CC BY
451
Hs2(14) 2008
О. С. Бессонова
Применение модели оценки финансовых активов (CAPM) для прогнозирования доходности акций телекоммуникационных компаний
При всей важности ожидаемой доходности оценить ее бывает нелегко, и способов ее определения существует довольно много. В основном все они отличаются за счет используемых факторов. В статье подробно рассмотрен один из вариантов определения доходности — однофакторная модель оценки финансовых активов CAPM. Также показано, каким образом модель может быть применена к условиям российского рынка на примере анализа акций телекоммуникационных компаний.
1. Модель оценки финансовых активов CAPM
Одна из главных проблем, с которой можно столкнуться при оценке стоимости активов, состоит в определении зависимости между риском и доходностью. Рыночная закономерность «чем выше риск, тем выше доходность» не вызывает никаких сомнений. При этом у каждого инвестора формируются свои собственные прогнозы относительно отмеченных параметров. Однако рынок склонен постоянно двигаться в направлении определенной равновесной оценки риска и доходности активов. В условиях хорошо развитого рынка новая информация находит быстрое отражение в курсовой стоимости активов, поэтому для таких условий можно разработать модель, которая бы удовлетворительно описывала взаимосвязь между риском и доходностью активов. Такая модель была разработана в середине 60-х гг. прошлого века У. Шарпом и Дж. Линтерном и получила название оценки стоимости финансовых активов (capital asset pricing model — CAPM).
Модель однофакторная, ключевым фактором в ней является риск.
Существует два варианта представления модели: ценовой и в терминах доходности. В работе рассматривается второй вариант:
Е[~] = г + Е[ГтГ ^„и
Var[rm ]
где E]— равновесная доходность анализируемого актива;
E[~Г ] — ожидаемая доходность рыночного портфеля; Var[rm ] — его риск; г( — безрисковая ставка; Cov[7¡,7т ]— ковариация доходности актива и рыночной доходности.
Модель применяется при ряде ограничений:
1. Рынок является эффективным.
2. Активы ликвидны и делимы.
3. Отсутствуют налоги, банкротства (в одном из разделов работы в модель будут включены подоходный налог и налог на дивиденды).
4. Все инвесторы имеют одинаковые ожидания, действуют рационально, стремясь максимизировать свою полезность, имеют возможность брать кредит и предоставлять средства под ставку без риска.
5. Рассматривается один временной период.
6. Доходность является только функцией риска.
7. Изменения цен активов не зависят от существовавших в прошлом уровней цен.
№2(14) 2008
2. Коэффициент |3 модели
Особое внимание надо уделить коэффициенту р модели, характеризующему чувствительность актива к изменениям на рынке. Коэффициентом р модели САРМ называется отношение:
1 ОСУ[Х1 ]
Ц УагХ ] '
э
^ Этот коэффициент используется для из-| мерения рыночного риска и зависимости § между доходностью актива и доходностью рынка. Доходность рынка — это доходность рыночного портфеля (поскольку сформи-| ровать портфель, в которой бы входили все <ц финансовые активы, невозможно, то в каК честве него принимается какой-либо ин-1 декс с широкой базой). та Акции, для которых р = 1, движутся обыч-£ но вровень с рынком акций; акции с р = 1,5 § при спаде или подъеме изменяются на 1,5 | процентного пункта на каждый процентный ^ пункт изменения рынка в целом. Компании, | у которых р > 1,5, ведут агрессивную игру на § фондовом рынке. Если рынок растет, эти | акции растут еще быстрее; на рынке «медЕ ведей» они обычно падают больше, чем ак-& ции в среднем. Для некоторых акций р < 0,5, || а акции этих компаний проводят оборони-^ тельную стратегию, не очень-то выигрыва-% ют в случае рынка «быков», но зато малоте-^ ряют в случае падения рынка. Для большин-| ства компаний коэффициент р равен сред-^ ней величине — 1.
