Численный анализ нестационарных линеаризованных задач вязкой теплопроводной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Блишун А.П., Сидоров М.В., Яловега И.Г. Численный анализ стационарных фильтрационных течений со свободной границей структурно-вариационным методом // АСУ и приборы автоматики. 2010. Вып. 151. С. 20 - 27. 6. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с. 7. Вабищевич П.Н. Приближенное решение видоизмененной задачи Дирихле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 11. С. 1655 - 1669. 8. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с. 9. ЛаврентьевМ.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с. 10. Ляшко Н.И., Великои-ваненко Н.М. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации. К.: Наук. думка, 1973.264 с. 11. Ляшко И.И., Великоиваненко И.М., Лаврик В.И., Мистецкий Г.Е. Метод мажорантных областей в теории фильтрации. К.: Наук. думка, 1974. 200 с. 12. Ляшко И.И., Сергиенко Н.В., Мистецкий Г.Е., Скопецкий В.В. Вопросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ. К.: Наук. думка, 1977. 288 с. 13. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.:

УДК 517.95 : 519.63 '

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ ЗАДАЧ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

АРТЮХ А.В., ЯЛОВЕГА И.Г.__________________

Рассматривается линейная задача расчета нестационарного плоскопараллельного течения вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости в конечной односвязной области. Для описания течения используется система дифференциальных уравнений для функции тока и температуры. На основании метода R-функций и метода Галеркина строится приближенное решение этой задачи. Проводится вычислительный эксперимент для модельной задачи.

Введение

Актуальность задачи. Задачи, связанные с движением жидкости в различных областях, играют важную роль в развитии современной техники и естествознания, а именно в теплоэнергетике, геофизике, биологии и пр. Во многих практически важных случаях жидкость можно с большой достоверностью считать вязкой несжимаемой ньютоновской средой, и проходящие в ней процессы могут быть промоделированы с помощью уравнений Навье-Стокса [1,2]. С развитием возможностей вычислительной техники более активно используется математическое моделирование. Обычно для расчета вязких течений применяют численные методы [3-5 и др.]: метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они просты в реализации, но не обладают необходимым свойством универсальности - при переходе к новой области (особенно неклассической геометрии) необходимо генерировать новую сетку, а часто и заменять сложные участки границы простыми, составленными, например, из отрезков прямых. Точно учесть геометрию области

22

Наука, 1970. 511 с. 14. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с. 15. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации. Мн.: Изд-во «Университетское», 1987. 182 с. 16. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 17. СидоровМ.В., Стороженко А.В. Математическое и компьютерное моделирование некоторых фильтрационных течений // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 4. С. 58 -61. 18. Сидоров М.В. Приближенный метод расчета многосвязных вязких течений // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №1. С. 42 - 44.

Поступила в редколлегию 2.10.2012

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Блишун Александр Павлович, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы математической физики, теория R-функций и её приложения. Увлечения и хобби: покер, футбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

можно, воспользовавшись конструктивным аппаратом теории R-функций, разработанной акад. В.Л. Рва-чевым и его учениками [6,7 и др.]. Задачи гидродинамики решались в работах С.В. Колосовой, К.В. Мак-сименко-Шейко, И.Г. Суворовой, Т.И. Шейко, М.В. -Сидорова и др. [8-11, 17], однако в основном рассматривались задачи динамики идеальной жидкости или вязкой для случаев стационарного течения, когда можно построить решение за счет удачного выбора координат. Поэтому разработка новых, а также совершенствование существующих методов математического моделирования нестационарных течений теплопроводной вязкой жидкости на основе метода R-функций и проекционных методов является актуальной научной проблемой.

Цели и задачи исследования. Целью настоящего исследования является разработка новых средств математического моделирования и численного анализа нестационарных плоскопараллельных течений вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости в конечных односвязных областях в линейном приближении на основании методов R-функций и Г алеркина. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- получить полную структуру решения начальнокраевой задачи для функции тока и температуры, используя метод R-функций;

- разработать и обосновать алгоритм аппроксимации неопределенных компонент полученных структур на основании метода Г алеркина;

- провести вычислительные эксперименты.

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейную задачу расчета нестационарного течения вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости. Пусть О - плоская односвязная ограниченная область с кусочно-гладкой границей дО.

