Приближенные методы решения задачи о формах потери устойчивости стержня, имеющего начальный прогиб Текст научной статьи по специальности «Математика»

Определим функции вк(Ь) = вк соя2пЬ — дк 8т2п£, дк(¿) = дк соя2пЬ + вк 8'т2пЬ, и функционалы ак[%(Щ = (%с,дк) + (хв,вк), в[х(^)] = (хс,в*к) — (х3,д*), где векторы хс и х3 — это отвечающие сов2п1 и 8т2п£ коэффициенты Фурье функции х(1) € ^[0,1].

Наконец, определим действующий из Ф в ^ оператор &х(1) = х(1) — 1х(1).

Из условия и1) следует, что матрица Ао обратима. Основными в предлагаемой схеме являются следующие функции:

ф2к(t) = a,2(ek(s),Xo) ds, ф3к(t) = a3(ek(s),Xo) ds,

Г к (t) = ^ A- ф2к (1) - &ф2к (t) - Tk Ao i exp[Tk Ao(t - .в)]вф2к (s) ds,

Tk J

o

t

ф\к(^) = Tk J af2X(ek(s),Xo)rk(s) ds - фзк(t) , k = 1,2.

o

Положим A = A'(Xo) и определим числа: Yk = (Aek,e*k) + (A'gk,gk), h = ®k[&фгк(t)].

Теорема2(о типе бифуркации). Пусть выполнены условия U1)- U3) и 5к = 0, к = 1, 2. Тогда рождающиеся при малых \X - Xo| периодические решения x(t,X) системы

2п

(1) с периодом, близким к —, существуют только при X<X0, если 5kYk < 0, или только

^к

при X>X0, если 5 к Yk > 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мардсен Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 362 с.

2. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. С. 24-30.

Sharafutdinov I.V. TAG AND TYPE OF HOPF BIFURCATIONS IN NON-SMOOTH DYNAMICAL SYSTEM FOR DEGENERACY

Sign of the Hopf bifurcation for a dynamic system with non-smooth right-hand side, which has a certain value of the parameter two pairs of purely imaginary eigenvalues, is received. Also a method for determining the type of bifurcation is provided.

Key words: Hopf bifurcation; non-smooth dynamical system; fold degeneracy.

УДК 517.91

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ, ИМЕЮЩЕГО НАЧАЛЬНЫЙ ПРОГИБ

© Г.Г. Шарафутдинова

Ключевые слова: прогиб стержня; начальный прогиб; устойчивость.

Предлагается новый приближенный метод нахождения критической силы и формы прогиба стержня, сжатого осевой силой и имеющего начальный прогиб.

t

t

t

2743

Математическая модель изгиба стержня, лежащего на упругом основании и имеющая первоначальный прогиб ио, описывается краевой задачей

У" = Р(в)(-Лу + /(у) - Лад + /(ио))^(1 - (у - и0)2) - ио, (1)

у(0) = у(1) = 0, (2)

где в — координата, совпадающая с искривленной осью стержня; у — прогиб стержня, р(в) характеризует изменение жесткости по длине стержня; /(в) — функция, характеризующая наличие упругого основания; Л — продольная нагрузка.

При постепенном увеличении продольной нагрузкой Л своего значения в задаче (1)—

(2) стержень прогнется дальше в сторону первоначальной деформации и при дальнейшем увеличении нагрузки, при достижении ею значения, называемого критическим, произойдет «хлопок» и стержень резко (скачком) прогнется в противоположную строну — произойдет жесткая бифуркация.

В работе предлагается схема нахождения критических нагрузок и получения аналитических формул, дающих приближенные решения задачи (1)—(2).

На первом этапе переходим к операторному уравнению. Для функции у (в) € W2[0,1], удовлетворяющей граничным условиям задачи (1)-(2), положим

г(в) = - 0 (3).

