CC BY
43
УДК 517.392
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных и нелинейных сингулярных и гиперсингулярных интегродифферен-циальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Обоснование приводится в пространствах Гельдера.
Ключевые слова: приближенные методы, сингулярные интегродифференциа-льные уравнения, гиперсингулярные интегродифференциальные уравнения.
Abstract. The authors suggest and substantiate approximate methods to solve linear and non-linear singular and hypersingular integro-differential equations in closed contours of integration. The substantiation is adduced in Helder space.
Key words: approximate methods, singular integro-differential equations,
hypersingular integro-differential equations.
Введение
Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений являются самостоятельным разделом вычислительной математики, активно развивающимся со второй половины двадцатого столетия. Этому направлению посвящены десятки монографий и сотни статей. Такое бурное развитие в первую очередь обусловлено многочисленными приложениями сингулярных интегральных уравнений в механике, аэродинамике, электродинамике.
По-видимому, первыми работами, непосредственно посвященными приближенным методам решения сингулярных интегродифференциальных уравнений, были статьи [1-4]. В работах [1-3] рассмотрен приближенный метод решения краевой задачи (1)-(2) и дано его обоснование сведением, с помощью представлений И. Н. Векуа и Ю. М. Крикунова, к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям. В работе [4] без доказательства дано приближенное решение краевой задачи для нелинейного сингулярного инте-гродифференциального уравнения. Представляет значительный интерес развитие метода, анонсированного в [4], так как он применим к обоснованию вычислительных схем для более общих классов уравнений, в частности, для обоснования приближенных методов решения полисингулярных интегро-дифференциальных уравнений.
1. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования
В данном разделе исследуются приближенные методы решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений
&=^
k=0
/ч (k), ч , п 1 rx(k^т) , 1 rhk(t,т)x(k)(т)
ak(t)x( )(t) + bk(t)— I----------dт + — -1-------------------dт
т — t Im* I /7-/1П
=f (t) (1)
при условиях
|х(ґ)ґ к 1С
1 = 0, к = 0,1,..т —1,
(2)
и краевой задачи
Кх = I
к=0
Ч (ґ) 4кV)+1 (■4 (''Т) Х('‘)(Т)
п: •>
ё т
т —ґ
= / (ґ)
с граничными условиями
1 = 0, к = 0,1,., т -1.
Здесь у - единичная окружность с центром в начале координат. Предположим выполненными следующие условия:
а) а' (ґ), Ь' (ґ), /(ґ) є Иа, И' (ґ, т) є Иа а ,0 < а < 1;
б) а'(ґ),Ь'(ґ),/(ґ)є (5[0,2п],И' є С[0,2гс]2;
в) а'(ґ),Ь'(ґ),/(ґ)є ГИа,И'(ґ,т)є Жг,гИаа,к = 0,1,.,т. Приближенное решение краевой задачи (1), (2) будем искать в виде
полинома
п —1
Л
хп (ґ) = ґт Іа'ґ + ^ ак',
к=0 к=—п
коэффициенты которого определяются из системы уравнений
(3)
К х = Р
1^пЛ'п—1п
I
'=0
ґ з \ 1 /• х(') (т)
а'(ґ)хп )(ґ) + Ь'(ґ)— М----------------ёт +
2л^ т — ґ
+-^ Р \ик(ґ,тт,т)хп')(т
2п: л Ь
ё т
= Рп [ / (ґ)],
(4)
где Рп - оператор, отображающий пространство непрерывных функций на
™к
множество интерполяционных полиномов степени п по узлам ^ = е к , Sk = 2кп / (2п +1), к = 0,1, ..,2п,
ё(ґ, т) =
т — ґ | п, если | а — 5 !>•
2п 2п +1:
. 2п
:------
е 2п+1 — 1|—п, если | а — 51< -
2п +1
т = е:а, ґ = е:5.
