CC BY
15
УДК 66.061.35
Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров, В. И. Елизаров, С. Г. Дьяконов
ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРМЕТРОВ МАССОПЕРЕНОСА В АППАРАТАХ С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Ключевые слова: пограничный слой, капля, частица, коэффициент массоотдачи, турбулентность.
Получены простые выражения для инженерного расчета коэффициентов массоотдачи в пограничном слое на капле в процессе жидкостной экстракции и на поверхности твердой частицы при растворении в зависимости от гидродинамических, теплофизических параметров фаз и размеров частицы в аппаратах с перемешиванием.
Keywords: boundary layer, drop, particle, mass transfer coefficient, turbulence.
Simple expressions have been derived for engineering calculations of mass transfer coefficients in the boundary layer of a drop in the liquid extraction process depending on the hydrodynamic, thermophysical properties of phases and particle sizes particles in devices with stirring.
Введение
Кинетика массообмена при перемешивании мелкодисперсной фазы (капли жидкости, твердые частицы) в сплошной среде при проведении процессов экстракции, растворения, кристаллизации основана на эмпирической и полуэмпирической теории. Несмотря на большое количество работ в этой области, механизм массообмена на подвижной границе раздела фаз при перемешивании капель жидкости в сплошной среде, представляет сложное физическое явление. Для расчета коэффициентов массоотдачи используют различного вида модели. Широкое распространение получили модели, основанные на теории диффузионного пограничного слоя [1-3].
В работe [4] на основе модели диффузионного пограничного слоя получена зависимость коэффициента массоотдачи в виде:
рх =_и_,
агс^^БОд/^Бс' (1)
в которой значения параметров и. и Я, = и.5, / V для капель носят полуэмпирический характер. В работе [5] получена эмпирическая формула для расчета коэффициента массоотдачи в аппарате с перемешиванием двухлопастной мешалкой:
Рх = 0.016пстРг-а5 . (2)
В выражениях (1),(2) и* - динамическая скорость на частице, П - число оборотов мешалки, ст
- диаметр лопастной мешалки, Рг = v /й - диффузионный критерий Прандтля.
Экспериментальные исследования характеристик диффузионного пограничного слоя методом голо-графической интерферометрии показали, что пограничный слой на поверхности твердой частицы в турбулентной жидкости сочетает в себе черты характерные для ламинарного и турбулентного слоя и представляется как псевдоламинарный [6].
Достаточно точное определение кинетики мас-сопереноса в псевдоламинарном пограничном слое на элементах дисперсной фазы получено в работах [7-10]. Для расчета кинетических параметров гидродинамики и массопереноса получены уравнения:
^ Л- ^ = +Re,
/2 д^2 -2
du
" wdV / Грд^
дц
д2х 8~d д2х „ дх 8d „ дх
— = ±Ре®~+ ^ Регр —
дц где
/2 д#2
дц
(3)
(4)
Rera =ю8ж/ vx,
/ д#
= U Ц^Х^Х
Ре® = ю8рх /йх , 8эх = 8х • Зсх - толщина диффузионного слоя на капле,® - скорость роста (сокращения) размеров частицы при диффузионном процессе, - скорость жидкости на подвижной
границе раздела фаз.
Решение уравнений (3) и (4) представляется в виде ряда. Распределения скорости жидкости и (4, |) и концентрация х(4,|) в пограничном слое записываются в виде:
и = 1 + — Ти1 R sin2xrj + V u(#)sin— 2ж игр k=1 2
Ж
ц ■.
(5)
(6)
k=1
где к = 1,3,5,...2п + 1,... ; ик(%),
* к — неизвестные функции от 4 , определяемые из системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Распределение коэффициента массоотдачи по продольной координате пограничного слоя вблизи границы раздела фаз описывается выражением:
rcDx 28г
Vmxfe),
m = 1,3,5.
(7)
Здесь SD = 8 • Sc
x m=1
1/2
толщина диффузионного
пограничного слоя, 6 - толщина динамического слоя на частице 5 = 5(4), 8с - число Шмидта; йх - коэффициент молекулярной диффузии. Среднее зна-1
чение
8 =
Показано, что ряд в выражении (7) с достаточной точностью сходится при двух членах:
х() = Х1 () + х3 () и среднее значение суммы
получено равным «1.27.
Среднее значение коэффициента массоот-дачи в пограничном слое на капле жидкости запишется в виде:
Рхк =
5
а на поверхности твердой частицы в форме:
- 2Б. -вс}13 Р =—-
^хт с- ,
(8)
(9)
Из выражений (8), (9) следует, что для расчета коэффициентов массоотдачи в пограничном слое необходимо найти среднее значение толщины динамического слоя 5.
