Приемы решения некоторых комбинированных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ---------

И ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

THEORY AND METHODOLOGY OF TEACHING MATHEMATICAL AND NATURAL SCIENCE DISCIPLINES

УДК 51+512.3

ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ

Кара-Сал Н.М.

Тувинский государственный университет, Кызыл

THE TECHNIQUES IN THE SOLUTION OF SOME COMBINED EQUATIONS

Kara-Sal N.

Tuvan State University, Kyzyl

В данной статье рассматриваются некоторые приемы решения комбинированных уравнений, в левой и правой частях которых участвуют тригонометрические функции. Приведены примеры уравнений, классифицированных на шесть типов. Использование комбинированных уравнений на завершающем этапе школьного курса математики способствует систематизации знаний.

Ключевые слова: приемы решения комбинированных уравнений, тригонометрические функции, систематизация знаний.

Some techniques of combined equation solutions which in the left and right sides have trigonometric functions are reviewed in the article. The examples of equations classified into six types are given in the article. Using combined equations in the final stage of school mathematics contributes to systematize students' knowledge.

Key words: the techniques of solution of combined equations, trigonometric functions, systematization of knowledge.

На завершающем этапе изучения курса «Алгебра и начала анализа» в 11 классе учащиеся, как правило, владеют приемами решения различных классов уравнений и неравенств. Однако часто они затрудняются при решении уравнений и неравенств, в которых участвуют различные функции. Назовем такие уравнения и неравенства комбинированными.

Классифицировать их бывает сложно и не всегда можно подобрать приемы решения комбинированных уравнений и неравенств.

В статье остановимся на некоторых приемах решения комбинированных уравнений, в левой или правой частях которых участвуют тригонометрические функции.

Такие уравнения можно условно разбить на уравнения, в которых участвуют комбинации тригонометрических функций:

1) с линейной и квадратичной функцией;

2) со степенной функцией;

3) с дробно-рациональной функцией;

4) с показательной функцией;

5) с логарифмической функцией;

6) с обратно тригонометрическими функциями.

Тема является одной из сложных, поэтому программой по математике для общеобразовательных школ, как правило, не предусмотрена для обязательного изучения. С другой стороны, задания по данной теме включены в контрольно-измерительные материалы (КИМ) ЕГЭ по математике. Чаще всего такие задания предлагаются на ЕГЭ в части С. Поэтому для овладения навыками решения комбинированных уравнений и неравенств школьнику необходимо владеть приемами решения различных типов уравнений и неравенств.

Остановимся кратко на анализе содержания темы в школьных учебниках и учебных пособиях различных авторов.

Результаты анализа показывают, что прежде всего в комплектах учебников под редакцией А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов [3] имеется достаточно много примеров комбинированных уравнений и неравенств. Следует заметить, что их можно использовать для работы с учащимися, имеющими различный уровень математической подготовки.

Можно выделить следующие виды уравнений, в которых чаще встречаются комбинации тригонометрических функций с другими функциями: (1), (2), (4), (5), реже - вида (3), (6). Например,

(бШ 2х + СОБ2Х)(Х - 8л/2х -15 )= 0

(2л Л 5лх лх 32V* _ 4х + 8) = sin--cos—

4 2 и т.д.

Несмотря на разнообразие комбинированных уравнений в данном комплекте учебников, в нем недостаточно уделяется внимания на методику решения таких уравнений для учащихся.

Если обратиться к учебнику Ш.А. Алимова и др. «Алгебра и начала анализа» для 10 - 11 классов [1], то гораздо реже встречаются такие уравнения, за исключением заданий на графическое решение комбинированных уравнений.

Лишь в разделе «Задачи для внеклассной работы» имеется несколько примеров комбинированных уравнений. Например,

log (4cos х + 3) log (4cos х + 3) = log (4 cos х + 3) + log (4 cos х + 3)

Что касается учебника под редакцией А.Н.Колмогорова «Алгебра и начала анализа» [2], то имеем картину аналогичную учебнику А.Ш. Алимова [1].

Гораздо интересней представлен материал по данной теме в учебниках и учебных пособиях для классов с углубленным изучением математики или для профильных классов с математическим или с техническим, экономическим уклоном.

Так, в учебном пособии Н.Я. Виленкина и др. «Алгебра и математический анализ» для 11 класса [5] более подробно представлен как теоретический, так и задачный материал. Рассматриваются все перечисленные выше комбинации функций в уравнениях и неравенствах.