§ Если актив переоценен рынком, уровень | его доходности ниже, чем актив с аналогично ной характеристикой риска; если недооце-■Ц нен, то выше. Показатель, который говорит | о величине переоценки или недооценки ак-& тива рынком, называется коэффициентом 1 а. Он представляет собой разность между действительной ожидаемой доходностью § актива и равновесной ожидаемой доходностью, т.е. доходностью, которую требует ^ рынок для данного уровня риска, и опреде-
I ляется по формуле: с?
а, = г - Е(г),
4
где г, — действительная ожидаемая доходность актива;
Е(г) — равновесная ожидаемая доходность.
Доходность актива в этом случае можно записать как:
г, = г, +р, [Е( гт) - г, ] + а,, а, = (г, - г,)-р, [Е(гт) - г,].
3. Параметры модели для российского рынка
Прежде чем применить модель САРМ для анализа российского рынка, необходимо решить ряд вопросов:
1) какая ставка может выступать в качестве безрисковой;
2) как определить рыночный уровень доходности, что наиболее адекватно будет его выражать;
3) какие активы имеет смысл анализировать с помощью САРМ.
Отвечая на первый вопрос, нельзя забывать, что абсолютно исключить риск невозможно, иначе можно было бы составить идеально диверсифицированный безрисковый портфель. Даже на развитых европейских рынках не существует ни одного инструмента, отвечающего таким требованиям. Если говорить о рынке в России, то здесь риск, причем достаточно высокий, — атрибут любой рыночной сделки. Если рыночный риск можно уменьшить путем диверсификации, то в условиях российского рынка провести качественную диверсификацию портфеля достаточно трудно. Большая часть торгов проводится с «голубыми фишками». Траектории движения цен на эти активы иногда совпадают. Именно это обстоятельство может послужить причиной затруднений при диверсификации портфеля. Немаловажным фактором является и высокая чувствительность рынка к различным внешним потокам информации.
Западные специалисты обычно оперируют ставкой доходности по среднесрочным и долгосрочным обязательствам пра-
Hs2(14) 2008
вительств своих стран, принимая именно эти величины за безрисковую ставку.
Обязательным условием, которому должен удовлетворять безрисковый инструмент, является то, что доходности должны быть определены заранее на весь срок существования инструмента, вероятность потерь должна быть сведена к минимуму. Дополнительным условием является требование того, что продолжительность периода обращения должна совпадать или быть близкой к сроку жизни инструментов оцениваемой компании.
Коммерческие институты не могут являться эмитентами безрисковых инструментов, ибо они не могут гарантировать выплаты. Значит, эмитентом может быть только государство (точнее правительство, так как инструменты субъектов Федерации также подвержены риску). На Западе, в частности в Америке, подобными инструментами являются казначейские долговые ценные бумаги (векселя и облигации со сроком погашения 10 лет и более).
В России в качестве безрисковых инструментов теоретически могут быть использованы:
• государственные облигации РФ;
• иностранные финансовые инструменты — еврооблигации развитых стран (например, 10-летние казначейские облигации США);
• ставка рефинансирования ЦБ.
В данной работе расчет размера безрисковой ставки проводится на основе данных рынка российский государственных облигаций при помощи имитационного моделирования, о чем подробно будет рассказано далее (раздел «Расчет ставки без риска»).
4. Рыночная доходность
Теперь следует определить, что являет собой рыночный уровень доходности. Естественно, что самый простой способ — взять индекс РТС или ММВБ. Хотя это не совсем точно, поскольку в теории рыночная доходность и рыночный риск оцениваются по
портфелю, включающему все рискованные § активы рынка. На практике рыночный порт- g фель как портфель только систематическо- У го риска строится по акциям локального ^ или глобального рынка (например, наиболее представительный фондовый индекс).
При расчетах в качестве рыночной доходности можно использовать доходность индекса (РТС, ММВБ и др.). В целях увеличения точности в индекс могут быть включены дополнительные акции. Однако это влечет за собой ряд сложностей, преодолеть которые можно только при ряде допущений.
