., обобщившим оба подхода, сведя их к обычной теореме о переносе ошибок со своей матрицей преобразования Е.

Далее, используя известное соотношение Хьюбера [5] связи закона распределения, например в виде (2), или (4) с целевой функцией, находим вид Ф(х)минимизируемой функции и УФ(х) - антиградиент минимизируемой функции для (1). Решение системы (1) производим, например, по алгоритму [3],получая искомые оптимальные оценки с учетом заложенных условий. Очевидно, что программная реализация предложенного алгоритма негауссовского оценивания результатов геодезических измерений не сложна, но гибка из-за использования матрицы псевдовесов и вбирает в себя все достоинства оценок на основе непрерывных

динамических аналогов.

Следует обратить внимание, что уравнительные вычисления с развитием вычислительной и измерительной техники в последнее время достаточно изменились и приобрели определенные проблемы. К ним можно отнести большую разнородность по виду и качеству используемых измерений и проблему корректного учета весов в этой ситуации; проявление ранее не учитываемых, но теперь влияющих систематических и псевдосистематических погрешностей и, соответственно, эффективные меры борьбы с ними; закон распределения сильно разнородных измерений; высокая точность измерений, при которой они часто превосходят по качеству те измерения, по которым вычислялись исходные пункты. Очевидно, что это только некоторые возникшие проблемы, исследование которых ещё впереди.

Есть ещё два нюанса, которые, по мнению автора, могут существенно преобразовать уравнительные вычисления. Первый из них, это возможность проводить измерения с таким запасом точности, чтобы при округлении до нужной точности невязка в построении не возникала. Преимущества очевидны - не портим измерения степень нашего незнания об их поведении. Недостатки: проведение измерений по технологии полигонометрии для получения точности теодолитного хода (условно), но без уравнивания накладно, а выполнение хорошими измерительными средствами измерений по схеме теодолитного хода (на вешку, небольшие расстояния и т.д.) не дает необходимого повышения точности, чтобы невязка отсутствовала. Второй нюанс связан с сетью постоянно действующих станций, например как в Швеции, 2 области Беларуси. Здесь, подключившись к услуге, в режиме реального времени, задав требуемую точность определения положения точки, устанавливают GNSS приемник и ждут. Таким образом, получают координаты, в принципе, с заданной точностью и никакой задачи уравнивания не возникает вообще.

Таким образом, можно выделить следующие подходы к обработке:

1. Внедрение новых, более гибких методов обработки, например, как предложенный выше.

2. Разработать алгоритм предрасчета и методики измерений, при котором невязка пренебрежима, и уравнивание не целесообразно.

3. Использование сети постоянно действующих станций, когда обработка сводится, если это необходимо, к вычислению погрешностей функций от полученных координат.

В связи с этим было бы целесообразно развернуть дискуссию специалистов на страницах журнала по рассмотренным проблемам и, вероятнее всего, ряду других смежных, о перспективах уравнительных вычислений, их необходимости сейчас вообще и выработке каких-либо общих рекомендаций по использованию, или не использованию процедуры уравнивания и в каком виде.

Хотелось бы также отметить, что анализ некоторых русскоязычных программных продуктов по уравниванию геодезических построений показывает нашу монолитную неизменность с 70-тых годов. Например, в таких программах как CREDO, RGS не выполняется глобальный тест дисперсии единицы веса, грубые погрешности выявляются на основе ^-нормы (CREDO) не вовлекая статистические аспекты процедуры, вообще не используется анализ внутренней и внешней надежности по Baarda. Между тем, во всех иностранных программах, таких как Columbus, Panda, Geoida, Adjust, Hanna, частично LGO и TBC все эти процедуры реализованы. Зачем нам это? Для адекватного и эффективного оценивания результатов измерений. Невыполнение глобального теста сразу говорит, что в сети есть значимые искажающие факторыбез выяснения их природы. Это может быть неверное задание весов, что может

привести к тому, что поправки в измерения будут больше невязок при «правильном» уравнивании. Локальный тест на грубые погрешности (W-тест, тау-тест, datasnooping) говорит что измерение (и не одно) грубое, примерно, с вероятностью ß. Внутренняя надежность выявляет минимальное значение грубой погрешности в сети данной конфигурации, меньше которой статистическими тестами ничего выявить не возможно, а внешняя надежность показывает влияние этой минимально невыявленной погрешности на уравненные измерения и параметры.Локальная избыточность показывает зоны, которые в сетимаксимально или минимально восприимчивы кразного рода искажениям. Что плохого, чтобы знать все это и получить (автор не очень обольщается, есть масса нюансов и особенностей при использовании этих подходов) все же более надежные и адекватные результаты обработки, или, хотя бы, иметь представление, где и что может случиться. Реализоватьвсе эти алгоритмытрудности не представляет, все формулы адаптированыдля программирования параметрическим способом уравнивания и нашей отечественной модели уравнивания, используются в учебном процессе на геодезическом факультете Полоцкого государственного университета.

Литература

1. Гавурин М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. / М. К. Гавурин // Известия вузов. Математика, 1958. - №5(6). - С. 18-31.

2. Дегтярев A.M. Возможность использования непрерывных динамических аналогов в уравнительных вычислениях геодезии. A.M. Дегтярев Материалы республиканской конференции «Геодезия, картография и кадастры», 15-17 мая 1996 г. - Новополоцк: 1996. - С. 3-6.

3. Дегтярев A.M. Использование непрерывных динамических аналогов итерационных вычислительных схем для уравнивания геодезических построений параметрическим способом. Инженерная геодезия. Межведомственный сборник. - Ростов-на-Дону: 1998. С. 6-12.

4. Маркузе Ю.И., Бойко Е.Г., Голубев В.В. Геодезия. Вычисление и уравнивание геодезических сетей. - М.: «Картгеоцентр - Геодезиздат», 1994. - 431 с.

5. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П. Робастность в статистике. - М.: «Мир», 1989. - 512 с.

6. Snyman J. A. A new and dynamic method for unconstrained minimization. Appl. Math. Modelling, 1982, Vol. 6, December, p. 449-461.

Дегтярев Александр Михайлович - к.т.н., доцент, кафедра Геодезии и кадастров Полоцкого государственного университета (Беларусь). E-mail: [email protected]

Degtyarev Alexander M.- candidate of Technical sciences, associate professor, department of Geodesy and cadastres of Polotsk state university (Belorussia). E-mail: [email protected]