Введем следующие пространства функций: X = Яр2 - пространство
функций, удовлетворяющих условию (2) и имеющих производную т порядка, входящую в класс Гельдера Нр, с нормой
=М(т)(х) + И(т)(х;в) = I тах| х(к)(ґ) | + 8ир
Г(т)( х.
(к)(
х(т)(ґ2) — х(т)(ґ1)
к=0 ГєУ
ґ2 *ґ1
ґ2 — ґ1|
|Р
У - пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера Яр
с нормой У у ||= М(0)(у) + Н(0)(у); Хп с X - пространство функций вида хп ((); Уп с У - пространство полиномов степени не выше п.
Обоснование метода проводится при в < а /2.
Представим уравнение (1) и вычислительную схему метода коллокации соответственно в следующем виде:
Кх = ат (ґ) х(т)(ґ) + Ьт (ґ)— Гх--------------— ё т + I
п: Л т — ґ “
т-1
п: •' т — ґ
у
к=0
а,к (ґ) х(к )(ґ) +
... 1 г х( к) (т)
+Ьк (ґ) - I-----
п^ т — ґ
у
ё т
к=0
| т — ґ
(5)
и
К х = Р
^п^п ~ 1 п
ат (ґ) хпт) (ґ) + Ьт (ґ)— I%п (т) ё т п:
+Рп
+Рп
т-1
I
к=0
п: •' т — ґ
У
а,к (ґ)хпк) (ґ) + Ь' (ґ) —1хп (т) ёх
п: Л т — ґ
+
п: •' т — ґ
У
+
т 1
1И ( ґ, т т, т) х' (т)ё т
к=0 2п: у
= Рп [ / ( ґ)].
1 г х(т)
Введем функцию Ф( г) =-----------I-----ё т.
2п: ■* т — г
У
Нетрудно видеть, что
ф
(к)(г) = _^ Гх( )(т) 2п: ^ т — г
ё т.
(6)
Воспользовавшись формулами Сохоцкого - Племеля [5]
х( т)(ґ ) = ф( т)+ (ґ) — Ф(т)— (ґ),
— Г х(т)(т) й т = Ф(т)+ (() + Ф(т) - ((), т* т - (
L
уравнения (5) и (6) можно представить в следующем виде:
(ат (() + Ьт (())ф(т)+ (() + (Ьт (() - От (())Ф(т)- (() +
и
и
т-1
+2
к=0
ак ( О х(к) ( () + Ьк ( 0 — Г Х—— й т
т - (
У
1 ((, т) х(к )(т)
+
+
2— Г
?П7 Л
-й т = / (()
Рп
(От ( () + Ьт ( ())Фпт)+ ( () + (Ьт (0 - «т ((0 +
т-1
+2
к=0
+2
к=0
ак ( 0 х(к) ( О + Ьк ( 0 — Г Х—— йх
ТС7 •> т - (
+
2то- | т-(
У 1
|П
= Рп [ / (()].
-1
Отметим, что
Ф(Т>+ (() = 2ак {т+Т-1к. Ф(Т1-(0 = - 2 ак ^(т+^'к-т.
к=0 к- к=—п (к 1)-
Уравнения (7) и (8) эквивалентны следующим:
Ф(т)+ ( () + Ьт ( () «т ( () ф(т)- ( () +
+ -
т-1
2
к=0
ат ( () + Ьт ( ()
1 скк ((, т) х(к )(т)
ат ( () + Ьт ( ()
ак ( О х(к) ( () + Ьк ( 0 — Гх—— йт
Л7 •> т - (
+
+
к=0 т у |т-(|
1
ат ( () + Ьт ( ()
/ (О
Рп
фпт)+ ( ()+Ьт ( () ат ( () фпт)- ( ()+
ат ( () + Ьт ( ()
(7)
(8)
(9)
+-
_1________
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т—1
2
к=0
а,к (ґ)х<пк)(ґ) + Ь' (ґ) — Г хп (т) ёх
п: •> т — ґ
п: •' т — ґ
У
+
1 гИ' (ґ, т) хп )(т)
ё т
к=0
| т — ґ |
= Рп
1
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(10)
Пусть функция G(í ) = (Ьт (() - ат())/(ат (() + Ьт (()) имеет индекс
X = т. Тогда функцию G(() можно представить в виде 0(() = ímGo(í), где функция в0(() имеет индекс, равный нулю. Известно [5], что в этом случае
краевая задача Римана у+ (() = Go (()у (() имеет единственное решение, обращающееся в нуль на бесконечности.
