Численное исследование по уменьшению сопротивления крыла сложной формы в плане в сверхзвуковом потоке невязкого газа Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 06

№ 4

УДК 629.735.33.015.3.025.1:533.6.013.12/. 13

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПО УМЕНЬШЕНИЮ СОПРОТИВЛЕНИЯ КРЫЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ В ПЛАНЕ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ НЕВЯЗКОГО ГАЗА

С. А. ТАКОВИЦКИЙ

Рассмотрена задача минимизации сопротивления несущего крыла в сверхзвуковом потоке. На основе прямого метода оптимизации проведено построение срединной поверхности крыла с корневым наплывом. Наряду с пространственной деформацией исследована простейшая «коническая» деформация, заключающаяся в изломе поверхности вдоль двух лучей. Полученные оптимальные формы обеспечивают близкие аэродинамические характеристики и существенно отличаются геометрически, в том числе по закону изменения угла закрученности сечений по размаху крыла. Дано сопоставление с результатами, полученными в линейной постановке.

Систематические исследования крыльев сложной формы в плане проведены в ЦАГИ при отработке аэродинамической компоновки сверхзвукового пассажирского самолета первого поколения Ту-144. В рамках линейной теории разработан математический аппарат построения срединной поверхности крыла, оптимальной по индуктивному сопротивлению [1]. Эффективным оказалось представление деформации крыла двойным полиномом по координатам в базовой плоскости.

Современный уровень развития вычислительной техники, методов математического моделирования и решения вариационных задач позволяет проводить исследования по совершенствованию аэродинамических форм в рамках системы уравнений Эйлера. Для прямых методов оптимизации актуальна проблема ускорения сходимости, что позволяет увеличить число варьируемых параметров и тем самым расширить класс рассматриваемых конфигураций. Надежным способом ускорения процесса оптимизации является использование допущений локальных моделей на этапе решения вариационной задачи [2]. При этом реализуется скорость сходимости, близкая к квадратичной, что позволяет практически устранить зависимость числа прямых расчетов от числа параметров.

В настоящей работе проведено построение срединной поверхности крыла с корневым наплывом. Показана плохая обусловленность задачи. Определена простейшая деформация, обеспечивающая основную часть выигрыша по индуктивному сопротивлению.

1. Постановка задачи. Рассмотрено крыло, имеющее угол стреловидности по передней кромке хц = 75° в центральной части и хк = 61° в консольной части. Оптимизация проводилась

по условию уменьшения сопротивления при заданной подъемной силе в невязком потоке. Принято, что крыло имеет нулевую толщину. Задача представляет случай условной минимизации функции многих переменных:

cxa (h1,..., hN, а) = min, cya (hb..., hN, а) = const.

Здесь cx , Cy — коэффициенты лобового сопротивления (целевая функция) и подъемной силы крыла; а — угол атаки; hi (i = 1, ..., N) — параметры, определяющие форму крыла. При

20

30

10

О

25

50

75

100

х

Рис. 1

вычислении аэродинамических коэффициентов силы относились к скоростному напору набегающего потока и площади крыла в плане.

Проекция крыла на базовую плоскость разбивается на треугольные элементы. Для консоли выделено 26 продольных сечений, в каждом из которых средняя линия профиля образуется 20 отрезками. Задняя кромка не деформировалась. Число геометрических параметров к (смещения узловых точек по нормали к базовой плоскости) N = 519. Форма крыла в плане не изменяется. Сказанное иллюстрирует рис. 1. Для уменьшения числа линий представлены четырехугольные элементы, каждый из которых состоит из двух треугольных элементов.

Дополнительно исследована возможность уменьшения индуктивного сопротивления посредством простейших деформаций, определенных для треугольной пластины [3]. Поверхность крыла представляется четырьмя плоскими элементами, стыкующимися вдоль лучей, выходящих из вершины крыла. Элементы имеют одинаковые углы при вершине. Деформация определяется двумя геометрическими параметрами. В этом случае условие сохранения формы в плане заменено условием сохранения площади омываемой поверхности.

2. Метод оптимизации. Метод оптимизации объединяет решение прямой задачи в рамках модели Эйлера и решение вариационной задачи методом Ньютона.

Вариационная задача решается в упрощенной постановке, позволяющей представить целевую функцию и функции, задающие ограничения, в аналитическом виде. На основе свойства локальности сверхзвуковых течений предполагается, что изменение положения некоторой узловой точки влияет на газодинамические параметры только на примыкающих элементах. Каждая узловая точка (за исключением точек на кромках крыла) окружена 6 элементами.

