Научная статья на тему 'Приближённые методы решения интегро-дифференциальных уравнений'

Приближённые методы решения интегро-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
471
94
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ / ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ / МЕТОД МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР / СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / АППРОКСИМИРУЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ / ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ / APPROXIMATE METHODS / DIFFRACTION PROBLEM / METHOD OF THE MECHANICAL SQUARING / SINGULAR AND INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS / APROXIMATING EQUATIONS / OPERATORS EQUATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ахмадиев М. Г., Хасанов Ю. Х.

В работе для численного решения сингулярного интегро-дифференциального уравнения задачи дифракции используется метод механических квадратур. Доказано, что этот метод устойчив относительно малых возмущений элементов аппроксимирующих уравнений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ахмадиев М. Г., Хасанов Ю. Х.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Drawn near methods of the decision integro-differential equations

In work for the numerical decision singular integro-differential equations of the problem diffraction is used method of the mechanical squarings. It is proved that this method is stable for small indignations element aproximating equations.

Текст научной работы на тему «Приближённые методы решения интегро-дифференциальных уравнений»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517

М.Г.Ахмадиев, Ю.Х.Хасанов*

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Казанский химико-технологический университет, Россия, Российско-Таджикский (Славянский) университет

(Представлено членом корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 10.07.2014 г.)

В работе для численного решения сингулярного интегро-дифференциального уравнения задачи дифракции используется метод механических квадратур. Доказано, что этот метод устойчив относительно малых возмущений элементов аппроксимирующих уравнений.

Ключевые слова: приближенные методы - задача дифракции - метод механических квадратур -сингулярные интегро-дифференциальные уравнения - аппроксимирующие уравнения - операторные уравнения.

В работах [1-6] рассмотрены прямые методы решения следующего уравнения теории крыла

1 1 Г'(т)

B(t)Г(Г) - - f ^^ dt = f (t), -1 < t < 1, ж \ т-1

при условиях Г(—1) = Г(1) = 0.

Это уравнение имеет приложения в ряде прикладных задач, например, в задачах аэродинамики, теории упругости, фильтрации, управления и др.

В работе [2] отмечено, что аналогичные результаты могут быть получены и для уравнений

вида

Г + ) = / т — 1 < I < ■

_(гШdt+(Tr)(t) = f(t), -1 <t< 1, ж J, т -1

где Т - вполне непрерывный оператор.

Следуя указанным выше работам, рассмотрим сингулярное интегро-дифференциальное уравнение, встречающееся в задачах дифракции [7-8]

Л 1+} ЬЩ*т>1т=/(,). — 1 < / < 1 (1)

Л т — г ^ \г — т\

при условиях

(р(—1) = ^(1) = 0, (2)

Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Мирзо Тур-сун-заде, 30,Российско-Таджикский (славянский) университет. E-mail: [email protected]

где к(т), /(¿) - известные функции, ) - искомая функция, Л (0 < Л < 1) - числовой параметр, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

В этой работе для численного решения задачи (1)-(2) рассматривается метод механических квадратур, который является непосредственным продолжением работы [9], где поставленная задача решена полиномиальными методами. Теоретическое обоснование метода механических квадратур проводится с помощью одного из вариантов общей теории приближённых методов анализа [10] и результатов теории приближения функций.

Известно [1], что решение задачи (1)-(2) представляется в виде

<р(т) = V 1 -т2(Ро(т),

где щ(т) - ограниченная функция.

Приближённое решение задачи (1)-(2) ищем в виде (см. например, [1] или [8])

V„(т) = ■

± (-1)*

"1 к=1

п +1Т-Тк

1-ТФ(тк)±[Тт-1(Т} Ttl(T)]sm(mvk), 1 к=1 m=1 VI "

и + 1ы.....~ Vl - Г2

ktt

где \к =-, тк = cos vk, а T (т) и U (т) - полиномы Чебышева первого и второго рода, соответ-

n +1

ственно. Следуя работам [1], [3] и [8], используя при этом свойства полиномов Чебышева, находим

r "Uj- ^ ^(Osin(mvk) =Х<р(тк)-^4, (3)

к=

dt\T-t п + \к=1 k=1 k=1 Vl-i

где

w(Jk, t) =

n +1 m=

m sin(mvk ) sin(mv), t = cos v.