Уравнения (9) и (10) можно представить в следующем виде:
Кх = у- (()ф(т)+ (() + (т у+ (()Ф(т)- (0 +
+-
У+ (ґ)
ат ( ґ) + Ьт ( ґ)
т—1
2
к=0
а,к(ґ)х(к)(ґ) + Ь'( ґ)-1- Гх—(т)ёх п^ т — ґ
+I— Г
^ 2п: ■>
1 гИ' (ґ, т) х(к )(т)
к=0
ё т
| т — ґ |
У
У+ ( ґ)
+
ат ( ґ) + Ьт ( ґ)
/ (ґ)
(11)
и
К х = Р
^п^п 2п
у" ( ґ)ф пт)+ ( ґ) + ґту+ ( ґ)Ф пот;“ ( ґ) +
+-
у+ (ґ)
ат ( ґ) + Ьт ( ґ)
т—1
2
к=0
а'(ґ)х^)(ґ) + Ь'( ґ)— Гх (т) ёт
п^ т — ґ
У
+
+
I—Г
^ 2п: ■>
1 гИ' (ґ, т)хпк)(т)
к=0
ё т
| т — ґ
= Рп
У+ (ґ)
ат ( ґ) + Ьт ( ґ)
/ (ґ)
(12)
Обозначим через уи ( () и уи ( () полиномы наилучшего равномерного приближения степени п к функциям у+ ( () и у ( (). Так как функция у+ (z) (у- (z)) - аналитическая внутри (вне) единичного круга с центром в начале
п
координат, то полиномы у+ (() и у - ( () имеют вид у + ( () = 2вк'1'.
к=0
-1
у- ( ()= 2 Рк (к.
к=-п
Замечание 1. Напомним [5], что через у+ (()(у- (()) обозначаются функции аналитические внутри (вне) единичной окружности у с центром в начале координат.
Замечание 2. Ищется решение задачи Римана у+ (() = Go(í)у- (()
с функцией у ((), удовлетворяющей условию у (^ = 0.
Аппроксимируем уравнения (11) и (12) следующими:
Ьх = уп (()Ф (т)+ (() + (т уп + (()Ф(т)- (() +
+-
у+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т—1
I
к=0
ак (ґ) х(к) (ґ) + Ь' (ґ) -Л- Гх—(т ёт
п: •> т — ґ
+
+I— Г
^ 2п: ■>
1 гИ' (ґ, т) х(к )(т)
к=0
— ґ |П
ё т
| т —ґ
у+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ)
(13)
и
+ -
їх = Р
±^пЛ'п—1п
у + (ґ)
у- (ґ )Ф п(т)+ (ґ) + Г у / (ґ )Ф„ ^ - (ґ) +
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т—1
I
к=0
а' (ґ)хп(')(ґ) + Ь' (ґ)— Гх——ёт п^ т — ґ
У
+
+
I—Г
2п: ■>
1 гИ' (ґ, т)хп(к)(т)
к=0
ё т
| т —ґ |
= Рп
У+ ( ґ)
ат ( ґ) + Ьт ( ґ)
/ (ґ)
(14)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий (а)
У у+ (ґ) — у + (ґ) ||< сп—а+в,
У у— (ґ) — у— (ґ) ||< сп—а+в. (15)
Так как оператор К є [X, У] непрерывно обратим, то из теоремы Банаха [6] следует, что оператор К є [X,У ] тоже непрерывно обратим. Отсюда и из
неравенств (15) следует, что при п таких, что q = сп а+в <1, оператор ї є [X,У] непрерывно обратим.