РИ, 2012, № 3

Линеаризованная система уравнений, описывающая такое течение, состоит из:

уравнения движения для скорости v = (vx,vy) и нормализованного на плотность давления p :

dv

— + gradp-v divgrad v-pe9 = 0, (1)

уравнения неразрывности

div v = 0 (2)

и уравнения, которое описывает перенос тепла теплопроводностью и конвекцией

д9

— -Kdivgrad 9 = 0. (3)

Здесь v = (vx,vy) - поле скоростей; p - давление; v - кинематическая вязкость; в определяет объемное расширение; e = (0,1) - вектор, задающий направление выталкивающей силы; 9 = 9(х, y, t) - отклонение температуры от равновесной; K - коэффициент температуропроводности. Будем предполагать, что объемные силы отсутствуют.

Для достаточно медленного (ползущего) течения отношение порядка конвективных сил инерции к порядку сил вязкости мало и поэтому нелинейными членами в исходной системе уравнений Навье-Стокса можно пренебречь. При этом мы получили линеаризованные уравнения вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости (1) - (3).

Достаточно широкий класс течений может быть сведен к двумерным течениям. Далее будем рассматривать плоскопараллельные течения, когда область, в которой изучается течение, является цилиндрической, а краевые и начальные данные не зависят от координаты оси цилиндра.

Анализ плоскопараллельных течений удобно производить с помощью функции тока y(x, y, t), вводимой соотношениями

v

x

ду

dy

v

У

ду

dx

(4)

(уравнение неразрывности при этом обращается в тождество).

После подстановки соотношения (4) для функции тока в (1) и исключения давления с помощью дифференцирования исходное уравнение для вектора скорости v сводится к уравнению для функции тока вида

дДу

~дГ

+ vД 2у-р—= 0 дx

Начальные и краевые условия для функции тока могут быть получены из условий, накладываемых на вектор v. Так, если жидкость примыкает к неподвижной стенке, то в этих точках скорость жидкости обраща-

РИ, 2012, № 3

ется в нуль. Это означает, что в нуль обращается нормальная и тангенциальная составляющая скорости (условие прилипания). Если же жидкость примыкает к подвижной твердой стенке, то в таких точках скорость жидкости должна по величине и направлению совпадать со скоростью соответствующей точки стенки. Исходя из этого на границе СО области О можно задать значение функции тока у и её нормальной

ду

производной ——, где n - внешняя нормаль к СО. дп

Итак, для функции тока y(x,y,t) и температуры 9 = 9(х, y, t) можно поставить начально-краевую задачу:

-дДy + vД2y-p—= 0, (x,y) єО, t > 0, (5)

дt дx

50

"дТ

-кД9 = 0, (x,y) єО, t > 0 :

(6)

yL=

ду

дп

= g0(St), s єдО, t > 0, (7)

у|t=0 =у0(x,y), (x,y) єО, (8)

9|дО = h0(s,t), S єдО, t > 0, (9)

9|t=0 ^(Ху^ (x,y) єО, (10)

СО

где "д^, g0 - некоторые распределения нормальной и

касательной составляющей скорости потока соответственно; h0 - заданное распределение температуры на

л д2 д2

границе дО; Д = —- +------ - оператор Лапласа;

dx2 Су

Д2 =-

тор.

д4

- + 2-

д4

д4

dx2ду2 ду4

- бигармонический опера-

Методика задания функций f0 (s, t) и g0 (s, t) рассмотрена в [15].

2. Применение методов R-функций и Г алеркина

Для решения начально-краевой задачи (5) - (10) используем методы R-функций и Г алеркина.

Пусть граница дО области О кусочно-гладкая и может быть описана элементарной функцией ra(x, у) согласно методу R-функций [6], причем функция ra(x,y) удовлетворяет условиям:

1) ra(x,y) = 0 на дО;

2) ra(x,y) > 0 в О ;

3) — = -1 на дО, т.е. ra(x,y) = 0 - нормализованное дп

уравнение дО .

23

В работе [15] было показано, что краевым условиям (7) и (9) удовлетворяют соответственно пучки функций

у = f-a(Df + g) + а2Ф, (11)

0 = h + aY, (12)

где f = ECf0, g = ECg0, h = ECh0 - продолжения функций fo, go, ho в q ,

da dv da dv dx dx dy dy

(Va, Vv)

Ф = Ф(х,у,1), Y = Y(x,y,t) - неопределенные компоненты структур, которые будем предполагать достаточно гладкими.

В задаче (5) - (10) сделаем замену

у = Ф + u, 0 = h + v,

Возьмем H = L2(Q). Пусть u0,v0 є L2(Q),

F(t),G(t) є L2(0,T;L2(Q)).

