Решение упруго-пластических задач о контактном взаимодействии тел методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXI 1990

№ 3

УДК 629.7.015.4.023.8

РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ О КОНТАКТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Т. К. Бегеев, В. И. Гришин

Предлагается метод решения задач о контактном взаимодействии упруго-пластических тел при произвольном статическом нагружении. Для определения зон пластичности используется деформационная теория в сочетании с ускоренным методом переменных параметров упругости. Метод реализован в вычислительном комплексе ФИТИНГ. Результаты расчета сравниваются с экспериментальными данными.

При проектировании авиаконструкций большое внимание уделяется расчету стыковых и разъемных узлов, элементы которых находятся в контактном взаимодействии. Начиная с Герца [1], аналитическим методом решения контактных задач уделялось большое внимание как отечественными, так и зарубежными исследователями [1, 2]. Однако принимаемое при этом моделирование использует, как правило, замену реального соединения взаимодействием тела с полуплоскостью, что накладывает существенное ограничение на класс решаемых задач и вынуждает конструктора при расчетах соединения вводить дополнительный коэффициент безопасности (/=1,25) [3], а следовательно, завышать вес изделия в целом.

С развитием численных методов решения задач теории упругости — метода конечных элементов (МКЭ) и метода конечных разностей (МКР) точность и достоверность определения напряженно-деформированного состояния в узлах конструкций возрастает. Универсальность МКЭ — учет реальных жесткостных характеристик, снятие ограничений на статические и кинематические граничные условия — позволяет уже в настоящее время получить важные для проектирования соединений результаты [3—5] в упругой постановке.

Целью настоящей работы является разработка метода решения контактных задач при отсутствии трения для двумерных, осесимметричных и трехмерных тел с учетом упруго-пластического деформирования и реализация алгоритма в специализированном комплексе программ ФИТИНГ [6].

1. Рассмотрим два тела произвольной формы Ц, / — номера тел) в декартовой системе координат ХОУ (рис. 1). Предположим, что

Рис. 1

внешние силы, действующие на тела, вызывают только малые перемещения.

Пусть Ба и — предполагаемые поверхности контакта тел, т. е. это те участки поверхностей тел I и /, которые близки друг к другу и точки которых могут вступать в контакт друг с другом. В каждой точке Сш (& — номер точки С, к=\, 2,...) поверхности 5,-й предположим существование внешней нормали тн, которая пересекается с поверхностью Эзк в точке С^. Такие пары точек и С}к будем называть сопряженными. Как отмечено в [4], определение сопряженности точек до решения задачи с достаточной практической точностью может быть выполнено только при очевидном характере

контактных деформаций. В противном случае определение зоны контакта является результатом реализации алгоритма, основанного на выполнении условий взаимного непроникновения тел.

Обозначим через г0{ и г0з радиусы — векторы начального положения точек Сц1 и С^ъ. (рис. 1), тогда положение этих точек на плоскости после нагружения будет определяться зависимостями

ггй==гог + | ^

rjk = rroj + ^jk, I

где бгь и бзк — векторы перемещений сопряженных точек 1-ГО и /-го тел.

Условие контакта точек и С# примет вид

(2)

где — поверхность контакта тел.

Учитывая равенства (1) из соотношений (2) получим условие совместности перемещений в виде

(3)

(Гос —г0у) • «,* - (8;а — Ь1ь) ■ п1к \сш£

Для сопряженных неконтактирующих точек должно выполняться условие

(/ъ — п*) ■ п1к < О \Сшс (4)

которое по смыслу соответствует условию непроникновения тел.

В проекциях на нормаль Щь условие (3) запишется в виде

= (5)

где 3^, — перемещения сопряженных точек £-го и /-го тел в на-

правлении внешней нормали, 8" — первоначальный натяг (или зазор)

между сопряженными точками в направлении нормали п,й.