Гидродинамические характеристики, необходимые для расчета пограничного слоя
При движении частиц малого размера в турбулентном потоке сплошной среды вблизи границы раздела фаз образуется псевдоламинарный пограничный слой, возмущенный на внешней границе турбулентными пульсациями скорости жидкости. Интенсивность турбулентных пульсаций Ти = и' /и».
Поток импульса на внешней границе пограничного слоя в режиме изотропной турбулентности записывается в виде:
Эи
J = ух
= и' и' =
' |=5
Отсюда следует:
(и)2
Эи
1=5
Т^Реи»
5Т-
L, Ре =
и» -5х
В этих уравнениях: и , и - продольная и поперечная пульсационные скорости на внешней границе пограничного слоя; V х,ида - кинематическая
вязкость и скорость обтекания частицы; 5 х - толщина динамического слоя.
В режиме изотропной турбулентности пульсаци-онные скорости и их производные по всем направлениям, предположительно, одинаковы. Скорость диссипации энергии пульсационного движения в условиях пристеночной турбулентности будет равна [11,12]: _
15Ти4и»
— (10)
15
е = —ух 2 х
(-ТЛ Эи
Э|
15 Эи' Эи'
= — V.
2 Э| Э|
2
Из уравнения (10) получим выражение для расчета интенсивности турбулентности.
т 2 1 ( 2
Ти2 = —=-1-Vx8
иЧ 15 х
1/2
Скорость диссипации энергии е в аппарате с перемешиванием в зависимости от мощности N и объема перемешиваемой среды V определяется в виде:
N N К (12)
8 =-
PxV
, N = ^РхП34.
Значения скорости движения жидкости относительно элементов дисперсной фазы определяется на основе полуэмпирической зависимости. Аг
Ре =
18 + 0.61Аг05 с^х -Ру)
^Ру
Т- ф'ф"
(13)
где ф , ф - коэффициент формы частицы и коэффициент, учитывающий стесненность движения;
С1у - эквивалентный диаметр частицы; рх и ру -плотность сплошной и дисперсной фазы; vx - кинематическая вязкость сплошной среды, Аг - число Архимеда.
Соотношение баланса сил для твердой частицы и капли в сплошной среде плотности р х приводит к уравнению:
^кРу (Рх -Рсф)
игр = и»
1-
V
^сфРсф (рх-Ру )
(14)
^к ^ ^ Ру ^ Рсф Для средних капель сферической формы при 100 < Ре < 300 :
= 1.82Ре-019 + We-0.033,
24
^сф = —+4 Ре-сф Ре
1/3
(15)
где
We =
2Рхи»Рё
а
- критерий Вебера; а - по-
верхностное натяжение на границе раздела фаз, Н/м, - радиус капли; х , у - сплошная и дисперсная фазы.
Приближенный расчет гидродинамических параметров псевдоламинарного пограничного слоя на элементах дисперсной фазы
Уравнения переноса импульса в псевдоламинарном пограничном слое вблизи границы раздела фаз на элементах дисперсной фазы записываются в виде:
1 Э2и _Эи +_Эи = 0
Эи Эи и— + и— =
Э^ Э1 Ре я„2
Э| Ре Э|2 Э£, Э|
(16)
и» =
э
V
х
х
Здесь обозначено: £ = £/1, | = |/ 5, Ре = и»^/V, I = ^/2, 5 = 5/1, и = и/и», и = и/и», игр = игр/ и » . Безразмерные величины: ^ , Л - продольная и поперечная координаты
пограничного слоя; Ц и - продольная и поперечная составляющие вектора скорости жидкости в пограничном слое; - скорость жидкости на границе раздела фаз на капле. На твердой частице игр = 0,
и» - скорость обтекания частицы; 5 - толщина пограничного слоя.
Граничные условия для уравнений переноса импульса в псевдоламинарном пограничном слое будут следующие:
- для капли жидкости на границе раздела фаз: и = Ирр , и = 0 при | = 0;
Эи _ 2„ и
— = Ти2 Ре при л = 1;
и = 1
(17)
при ^ = 0 ; и = 1 при | = 1, - для твердой частицы граничные условия остаются в виде (17), кроме условия при | = 0, где иГр = 0.
