CC BY
9
УДК 514.75
Н. В. Кондратьева
(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГИПЕРПОЛОС
К ИЗУЧЕНИЮ ДВОЙСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ СЕТЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ
В проективном пространстве найдены приложения двойственной геометрии гиперполос Hm с Pn к изучению двойственной геометрии многомерных поверхностей Vm с Pn и сетей !т с Vm .
m п т т '
Ключевые слова: гиперполоса, двойственность, связность, сеть, псевдофокус, псевдофокальная гиперплоскость.
Индексы на протяжении всей работы принимают следующие значения:
I, К, Ь = 0, п; ¡, ]', к, 1,8,1 = 1, т;
а, р, у = т +1, п; и, V, w, г = т +1, п -1.
1. Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп, отнесенное к подвижному точечному реперу Я = {А1} из п +1 аналитических точек А1. Уравнения инфинитезимальных перемещений репера имеют вид
dA1 =®КАк ; (1)
здесь формы Пфаффа а>к удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства [7]:
БаК = , = (2)
Определение 1 [2]. т -мерной гиперполосой Нт с Рп называется т -параметрическое многообразие плоских элементов (А, Пп_1), причем точка А описывает поверхность Ут, а гиперплоскости Пп_1 (А) касаются поверхности Ут в соответствующих точках А е Ут. Поверхность Ут называется базисной поверхностью гиперполосы Нт, а гиперплоскости Пп_1(А) — главными касательными гиперплоскостями гиперполосы Нт.
Рассмотрим т -мерную поверхность Ут с Рп; известно [3], что в репере первого порядка (т. е. вершины А{ репера {А1} расположены в касательной плоскости Тт (А0) к поверхности в точке А0 еУт) ее дифференциальные уравнения имеют вид:
®0а = 0. (3)
Продолжая уравнения (3), имеем:
®« = 4®0, (4)
где совокупность функций {Д } образует симметричный тензор второго порядка.
Предположим, что т < п — 1, т. е. поверхность Ут с Рп отлична от гиперповерхности; в этом случае в работе [5] в предположении
(т + 1)(т + 2)
п — т <--—-1 (5)
6
внутренним образом построен охват Ъа , являющегося тензором третьего порядка:
^Ъа — ЪУа+ Ъаа0 = Ъш< . (6)
Следует считать т > 2, ибо при т = 2 из (5) имеем п = 3, что противоречит неравенству т < п — 1.
Инвариантная гиперплоскость , уравнение которой
имеет вид Ьаха = 0, является касательной гиперплоскостью к соприкасающейся гиперквадрике [5] в точке А0 eVm и содержит касательную плоскость Тт (А0). Следовательно, справедлива:
Теорема 1. Поверхность Vm с Рп (2 < т < п — 1), подчиненная условию (5), в дифференциальной окрестности третьего порядка порождает инвариантно присоединенную к ней гиперполосу Нт , для которой данная поверхность является базисной.
Пусть Ап это равносильно тому, что Ьп Ф 0. Очевидно, что точки Ву = А ——Ап находятся в общем положении и
Ьп
лежат в гиперплоскости , т. е. = [А0].
В специализированном репере {А0, А{, Ву, Ап } (вершины Аа репера {А1} выбираются таким образом, чтобы (п — т) -мерная плоскость [ А0 Аа] пересекала гиперплоскость по ее характеристике Пп—т—1(А0), т. е. Bv еПп—т—1(А0)) уравнения гиперполосы Нт с Рп, ассоциированной с поверхностью Vm с Рп, запишутся в виде:
па=пп = 0, п = мЩ, пи = ширь, р = ^0, (7)
где М = ±-ЬаЛа .
Теорема 2. Гиперполоса Нт, ассоциированная с поверхностью Vm с Рп (2 < т < п — 1), регулярна тогда и только тогда, когда тензор третьего порядка ЬаЛа^ невырожден.
Пусть регулярная гиперполоса Нт с Рп нормализована двойственным образом [8] полями квазитензоров угп и у0 :
— у'п а: + № + а = , (8)
^0 — Ж + у0и°о + = №. ()
При этом индуцируются две двойственные [6] аффинные связности V и V без кручения, определяемые соответственно системами форм Пфаффа:
во =а0, вЩ =а/ —5/а0+$/у№к +у°^,
Щ =во = П'0, в/ = вЩ + [ММк —М^ИКуО —иуп) — (9) — 3>(У1 — М"куп) — 31(у° — му^о*. Доказана следующая
Теорема 3. На ассоциированной регулярной гиперполосе Нт с Рп (2 < т < п — 1), двойственно нормализованной полями
квазитензоров у'п, у0, в касательном расслоении Тт (Ут) индуцируются две двойственные аффинные связности без кручения V и V, определяемые системами форм (9), причем эти связности сопряжены относительно поля тензора мп ги-
о _
перполосы. Связность V, средняя по отношению V и V, является вейлевой с невырожденным метрическим тензором Мона является римановой тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор Т[!Л](у) :
Т[^](у) = у['«] — ук[Мф - 0 . (10)
2. Инвариантное присоединение регулярной гиперполосы Нт к поверхности Ут с Рп (2 < т < п — 1) позволяет изучать двойственную геометрию сетей на рассматриваемой поверхности; в частности, это приводит к построению
инвариантной нормализации Vm с помощью полей гармонических плоскостей сети Еm с Vm, слабо сопряженной относительно поля симметричного тензора ЪаД , а также дает возможность изучать различные подклассы сетей Е с V
mm
Если точечный репер R = {Aj} отнести к сети Ет с Vm (AA — касательные к линиям сети), то согласно [1] имеем
а/ = ajdk, i * j. (11)
В репере, отнесенном к сети, аналитическим условием сопряженности относительно поля конусов направлений
р = МЦа^а = 0 является Мn = 0,i * j ; ниже эту сеть Em с Vm, в отличие от сопряженной сети на Vm( Д = 0, i * j),
назовем слабо сопряженной. Составим охват
ЯП = ~L1 Xa\№l, + ~лпп) + < = 0 . (12)
m— Ii *i
Сравнивая уравнения (8) и (12), заключаем, что m полей квазитензоров q'n внутренним образом определяют поле инвариантных нормалей первого рода, которое называется полем гармонических (п — m) -мерных плоскостей слабо сопряженной сети.