1 m=1

Для интеграла со слабой особенностью построим квадратурную формулу. С этой целью по-динтегральную функцию к^, т)щ(т) аппроксимируем полиномом рт(кщ) по переменной т . Здесь

через РТ обозначен оператор, ставящий в соответствие любой непрерывной функции её интерполяционный полином Лагранжа по узлам тк . Тогда имеем

Г(йр)(0 = - ¿А(/,г,Жг,)(4)

1У ~ Ц к=1 1^ - Т\

где 1к (т) - фундаментальные полиномы Лагранжа для узлов тк .

n

Таким образом, используя формулы (3)-(4), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно приближённых значений искомой функции, обозначим их через ф(тк).

X

к=1

™(тк ,т}) Бт V,

+Кт} ,тк )а

Ф(тк) = Ат,Х ] = \п,

(5)

тж 1 I (т)

где тт = со§V«; V« =—- (т = к,]); а, = I —к—

п + 1 л\т _т

1 \\1

Введём пространство Ь2 р квадратично-суммируемых функций с весом р(г) = *\/1

= >/1 — Г с

обычной нормой. Через обозначим пространство функций, удовлетворяющих условиям (2), пер-

вые производные которых квадратично-суммируемы с весом р(г)

41Р

12, р

(1 Л1/2

|р(г) р'(г )2 Л

4—1 у

Пусть X = ^р, У = Ь2 . Тогда задачу (1)-(2) запишем в виде операторного уравнения, эквивалентного ей

Кр = 8р + Тр = /, реX, / еУ, (6)

где

р Л | РР\1 \ Тр = | ^-\рр(т)Лт. т — г г — т

1К — т\

Теорема. Пусть / е С, И(г, т) непрерывна по переменному г и удовлетворяет условию Ди-ни-Липшица по переменной т и уравнение (6) однозначно разрешимо в X при любой правой части / еУ. Тогда при п таких, что

Чп = А (к,~)с +-тТ + п п

П К 1 п п

1п п !> < 1

система (5) имеет единственное решение |ф 1 и приближённые решения

Р*(т)=■

п +

Г1Ф\ч)

1 к=1

УТ—Г7и (Пл/Г—т

т-т

сходятся к точному решению р*(т) со скоростью

\\р* —р*п1г =0{ч„ + Еп—1(/)с ^

(7)

1

п

где А - постоянная, не зависящая от п, ((к,—)с - модуль непрерывности функции к(.,.) по пере* п

менной Б равномерно относительно другой, а Еп_/)с - наилучшее равномерное приближение функции /(') алгебраическими полиномами степени не выше п — 1.

Доказательство. Пусть Хп = (ри } ^ X, а Уп ^ У - множество всех алгебраических полиномов степени не выше п — 1. Тогда систему линейных алгебраических уравнений (5) запишем в виде операторного уравнения, эквивалентного ей,

Кпрп = Брп + РпТРТп(куп) = Рп/, рп е Хп, Рп/ е Уп, (61)

где К - линейный оператор из Хи в Уп . Для любого р ^ X находим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\\KVn — К(Р„12р=\\ТкРп — РпТРпт(кРп)

<

2,Р

<

\\ткрп — Рпткрп || + РпТкРп — РптРКкрп)

2,Р

Для первого слагаемого получим (см. [9])

\\Ткрп — РпТкрп | < А— ( (к,д)с

п\\Х

(8)

(9)

здесь и далее А - вполне определённые постоянные, не зависящие от п, а 5 = —. Оценим второе слагаемое

<

\\РпТкр— РпТРтп(крп)

41| крп— Р(крп)

<

2, Р

С ^р

\\Т [ кр— Рп(крп )]

<

с ([—1,1]х[-1,1])

< А3 1ппЕ1—1(крп ) < А4 1пп • ®г(крп ,5)с <

< А5 1ппК(к,5)с |рп ||с + | ИЦс ([—1,1]х[—1,1]) Ц(Рп ,5)С . Для модуля непрерывности (о(рп ,5)с получим

(10)

((р„,5)с = 8иР рп(к) — рп(0| = 8иР

1^2—1 <5

1 <5

ч

\р'п (т)йт

= Бир

Ч2—к <5

р)

<

<

I р(т) р (г)|2 йт

V

• Бир

\'2—411 <5

йт

р(т)

где 8(5) = Бир

Ч2 —'11<5

йт

и

— т

(агсБш^/ 5(2 — 5))2 = 0(51/4).