Введем в рассмотрение операторы A, B1, B2 и E, действующие в L2(0,T;L2(Q)) по правилам

dv

Au = A2u , B1U = -Ди , B2v = -Av, Ev = —

на области определения

Da =^u|u є C4(Q) П C1(Q), u|dQ=-dU

общей для операторов A , B1 , и

Db2 ={v|v є C2(Q) П C(Q), v| dQ= 0}, общей для операторов B2 и E .

= 0

где ф = f -a(Df + g), u, v - новые неизвестные функции. Тогда для функции u и v получим начально-краевую задачу с однородными краевыми условиями:

d 2 dv

—(-Au) + vA u-P— = F, (x,y) є Q, t > 0, (13)

— + k(-Av) = G, (x,y) є Q, t > 0, (14)

dt

1 du 0 u dQ = »• dn „ = °- (15)

u|t=0 = u0(x,y)^ (x,y) єQ ^ (16)

о II й > (17)

v|t=0 = v0(x,y)^ (x,y) є Q ^ (18)

„ 2 2 дAф n dh где F = -vA 2Ф + —- + p— , G = dt dx dh .. +KAh, dt

u0 = У -ф|t =0^ v0 =00 -h|t =0.

Для решения задачи (13) - (18) применим метод Г алеркина для нестационарной задачи [22].

Пусть T > 0, H - сепарабельное гильбертово пространство. Символом L2(0,T;H) будем обозначать множество функций u(t), t є [0, T], со значениями в H таких, что

Jl|u(t)||> <+».

0

Это множество является сепарабельным гильбертовым пространством со скалярным произведением

T

< u,v >= J (u(t),v(t))Hdt.

0

Можно доказать [19], что операторы A, B1, B2 будут линейными положительно-определенными, а оператор E линеен.

Тогда задачу (13) - (18) можно записать в операторной форме:

dd-Biu + vAu-P Ev = F, (x, y) є Q, t > 0, (19)

dv „

^ + k B2v = G, (x,y) є Q, t > 0, (20)

ult=0 = u0(x,y), (x,y) eQ, (21)

vlt=0 = v0(x,y), (x,y) єQ . (22)

На Da введем энергетическое произведение [u, v]A по правилу: для любых u, v є DA

[u, v]a = (Au, v)l2 (q) = JJ Au • Av dxdy ,

а соответствующая энергетическая норма jujA =JJ(Au)2 dxdy .

Q

Пополнив Da в норме |u|A,получив энергетическое пространство HA оператора A .

На Db2 введем энергетическое произведение [u v]B2 по правилу: для любых u, v є DB2

[u,v]B2 = (B2u,v)L2(Q) = JJAu vdxdy .

Q

Применяя формулу Грина [19] и учитывая краевые условия, получим

24

РИ, 2012, № 3

[u,v]B2 = (B2u,v)L2(n) =JJVu-Vvdxdy ,

а соответствующая энергетическая норма |u|B2 = jj|Vu|2dxdy .

Q

Пополнив DB2 в норме |u|B2 , получим энергетическое пространство Hb2 оператора B2.

о о

Можно показать, что HA = W22 (Q), HB2 = W2 (Q).

о o

Пусть (u(t),v(t)) є W22(Q)x W2(Q) - классическое решение задачи (19) - (22), т.е. для любого t > 0

u(t) є Da , v(t) є Db2 , u(t) и v(t) непрерывно дифференцируемы по t, удовлетворяют уравнениям (19) и (20) и начальным условиям (21) и (22) соответственно.

Пусть w1(t), w2(t) - достаточно гладкие в Qx[0, +») функции, удовлетворяющие краевым условиям (15) и (17) соответственно, и такие, что при некотором T > 0 w1(T) = 0 и w2(T) = 0. Умножим (19) скалярно в L2(Q) на произвольную функцию w1(t) с указанными свойствами, а уравнение (20) - на w2 (t):

С d-B1U,w1 ] +v(Au,w1)L2(Q) -P(Ev,w1)L2(Q) =

/ L2(Q)

= (E,w1)L2(Q) ,

і +K(B2v,w2X.2(Q) =(G,w2)L2(Q).

L2( Q)

Интегрируя последние равенства по t от 0 до T, получаем, что

T / d ) T

/(7dtBu’w1 ) dt + vj (Au,w1)L2(Q)dt -

0 Vdt /L2 (Q) 0

T T

-pj (Ev,w1)L2(Q)dt = j (F,w1)L2(Q)dt , 0 0

T

dt + Kj (B2v,w2)L2(Q,dt =

0

= j (G, w 2 )L2 (Q) dt .