Можно показать, что
Рп [уп (0Фпт)+ (о+ґту+ (ОФпт)—(0]=уп (ґ)опт)+ (о+ґту+(ґ)Фпт)—(о,
у+ (ґ)
т—1
-I
ат ( ґ) + Ьт ( ґ) кТ0
а' ( ґ) х(к)( ґ) + Ь' ( ґ)—Г х—— ё т п^ т — ґ
є И а
оператор
2п: ■>
И' (ґ, т) х(к )(т) | т — ґ |п
ёт, к = 0,1,...,т, принадлежит [7] множеству
функций И^, где £ = 1 при а > п, С = а + 1 — П при а < п и принадлежит классу функций Зигмунда при а = п. Учитывая [8], что || Рп ||< с 1пп из теоремы Банаха об обратном операторе [6], заключаем, что оператор
їх = у ~ (ґ)Ф(т)+ (ґ) + ґтуп+ (ґ)Ф(т)— (ґ) +
у+ (ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т-1
I
к=0
а' (ґ)х(к) (ґ) + Ь' (ґ) -1 Гх—— ёх п: J т — ґ
+
Ик (ґ, т) х(к )(т) | т — ґ |п
ёт
что
У
непрерывно обратим.
Из теоремы о левом обратном операторе [9] следует,
У Ьх ||у > т У х | X . Следовательно, на подпространствах X и У Ьхп ||у > т | | х |Х . Последнее неравенство эквивалентно следующему | | Ьпхп\\у > т| | хп |X . Из этого неравенства следует существование левого
п п
обратного оператора (Ьп)-1. Так как оператор Ьп - конечномерный, то из
существования левого обратного оператора (Ьп)-1 следует его обратимость.
Нетрудно видеть, что | | Кпхп - Ьпхп | |< сп а+в 1пп. Следовательно, по
теореме Банаха об обратном операторе, при п таких, что ^ = сп-а+в 1п п <1, уравнение (12) однозначно разрешимо. Так как уравнения (12) и (6) эквивалентны, то тем самым доказана однозначная разрешимость системы уравнений (6). Таким образом, доказано, что при п таких, что q = сп а+в 1п п <1, метод коллокации (6) однозначно разрешим.
Переход от вычислительной схемы метода коллокации (6) к вычислительной схеме метода механических квадратур (4) проводится способом, подробно описанным в [7].
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции
& ( 0 = (Ьт ( 0 - ат ( 0) / (ат (0 + К ( 0)
равен т. Тогда при п таких, что q = сп- 1пп <1, ^ = тт(а-|3,1 -П-Р,Р), система уравнений (4) имеет единственное решение хп и справедлива оценка
II * *11 *
| |х (0-хп(0||<сп Чпп, где х - решение краевой задачи (1), (2).
Рассмотрим изменения, которые нужно внести в обоснование метода в предположении, что индекс % функции 0(() % > т.
Как и выше, краевая задача (1), (2) и система (6) метода коллокации сводятся к уравнениям (9) и (10). Так как функция О^) имеет индекс
% = т + т?1, то представим ее в виде О ^ ) = t % О*(^ ) = t %у+ ^)/ у*^), где
у* (t) - решение краевой задачи Римана у+ (t) = 0*^)у* (t).
Тогда уравнения (9) и (10) эквивалентны следующим:
у* (0ф(то)+(t) + ^ у+ (t )ф(т)- ^ +
+
у- (t)
Л(йт (t) + Ьт ^))
т-1 к=0
га' •' т -1
У
+
1 (•% (и т) х(к )(т)
к=0
I т-t |
у- (t)
(t) + Ьт ^))
-/ (t)
(16)
и
Рп
у- ^ )Ф(т)+ (t)
т-1 к=0
+
+
1 (•% (t, т) х(к )(т)
к=0
ё т
I т-t |
= Рп
у- (t)
tml(am (t) + Ьт ^))
(17)
Обозначим через у+п ^) полином наилучшего равномерного
приближения степени п функции у+ (t), а через у-п-т ^) - полином наилучшего равномерного приближения степени (п - т^) функции у- (t).