Запишем уравнения равновесия для изолированных тел £ и / в матричном виде при отсутствии контакта между ними

та о т с»:

/ял

где [Л]г, [ЛГЬ — матрицы жесткости соответственно тел І И /', 6г, 8} — искомые векторы обобщенных перемещений, а Я і И Яг — внешние статические нагрузки.

Для описания контактного взаимодействия между сопряженными точками введем согласно работе [4] контактный слой, жесткость которого моделируется матрицей [Г]. Коэффициенты матрицы [Г] характеризуют жесткости связей сопряженных точек в общей системе координат и определяются соотношением [7]

в котором [С] — матрица жесткости связей в местной системе координат, определяемой нормалью и касательной в точке і, [Л.] — матрица направляющих косинусов между местной и общей системами координат, а «т» — индекс транспонирования. С учетом выражения (7) система уравнений равновесия для взаимодействующих тел запишется в следующем виде

Решение нелинейной системы уравнений (8) ведется по следующему алгоритму. Предварительно задаются узлы контакта е 5на I и / деталях, далее составляется и решается при известных статических и кинематических граничных условиях система уравнений (8).

По найденным смещениям контактных пар определяются усилия контакта в сопряженных узлах

Нормальная составляющая усилий {/?&} проверяется на знак и

для узлов, в которых она положительна, полагается, что {С] = 0, и процесс повторяется. При стабилизации зоны контакта проверяется условие непроникновения (4) узлов по границе контакта и в зависимости от его выполнения процесс поиска зоны контакта заканчивается, либо повторяется вновь до одновременного выполнения условия (4) и отрицательности контактных нагрузок (9).

2. Для анализа работы соединения за пределом упругости воспользуемся деформационной теорией малых упруго-пластических деформаций [8]. Запишем уравнения пластичности в виде

1гЛ(/] = Мт[С]М

(7)

[К|] + [Г] -

-[Г] Щл

(8)

{/?*} = [СЛЖ^-8*).

(9)

(10)

Т*У д* Т-*У ’ Ту* д* Туг » хгх >

где Е* и V*—переменные параметры упругости, О* = —, как

Е*

показал Биргер И. А. [8],

Е* = ЕС, V* = 0,5 (1 — (1 — 2у) • <р),

(П)

где £ и V — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала деталей, £'с=<То/е0 — секущий модуль зависимости о0= = сг0(ео), (То и 8о — соответственно интенсивность напряжений и деформаций (р = Ес/Е. Зависимость со = <то(ео)—получается на основе экспериментальной диаграммы растяжения образца.

Процесс определения переменных параметров упругости заключается в следующем. При заданной области контакта в первом приближении материал считается упругим {Е\ = Е, = V) и решается задача упругости. В результате определяются интенсивность напряжения (Гм в упругом теле и соответствующее значение интенсивности деформаций

£<и == ^011Е .

По величине 801 определяются на кривой деформирования значение 001 и секущий модуль

^С1~ а01 /®01 •

Во втором приближении полагают

$ = ЕС1, у;=0,5(1-(1-2у)*)

и снова решают упругую задачу с новыми значениями переменных параметров упругости. Процесс считается законченным, если для г-го приближения выполняется соотношение

I о0/ — о0 г_х| < 1 ,

где V — принятая точность сходимости приближений.

3. Алгоритмы решения упруго-пластической контактной задачи реализованы в комплексе программ ФИТИНГ [6], с помощью которого можно решать задачи строительной механики и механики разрушения в двумерной, осесимметричной и трехмерной постановках.