Например, индекс РТС (In) рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации ценных бумаг (MCn), включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих же ценных бумаг на начальную дату (MC1), умноженное на значение индекса на начальную дату (I1) и на поправочный коэффициент (Zn): . _ Z MCn
1 n _ Zn Ц . ._ >
MC1
где MCn — сумма рыночных капитализаций акций на текущее время в долларах США:
N
MCn W(P(Q(C(,
i _i
где Wi — поправочный коэффициент, учитывающий количество ценных бумаг i-го вида в свободном обращении (коэффициент free-float);
Ci — коэффициент, ограничивающий долю капитализации ценных бумаг i-го типа (весовой коэффициент); Qi — количество ценных бумаг соответствующего наименования, выпущенных эмитентом на текущую дату; P — цена i-й ценной бумаги в долларах США на расчетное время t; N — число наименований ценных бумаг в списке, по которому рассчитывается индекс.
Если попытаться расширить базу для расчета индекса, необходимо самостоятельно вводить некоторые значения, например, поправочного коэффициента (Zn).
№2(14) 2008
Выбор будет сделан в пользу индекса РТС, так как его расчет ведется на основе 50 акций, а не 30, как у индекса ММВБ.
5. Выбор финансовых инструментов для построения прогноза
^ Поскольку в качестве рыночной доход-
| ности берется доходность рыночного индек-
§ са, это оказывает влияние на выбор анали-
* зируемых финансовых инструментов. Ме-
! тодика расчета индекса такова, что акции
| «голубых фишек» оказывают на значение
^ индекса большое влияние из-за высокой
Ц доли в суммарной капитализации рынка. Ц Соответственно, эти акции наиболее ли-
§ квидны: на них приходится до 75% общего
§ торгового оборота. Если и проводить рас-
Ц чет требуемой доходности по модели САРМ, то именно по этим компаниям, так как в про-
¡5 чих случаях, за пределами «голубой» груп-
|| пы, велика вероятность получить значение коэффициента р, близкое к нулю.
ч
| 6. Расчет ставки без риска
<3
§ Далее будет подробно рассказано, каким образом можно рассчитать ставку без риска Е на основе данных о российских государст-
I I I
со
0
1 <0
0 £
1
I
0
1 §
венных облигациях при помощи имитационного моделирования. В качестве исходных данных из секции Гособлигации ресурса rbc.ru были взяты следующие виды бумаг (табл. 1).
В таблице представлена информация о купонах и сроках погашения облигаций. С помощью этих данных можно найти семь значений безрисковой спотовой ставки для каждого полугодия, начиная с 18.10.2007: г01, г02,..., г07. На основе данных о выпусках государственных облигаций (купонах, сроках погашения) сформирован полный рынок капитала (число периодов равно числу бумаг, строки полученной матрицы линейно независимы).
Допущения расчета следующие:
1) номинал всех облигаций — 100 руб.;
2) каждая спот-ставка рассчитывается на полгода; для этого некоторые платежи (квартальные) сведены к полугодовым без дисконтирования, так как при дисконтировании каждого платежа невозможно будет рассчитать ставку в некоторых периодах (будет два слагаемых с неизвестным в разных дробных степенях). Если срок погашения облигации наступал позже или раньше
Таблица 1
Информация о купонах и сроках погашения облигаций
Бумага Цена 18.10.2007 Платеж-1 15.04.2008 Платеж-2 15.10.2008 Платеж-3 15.04.2009 Платеж-4 15.10.2009 Платеж-5 15.04.2010 Платеж-6 15.10.2010 Платеж-7 15.04.2011
0ФЗ-28003 102,1701 16.04.2008 105
0ФЗ-46001 102,825 12.03.2008 2,5 10.09.2008 102,5
0ФЗ-28004 105,72 14.05.2008 5 12.11.2008 5 13.05.2009 105
0ФЗ-25057 103,19 23.04.2008 3,7 21.01.2009 3,7 22.04.2009 3,7 20.01.2010 103,7
0ФЗ-25061 99,47 07.05.2008 2,9 05.11.2008 2,9 06.05.2009 2,9 04.11.2009 2,9 05.05.2010 102,9
РЖД-06 100,7 14.05.2008 3,675 12.11.2008 3,675 13.05.2009 3,675 11.11.2009 3,675 12.05.2010 3,675 10.11.2010 103,675
0ФЗ-25059 100,2 23.04.2008 3,05 22.10.2008 3,05 22.04.2009 3,05 21.10.2009 3,05 21.04.2010 3,05 20.10.2010 3,05 19.01.2011 103,05
6
№2(14) 2008
границы периодов (полугодий), рассчитывалась разница в днях и принималась к учету (получалась дробная степень);
3) купон выплачивается в конце полугодия, причем первый период начинается 18.10.2007.