Решение уравнений (16) проводится методом последовательных приближений. В первом приближении в уравнениях (16) принимаем:
- си(1) и(1) = СЛ + С2 ,
= 0 •
"л2
"л
= Сь
где С1 и С2 - постоянные интегрирования. Их значения определим из граничных условий при Л = 0 и Л =1. Будем иметь:
с\=игр ; и(1)= 1 = сф + игр; С[ =(1 -и^)/5. Тогда:
и() =
Г1 -
и,
гр
5
Л + и
гр-
(18)
,(1)
Первое приближение скорости и' найдем из уравнения неразрывности (16):
Эи(1) Эо(1)
Э|
Эи(1)/ Э^
Значение производной уравнения (18).
Эи(1) = (1- игр )5' 5'=
найдем из
Тогда
Э^
Эи(1) =(1 - игр )5'
Эл = 52
грЛ £' _ 52—Л • 5" *
-Л.
Интегрирование уравнения дает первое прибли-
жение скорости и
,(1) =
(1- игр
| л
252
Подставляя первое приближение скорости и(1), и(1) в левую часть уравнения движения (16), получим:
Л.
Ре Эл2
1- ип
игР + "Г
(1- игр )5'
л I +
(1-игр )5' 2Г1-игр 1 — о • л
25 2
5
После преобразований получим уравнение:
Э2и(2) Эл2
= -Ре
(1- игр)^ + игр (- игр ))'
3 - +
5
2
52
л
Интегрируя это уравнение два раза, найдем распределение скорости и(2)(^,л) во втором приближении.
Эи
(2)
= -Ре
Эл
и(2) = -Ре
(1-игр)2 5,л3 + игр(1-игрл2
253 3 52 2
+ с1,
(1-игр)2 5'л4 + игр(1- игр )л:
гр
653
25 2
+ с1л + с2.
Удовлетворяя граничным условиям при л = 0 и л = 1 получим значения констант С и С2 .
с2 = игр, с1 = Ти2Ре+ Ре
О- игр )2 5'+ игр(- игр ) 5'
6
2
и(2)
Окончательное выражение для скорости мет вид:
, , Реигригр)5'Г ^
при-
и(2) = игр + Ти2 Рел
2
352
+
Ре
(1 - игр )2 5
6
,4 1
л--
45 3
(19)
и(2)
Используя второе приближение скорости и в уравнении неразрывности (16), получим распреде-(2)
ление и ' во втором приближении. Затем можно
(3)
построить следующее приближение скорости и и (3)
и '. Численные расчеты показывают близкие значения скорости во втором и третьем приближениях. Для приближенных расчетов примем значения ско-(2)
рости и во втором приближении, получим уравнение для определения толщины псевдоламинарного пограничного слоя. Из условия и(2) = 1 при л =1, получим:
Реигр(1- игр) , Ре(1-игр)2
1-и
гр
5
= 5'
3
8
+ Ти2 Ре. (20)
Отсюда следует:
с15_ 1- игр 1 - Ти2 Ре
^ = ' - ,
Ь 5 Ь Ь = Ре(1- игр( игр
■ +
1-и 1
гр
(21)
Л
2
5
4
3
Решение уравнения (21) получим методом приближений Пикара.
В первом приближении примем равным нулю свободный член в уравнении (21). Решение уравнения в этом случае имеет вид:
2(1-иГр )) 2
—ъ~I 4 ■ (22)
5« =
Используя данное решение в уравнении (21), за-
пишем:
d5(2) 1- urp 5(1)_ Tu2 Re dÇ = b ' b .
Толщина пограничного слоя во втором приближении определяется в виде:
12(1"^)
5(2) =
b
'rpl^0.5 Tu2 Reç
(23)
Процесс последовательных приближений можно
продолжить и получить и т.д.
Для приближенных расчетов кинетических параметров массопереноса достаточно использовать уравнение (23).
Среднее значение толщины динамического псевдоламинарного пограничного слоя на капле получается интегрированием уравнения (23) по 4 от нуля до единицы в виде:
2(1-игр) Ти2 Яе
(24)
5=
Ь 2Ь •
Среднее значение толщины псевдоламинарного пограничного слоя на твердой частице при игр = 0
равно:
5 = 8 Re-05 - 4Tu2 3
(25)
Инженерный расчет кинетических параметров массопереноса в аппаратах с перемешиванием дисперсной фазы в сплошной среде
Для расчета средних значений коэффициентов массоотдачи в аппаратах заданной конструкции при разделении смеси с заданными технологическими и теплофизическими параметрами по формулам (8), (9) необходимо рассчитать толщину динамического
псевдоламинарного пограничного слоя 5 (24), (25).
Для этого по уравнениям (13), (14), (15), (21) определяются: скорости Uœ , Urp, коэффициент b , по
уравнениям (11), (12) - скорость диссипации энергии и интенсивность турбулентных пульсаций.