0

Проинтегрировав первый интеграл в каждом уравнении по частям (по переменной t) и воспользовавшись равенствами w1(T) = 0 и w2(T) = 0 , получим, что

T T T

-j [U w; ]B1 dt + v j [u, w1]Adt - p j (Ev, w1 )l2(q) dt =

0 0 0

= [u0,w1(0)]B, +j (F,w1)L2(Q)dt, (23)

0

T T

-j (v, w 2)L2(Q)dt + K j [v,w2]B2 dt =

0 0

= (v0,w2 (0))L2(Q) + j (G,w2)L2(Q) dt ,

0

(24)

где обозначено w;

dw, ; dw2

—L, w2 =—- .

dt ’ 2 dt

Последние равенства возьмем в качестве определения обобщенного (слабого) решения задачи (19) -(22) (а значит, и задачи (13) - (18)).

Обозначим множество функций

WT =

(w^) | (w1,w2) є L2(0,T;W2(Q)) x L2(0,T;W2(Q)),

(w; ,w2) є L2(0,T;L2(Q) x L2(0,T;L2 (Q)), w1(T) = 0,w2(T) = 0} .

Определение. Пара функций (u(t),v(t)) называется обобщенным (слабым) решением задачи (19) -(22), если

1) (u(t),v(t)) є L2(0,T;W2(Q))xL2(0,T;W2(Q));

2) для любой пары элементов (w1(t),w2(t)) є WT имеют место равенства (23) и (24).

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть F(t),G(t^L2(0,T;L2(Q)) и

u0 є HB], v0 є L2 (Q). Тогда существует и притом единственное, обобщенное решение задачи (19) -(22).

Для построения обобщенного решения задачи (19) -(22) воспользуемся методом Г алеркина [22]. Приближенное решение задачи (19) - (22) ищем в виде

n

un(t) = У ck(t)9k , (25)

k =1 n

vn(t) = y dk(t)uk , (26)

k =1

где ck (t), dk (t), k = 1,..., n , - неизвестные пока функции, {<pk} , {uk} - координатные последовательности, т.е. последовательности {<pk} и {uk} удовлетворяют условиям соответственно:

1) для любого k 9k є HA ;

2) для любого n ф1,...,фп линейно-независимы;

3) {фЛ полна в Ha, и

1) для любого k uk є Hb2 ;

2) для любого n и1,..., un линейно-независимы;

3) {uk} полна в Hb2 .

РИ, 2012, № 3

25

Поскольку из (11) и (12) следует, что u = ю2Ф и v = юТ , где 0 = 0(x,y,t) и T = T(x,y,t) - неопределенные компоненты структуры, то координатные последовательности можно взять в виде

Фк = га2 Tk , ик = ютк,

где {тк} - любая полная в L2 (Q) система функций. В соответствии с методом Галеркина неизвестные функции ck(t) и dk(t), k = 1,...,n , найдем из условия ортогональности невязки, получаемой при подстановке (25) и (26) в уравнения (19) и (20), первым n координатным функциям ф1,...,фп и и1,...,un соответственно. Тогда для определения ck(t), dk(t), k = 1,...,n , приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

n n

У cj (t) [Ф] , Фi]в1 + VX cj (t) [Ф], Фі ]A -

j=1 j=1

-РУ dj(t)(Euj, Фі )l2 ( q) = (F, Фі )l2(q), (27)

j=1

n n

У dj (t)(uj, Ui )l2 (Q) + КУ dj (t)[uj, ui]B2 = j=1 j=1

= (G ui )l2(q), і = 1,2,...,n. (28)

Систему (27) - (28) нужно дополнить начальными условиями

ck(0) = ck, k = 1,2,...,n, (29)

dk(0) = dk, k = 1,2,...,n. (30)

Начальные условия (29) - (30) можно задать различными способами [22], например, как решение систем алгебраических уравнений:

n

У cj (0)(Ф j, Фі )L2 (Q) = (u0. Фі )L2 (Q) , (31)

j=1

n

Уdj(0)(Uj,Ui)L2(Q) = (v0,Ui)l2(q), i = 1,2,...,n, (32)

j=1

которые получаются из условий ортогональности невязки начальных условий (21), (22) первым n координатным функциям ф1,...,фп и и1,...,un соответственно.

В силу условий, наложенных на координатные последовательности {ф^ и {uk}, системы (31), (32) и задача Коши (27) - (30) при любом n имеют единственное решение.