Расчеты осуществляются по формуле:
т X,
Р(Х1, Х2.....X,)
£(1 + Гот)
где г0Т — искомая спот-ставка, степень, корректируется на разницу в днях, например: если полугодие заканчивается 15 октября, а бумага погашается 10 сентября, степень будет скорректирована на разницу в днях.
Предполагается далее, что рынок характеризуется нормальной структурой процента, т. е. спот-ставки растут с ростом срока погашения. Можно построить линию тренда (логарифмическая и степенная зависимости) (рис. 1).
В качестве основы для уравнения регрессии будет рассматриваться уравнение:
у = 0,00611п( х) + 0,02,
где у — спот-ставка; х — период.
На основе этой зависимости можно найти теоретические значения спотовых ставок, найти их отклонение от рассчитанных ранее и проверить эти отклонения на соответствие нормальному закону распределения.
0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0
у = 0,00611_п(х) + 0,02 ..........Я2 = 0,288
= 0,019х°'2616 .......$ = 0,2283.....
♦ Спот-ставки
Эмпирические Теоретические Отклонения
Г01 0,027697927 0,02 0,007697927
Г02 0,011570011 0,0273567 -0,01578669
Г03 0,02881116 0,028735282 7,58779Е-05
Г04 0,025303824 0,029713401 -0,004409577
Г05 0,030547633 0,030472089 7,55443Е-05
Г06 0,035410243 0,031091982 0,00431826
Г07 0,032599945 0,031616095 0,00098385
та
со §
о и
£ иа
со
сэ
Рис. 1. Спот-ставки и тренды
Если это предположение подтвердится, то параметры найденного нормального распределения будут скорректированы при помощи имитационного моделирования. Далее для расчета спот-ставки будет использовано полученное уравнение регрессии с поправкой на случайный фактор, распределенный по исправленному нормальному закону распределения (табл. 2).
Для того чтобы построить эмпирическое распределение, необходимо: определить максимальное и минимальное значения отклонений; разбить полученный диапазон на группы (по формуле Стерджесса N = 3,321д +1, где N — объем выборки); отсортировать данные по возрастанию и сгруппировать их; определить число данных в группе и общее
Таблица 2
Отклонения рассчитанных спот-ставок от значений уравнения регрессии
7
Ив2(14) 2008
число наблюдений; найти относительную частоту попадания переменной в группу; построить гистограмму вероятностей. Получены следующие результаты:
I
I
I
0 §
1
! <0
и
Ч
со
о &
!
0 &
1
со
0
1 <0
со
0
£
1
I
0
1
I I
тип -0,01578669
тах 0,007697927
Кол-во интервалов 4
Интервал 0,005871154
Далее рассчитываются характеристики
построенного распределения:
Мат. ожидание -0,001006401
Ст. отклонение 0,007532805
Теперь можно построить теоретическое распределение с рассчитанными выше параметрами (дисперсия скорректирована для большего соответствия) (рис. 2). 0,45
-0,0128511 -0,00698 -0,0011088 0,00476235
| I Отклонения —■— Норм.
Рис. 2. Теоретическое распределение
Далее осуществляется проверка на согласие с эмпирическим распределением при помощи двух тестов («Хи-квадрат» и тест Колмогорова—Смирнова).
Хи-квадрат Колмогоров
22,7779602 0,103198055
Хи-квадрат критич. Колмогоров критич.
3,84145915 0,486
Как видно, результаты проверки положительны.
Модель устойчива, при увеличении объема выборки дисперсия не увеличивается.
На данном этапе необходимо: сгенерировать число выборок случайных величин из найденного распределения и обработать результаты экспериментов методом максимума правдоподобия.