Особого рассмотрения заслуживают учебные пособия Ю.М. Колягина[4], С.М. Саакяна [8], И.Ф. Шарыгина [9].

В учебнике Ю. М. Колягина и др. «Алгебра и начала математического анализа» для 10 и 11 классов [4] достаточно много комбинированных уравнений и неравенств.

В отличие от других учебников в этом учебнике вводится метод оценки левой и правой частей при решении уравнений и неравенств, подробно разобраны образцы решения уравнений.

Кроме того, в учебнике 11 класса имеются простейшие уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, чего нельзя сказать про другие учебники.

В пособии С.М. Саакяна и др. [8] «Задачи по алгебре и началам анализа» для учащихся 10-11 классов наиболее полно представлены типы различных комбинированных уравнений и неравенств.

В этом пособии задачи разделены на три уровня. Третий уровень представляет собой задачи, для решения которых необходимо проявить элементы творчества. Они адресованы учащимся, проявляющим повышенный интерес к изучению математики и могут быть использованы учителем для организации индивидуальной работы на уроках с сильными учащимися, на факультативных занятиях, а так же в работе математического кружка.

Именно в заданиях третьего уровня имеются примеры комбинированных уравнений.

В книге И.Ф. Шарыгина, В.И. Голубева «Факультативный курс по математике» для 11 класса [9], в отличие от рассмотренных выше учебников и учебных пособий, комбинированные уравнения и неравенства представлены достаточно широко. При этом они чаще всего встречаются в параграфе «Нестандартные задачи». При этом авторы в некоторых случаях описывают основные методы, наиболее часто встречающиеся при решении нестандартных задач. Например, метод оценки левой и правой частей уравнения, использование известных неравенств, нестандартные замены, использование монотонности функций и т.д. Естественно, широкий диапазон таких задач преследует цель -подготовить выпускника, владеющего приемами решения нестандартных задач.

Наиболее полно комбинированные уравнения представлены в учебном пособии «Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы » под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова [7].

Данное пособие содержит задания С1, С3 по отдельным темам, включенные в ЕГЭ. Основная цель авторов пособия - выработать навыки решения заданий с развернутым ответом при подготовке к ЕГЭ.

В пособии имеются 12 параграфов по различным темам, включающие по 9 заданий, а один вариант является демонстрационным с решениями.

В связи с тем, что комбинированные уравнения чаще стали включаться в задания ЕГЭ в части С, то некоторые авторы учебных пособий обращают пристальное внимание на такие задачи. В этом плане следует отметить учебное пособие Ф.Ф. Лысенко и др. «Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы» [7]. В пособии имеются достаточно много вариантов различных уравнений, неравенств и их систем без

приведения решений, такое пособие является полезным как для учащихся, готовящимся к ЕГЭ по математике, так и для учителей при организации и контроле индивидуальной, самостоятельной работы школьников.

Таким образом, анализ учебников и учебных пособий позволяет сделать вывод о том, что комбинированные уравнения и неравенства в учебниках для общеобразовательных школ мало представлены, так как их решение является необязательным согласно программе. Лучше они представлены в пособиях и учебниках, предназначенных для профильных классов со специальным уклоном (физико-математическим, техническим и др.). Обратимся к примерам.

т-т , D 4sin х = 4х2 - 4 л х + л2 + 4

Пример 1. Решить уравнение .

П(- f(х) = 4sinх, g(x) = 4х2 - 4лх + л2 + 4

Обозначим и применим прием

-4 < 4sinх < 4,

оценки левой и правой части уравнения: '

4х2 - 4л х + л2 + 4 = (2х -л)2 + 4 > 4 т

v ' . Тогда равенство дх) = g(х) возможно

тогда и только тогда, когда fх) = g(х) =4 или

f4sin х = 4 (2х-л)2 + 4 = 4, л

X = — 2

откуда 2 .

Заметим, что уравнение можно решить и графическим методом. Построив графики функций f (х) = 4sinх и y(х) = (2х л) +4 убедимся, что графики

л

X = —.

пересекают в точке с абсциссой 2

2 х -2 х „2 1

2sin— • sin- = x + — Пример 2. Показать, что уравнение 26 x не имеет

решений.