Справедлива следующая

Теорема 2. Пара приближенных решений (un (t),vn (t)) задачи (19) - (22), построенных по методу Галеркина, определены однозначно при любом n, причем

о

un (t) ^ u(t), n , слабо в L2 (0, T; W22 (Q)),

о

vn (t) ^ v(t), n , слабо в L2(0,T;W2 (Q)),

где (u(t),v(t)) - обобщенное решение задачи (19) -(22).

3. Результаты вычислительного эксперимента

Рассмотрим задачу (5) - (10) для прямоугольной области Q = {(x,y)|0 < x < 1, 0 < y < 1} :

5Ду Л 2 „50

—dT + V^V-e5x = 0, (x,y) , t > 0,

50

5t"

-кД0 = 0, (x,y) є Q, t > 0,

5y

Hq = 0, dn

=0,

ФІ t=0 = °:

. =Jx(x -1)(1 - e-1), еслиy = 1,

0 dQ - I t > 0

10 впротивном случае. ’

0I t=0 = °-

Решение поставленной задачи найдено с помощью методов R-функций и Г алеркина. В структурах решения (11) - (12) нормализованное уравнение Q имеет вид

ra(x, y) = [x(1 - x)] ла [y(1 - y)] = 0,

где ла - R-конъюнкция [6]. Было выбрано T = 5 .

В качестве базисных функций выбирались тригонометрические полиномы, полиномы Лежандра и сплайны Шенберга третьей и пятой степени. При вычислении интегралов в скалярных произведениях в системах (27), (28) и (31), (32) использовалась формула Гаусса с 16 узлами по каждой переменной.

На рис. 1 - 3 построены линии уровня функции тока, на рис. 4 - 6 - линии уровня температуры в разные моменты времени.

dQ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Рис. 1. Линии уровня функции тока при t = 0,5

26

РИ, 2012, № 3

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Рис. 2. Линии уровня функции тока при t = 1,0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Рис. 3. Линии уровня функции тока при t = 2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0

0 1 ' -j 0.14^0. m

0. 08

■ 0.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

0

Рис. 4. Линии уровня функции температуры при t = 0,5

Рис. 5. Линии уровня функции температуры при t = 1,0

Рис. 6. Линии уровня функции температуры при t = 2,0

Полученные результаты хорошо согласуются с результатами физических экспериментов [1, 2] и результатами, полученными другими авторами [5].

Выводы

Построен алгоритм решения задачи численного моделирования вязких теплопроводных течений на основе методов R-функций и Г алеркина, что дало возможность, в отличие от сеточных методов, получить выражение для функции тока и температуры в аналитическом виде. Это существенно облегчает ее последующее использование. Численное моделирование было проведено для прямоугольной области. Сделан вывод об эффективности предложенного метода решения.

Научная новизна полученных результатов заключается в том, что впервые разработан алгоритм решения задачи математического моделирования и численного анализа нестационарных плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости в конечных односвязных областях в линейном приближении на основании методов R-функций и Галеркина, который не изменяется при изменении геометрии области, что позволило получить приближенное решение задачи расчета этого класса течений в областях неклассической геометрии.

Практическая значимость полученных результатов. Разработанные методы расчета плоских течений вязкой теплопроводной жидкости в односвязных областях являются простыми в алгоритмизации и более универсальными, чем используемые в данное время, поскольку при переходе от одной области к другой требуется лишь изменить уравнение границы. Полученные результаты позволяют проводить вычислительные эксперименты во время математического моделирования различных физико-механических, биологических течений. Также решение линеаризованной задачи может быть использовано как начальное приближение для решения полных уравнений Навье-Стокса.

Литература: 1. Ландау Л.Ф., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2003. 736 с. 2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с. 3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с. 4. Donea J., Huerta A. Finite

