CC BY
32
ЛИТЕРАТУРА
1. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. С. 24-30.
2. Шарафутдинов И.В. Бифуркация Андронова-Хопфа в системах с негладкими нелинейностями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 4. С. 835-837.
Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.
Sharafutdinov I.V. PROPERTIES OF PERIODIC OSCILLATIONS OF NON-SMOOTH DYNAMICAL SYSTEMS UNDER MULTIPLE DEGENERATION
The methods of determining the type of bifurcation and stability of steady vibrational modes of dynamic systems with non-smooth right-hand side which has, under a certain value of the parameter, a few pairs of pure imaginary eigenvalues are considered.
Key words: Hopf bifurcation; non-smooth system; multiple degeneration; periodic solution; stability.
Шарафутдинов Ильдар Вакильевич, Башкирский государственный университет (Стерлитамак-ский филиал), г. Стерлитамак, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и методики обучения математике, e-mail: [email protected]
Sharafutdinov Ildar Vakilievich, Bashkir State University (Sterlitamak Branch), Sterlitamak, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of the Algebra, Geometry and Teaching Mathematics Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.927
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ФОРМАХ ПРОГИБА ПЛАСТИНЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОЙ
НАГРУЗКЕ
© Г.Г. Шарафутдинова
Ключевые слова: прогиб пластины; продольная нагрузка; точка бифуркации. В работе приведено решение задачи о формах прогиба продольно нагруженной пластины методами теории локальных бифуркаций. Для этого предлагается переход от дифференциальных уравнений к эквивалентному операторному уравнению.
Пусть О = {(х,у) :0 ^ х ^ а, 0 ^ у ^ Ь} — прямоугольная замкнутая область на плоскости М2 , — пространство Соболева, Ж£2(П) — подпространство пространства
полученное замыканием множества всех бесконечно дифференцируемых функций с
х2
носителями в О. Определим функцию ^(х,у) = ь(х,у) + • —, где V — функция напряжений (функция Эйри) в срединной плоскости пластины, параметр характеризует продольную сжимающую силу, приложенную к краям пластины вдоль оси ОУ.
Дифференциальные уравнения, описывающие прогиб и> продольно нагруженной прямоугольной пластины длины а и ширины Ь имеют вид
Ьг = й • A2w - Н • Ь(ад, + НЩЬ(ад, с) = 0, (1)
1539
L2 = A2F + ^E • L(w, w) = 0;
1
при х = 0, a при у = 0, b oy =
2
д 2F д^
Ox = тту = 0 , Txy = =0 , w = 0 , wxx = 0;
dy2
д 2F dx2
0 , t
дхду д^
(2)
(3)
yx
дхду
= 0 , w = 0 , w
yy
0.
где А — оператор Лапласа, операторы ) и определяются равенством
^ = д!^ д!^ д!^ д!^ _ 2 д2^ ' дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду '
й, Н, Е — известные положительные постоянные ( й — жёсткость на изгиб, Н — толщина
х2
пластины, Е — модуль упругости), функция с = с(х, у) = — .
Рассматривается задача о бифуркационном поведении пластины при изменении параметра N. Предлагается схема, позволяющая определить критические значения этого параметра и получить приближённые формулы для функции прогиба методами теории локальных бифуркаций [1].
Рассмотрим линейную краевую задачу
d • A2w = -Nyh • L(w, c),
(4)
(5)
при х = 0, а ■ = wxx = 0; при у = 0, Ь ■ = ■уу = 0.
Будем говорить, что Ао является точкой бифуркации задачи (1)—(3), если при N = Ло линейная задача имеет ненулевое решение.
" " пкх . пту
Решение задачи (4)-(5) можно представить в виде w(x, у) = ^ ^ sin
fc=1 m=1 a
81П ■
ггл ,т Нт2Жу
Тогда критические значения силы N определяются из уравнений
k2 ...
m
b2
'у чу и -1- » реляции ли ОтО 7
п2Ь2а
причем каждой паре к и т соответствует некоторая точка бифуркации. Наименьшее значение N достигается, когда к = 1,т = 1, при этом
Лй (г.2 \ К2\2
N * = y
^d (a2 + b2 )2
Н а4Ь2 "
Для изучения вопроса об асимптотических формулах, описывающих нелинейные прогибы задачи (1)-(3) при переходе через критические силы, предлагается следующая схема.
Обозначим через А0 : ^22(О) ^ ^22(О) оператор, ставящий в соответствие функции ■ решение краевой задачи
A2F = -1E • L(w,w),
при x = 0, a
Ox =
при у = 0, b oy =
2
д 2F ду2
д 2F дх2
- 0 , Txy -
0
дхду 92F
yx
дхду
0.