2

2

Так как ||щ„||с < ^ |ЩЦ2 р = Аб |Щ„||Х ,тоиз (8)-(11) получим

||К-Кп\\Хп^ < (И,1)с + п + К(к,1)с + пП]1пп} ^ 0 (12)

при п ^да . Тогда при достаточно больших п будем иметь = ||К 11| ||К — Ки ||х ^ < 1. Кроме того, в силу теоремы Эрдеша-Турана [11] получим

||/ — Рп/\1 < 2 ^ Еп_1(/)с =42^Еп_1(/)с. (13)

Тогда из соотношений (8)-(13) и теоремы Джексона [11] видно, что выполняются все условия теоремы, из которой и следуют утверждения теоремы и оценка (13). Причём

КЧ < 2||К Ч, п > по .

Замечание 1. Так как в условиях теоремы операторы Ки линейно обратимы и обратные ограничены по норме в совокупности, то из результатов работы [10] (см. §5 главы 1) следует, что рассмотренный нами метод устойчив относительно малых возмущений элементов аппроксимирующих уравнений.

Замечание 2. Поскольку в условиях теоремы существует число обусловленности ] = ]](К) для точного уравнения (6), то из результатов работы [10] (см. §5 главы 1) следует, что в условиях теоремы хотя бы при достаточно больших п существуют число обусловленности ] = ]](Кп) для аппроксимирующих уравнений (61), причём

т]п< С]] (1 < С < 1 + £, £> 0, п > п0(е)\ Иш]п=].

п^да

Поступило 12.07.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Каландия А.И. Математические методы двумерной теории упругости. - М.: Наука, 1973.

2. Габдулхаев Б.Г. - Изв. вузов. Матем., 1974, №2, с. 29-44.

3. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968.

4. Габдулхаев Б.Г. - Итоги науки и техники. Серия Математика. - М.: ВИНИТИ, 1980, т.18, с.251-307.

5. Ioakimidis N.I. - Int.j. Meth. Fluids, 1984, 4, № 3, рр.283-290.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. - М.: Наука, 1985.

7. Захаров Е.В., Собянина И.В. - Журн. выч. матем. и матем. физ. 1986, т. 26, №4, с.632-636.

8. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. - Киев: Наукова думка, 1984.

9. Ахмадиев М.Г. - Прямые методы решения некоторых сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Казан. ун-т. Казань, 1986, 18 с. Деп. в ВИНИТИ 02.01.86, № 43-В.

10. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань: Изд-во КГУ, 1980.

11. Натансон П.Н. Конструктивная теория функций. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

М.Г.Ахмадиев, ЮДДасанов*

УСУЛ^ОИ ТАЦРИБИИ ^АЛЛИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЙ

Донишго^и химико-технологии Казон, *Донишго%и (Славянии) Россияю Тоцикистон

Дар макола барои хдлли такрибии муодилах,ои сингулярии интегро-дифференциалии масъалаи дифракция усули квадратураи механикй истифода карда шудааст. Устувории ин усул нисбати тамоили хурдтарини элементх,ои муодилах,ои аппроксимативй нишон дода мешавад. Калима^ои калиди: усулуои тацрибй - масъалаи дифраксия - усули квадратураи механики -муодилауои синулярии интегро-дифференсиалй - муодилауои аппроксимативй - муодилауои операторй.

M.G.Akhmadiev, Yu.Kh.Khasanov* DRAWN NEAR METHODS OF THE DECISION INTEGRO-DIFFERENTIAL

EQUATIONS

Kazan chemist-technology University, Russian-Tajik (Slavonic) University In work for the numerical decision singular integro-differential equations of the problem diffraction is used method of the mechanical squarings. It is proved that this method is stable for small indignations element aproximating equations.

Key words: approximate methods - diffraction problem - method of the mechanical squaring - singular and integro-differential equations - aproximating equations - operators equations.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.