РИ, 2012, № 3

27

Element Methods for flow problems. London: Wiley, 2003. 350 p. 5. Zienkiewicz O.C., Taylor R. L. The finite Element Method. Vol. 3: Fluid Dinamics. Oxford: BH, 2000. 334 p. 6. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 7. Колодяжный В.М., Рвачев В.А. Структурное построение полных последовательностей координатных функций вариационного метода решения краевых задач: Препр. АН УССР. Ин-т пробл. машиностр. Харьков, 1975. 75 с. 8. Суворова И.Г. Компьютерное моделирование осесимметричных течений жидкости в каналах сложной формы // Вестн. НТУ ХПИ. Харьков, 2004. №31. С. 141-148. 9. Колосова С.В. Об обтекании невязкой жидкостью цилиндра в трубе // Прикл. мех., 1971. №7. В. 10. С. 100-105. 10. Максименко-Шейко К.В. Исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в скрученных каналах сложного профиля методом R-функций // Проблемы машиностроения. 2001. Т. 4, № 3 - 4. С. 108 - 116. 11. Рвачев В. Л., Корсунский А.Л., Шейко Т.И. Метод R-функций в задаче о течении Гартмана // Магнитная гидродинамика. 1982. № 2. С. 64 - 69. 12. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Мир, 1972. 588 с. 13. ЛионсЖ.-Л. Некоторые методы решения нелинейных задач. М.: Мир, 1972. 588 с. 14. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408с. 15. Сидоров М. В. О построении структур решений задачи Стокса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 3. С. 52 - 54. 16. СидоровМ.В. Применение метода R-функций к расчету течения Стокса в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 4. С. 77 - 78. 17. Коло-

сова С.В., Сидоров М.В. Применение метода R-функций // Вісн. ХНУ. Сер. Прикл. матем. і мех. 2003. № 602. С. 61 - 67. 18. Слободецкий Л.Н. Обобщение пространства С.Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. //Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А.И. Герцена. 1958. Т. 197. С. 54 - 112. 19.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с. 20. Федотова Е.А. Атомарная и сплайн-аппроксимация решений краевых задач математической физики: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.07. Харьков, 1985. 170 с. 21. Федотова Е.А. Практические указания по использованию сплайн-аппроксимации в программирующих системах серии «Поле»: Препр. АН УССР. Ин-т пробл. машиностр.;202. Харьков, 1984. 60 с. 22. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. 432 с.

Поступила в редколлегию 18.09.2012

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Артюх Антон Владимирович, аспирант, ассистент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, численные методы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-14-36.

Яловега Ирина Георгиевна, канд. техн. наук, доцент кафедры математики Харьковского национального педагогического университета им. Г. С. Сковороды. Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61168, Харьков, ул. Блюхера, 2, тел. 700-35-20.

УДК 517.95 : 519.63

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ МЕТОДОМ ^-ФУНКЦИЙ

ГИБКИНА Н.В., РОГОВОЙН.С.,

СИДОРОВ М.В., СТАДНИКОВА А.В.__________

Рассматривается применение метода R-функций к решению задачи перемешивания вязкой несжимаемой жидкости в плоской односвязной области. Решение задачи перемешивания разбивается на две части: определение поля скоростей течения жидкости и исследование траекторий движения отдельных частиц жидкости. Предложенный метод протестирован на модельной задаче.

Введение

Актуальность исследования. Математическое моделирование и анализ течений вязких жидкостей широко применяется во многих прикладных задачах, в частности в задачах перемешивания. С одной стороны, эта проблема связана с многочисленными применениями в химической, фармацевтической и пищевой промышленности [2, 9, 16]. С другой - перемешивание жидкостей представляет фундаментальную научную проблему, которая тесно связана с современными концепциями хаотической и регулярной динамики [1, 15]. Известно [3, 7], что ламинарные течения при некоторых условиях могут приводить к интенсивному перемешиванию. Такие режимы, получившие название хаотических, являются предме-28

том интенсивного изучения как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения. Большинство методов, используемых при моделировании таких процессов, не обладают свойством универсальности и их сложно применять для «непримитивных» областей. В работах Дж. М. Оттино, Х. Арефа, В.В. Мелешко, Т.А. Дунаевой, Т.С. Краснопольской и др. [3, 5, 7, 9] решалась задача перемешивания для таких простых областей, как круг, полукруг, круговой сектор и т. д., однако для изучения процесса перемешивания в более сложных областях предложенный ими математический аппарат не работает. Точно учесть геометрию области можно, используя конструктивный аппарат теории R-функций, предложенный акад. НАН Украины В.Л. Рвачевым [10]. Поэтому разработка новых методов численного анализа задачи перемешивания, основанных на применении метода R-функций, является актуальной научной проблемой.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является математическое моделирование и численный анализ процесса перемешивания вязкой несжимаемой жидкости методом R-функций. Решение задачи перемешивания состоит из двух этапов:

1) определение поля скоростей течения жидкости (формализм Эйлера):

2) исследование траекторий движения отдельных частиц жидкости (формализм Лагранжа).

Для решения первой части задачи перемешивания необходимо разработать приближенно-аналитический

РИ, 2012, № 3