CC BY
9
УДК 66.061.35
Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров, В. И. Елизаров, С. Г. Дьяконов
ГИДРОДИНАМИКА И ИНЖЕНЕРНЫЙ РАСЧЕТ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МАССОПЕРЕНОСА В ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ЭЛЕМЕНТАХ ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Ключевые слова: пограничный слой, капля, частица, коэффициент массоотдачи.
Получены простые выражения для инженерного расчета коэффициентов массоотдачи в пограничном слое на капле в процессе жидкостной экстракции и на поверхности твердой частицы при растворении в зависимости от гидродинамических, теплофизических параметров фаз и размеров частицы.
Keywords: boundary layer, drop, particle, mass transfer coefficient.
Simple expressions have been derived for engineering calculations of mass transfer coefficients in the boundary layer of a drop in the liquid extraction process depending on the hydrodynamic, thermophysical properties of phases and particle sizes.
В ламинарном пограничном слое на элементах дисперсной фазы вблизи границы раздела фаз уравнения переноса импульса записываются в виде:
где
3u 3u
u — + о —
ЗЕ Зр
u = u/u_ ,
1
3 2u
Re Зр2 '
и = и/ur
3u 3v — + — = 0 .
зе Зр
(1)
игр = ~гр /им ,
£ = , р = р/1, 5 = 8 и , Рв = и^ /V ,
I = л^э /2, соответственно безразмерные и
продольная, поперечная скорости жидкости в пограничном слое, скорость на границе раздела фаз, продольная и поперечная координаты пограничного слоя.
На капле жидкости в пограничном слое граничные условия имеют вид:
и = и , и = 0 при л = 0 ;
' г
3и „ „
— = 0 , и = 1 при л = 5; 3р
и = 1 при = 0 . (2)
На поверхности твердой частицы граничные условия записываются в виде (2), в которых
принимается и гр = 0 .
Решение уравнений (1), (2) построим методом последовательных приближений. В первом приближении в уравнении движения (1) приравняем к нулю левую часть и проинтегрируем его:
d2u
du
dp
2 = 0 ' d^ = C1; " = °1Л + C2
(3)
Постоянные интегрирования с ^2 определим
из условий (2): u = u при р = 0, u = 1 при ' H
р = 8, получим: C2 = urp , Ci = [1 - ufp
Распределение скорости u(1)(, p) приближении имеет вид:
/ 8.
в первом
u (1) = 1 - urP
8 P + urp
(4)
u «
Используя первое приближение скорости в уравнении неразрывности, получим распределение поперечной составляющей вектора скорости в первом приближении.
,(1) = (1 - uгр )8-
8р2 /2
8' = d8/dE.
Подставим полученные значения скорости u
(1)
,(1)
в левую уравнение:
32u
зп2
часть уравнения 2
(1), получим
= -Re
1-u„
ГР.
28'
3
8' 2 + urp[1-urp 8'
-8р +-^2-- 8 р
8
(5)
Интегрируя уравнение (5) граничных условиях: u = u
г
3u / Зр = 0 при р = 8 , получим:
u (2) = Re' urp I1 - urp
два раза при при р = 0 ;
2
,3 ï
р ■
382
Rel 1 - u
гр
8'Г
6
.4 ï
48
3
+ u
гр
(6)
u (2 )
Используя второе приближение скорости и в уравнении неразрывности (1), получим второе
приближение скорости и^2). Продолжая процесс последовательных приближений, можно получить распределения скорости в третьем, четвертом и т. д. приближениях. Количество приближений определяется при решении конкретной задачи по требуемой точности и сходимости решения.
В уравнении (6) толщина динамического пограничного слоя 5(Е) определяется из условия: и = 1 при р = 5 .
+
2
+
р
Используем для определения 8 второе приближение скорости и (2) = 1 при л = 8 . Получим уравнение для определения толщины слоя 8 на капле.
1 = 8'-8- Ре
игр/3 + 11 - V/8
= 8'8 Ре • а , (7)
где а = игр/3 + -игр J/8 .
Уравнение для определения 8 имеет вид: с18 1
решение
Его
С% 8 • аКе
следующим образом:
записывается
8(0 =
2
Ке^ а
0.5
%
0,5
(8)
Толщина пограничного слоя на поверхности твердой частицы определяется из уравнения (8) при
и = 0 . Имеем:
' г
8(%)= 4
и%
(9)
,(2 )
Значение скорости жидкости на границе
слоя при л=8, полученном в виде уравнения (9), удовлетворительно согласуется с точным решением уравнений (1) и экспериментальными данными
Никурадзе [1], при этом и(2)/ида = 0,998 .