у*;-,,,^)фГ*и) т + (т)
---^(0ф!,т) (t)
Нетрудно видеть, что выражение
является тригонометрическим полиномом степени п. Поэтому к уравнениям (15), (16) можно применить рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1. В результате приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции
О«) = (Ьт ^) - ат ^)) / (ат ^) + Ьт ^))
равен т + т1,т1>0. Тогда при п таких, что q = сп- 1пп <1,
^ = тт(а-Р,1-п-Р,Р) система уравнений (4) имеет единственное решение
* * * -^ * хп и справедлива оценка | |х (t) - хп ^) 11< сп ^1п п, где х - решение краевой задачи (1), (2).
t
г
Замечание 3. Утверждения теоремы остаются в силе, если вместо однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2) потребовать ее
разрешимость при любой правой части. В этом случае при обосновании достаточно воспользоваться общей теорией приближенных методов для обратимых справа операторов [7].
Рассмотрим теперь изменения, которые нужно внести в доказательство теоремы 1 в предположении, что индекс % функции О (0 меньше т.
Функцию О ^) можно представить в виде
0( ) = t %О^ ) = t % g+^)/g - ^),
где g± - решение краевой задачи g+(t) = 0l(t)g ^). Тогда уравнения (11), (12), рассуждениями, приведенными при доказательстве теоремы 1, преобразуются к уравнениям
^ g - (t )Ф(т)+ (t) - tmg + (t )Ф(т)- (t) +
+
'(ґ)
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т—1
I
к=0
а' (ґ)х(к)(ґ) + Ь' (ґ) -1 Гх—— ёх
пі •> т — ґ
+
-I - Г
, „ пі ■>
+ > 2. ГИк(ґ,т)х(к)(т) ёт
к=0
| т — ґ |
ґт—Х <■
'(ґ )
ат (ґ) + Ьт (ґ)
/ (ґ ):
(18)
Рп [ґт—Х 8 — (ґ )Ф пт)+ (ґ) — ґmg + (ґ )Фпт)— (ґ) +
+
'(ґ )
т—1
I
к=0
ат (ґ) + Ьт (ґ)
т 1 гИ' (ґ, т) хп )(т)
а'(ґ)х<пк)(ґ) + Ь'( ґ)— Гхп (т) ёх
пі Л т — ґ
У
пі •' т — ґ
+
+1 -1
пі
ё т
к=0
| т — ґ |
=Рп
-х ,
'(0
ат ( ґ) + Ьт ( ґ)
/ (ґ)
(19)
В случае, если функция g ( I) ортогональна на единичной окружности полиномам t к, к = 1,2,..,т -%, то выражение
т* g— (t )Фпт>+ (t) - tmg+ и )Фпт)- (t)
является тригонометрическим полиномом порядка п. Здесь gn ^) - отрезок
ряда Лорана разложения функции g-(t) по степеням t-к, к = 1,2, ,.,п;
gn (t) - наилучшее равномерное приближение функции g + (t) полиномами
п -го порядка по степеням ^, к = 0,1,., п.
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, приходим к следующему утверждению.
Теорема 3. Пусть краевая задача (1), (2) разрешима, выполнены условия (а) и индекс х функции О (ґ) = (Ьт (ґ) — ат (ґ)) / (ат (ґ) + Ьт (ґ)) меньше
т, функция 8 (ґ) ортогональна на единичной окружности полиномам ґ к,
к = 1,2,..— —х, Тогда при п таких, что q = сп— 1пп <1, Ъ, = шіп(а — Р,1 — п—Р,Р) система уравнений (4) имеет единственное решение
хп и справедлива оценка | |х (ґ) — хп (ґ) 11< сп ^1п п, где х - решение краевой задачи (1), (2).