Было осуществлено 1019 имитаций выборок объемом 385 для нормального распределения с параметрами, рассчитанными по эмпирическим данным:
Мат. ожидание -0,00101
Ст. отклонение 0,007533
Для каждой имитации параметры т и а были оценены методом максимального правдоподобия. После чего из 1019 оцененных значений т и а были найдены средние. Новое распределение имеет параметры:
Мат. ожидание -0,00099
Ст. отклонение 0,007526
Таким образом, модель полугодовой спот-ставки выглядит следующим образом:
у = 0,00611п( х) + 0,02 + 8,
где у — спот-ставка; х — период;
8 — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами, рассчитанными выше при проведении имитационного эксперимента.
Таблица 3
Данные для построения эмпирического распределения
Группы Частота Вероятность Середина
-0,009915536 1 0,142857143 -0,012851113
-0,004044381 1 0,142857143 -0,006979958
0,001826773 3 0,428571429 -0,001108804
0,007697927 2 0,285714286 0,00476235
8
№2(14) 2008
Таблица 4 § |
Результаты расчета равновесной доходности акций телекоммуникационных компаний ¡3
Эмитент Коэффициент (3 Коэффициент а Доходность по САРМ Средняя доходность
ОАО «Сибирьтелеком» ^СО) 1,909073 0,056301 0,1074685 0,051168
ОАО «ЦентрТелеком» ^МО) 1,335981 -0,22196 0,0810453 0,303
ОАО «Ростелеком» ртКМ) 2,25939 -0,22794 0,1236204 0,351564
ОАО ЮТК (ШВ^ 1,854616 -0,08921 0,1049577 0,194163
ОАО МТС (MTSS) 1,047671 -0,10729 0,067752 0,175046
ОАО «ВолгаТелеком» (NNSI) 2,679378 0,117969 0,117969 0,025015
ОАО «Северо-Западный Телеком» (SPLT) 1,909646 -0,03708 0,1074949 0,144577
ОАО «Уралсвязьинформ» (URSI) 2,51138 0,035456 0,1352387 0,099783
7. Практика расчетов равновесной доходности на примере акций российских эмитентов
Одним из направлений применения модели САРМ является поиск переоцененных или недооцененных активов. Это можно сделать, например, следующим образом: спрогнозировать равновесную доходность актива по модели и сравнить с ожидаемой доходностью. Акция считается недооцененной, если фактическая доходность выше доходности, полученной по модели САРМ, и наоборот.
Равновесная доходность будет рассчитываться по следующей формуле, выведенной ранее:
Е Г ] = Г + ^, т ].
УаГ[Гт ] '
Для расчета равновесной доходности были проанализированы данные за последний год (19.10.2006-18.10.2007). Прогнозирование производилось на период в полгода. Безрисковая ставка принималась на уровне 1,9448% (согласно построенной модели зависимости безрисковой спот-ставки от времени). Результаты получились следующие (табл. 4).
Недооцененными по модели получаются акции ОАО «ЦентрТелеком», ОАО «Ростелеком», ОАО ЮТК, ОАО МТС, ОАО «Северо-Западный Телеком», именно эти акции
рекомендовано приобретать согласно результатам моделирования. Цена этих активов за анализируемый период имеет устойчивую тенденцию к росту. Цена акции остальных эмитентов нестабильна(нет явного тренда, если обратиться к информации об изменении цен на данные активы). Все акции очень восприимчивы к изменениям рынка (рт|п = 1,047671, ртах = 2,679378), т.е. при росте или падении рынка акции реагируют еще большим ростом или падением. Это компенсируется достаточно высокими показателями полугодовой доходности.
Предсказать доходность финансовых инструментов на российском рынке довольно трудно, поскольку ни одна модель не может учесть всех факторов, влияющих на цены. Обвал рынка не предскажет ни одна модель. Но с помощью модели САРМ можно определить степень зависимости доходности актива от рыночной доходности. Если в модель заложены адекватные оценки рыночной и безрисковой доходности, то предсказанная доходность актива может служить индикатором для инвестора при принятии решения о покупке или продаже тех или иных активов.
Список литературы
Сайт «РосБизнесКонсалтинг» http://www. rbc.ru