Преобразуем правую часть уравнения следующим образом:

2 / ,\2

X2 +-1 = х2 + Л-2 + 2 = | х --| + 2 I х --| > 0 L - !| + 2 > 2

2 2 . . . . . x x V x J . Так как V x J , то V x

_ .оХ.оХ^ _ .oX.oX,-

0 < sin- • sin- < 1 0 < sin- • sin- < 2

С другой стороны 2 6 , поэтому 2 6 .

Применяя прием оценки левой и правой части уравнения, имеем систему:

x 2

• 2 X -2 X о

2sin — • sin — = 2

х - - | + 2 = 2

х

Из второго уравнения получим решения х=-1 и х=1, которые не удовлетворяют первому.

Пример 3. Найдите все корни уравнения 3 н 3 _ 2с08X, принадлежащие промежутку [0; 1].

1

а н— а

Используя неравенство

> 2

ox I о—x ^ гу

, имеем 3 ^3 > 2. С другой стороны,

Í3x + 3—x = 2

- 2<2cosт<2 |2cosx = 2

¿-¿^иал тогда решение сводится к решению системы L

откуда получим решение х = 0, принадлежащее промежутку [0; 1].

2 т + sin т + 2

Пример 4. Имеет ли решение уравнение

2 т + sin т + 2

Перепишем уравнение так:

+ x2 + 5 = 2 x ?

= — x2 + 2x — 5

f(x) = —x2 + 2 x — 5 = —(x2 — 2 x +1)— 4 Функция J v ' v ' принимает отрицательные

2x + sin x + 2

* (X) =

значения, с другой стороны, функция неотрицательные значения. Значит, уравнение не имеет решений.

принимает

n

1 nncos x _ r3 9

Пример 5. Сколько корней имеет уравнение 100 = x на отрезке [0; 2 ]?

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, имеем

cos х lg100 = 3lg| X 2cos x = 3lg| x| 1 1 или 1

Используя свойство монотонности, сделаем выводы о том, что на отрезке

[0'?] У = 3lg х|

2 функция y = cosx убывает, а функция 1 1 - возрастает. Поэтому

п

уравнение имеет один корень на отрезке [0; 2 ].

Пример 6. Имеются ли пары чисел (х, у), которые удовлетворяют уравнению tg 4 х + tg4y + 2ctg2 х • ctg2 y = 4 - х2 - y 2?

4 4

Используя прием выделения полного квадрата к выражению tg X + tg У ,

имеем

tg4 х + tg4 y = (tg2 х)2 + (tg2 y)2 - 2tg2 х • tg2 y + 2tg2 х • tg2 y = (tg2 x - tg2 y)2 + 2tg2 x • tg2 y Тогда левая часть уравнения принимает вид

(tg2х - tg2 y)2 + 2tg2х • tg2 y + 2ctg 2х • ctg 2 y T-T

0.7/ ö & s ö ö s . Применив еще раз прием выделения

полного квадрата ко второму и третьему слагаемым, получим 2х •ctg2y) = 2(g•tgy-cg • ctgv)2 +'. ----- исходное

2(tg2 x • tg 2 y + ctg 2 x • ctg 2 y) = 2(tgx • tgy — ctgx • ctgy)2 + 4. Тогда уравнение преобразуем к виду

(/я2 х - гя2у)2 + • гяу - с/ях • с^2 + 4 = 4 - х 2 - у2. 0ценив левую и

правую часть уравнения, приходим к выводу:

~2х - я у)2 + • я - аях • с/яу)2 + 4 > 4, а так как х 2 + У -, то

2 , ,.2 ^

Получим следующую систему

(/Я2х - /я2у)2 + 2(/ях • /ЯУ- с/ях • с/яу)2 + 4 > 4, а так как х2 + у2 > 0 4-(х2 + у2)< 4.

\({я2 х - гя2 у )2 + 2(/ях • гяу - с/ях • сгяу )2 + 4 = 4 4-(х2 +у2)= 4

Из второго уравнения получим х2 + у2 = 0, откуда х = 0, у = 0. Но это решение не удовлетворяет первому уравнению. Следовательно, нет такой пары чисел (х, у), которые удовлетворяют исходному уравнению.