Рассмотрим линейные сингулярные интегродифференциальные уравнения
Кх = I
к=0
Ч (ґ) хп' )(ґ)+-17 Г ё т
п^ т — ґ
= / (ґ)
(20)
при граничных условиях
Гх(ґ)ґ к \
1 = 0, к = 0,1,., т — 1.
(21)
Приближенное решение граничной задачи (20)-(21) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты {ак } которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений:
К х = Р
■£'-пЛп _ 1 п
т1 I' (ґ) хп )(ґ)+-Гр
к=0 піі
Ик (ґ, т) х(к )(т) т — ґ
ё т
= Рп [ / (ґ)]. (22)
Оператор Рп определен выше, а через Рп обозначен оператор проектирования на множество тригонометрических полиномов п порядка по узлам ґ, = ехр{/Т' }, Т' = (2к + 1)п/(2п +1), к = 0,1,..,2п.
Метод коллокации для уравнения (20) имеет вид
К х = Р
1^пЛ'п—1п
Iак (ґ)4' )(ґ) + — Г
,г. пі:
1 гИ' (ґ, т) х(к )(т)
ё т
к=0
т
= Рп [ / ( ґ)]. (23)
Для обоснования метода коллокации заметим, что уравнения (20) и (23) преобразуются к виду
Кх = I
к=0
/ч (')/ ч 7 / ч 1 сх(к )(тК 1 Ык (ґ, т) х(к )(т)
а,к(ґ)х( )(ґ) + И'(ґ,ґ)— і----------------ёт + ^ Г
п/ л т — ґ пі ■>
У
ёт
пі ■
| т — ґ |
= / (ґ) (24)
и
К х = Р
1^пл'п—1п
I
к=0
(, ) 1 с х(к)(т)
а,(ґ)х^п )(ґ) + И,(ґ,ґ)— М-ёт +
п^ т — 1
п/ •' т — ґ
У
+
1 сёк (ґ, т) х(к )(т)
ё т
пі
У
| т — ґ
= Рп [/(ґ)].
(25)
Здесь (И,(ґ,т) — И'(ґ,ґ))/ (т — ґ) = ё'(ґ,т)/1 т — ґ |п,к = 0,1,.,т.
Обоснование сходимости метода коллокации для задачи (24), (21) проведено при доказательстве теорем 1-3. Тем самым проведено доказательство сходимости метода коллокации для задачи (20), (21).
Переход от метода коллокации к методу механических квадратур проводится на основании рассуждений, подробно описанных в статье [10] и в разделе 2 главы 3 монографии [7], и здесь на этом не останавливаемся.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть краевая задача (20), (21) однозначно разрешима, выполненые условия (в) и индекс х функции
О(ґ) = (Ит (ґ,ґ) — ат (ґ)) / (Ит (ґ,ґ) + ат (ґ)) больше или равен т. Тогда при п таких, что q = сп—(г+а—в)1п п <1, система
уравнений (22) имеет единственное решение хп и справедлива оценка
11 * п (г+а в) *
| |х ( 0 - хп ( t) 11 < сп К н;1п п, где х ( ^ - решение краевой задачи (20), (21).
В случае, если % < т, приведенное утверждение справедливо при следующих дополнительных условиях:
1) функцию
О ^) = (Ит ^, t) - ат ^)) / (Ит ^, t) + От (t))
можно представить в виде О^) = tX0l(t) = tXg + (t)/ g ^), где g± - решение краевой задачи g+(t ) = О^) g - (t);
2) функция g (t) ортогональна на единичной окружности полиномам
Гк, к = 1,2,.,т-%.
Рассмотрим нелинейное сингулярное интегродифференциальное урав-
нение
Кх = I
к=0
ак (ґ, х* )(ґ)) + ^ Г Ик (ґ • ^ х'ІІ(т)) ё т
п^ т — ґ
= / (ґ)
при граничных условиях
Гх(ґ )ґ—к—1ёґ = 0,к = 0,1,., т — 1.