Среднее значение толщины динамического пограничного слоя в безразмерном виде на капле и на твердой частице, после интегрирования уравнений (8), (9) по продольной координате % от нуля до единицы, равно:
^/2 _ 8
, 8 тв =-. (10)
8 2
8к = —
2
3 I Ке•а
И/2
3Ке
Значения скорости движения жидкости относительно элементов дисперсной фазы определяется на основе полуэмпирической зависимости [2]:
Аг
Ке =-
18 + 0.61Аг
0.5
и =
да
'С3д(рх -ру у X р у
х ф'ф''
(11)
где ф', ф" - коэффициент формы частицы и коэффициент, учитывающий стесненность движения; d э - эквивалентный диаметр частицы;
р х и р у - плотность сплошной и дисперсной фазы;
V х - кинематическая вязкость сплошной среды, Аг
- число Архимеда.
Капля жидкости имеет подвижную границу раздела (и гр ф 0 ). Скорость движения капли больше
скорости твердой частицы, предположительно, на величину средней скорости жидкости на межфазной
поверхности: игр = ида - и
эсф
где и да - скорость
движения капли, идасф - скорость движения
твердой частицы.
Соотношение баланса сил для твердой частицы и капли в сплошной среде плотности р х приводит к уравнению:
гр
% к р у (
У 1р х
р
сф
% сф р
сфисф 1р х
(12)
%к сф , ру ^рсф ;
% сф = — + 4Ке"1/3 ; сф Ке
%к = 24Vх /и Кк,
ък х да к'
где К„ - радиус капли, индексы "х" и "у"
относится к сплошной и дисперсной фазам.
Изменение размера капли по диффузионному механизму начинается с начальной величины do. Данный процесс можно рассмотреть, как изменение во времени продольной % и поперечной л координат пограничного слоя. Продольная координата пограничного слоя - подвижная координата. Скорость ее изменения равна скорости
жидкости на подвижной границе и гр. А поперечная
координата пограничного слоя изменяется в зависимости от притока или стока вещества в ядро сплошной фазы и связана с ростом или уменьшением размера капли:
С% Сл
— = и , — = +ю , где ш - скорость изменения Ст гр Сх
размеров капли.
Введем подвижную систему координат:
Л=л±ют, % = ~ + игрт .
г
В подвижной системе координат уравнения переноса импульса и массы в безразмерных переменных принимают вид [3-6]:
З^и 822 З^и _ Ш 8Х _ Зи —~ =±Ке — +—Ке„— (13)
Зл2 I2 з%2 шЗл I З%, (13)
+ З2х = +Ре Зх +крегрЗх, (14) Зл2 I2 а%2 шЗл I грз%
где
Ке =ш8 /у ,
Ш XIX'
Кегр = игр8х/у X Ре... /Р.
Ре„ =
гр гр
игр
,-1/2
8р = 8х • - толщина диффузионного
слоя на капле.
Решение уравнений (13) и (14) представляется в виде ряда. Распределения скорости жидкости и(%, л)
1
и
да
р
у
и
да
V
С
э
и концентрация x(Ç, р) в пограничном слое
записываются в виде:
^ ■ кя
u = Е uK(Ç)sin — р k = 1 2
^ ■ кя
x = Е xK(E)sin—р
(15)
(16)
k=1
где k = 1,3,5,...2n + 1,...; uк(£) , xк(£) -неизвестные функции от £.
Подставляя решения (15) в (13), (16) в (14), умножая последние на sinmrc/2р (ш=1,3,5,...) и интегрируя по р от 0 до 1, приходим системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно иш(£), хш(£),
решение которых позволяет найти 5x(£) и ßx(£) [3-6]:
Выражение для определения коэффициента массоотдачи имеет вид:
яД.
26,
Е mx(^), m=1,3,5.
D m = 1
x
Здесь
5,
D,
= 5- Sc
-1/2
(17)
толщина
x
диффузионного пограничного слоя, 8 - толщина динамического слоя на капле, Sc - число Шмидта, Dx - коэффициент молекулярной диффузии.