х е

--hlüg6 sin X --hiüg2 COs X

O _ ¿r 2 _ O 2

Пример 7. Решить уравнение 26 = 2 на отрезке

[sin x > 0

0 Icosx ^0

Заметим, что уравнение имеет смысл, если L , откуда

2лп; — + 2лп

о; f

О I Г7

' , где n е Z . Преобразовав левую и правую части уравнения, получим 2 - ^ • sin х = • cosх или ^sin х + cosх = . Применяя метод

л/3 . 1 42

— sin х +— cos х = —

2 2 2 введения вспомогательного аргумента, имеем 2 2 2 или

sin

f

х + — 6

I V2

f / л\к f

х + - = (-1) — + fk, к е Z

2 . Тогда 6 4

f f f

х +— = —+ 2fm х =--+ 2fm

Если k =2m, то 6 4 , где m е Z или -2

, „ „ х + f = -f + (2m - 1)f х = - — + 2mf-f Если k =2m-1> то 6 4 K ' или 12 .

х = -5f + 2mf-f

Проверкой убеждаемся, что 2 не удовлетворяет

Л ~ п п

х =--ъ 2л ш 0; —

уравнению. Тогда получим решение 12 . Отрезку I- J принадлежит

f

х = — корень 12 при m = 0.

Пример 8. Найти количество корней уравнения

ж x 2nx 4 ж x 8ж x „„,_Jx

cos--cos--cos--cos-= 0.0625—

15 15 15 15 x

принадлежащие промежутку [-1; 3].

Левая часть уравнения представляет собой произведение косинусов, аргументы которых подчиняются зависимости: каждый следующий аргумент вдвое больше предыдущего. Его можно упростить, используя прием многократного применения формулы синуса двойного аргумента. В данном случае он заключается в

4 . ж x

2 • sin-

умножении и делении произведения на 15 и применении указанного приема.

. 16т |x| . 16ж л

sin-= — sin-= 1

Тогда получим уравнение 15 x . Если x>0, то 15 , если

. 16ж sin-= -1

x<0, то 15 .

Таким образом, исходное уравнение сводится к совокупности простейших

уравнений

Пример 9. Решить уравнение:

i í 2 л Л ■ 5ж x ж x loglx -4x + 8)= sin--cos-.

2V ' 4 2

Уравнение представляет собой комбинацию трех функций: тригонометрической, логарифмической и квадратичной.

Заметим, что функцию f(x)=x -4x+8 можно представить в виде f(x)=(x-2)2+4,

тогда f (x) > 4. Так как логарифмическая функция с основанием, равным 2,

log ((x - 2)2 + 4) > log 4 , монотонно возрастает, то 2 2 , т.е. функция в левой части

g(x) = log (x2 - 4x + 8) > 2.

уравнения 2

Преобразуем правую часть уравнения следующим образом:

. 5ж x ж x . 5ж x

sin--cos-= sin--sin

4 2 4

ж жx i . 7жx - 2ж 3жx + 4ж

= 2sin--cos

V 2 2 ) 4 4

I*(х)| < 2

Обозначив правую часть за §(х), имеем ' ' . Тогда получим систему

log2 ((x - 2)2 + 4)= 2

. 5жx жx

sin--cos— = 2,

4 2 «

уравнений ^ решением которой является х = 2.

Пример 10. Решить уравнение

arctg4(x3 + 2x2 -x - 2)+ 6x4 + x3 + 2x2 -x -3 = 0. Выражения, представляющие собой слагаемые в левой части уравнения, являются неотрицательными. Сумма двух неотрицательных выражений равна 0

тогда и только тогда, когда каждое из них равно 0. Поэтому имеем систему уравнений

\arctg4 (х3 + 2X 2 - X - 2) = 0

х4 + х3 + 2х2 - х - 3 = 0,

откуда

x3 + 2 x2 — x — 2 = 0

Заметим, что выражение x + 2x — x — 2 разлагается на множители (х+2)(х2-1), тогда первое уравнение системы имеет корни х = -2, х = -1, х = 1.

Проверка показывает, что второму уравнению удовлетворяют значения х = -1,

х = 1. Значит, исходное уравнение имеет корни х = -1, х = 1.

Таким образом, тема является одной из сложных в школьном курсе математики, в учебниках она излагается недостаточно полно. Поэтому учителю необходимо обратить внимание на это «белое пятно».

Надеемся, что наши рекомендации будут полезны для учителей математики при подготовке школьников к ЕГЭ по математике, при организации и контроле индивидуальной, самостоятельной работы, а также для внеклассной работы.

Библиографический список

1. Алгебра и начала анализа 10-11класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов и др. М.: Просвещение, 2003.

2. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: учебник / Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2010.

3. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович и др. Под ред. А.Г. Мордковича. М.: Мнемозина, 2010.

4. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /Ю. М. Колягин и др. Под ред. А.Б. Жижченко. М.: Просвещение, 2011.

5. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса. М.: Просвещение,

2009.

6. Кара-Сал Н.М. Использование свойств функций при решении математических задач. Учебно-методическое пособие по практикуму решения математических задач. Кызыл: ТГИП и ПКК Правительства РТ, 2007.

7. Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. Ростов-на-Дону: Легион, 2012.

8. Саакян С.М. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/С.М. Саакян, А.М.Гольдман, Д.В.Денисов. 4-е изд. М.: Просвещение, 2003.

9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 11 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1991.

Bibliograficheskij spisok

1. Algebra i nachala analiza 10-11klass: uchebnik dlya obscheobrazovatelnykh uchrezhdenij / SH. A. Alimov i dr. M.: Prosveschenie, 2003.

2. Algebra i nachala analiza. 10-11 klassy: uchebnik / Pod red. A.N. Kolmogorova. M.: Prosveschenie, 2010.

x4 + x3 + 2 x¿ — x — 3 = 0.

3

2

3. Algebra i nachala analiza. 10-11 kl.: V dvukh chastyakh. Ch.2: Zadachnik dlya obscheobrazovat. Uchrezhdenij / A.G. Mordkovich i dr. Pod red. A.G. Mordkovicha. M.: Mnemozina, 2010.

4. Algebra i nachala matematicheskogo analiza: ucheb. dlya 11 kl. obscheobrazovat. uchrezhdenij: bazovyj i profil. urovni /Yu. M. Kolyagin i dr. Pod red. A.B. Zhizhchenko. M.: Prosveschenie, 2011.

5. Vilenkin N.Ya. i dr. Algebra i matematicheskij analiz dlya 11 klassa. M.: Prosveschenie, 2009.

6. Kara-Sal N.M. Ispolzovanie svojstv funktsij pri reshenii matematicheskikh zadach. uchebno-metodicheskoe posobie po praktikumu resheniya matematicheskikh zadach. Kyzyl: TGIP i PKK Pravitelstva RT, 2007.

7. Matematika. povyshennyj uroven EGE-2012 (S1, S3). Tematicheskie testy. Uravneniya, neravenstva, sistemy. Pod red. F.f. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova. Rostov-na-Donu: Legion, 2012.

8. Saakyan S.M. Zadachi po algebre i nachalam analiza: Posobie dlya uchaschikhsya 10-11 kl. obscheobrazovat. uchrezhdenij/S.M. Saakyan, A.M.Goldman, D.V.Denisov. 4-e izd. M.: Prosveschenie, 2003.

9. Sharygin I.F., Golubev V.I. Fakultativnyj kurs po matematike: Reshenie zadach: Ucheb.posobie dlya 11 kl. sred. shk. M.: Prosveschenie, 1991.

Кара-Сал Надежда Маасовна - к.п.н., доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, E-mail: nadya.maas@mail.ru.

Kara-Sal Nadezhda - Cand. Sc. Education, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis and Teaching Mathematics, Tuvan State University. E-mail: nadya.maas@mail.ru.

УДК 372.4+502.7

УЯЗВИМЫЕ, РЕДКИЕ И ИСЧЕЗАЮЩИЕ ВИДЫ РАСТЕНИЙ ТУВЫ В КУРСЕ «ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА КРАЕВЕДЧЕСКОЙ РАБОТЫ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ»

Самбыла Ч.Н.

Тувинский государственный университет, Кызыл

VULNERABLE, RARE AND ENDANGERED PLANTS OF TUVA IN THE COURSE "THEORY AND METHODOLOGY OF REGIONAL STUDIES IN

PRIMARY SCHOOL"

Sambyla Ch.

Tuvan State University, Kyzyl

На основе инвентаризации 126 видов растений Красной книги Республики Тыва выявлены 34 уязвимые, 88 редкие и 4 исчезающие виды. Определены очаги концентрации уязвимых и редких видов цветковых растений на территории Республики Тыва. Для каждого вида выявлены основные лимитирующие факторы. Для изучения в начальной школе составлен список из 29 потенциально уязвимых видов цветковых растений и отмечены основные мероприятия по их охране.

Ключевые слова: уязвимые, редкие, исчезающие виды, Красная книга, краеведение, начальная школа, Тува.