Для повышения скорости сходимости итерационного процесса поиска зон пластического деформирования использована методика корректировки секущего модуля Ес аналогичная методу верхней релаксации решений систем алгебраических уравнений [9]

ЕС1+1 = Еа + <ы> (Есш — Еа) . (12)

В отличие от работы [9], коэффициент релаксации выбирается переменным в процессе итерационного цикла

тю — 1 + Д а>/га. (13)

Для определения оптимального значения ни проведен численный эксперимент на примере решения задачи о контактном взаимодействии двух дисков постоянной толщины, нагруженных внешним давлением 0=65МПа (рис. 2,а), диаграмма растяжения материала, которых приведена на рис. 2,6. Параметр Дш выражения (13) варьировался в пределах 0н-0,8, а а принимал значения от 0,5 до 4. Точность выхода из итераций определялась величиной у=0,0005. Как видно из рис. 2, наименьшее количество итераций N соответствует величине До) = 0,6 при а = 2, что приводит к уменьшению количества итераций в два раза.

4. В качестве примера применения предложенной методики рассмотрим распределение напряжений в соединении типа «ласточкин хвост» лопаток и дисков турбокомпрессора двигателя. На рис. 3, а показана конструктивная схема соединения, нагруженного от инерционных сил напряжениями о0 и закрепленного по нижней и боковым поверхностям (и, V — соответственно перемещения в направлении осей

Рис. 2

ТЕ ^Лопатки

во~100МПа -----расчет па мкэ

X п У). Конечно-элементная модель соединения включает 1550 узлов (3100 неизвестных перемещений), состоит из элементов с линейной аппроксимацией перемещений и показана на рис. 4. Материал лопатки и диска—сталь ЭИ-961, £ = 2-105МПа, Vl = 0,3, предел текучести ат = 750МПа. На рис. 3,6 приводятся эпюры распределения главных и тангенциальных напряжений ое для нагрузки ао=100 МПа, которые сравниваются с экспериментальными данными работы [10], полученными методом фотоупругости. В основном наблюдается хорошее количественное совпадение результатов расчета с экспериментом, за исключением боковой зоны контакта лопатки с диском. Полученный расчетом коэффициент концентрации напряжений Ко = аОтах/0о = 3,45 превышает экспериментальное значение этого коэффициента 3,25 на -5,7%.

Рис. 5

На рис. 5 приводится развитие зон пластичности — левая часть рисунка и распределение контактных давлений — правая часть рисунка при монотонном увеличении нагрузки от сто = 400 МПа до сго=700 МПа. Пластические деформации появляются на радиусе сопряжения основания диска с его боковой рабочей поверхностью. С ростом нагрузки зоны пластических деформаций увеличиваются и появляются на сопряжении лопатки с ее основанием, где превалируют растягивающие напряжения, а затем и на нижней поверхности основания лопатки, где превалируют напряжения сжатия. Контактные напряжения сжатия, показанные на правой части рис. 5, имеют неравномерный характер по боковой поверхности основания лопатки, и их распределение в значительной степени отличается от треугольного закона, принимаемого в работе [10] для расчета изолированных деталей соединений.

1. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М.: Наука, 1980.

2. Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1980.

3. Сухарев И. П. Прочность шарнирных узлов машин. — М.: Машиностроение, 1977.

4. Иосилевич Г. Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. — М.: Машиностроение, 1981.

5. Ш е в ч е н к о Ю. А. Применение метода конечных элементов к решению контактной задачи теорией упругости с переменной зоной контакта без трения. — М.: Ученые записки ЦАГИ, т. 7, № 6, 1976.

6. Барышников В. И., Гришин В. И., Донченко В. Ю., Тихонов Ю. В. Применение метода конечных элементов к исследованию местной прочности элементов авиационных конструкций. — М.: Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 1.

7. Гришин В. И., Бегеев Т. К. Исследование контактного взаимодействия в элементах авиационных конструкций. — Киев: Проблемы прочности, 1988, № 9.

8. Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. — М.: Оборонгиз, 1961.

9. Г р и ш и н В. И. О концентрации напряжений в растянутой пластине с отверстием, подкрепленной центральным поясом. — М.: Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 6. '

10. Мавлютов Р. Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. — М.: Наука, 1981.

Рукопись поступила 15/ХП 1988