На рис. 1, 2 приведены результаты расчетов средних значений коэффициентов массоотдачи в аппаратах с перемешиванием двухлопастной мешалкой в процессах жидкостной экстракции.
На рис. 1 рассмотрен процесс экстракции в системе вода-циклогексан при условиях: размер капли
d3 =(50-58)-10-6м, uœ =(6.3-8.35)-10-4м/с, Sc = 1190, px = 998кг/ м3, ру = 677кг/ м3 .
Рис. 1 - Зависимость коэффициентов массоотдачи ß x (м/с) в сплошной фазе от комплекса nd, (м/с) при экстракции в системе вода (спл. фаза) - цик-логексан в проточном смесителе диаметром Da = 38мм при перемешивании 2-лопастной мешалкой: 1 - расчет по предложенному методу; 2 -экспериментальные данные [5]; 3 - расчет по уравнению (1); 4 - расчет по уравнению (2)
На рис. 2 показано сравнение расчетных данных с известными при экстракции в системе вода (сплошная фаза) - изоамиловый спирт при условиях: d3 =(45-55)-10-6м uM=(3.0 - 3.7б)-10-4м/с,
urp = 3.5 - 10 м / с, KN = 0.8 - 0.9 ; Dx = 8.14-10-10""2
рх = 998кг/м' Tu = 0.4-0.53;
,3.
ру = 810кг / м3 ; Sc=1240;
м2/ с ; dm = 0.02м.
Рис. 2. Зависимость коэффициентов массоотдачи ß x (м/с) в сплошной фазе от комплекса nd, (м/с)
при экстракции в системе вода (спл. фаза) - изо-амиловый спирт в проточном смесителе диаметром Da = 38 мм при перемешивании 2-лопастной
мешалкой: 1 - расчет по предложенному методу; 2 - экспериментальные данные [5]; 3 - расчет по уравнению (1); 4 - расчет по уравнению (2)
Удовлетворительное согласование расчетных и экспериментальных данных подтверждает достоверность инженерного расчета кинетических параметров массоотдачи.
Литература
1. В.Г. Левич. Физико-химическая гидродинамика. М, Наука, 1987-669с.
2. С.М. Орел. ЖПХ, 61,7,1530-1536 (1988).
3. Л.Н. Брагинский, В.И. Бегачев, В.М. Барабаш. Перемешивание в жидких средах: Физические основы и инженерные методы расчета. Л, Химия, 1984-336с.
4. А.Г. Лаптев, В.И. Елизаров, С.Г. Дьяконов, О.В. Зай-кова, ЖПХ, 6,3,531-536 (1993).
5. С.З. Каган, Ю.Н. Ковалев, В.И. Ильин. ЖПХ, 40,11, 2478-2481 (1967).
6. С.Г. Дьяконов, Н.Б. Сосновская, Л.П. Клинова. ДАН СССР, 264,4, 905-908 (1982).
7. Т.С. Камалиев, Д.В. Елизаров, Вестник Казан. технол. ун-та, 14, 9, 127-131 (2011).
8. С.Г. Дьяконов, В.В. Елизаров, Д.В. Елизаров, Д.А. Кириллов, ТОХТ, 45, 4, 400-408 (2011).
9. Д.В. Елизаров, В.В. Елизаров, Т.С. Камалиев, С.Г. Дьяконов, ЖПХ, 86, 2, 246-252 (2013).
10. Д.В. Елизаров, В.И. Елизаров, Т.С. Камалиев, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 12, 201-205, (2013).
11. А.Н. Колмогоров. ДАН СССР, 32, 1, 19-21 (1941).
12. А.А. Таунсенд. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М, Наука, 1959-400с.
© Д. В. Елизаров - канд. техн. наук, доцент кафедры АТПП НХТИ КНИТУ; В. В. Елизаров - д-р техн. наук, зав. кафедрой АТПП НХТИ КНИТУ, [email protected]; В. И. Елизаров - д-р техн. наук, профессор той же кафедры; С. Г. Дьяконов -д-р техн. наук, профессор, советник при ректорате КНИТУ.
© D. V. Elizarov - candidate technical sciences, Department of automation of technological processes and productions Kazan national research technological university"; V. V. Elizarov - doctor technical sciences, head of the Department of automation of technological processes and productions "Kazan national research technological university", [email protected]; V. I. Elizarov - doctor technical sciences, Professor of the Department of automation of technological processes and productions "Kazan national research technological university"; S. G. Dyakonov - doctor technical sciences, Professo, Advisor to the Rector of "Kazan national research technological university".