Тогда г (в) Є Ь2[0,1], при этом выполнено равенство

1

у = I С(в,а)г(а)йа, где С(в,а) = |

1

а(1 — в); 0 < а < в, (4)

в(1 — а); в ^ а ^ 1,

о

— функция Грина оператора —у" при граничных условиях у(0) = у(1) = 0. Граничная задачи (1)—(2) эквивалентна операторному уравнению

г (в) = Л(Х)г(в) + а(г(в), Х) + ф(г(в), X), (5)

где

1

1 /2Л

2,Г

оо

Л(Х)г(в) = (Х — с)р(в)^1 — 2 «02) 10(в,а)х(а)(1а + р(в)((с — Х)и0 + д^п'0 ( С'3(в,а)г(а)(1а,

і ( і 2 1 \

а(г(в),Х) = (с — Х)р(в) J С(в,а)х(а)(1а і 2(^ С'3(в,а)г(а)(1а^ + и'0 J Є'3(в, а)z(а)dа\ +

0 0 0

і

+2Р(в) ((с — Х)и0 + д) С3(в, а)г(а)с1а)

0

Функция || ф(г(в),Х) \\ь2 = о(\\г(в)\Ц2) при \\г(в)\\ь2 ^ 0, || а(г(в),Х) \\ь2 = о(\\г(в)\\ь2) при Цг(в)||ь2 ^ 0,д — поперечная нагрузка.

Из общей теории бифуркации известно, что критическими являются такие значения параметра Х, при которых оператор линеаризованной задачи имеет собственное значение, по модулю равное единице. Рассмотрим оператор

Г (г) = Л(Х)г(в) + а(г(в), Х) + ф(г(в), Х).

2744

Найдем матрицу Якоби F' (z*(s, А)), вычисленную в точке z = z*(s,X). Положим Bh = = F'(z*(s, А)) и найдем спектральный радиус оператора B.

Теорема1. Оператор B : L2[0,1] ^ L2[0,1] положителен.

Спектральный радиус оператора B есть наибольшее по модулю собственное значение. Для произвольной функции h0(s) = 0: ||h0(s)||L2 = 1 вычислим h1(s) = , h2 (s) =

= mxil( aj||, • • •, hn(s) = [xhul(Sjii, где hn(s) ^ h*(s) — собственная функция операто-

ра B, отвечающая наибольшему по модулю собственному значению, т. е. B(A)h*(s) = = l^maxh* (s) • Собственное значение ¡Imax можно вычислить по формуле

__ = (B(A)h*(s),h*(s))

Imax = (h* (s),h*(s)) •

Далее программа в среде MATLAB находит значение А = А*, при котором спектральный радиус p(B) = I становится равным единице.

Для определения приближенных прогибов после бифуркации находим решение классической задачи [1], т. е. определяем критические значения Ai, А2, А3,..., такие, что Ai < < А2 < A3 ... Затем определяем, между какими двумя последовательными собственными значениями находится А*. Номер собственного значения Ai на левом конце равен количеству полуволн, по которым прогнется стержень. Форма прогиба стержня при А = А* будет такой же, как в условиях классической задачи при А = Ai, когда значение q мало.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарафутдинова Г.Г. Операторный метод исследования задачи Эйлера о формах потери устойчивости шарнирно-закрепленного стержня при продольной нагрузке // Известия вузов. Математика. Казань, 2010. № 11. С. 86-91.

Sharafutdinova G.G APPROXIMATE METHOD OF SOLVING ABOUT BUCKLING RODS HAVING THE INITIAL DEFLECTION

We propose a new method for finding approximate the critical force and deflection of the rod shaped, compressed by an axial force and having an initial deflection.

Key words: deflection of the rod; the initial deflection; stability.

УДК 512.18

ОКРЕСТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ

ИММУННЫХ СИСТЕМ

© А.М. Шмырин, А.С. Косарева

Ключевые слова: окрестностные системы; искусственные иммунные системы.

Предложена окрестностная иммунная система.

Искусственная иммунная система - комплекс математических методов, моделирующих основные функции иммунитета человека. ИИС используют для решения задач распознавания образов, классификации, оптимизации.

2745