Ряд в выражении (17) с достаточной точностью сходится при двух членах ряда: x() = x1 () + 3ж3 и
среднее значение ряда в результате многочисленных расчетов получено равным «1.27.
Среднее значение коэффициента массоотдачи в пограничном слое на капле жидкости запишется в виде:
ß
xk
2DxSc
5
1/2
а на поверхности твердой частицы в форме:
- 2Dx - Sc1/3 ßxi = -,
(18)
(19)
где толщина динамического пограничного слоя определяется по формулам (10).
На рис. 1,2 приведены результаты расчета коэффициентов массоотдачи в процессах жидкостной экстракции и сравнение их с экспериментальными данными Каденской, Железняк, Броунштейна [7].
Кривая линия на рисунках построена по формулам (10-12), (18) и совпадает с решением, полученным по уравнениям (13)-(16) [3]. На рис. 1 показано сравнение расчетных данных процесса экстракции в системе вода (спл. фаза) -анилин - ксилол в зависимости от числа Re при
20 < Re < 400
Scx = 1326, а на рис. 2 - сравнение
расчетных данных в системе вода (спл. фаза) -бензойная кислота - бензол при 20 < Ре < 300,
1/2
Scx = 537. В отношении Sh/Sc на рис. 1,2 Sh = ßx - d3 /Dx - число Шервуда.
Рис. 1 - Зависимость безразмерного комплекса
1/2
Sh/Sc X от числа Рейнольдса Re в сплошной
фазе при экстракции в системе вода (спл. фаза) -анилин - ксилол в стеклянной колонне диаметром d а = 24 мм и высотой H = 65 мм: 1 -
расчет по предложенной модели; 2 -экспериментальные данные
Рис. 2 - Зависимость безразмерного комплекса
1/2
Sh/Scx от числа Рейнольдса Re в сплошной
фазе при экстракции в системе вода (спл. фаза) -бензойная кислота - бензол в стеклянной
колонне диаметром d a
24
мм и высотой
H = 65 мм: 1 - расчет по предложенной модели; 2 - экспериментальные данные
Сравнение результатов расчета коэффициентов массоотдачи по полученным выражениям с экспериментальными данными показало их удовлетворительное согласование.
Работа выполнена в рамках гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых - докторов наук, договор № 14.Z56.14.5663-МДот 03.02.2014 г.
Литература
1. Теория тепломассообмена: Учебник для вузов./С.И. Исаев, И.А. Кожинов, В.И. Кофанов и др.; Под ред. А.И. Леонтьева. М. Высш. школа, 1979, 495с.
2. Б.И. Броунштейн, А.С. Железняк. Физико -химические основы жидкостной экстракции. М. Химия, 1966 - 317с.
3. Т.С. Камалиев, Д.В. Елизаров, Вестник Казан. Технол. ун-та, 14. 9. 127-131 (2011).
4. С.Г. Дьяконов, В.В. Елизаров, Д.В. Елизаров, Д.А. Кириллов, ТОХТ, 45, 4 400-408 (2011).
5. Д.В. Елизаров, В.В. Елизаров, Т.С. Камалиев, С.Г. Дьяконов, ЖПХ, 86, 2, 246-252 (2013).
6. Д.В. Елизаров, В.И. Елизаров, Т.С. Камалиев, Вестник Казан. Техлон. Ун-та, 16, 12, 201-205, (2013).
7. Н.Н. Каденская, А.С. Железняк, Б.И. Броунштейн, Процессы хим. технологии, 215-218, (1965).
© Д. В. Елизаров - канд. техн. наук, доцент кафедры АТПП НХТИ КНИТУ; В. В. Елизаров - д-р техн. наук, заведующий кафедрой АТПП НХТИ КНИТУ, [email protected]; В. И. Елизаров - д-р техн. наук, профессор кафедры АТПП НХТИ КНИТУ; С. Г. Дьяконов - д-р техн. наук, профессор, советник при ректорате КНИТУ.
© D. V. Elizarov - candidate technical sciences, Department of automation of technological processes and productions Kazan national research technological university"; V. V. Elizarov - doctor technical sciences, head of the Department of automation of technological processes and productions "Kazan national research technological university", [email protected]; V. I. Elizarov - doctor technical sciences, Professor of the Department of automation of technological processes and productions "Kazan national research technological university"; S.G. Dyakonov - doctor technical sciences, Professo, Advisor to the Rector of "Kazan national research technological university".