(26)
(27)
Приближенное решение граничной задачи (26)-(27) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты {ак } которого определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений
I
к=0
ак (ґ,х(к)(ґ)) + — \Рп п/
Ик (ґ, т, хпк) (т))
ё т
= Рп [ / ( ґ)]. (28)
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Будем считать выполненными следующие условия:
*
1) краевая задача (26), (27) имеет решение х ^), единственное в
*
некоторой сфере В(х , К) с радиусом К;
2) производная Фреше оператора К(х) непрерывно обратима в сфере
В( х*, К);
3) функции ак(^и), к = 0,1,..,т, удовлетворяют условию Гельдера по первой переменной и имеют производные, удовлетворяющие условию Гельдера по второй переменной;
4) функции Ик^,т,и), к = 0,1,..,т, удовлетворяют условию Гельдера по первым двум переменным и имеют производные, удовлетворяющие условию Гельдера по третьей переменной.
Покажем, что при выполнении этих условий система уравнений (28)
*
имеет единственное решение хп и, если известно достаточно хорошее
*
начальное приближение хд к решению х , итерационный метод Ньютона -Канторовича
хп+1 а) = х1п ^) - [К'п (х0 )]-1 (Кп (х1п) - /п ^)), I = 0,1,.,
*
сходится к решению хп ^) уравнения (28). Здесь Кп (х0) - производная Фреше оператора Кп (хп) на начальном элементе х0.
Доказательство этого утверждения состоит из следующих элементов:
1) доказательства обратимости оператора К'п (х0);
2) проверки выполнения условий теоремы 6.7 из первой главы монографии [7].
Существование обратного оператора [К'п (х0)] 1 следует из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 4. Проверка условий теоремы 6.7 проводится по аналогии с рассуждениями, приведенными в главе 3 монографии [7].
3. Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений
В этом разделе исследуются приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений вида
Кх = а ^)x,(t) + а0 (t)x(t) + Г х(Т)^Т
П7 * Т - t
+
т 1 т -1
т
+ МО Г МЩ + 2_ ГИ^, т)хТт = /(t) (29)
га ; (т-t)2 2п7 ^
при граничном условии
: = 0. (30)
Г х(т)ё т =
Интегральные уравнения, в состав которых входят интегралы с сингулярными и гиперсингулярными ядрами, находят применение в теории антенн [10]. Аналитическое исследование таких уравнений при ряде ограничений проведено в [11], а численные методы рассмотрены в [12, 13].
Покажем, что для приближенного решения краевой задачи (29), (30) применимы методы, изложенные в предыдущем разделе.
Приближенное решения краевой задачи (29), (30) будем искать в виде полинома (3) (при т = 1), коэффициенты (а^} которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений
К х = Р
■£'-пЛп _ 1 п
«1 (ґ) х'п (ґ) + ао (ґ) Хп (ґ) + —П-) Г Хп( т)^ т +
- •> т — і
+ Мґ) Г Хп (т)йт + _\_
' (т — ґ)2 2го'у
га
- Грп [(ґ, т)х(т)]Тт і •)
= Рп [/(ґ)].
(31)
Для обоснования сходимости вычислительной схемы (3), (31)
представим уравнение (29) в виде сингулярного интегродифференциального уравнения
«1 (ґ) х(ґ) + ао (ґ) х(ґ) + —1— Г пі З
—1 (ґ) г х(т)йт
+
+—2(0 Гх (т)йт + 2_ ¡Н(ґ,т)х(т)йт = /(ґ). Пі \ (т — ґ)2 2пі ^
Систему уравнений (31) представим в виде
К х = Р
■£'-пЛп _ 1 п
«( ґ)хп ( ґ) + ао ( ґ)хп ( ґ) + —Г т
Пі -1 т —
+
(32)
+ —ПО Г хп (т)й2т + 2_ГРп [,т)хп (Т)]йт Пі •> (т — ґ)2 2га J
= Рп [/( 0].
