Применение метода R-функций к расчету течения в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9+532.5

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА R-ФУНКЦИЙ К РАСЧЕТУ ТЕЧЕНИЯ В КВАДРАТНОЙ КАВЕРНЕ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ РЕЙНОЛЬДСА

СИДОРОВ м.в.

Рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса. Приближенное решение строится с помощью структурно-вариационного метода.

Рассмотрим двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне. Верхняя “крышка” каверны движется влево с постоянной скоростью и = -1, остальные части каверны неподвижны. Систему координат выберем таким образом, чтобы ее начало совпало с левым нижним углом каверны. Длину стороны каверны положим равной 1. Данная задача сводится к решению следующей краевой задачи [1]:

Д2ф = 0 в Q = (0,1) х (0,1); (1)

Зф [0, х = 0, х = 1, у = 0;

vldQ= 0 , эП 5Q=1-1, у = 1. (2)

.2 _54 Здесь л -““4

ах

+ 2-

Зх23у2

4

; ф(х, у) — функции

тока, следовательно,

Зф Зф

и =— v = --

(3)

ду ’ ' Зх ’

n — внешняя нормаль к q ; 3Q — граница области q

4

4

В задаче (1), (2) сделаем замену

У = Ф0 + Ф ,

(4)

где функция ф0 удовлетворяет условиям (2), а Ф — новая неизвестная функция. Тогда от (1), (2) переходим к такой краевой задаче:

Д2Ф = f в Q = (0,1) х (0,1);

ф1ао 0

^ = 0,

dn 5Q

(5)

(6)

здесь f = -Д2ф0 .

Известно [2], что задача (5), (6) эквивалентна задаче минимизации в ^(q) функционала

J(ф) = J (Дф)2 dхdy - 2 J ф f dхdy (7)

Q Q . ( )

Используя формулы Грина и условия (6) при f = -Д2ф0, функционал (7) можно привести к виду

(7.1)

J (ф) = J (Дф)2 dхdy + 2 J Дф Дф0 dхdy

Q Q

Приближенное решение задачи (5), (6) представим в виде [3]:

П

фДх, у) = ю2(х, у)фДх у) = ю2(х, у) ^clkTlk(x, у) .(8)

i +k=0 i, k>0

Здесь функция ю(х, у) удовлетворяет условиям: ю>0 в q , ю = 0 на 3Q,|Vra| = 1 на 3Q; тДху) -полная система линейно-независимых функций; с^ — неопределенные коэффициенты.

Для определения постоянных ctk получаем систему линейных алгебраических уравнений

П

Aiklmcik ~ Blm i+k=0 i, k>0

(9)

где

Aik Im ^ik )^(® ^-Іт^х^У ,

Q

Blm = “jДф0л(ю2Тіт).

Q

Матрица системы (9) есть матрица Грамма системы функций ^2\ в пространстве и система

уравнений (9) однозначно разрешима [4]. Функции фДх, у) и ю(х, у) возьмем в виде

ф0(х, у) = ю(х, у) 7—х^—х-г

х(1 - х) + у(1 - у) ,

®(х у) = [хI1 - х)] Ла [у^ - у)],

здесь ла — знак R-конъюнкции [5].

Возвращаясь к неизвестной функции ф(х, у), получаем приближенное решение задачи (1), (2):

П

ф n{x, у) = ф0(х у) + ю2(х у) £ cik ^lk{x, у), (10)

i+k=0 i, k>0

которое точно удовлетворяет краевым условиям (2).

В качестве системы функций тДх, у) была выбрана следующая: тДх, у) = Р*{х)Р*(у), где р*(х) — смещенные полиномы Лежандра, ортогональные на отрезке [0,1 [6]. Смещенные полиномы Лежандра выражаются через обычные полиномы Лежандра по формуле

рД х) = (- 1)n-1 РЛ2 х -1).

Очевидно, что в силу симметрии (решение симметрично относительно прямой х = 0,5) в (10) будут отсутствовать коэффициенты cik с нечетными номерами i.

Вычислительный эксперимент был проведен с помощью пакета Mathematica 4.0© при n = 3 (десять базисных функций), n = 4 (пятнадцать базисных функций) и n = 5 (двадцать одна базисная функция). Коэффициенты cik приведены в таблице

( c10 - c11 - c12 - c30 - c13 - c31 - c14 - c32 - c50 - 0 ).

РИ, 2002, № 4

77

n cik 3 4 5

c00 0,818283 0,815211 0,815211

c01 2,533045 2,533044 2,533174

c02 -1,235693 -1,297308 -1,297308

c20 1,605523 1,560719 1,560719

c03 0,357133 0,335713 0,550449

c21 1,495134 1,495135 1,352136

c04 -0,118781 -0,118781

c22 0,501913 0,501913

c40 0,176149 0,176149

c05 0,120085

c23 -1,248981

c41 0,902947

На рис. 1 представлены линии уровня функции у5(х, у) (т.е. линии тока рассматриваемого течения), а на рис. 2 — линии уровня вихря = -Ду5.

Рис. 2

На прямой x = 0,5 расположена точка (“вихревой центр”), в которой скорости равны нулю: u = v = 0. В наших расчетах ее координаты xv c = 0,5, •Уу.о. = 0,765 .

На рис. 3 приведено поле скоростей v = (v, u), полученное по формулам (3).

1

0. 8 0. 6

0. 4

0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 3

Приближенное решение (10) сравнивалось с приближенным решением, полученным методом сеток [7]. Результаты очень хорошо согласуются. Преимущество предлагаемого нами подхода мы видим, прежде всего, в том, что приближенное решение (10) получено в аналитическом виде, что облегчает его дальнейшее использование для нахождения других характеристик потока. Кроме того, решение для малого числа Рейнольдса можно использовать в качестве начального приближения при решении уравнения для функции тока:

I /• ------------------

\ і ' '

\ \ *

' \ \ '

' \ \ N

* V ч

* * *

- ^ > V I /

v » * 1 І t

, У / / /

^ s / f t

^ s / f t

~ A / 1 \

Д2Ч, + Rel^^-

^ dx ду

Sy 5Ду

су dx

0 при Re > 0 .

Литература: 1. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Т. 2. М.: Мир, 1991. 552 с. 2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

3. Сидоров М.В. О построении структур решений задачи Стокса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 3. С. 52-54. 4.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 511с. 5. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 6. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби) / Под ред. Л.А.Люстерника, А.Р. Янпольского. М.: Физматгиз, 1961. 440 с. 7.Burggraf O.R. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows // J. Fluid Mech. 1966. 24, № 1. P. 113 - 151.

Поступила в редколлегию 17.07.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Сидоров Максим Викторович, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-94-36.

78

РИ, 2002, № 4