CC BY
28
1756
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1756-1757
УДК 539.376
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ
© 2011 г. А.А. Светашков, Н.А. Куприянов
Томский политехнический университет [email protected]
Поступила в редакцию 15.06.2011
Приведен приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния линейных и нелинейных вязкоупругих тел на основе эффективных по времени модулей. Даны оценки погрешности.
Ключевые слова: эффективные по времени модули, напряжения, деформации, перемещения, энергетическая эквивалентность, удельная потенциальная энергия, скалярное произведение, неравенство.
1. Преобразование свертки напряжений и деформаций к положительно-определенному виду
Рассмотрим определяющие уравнения линейно вязкоупругого (ЛВУ) тела
t
о,
* * f -(t)=C,jkiеki; C,jki = J R,jki(t — T)d4i (T);
о t
**
е -(t)=J0ki; S,jki = J %i(t - T)doki(T)
ijki kb iJijki - JA ijki' (i, j = 1,2,3).
(1)
Здесь Я П — тензоры функций релаксации и ползучести, С..(0, г.() — тензоры напряжений и деформаций. Рассмотрим представление свертки напряжений и деформаций
t г
Ж = У = /С А + \У*Ч = W + ^ (2)
0 0
Здесь W, ¥ — функционалы удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций, ко -торые приводимы к положительно-определенному виду путем симметричного продолжения функций памяти в область t < 0. Доказывается, что свертку Ж напряжений и деформаций также можно представить в положительно-определенном виде
1 11
Сугу = 2 Я[К./(t — т) +
оо
2. Эффективные по времени модули ЛВУ тел
Рассмотрим случай изотропии, задав определяющие уравнения в виде:
* ~ *
о J (t) = Л Об- (t) + 2G е-, Л*, G* — вязкоупругие операторы, аналогичные (1). Введем среду сравнения с определяющими уравнениями и сверткой вида
oj (t) = чт- + 2 g (t )е-, Wo = oj е-
(i, J = 1,2,3), (3)
где Л(0, g(t) — искомые эффективные по времени характеристики. В силу положительной определенности W , W0, справедливы неравенства
mW0 < W <MW0.
Константы m, M можно найти из решения вариационных задач вида
m = min W(eij), M = max W(е-),
Wj(ej) = 1,
Wj (е-) = 1.
(4)
Составим функционал Щ(£. ) = Ж(£у) — — Ц Ж() (г. ) и потребуем выполнения необходимого условия экстремума 6Ж1(£.) = 0. Тогда получим
О- — О0 = 0 (i, - = 1,2,3),
(5)
+ Кт ^ — s)]dгIJ (т)ека ^) (/, у = 1,2, 3). Пользуясь свойством функций релаксации
(0 * %/ И > 0
можно доказать условие эллиптичности [1] ЛВУ тел:
с.(0г.(0>аг.(0гу(t) (.,у = 1,2,3), а>0.
Система шести уравнений (5) относительно шести компонент тензора деформаций г.. имеет два
У
независимых решения
г = г„ (/ = 1,2,3), е = г. (/ * у). (6)
К уравнениям (5) необходимо добавить еще условие нормировки:
С. г. = 1 ( у = 1,2,3). Последнее уравнение с учетом (3), (6) преобразуется к виду
9к ^ )г2^) + 12Я (t )е2^) = 1. (7)
Приближенный метод и оценка погрешности расчета НДС вязкоупругих тел
1757
Уравнения системы (5) с учетом (6) дают два уравнения относительно £(г), e(t):
(К* -цк(0)£ = 0, (О* - №(г))е = 0, (8)
К =Л + 30 , к(0 = Цг)+3g(г). (9)
Поскольку уравнения (8), (9) не могут выполняться одновременно, то, полагая поочередно £ = = 0, е = 0, получим
= K е /(k(t)e(t)); 9k(t)e2(t) = 1;
Ц 2 = Ge /(g (t )e(t)); 12g (t )e 2(t) = 1.
(13)
(10)
Принимая = = 1, будем иметь
£(0К*£ = 1; к(г) = 1/ £2(t);
* 2 (11) e(t)G е = 1; g(г) = 1/е2(t).
Найденные таким способом функции времени g(t), к(г) названы оптимальными эффективны -ми по времени модулями (ОЭМ).
Процедура вывода ОЭМ обобщена на случай анизотропных и нелинейных вязкоупругих сред. Тестовые расчеты с ОЭМ показали более точное совпадение с аналитическими решениями по сравнению с приближенными решениями, полученными с помощью эффективных по времени модулей других типов [2, 3].
3. Оценки для функционалов удельных потенциальных энергий
Рассмотрим неравенства вида
г г г
т\^0]ё£1] (г) <\ог]ё£г] (г) < М\а(0]ё£1] (г) (12) 0 0 0
при 7, ] = 1, 2, 3.
При заданных g(t), к(г), определенных по (11), найдем константы т, М. Решая вариационную задачу на условный экстремум, аналогичную (4), получим
= 1 0* 1 = 1 К* 1
^ лШ & ^ л/к(0 >1*'
т = ш1п(ц1,ц 2), М = шах(ц1,ц 2).
г г
Интегрируя (12) по объему V, занимаемому
телом, можно найти оценки, связывающие век_*
тор перемещений и , соответствующий точному решению краевой задачи ЛВУ, с вектором перемещений и , рассчитанным с помощью ОЭМ:
Ци1 -й*||0< *||и'|Ь; Я = М^• (14)
М+т
Нормы, входящие в (14), соответствуют скалярному произведению, образованному по типу
(и, V) = 21 [о0 (и )£] (V) + с° (у)&7] (и
п
(7, ] = 1,2, 3).
Здесь О = V [0, Т], где Т- интервал времени, на котором рассматривается решение.
Список литературы
1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.
2. Светашков А. А. // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, №1. С. 52-64.
3. Светашков А. А., Куприянов Н.А. // Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13, №3. С. 69-73.
THE APPROACHED METHOD AND ESTIMATION OF THE CALCULATION ERROR FOR STRESS-STRAIN STATE OF VISCOELASTIC SOLIDS
A.A. Svetashkov, N.A. Kupriyanov
The approached method of the calculation of stress-strain state for linear and nonlinear viscoelastic solids on the basis of time-effective modules is presented. Estimations of an error are given.
Keywords: time-effective modules, stress, strain, displacements, energy equivalence, specific potential energy, scalar product, inequality.