Наиболее простым способом оценки изменения давления на элементе поверхности является теория течения типа простой волны. Пространственное перемещение элемента требует разворота вектора скорости на угол 0 так, чтобы он был параллелен поверхности. Разворот потока приводит к изменению давления. Для слабых волн связь давления с углом поворота устанавливается соотношением:

где р, М — давление и число Маха до поворота потока; рп — давление после поворота; у — отношение удельных теплоемкостей.

Линейной аппроксимации газодинамических функций достаточно для представления целевой функции (лобового сопротивления) в виде квадратичной формы. Функция-ограничение (подъемная сила) аппроксимируется линейной зависимостью, что позволяет устранить угол атаки из числа независимых параметров. Для точного выполнения условия сохранения коэффициента подъемной силы в численном расчете проводится соответствующая корректировка геометрических параметров и угла атаки. Полученные данные о градиенте и матрице Гессе

Рп

позволяют определить минимум целевой функции на основе обобщенной постановки метода Ньютона.

Обтекание крыла рассчитывалось маршевым методом. Уравнения движения для стационарного течения невязкого совершенного газа интегрировались двухшаговым конечноразностным методом Мак-Кормака. Уравнения Эйлера записывались в цилиндрической системе координат

в консервативной форме, что позволило получать информацию о скачках уплотнения и других разрывах течения без специального выделения пространственного положения.

При построении расчетной сетки применялся многозонный подход. Рассчитываемая область течения разбивалась на две зоны, расположенные под и над крылом. В узлах расчетной сетки, лежащих на поверхности крыла, после расчета по основной схеме проводился изоэнтропический поворот потока, в результате чего обеспечивалось выполнение условия непротекания. Для узлов, находящихся в вертикальной плоскости симметрии, использовались известные принципы отражения.

3. Результаты численного исследования. Оптимизация крыла проведена при числе Маха набегающего потока Мот = 2.1 и с = 0.1. При этом реализуется течение с дозвуковыми

передними кромками. Полученные результаты представлены в сопоставлении с данными исследования в линейной постановке [1].

Геометрическими характеристиками являются углы закрученности сечений и средние линии профилей. На рис. 2 дано сравнение распределения углов крутки ф по размаху крыла. Углы крутки различаются по абсолютной величине и имеют разные законы изменения по размаху. Оптимальное в нелинейной постановке крыло имеет наименьшую закрученность. Зависимость ф( г) близка к линейной. Крыло, составленное из четырех плоских элементов, характеризуется постоянством угла закрученности консольной части. В то же время, крылья имеют близкие интегральные аэродинамические характеристики. Это объясняется плохой обусловленностью оптимизационной задачи, что отмечено в [2]. Минимум целевой функции имеет овражный характер. Существуют вариации формы, которые слабо влияют на аэродинамические характеристики крыла.

Поверхность оптимального крыла хорошо аппроксимирует двойной полином пятой степени от координат базовой (горизонтальной) плоскости. Формы средних линий профилей

Рис. 2

оптимальных крыльев имеют небольшие относительные величины максимальной вогнутости (рис. 3). Центральное сечение оптимального в линейной постановке крыла имеет характерную З1-образ-ность. У построенного в численном расчете крыла данная особенность выражена менее резко. Консольная часть крыла выпукла в подветренную сторону.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Оптимальная деформация крыла приводит к более равномерному распределению нагрузки по размаху. Перепад давления в окрестности передней кромки уменьшается. Плоские и оптимальные крылья имеют близкие несущие и моментные характеристики (рис. 4). Продольный момент Мг вычислялся относительно вершины крыла. Производная коэффициента подъемной силы по углу атаки и положение фокуса изменяются незначительно. Сравнение поляр демонстрирует превосходство крыльев с неплоской срединной поверхностью (рис. 5). Уменьшение сопротивления достигает 22%. В линейной постановке получено значение 20% [1]. Отметим, что близкая к конической вариация формы крыла позволяет снизить индуктивное сопротивление

на 20%. Это подтверждает важность исследований по поиску простейших деформаций в задачах оптимизации аэродинамических форм.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гладков А. А., Притуло М. Ф., Черемухин Г. А., Чирков Ю. А., Якимов Г. Л. Результаты теоретических и экспериментальных исследований крыльев минимального индуктивного сопротивления при сверхзвуковых скоростях // Труды ЦАГИ. — 1968.

2. Takovitsky S. A. Numerical optimization of the wing of a supersonic airplane // Proc. 23rd Intern. Congr. of Aeronaut. Sci. (ICAS). — Toronto, Canada. — 2002.

3. Таковицкий С. А. О выборе системы геометрических параметров оптимизируемого крыла // Прикладная математика и механика. — 1998. Т. 62. Вып. 5.

Рукопись поступила 20/X 2005 г.