(33)
Обоснование вычислительной схемы (33) для краевой задачи (32), (30) проведено в предыдущем разделе. Нетрудно видеть, что полученные там результаты распространяются на вычислительную схему (31).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть краевая задача (29), (30) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции G( ґ) = (—2 ( ґ) — а1 ( ґ)) / (а1 ( ґ) + —2 ( ґ)) равен единице. Тогда при п таких, что
а = сп—% 1п п <1,
% = тіп(а — Р,1 — Л— Р,Р)
система уравнений (31) имеет единственное решение хп и справедлива
Замечание 4. Результаты, изложенные в работе, допускают распространение и на другие проекционные методы, в частности, на методы моментов и Бубнова - Галеркина. При этом нужно сделать следующие изменения в вычислительной схеме и доказательстве сходимости. Во-первых, предварительно перейти от краевой задачи (1)-(2) к краевой задаче (11), (2). Во-вторых, соответствующую вычислительную схему представить в виде
где Бп - оператор проектирования на соответствующее подпространство. В случае метода моментов этим подпространством является множество полиномов степени п и обоснование метода проводится в подпространстве пространства ¿2.
Замечание 5. В случае, если коэффициенты и правые части уравнений удовлетворяют условию (б), необходимые изменения в обосновании вычислительных методов можно проследить, сравнивая приведенные выше выкладки, с рассуждениями, содержащимися в работе [14] (см. также книгу [7].)
В работе предложены вычислительные схемы методов коллокации и механических квадратур для приближенного решения сингулярных и гипер-сингулярных интегродифференциальных уравнений. Обоснование вычислительных схем проведено в пространствах Гельдера. Проведя аналогии между приведенными в данной статье доказательствами сходимости приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений в пространствах Гельдера и приведенными в главе 3 монографии [7] доказательствами сходимости решения сингулярных интегральных уравнений в пространствах Гельдера и пространстве суммируемых функций, легко получить аналоги приведенных выше утверждений в пространствах суммируемых функций.
1. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Точные науки : сб. аспир. работ. -Казань : Изд-во КГУ, 1972. - С. 169-174.
2. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений 1 [линейные уравнения] / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9, № 8. - С. 1493-1502.
* *11 * оценка | |х (^) -хп(^) 1|< сп Мпп, где х - решение краевой задачи (29), (30).
Бп у— (ґ)Фпт)+ (ґ) + ґту+ (ґ)Фпт)— (ґ) +
Заключение
Список литература
3. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференци-альных уравнений 2 / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. -1975. - Т. 11, № 3. - C. 562-571.
4. Бойков, И. В. Принцип компактной апроксимации в возмущенном методе Га-леркина / И. В. Бойков // ДАН СССР. - 1974. - Т. 215, № 1. - C. 11-14.
5. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : Наука, 1963. - 64О c.
6. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. - М. : Наука, 1965. - 54О с.
7. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2ОО4. - 316 с.
S. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л., 1949. - 6SS с.
9. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М. : Наука, 1959. - 6S4 с.
10. Бойков, И. В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1972. - Т. 12, № 6. - С. Ш1-1З9О.
11. Лифанов, И. К. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн / И. К. Лифанов, А. С. Ненашев // Дифференциальные уравнения. -2ОО5. - Т. 41, № 1. - С. 121-137.
12. Лифанов, И. К. К решению составных особых интегральных уравнений / И. К. Лифанов // Успехи современной радиотехники. - 2ОО6. - № S. - С. 62-67.
13. Бойков, И. В. Приближенные методы решения составных особых интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : тр. II Между-нар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2ОО7. - С. 31-36.
14. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Математические заметки. - 1972. - Т. 12, № 2. - С. 177-1S6.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
Е-шаП: [email protected]
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
Е-шаЛ: [email protected]
Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,
Penza State University
Zakharova Yuliya Fridrikhovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University
УДК 517.392 Бойков, И. В.
Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингуляр-ных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2О12. - № 3 (23). - С. 99-113.