Зная закон охвата объекта нормали первого рода я\ гиперполосы Нm с Pn, с использованием ее двойственного [6] образа построим внутренним образом определенную соответствующую нормаль второго рода q0:
Я0 =— Xa'u . (13)
m — Ii *i
Поле нормалей д0 служит полем гармонических (т — 1) -мерных плоскостей слабо сопряженной сети £т с Нт в смысле [1].
Теорема 4. Поля гармонических плоскостей слабо сопряженной сети !т с Ут (2 < т < п — 1), задаваемые полями квазитензоров д'п и , определяют инвариантную нормализацию поверхности Ут с Рп .
Определение 2. Линия, принадлежащая базисной поверхности Ут гиперполосы Нт с Рп, называется линией Дарбу, если она в каждой своей точке касается инвариантного конуса направлений О£к&'0&0)&к = 0.
Доказана
Теорема 5. Для ассоциированной регулярной гиперполосы Н т с Рп, несущей слабо сопряженную сеть !т с Нт, поля ее
гармонических плоскостей д'п и д0 нормализуют гиперполосу взаимно тогда и только тогда, когда данная сеть есть сеть Дарбу.
Для слабо сопряженной сети Ет с Нт псевдофокусы Е/ [1] и двойственные им псевдофокальные гиперплоскости ч/ не зависят от выбора полей нормалей первого и второго родов; они определяются формулами:
=—а№ + А г * 1, (14) ч! = мЩмц +%г, г * ].
Пусть регулярная гиперполоса Нт с Рп нормализована полями квазитензоров у'п и у0. Согласно (9, 11) условия параллельного перенесения направления А0 Аг касательной к г -й линии сети £т с Нт вдоль ее линии О1, в аффинных связно-стях V и V имеют соответственно вид:
ак -уМ +У081 = 0,1 Ф ],
4 + мк'мПк + 51МУп - М?МУ0 = 0,1 Ф к.
Если соотношения (15) справедливы при к = 1 для любого 1 (для любых 1 Ф к), то сеть называется геодезической (чебышевской) соответственно первого или второго рода относительно данной нормализации гиперполосы Нт с Рп .
Для слабо сопряженной сети Ет с Нт условием ее геодезичности первого или второго рода соответственно является:
ак-укМП = 0,1 Ф к,
(16)
ак +У0 = 0,1 Ф ].
Аналогично рассматриваемая сеть 1т с Нт называется чебышевской первого или второго рода тогда и только тогда, когда справедливы (соответственно) соотношения:
ак +3,]У° = 0,1 Ф 1,1,
(17)
МЩак -3{Уп = 0,1 Ф к,1.
Из условий (16) с учетом (11 — 13) непосредственно следует
Теорема 6. Слабо сопряженная сеть !т с Ут есть сеть с совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями) тогда и только тогда, когда относительно поля ее гармонических плоскостей д0 (д'п) она является геодезической сетью второго (первого) рода.
Замечание. Из соотношений (16, 17) непосредственно следует, что слабо сопряженная чебышевская сеть Ет с Ут первого (второго) рода является геодезической второго (первого) рода, а следовательно, согласно теореме 6 она принадлежит к классу сетей с совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями).
Список литературы
1. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства // Известия вузов. Матем. 1966. № 2. С. 9—19.
2. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 8. М., 1950. С. 197—272.
3. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1965. С. 5—64.
4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
5. Остиану Н. М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Труды геометрического семинара. М., 1966. Т. 1. С. 239—263.
6. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
7. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии . М.; Л., 1948.
8. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация // Докл. АН Арм. ССР. 1959. Т. 28, № 4. С. 151—157.
N. Kondratyeva
APPLICATIONS OF THE THEORY OF HYPERSTRIPS TO STUDYING THE DUAL GEOMETRY OF NETWORKS ON THE SURFACE
Applications of dual geometry of hyperstrips Hm с Pn to studying dual geometry of multidimensional surfaces Vm с Pn and networks Im с Vm are found in projective space.