Рассмотрим определенный на (О) функционал
a b
f (w) = // (d • (Aw)2 - hL(w,w)Aa(w)^
o a
dxdy.
2
0
1540
Этот функционал непрерывно дифференцируем по Фреше на W£2 (Q) , и его градиент V/ : W22 ^ W22 определяется (см. [2]) равенством
a b
V/(w),f) =2//(d ■ AwA( — hL(w,A0(w))(jdxdy, 0 0
где ( = <p(x,y) — произвольная функция из W2°2.
Задача отыскания решений системы (1)—(3) эквивалентна [2] задаче отыскания решений уравнения
V/(w) = -Ny Vg(w), (6)
a b
где функционал g(w) определяется равенством g(w) = h j j L(w, c)wdxdy. Обозначим да-
00
лее через B : W22 ^ W22 и D : W22 ^ W2°2 — операторы, определенные равенствами
a b a b
(Bw,(f) = 2 J j d ■ AwAfdxdy, (Dw,() = -2hj J L(w,c)(dxdy. 0 0 0 0
Теорема1. Уравнение (B — XD)w = 0 при A = A0 = N* имеет ненулевое 'решение nx . ny
w = C sin — sin —, гае C — произвольная постоянная. a b
Уравнение (6) перепишем в виде
w = A(A)w + as(w) , w € W2°2, A € R, (7)
где A(A) = I + B — AD , a3(w) = —b(w); здесь b(w) — нелинейный оператор, определенный
a b
равенством (b(w),f) = 2h / / L(w,A0(w)) (dxdy.
00
ГГЛ о л ... n2d (a2 + b2)2 ^ r
Т еорема2. Значение A0 = Ny* = —— ■ -— является точкой бифуркации
y h a4b2
уравнения (7).
Теорема 3. Бифурцирующие решения ws уравнения (7) и соответствующие значения параметра As = A(ws) представимы в виде
w£ = ee0 + e3e1 + o(e3), Ae = A0 + e2A1 + o(e2),
2
2
/ \ ^ (аз(ео),во) Ь2
гае е > 0 — малый параметр, ег = 10а3(в0), Л\ = -;—^-, оператор 10 : ш22 ^
Нп2
Ш°°2 при любом у €: Ш°2 вычисляется по формуле Г0у = Н0 + Н0, где
h0 = — h° = (I - A(A0))-1
_ (y, e0)De0 y (De0, e0) J
Непосредственные вычисления показывают, что значение Ai представляется в виде дроби, в которой числитель равен
Aii = 8192 ■ Eab3n2(A4 — 32п4) х х ( 2(1 + sin Л sh A)(W4(a2 — b2)2 + A4(a4 + b4)) — (16n4 + A4)(3b4 + 3a4 — 2a2b2) ) ,
1541
а знаменатель равен
Ai2 = A4(a2 + b2)4(16n4 - Л4)3
a2 b2 b2 + a2
a — a2 + 2Î1 - a
Постоянные a и Л определяются из соотношений cos Л ■ chA = 1 , a =
sin A — sh A cos A — ch A
ЛИТЕРАТУРА
1. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С. Функционализация параметра и её приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2007. № 4. С. 3-12.
2. Бобылёв Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. М.: Магистр, 1998. 658 с.
2
Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.
Sharafutdinova G.G. METHODS OF THE LOCAL BIFURCATIONS THEORY FOR SOLVING THE PROBLEM OF THE PLATE DEFLECTION FORM UNDER LONGITUDINAL STRENGTH
We give a solution to the problem of the forms of longitudinally loaded deflection plate using the methods of the local bifurcations theory. For this purpose, the transition from differential equations to the equivalent operator equation is proposed.
Key words: deflection plates; longitudinal force; bifurcation point.
Шарафутдинова Гюзель Гафуровна, Башкирский государственный университет (Стерлитамак-ский филиал), г. Стерлитамак, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры теории и методики начального образования, e-mail: [email protected]
Sharafutdinova Gyuzel Gafurovna, Bashkir State University (Sterlitamak Branch), Sterlitamak, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of the Theory and Methodology of Elementary Education Department, e-mail: [email protected]
УДК 512.8
СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ОКРЕСТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ С УЧЕТОМ ПРЕДЫСТОРИИ
© А.М. Шмырин, Н.М. Мишачев, Д.С. Демахин, А.Г. Кузнецов, Е.С. Аникеев, Е.П. Трофимов
Ключевые слова: окрестностная модель; синтез; предыстории.
Рассматривается вопрос идентификации окрестностной модели с учетом предыстории. Линейная окрестностная модель [1, 2] с п узлами имеет вид:
п
X + ¿7V*) + с7 = 0 , 3 = 1,...,п,
г=1
где V — состояние и управление в узле г. Мы рассматриваем задачу идентификации коэффициентов (ш- , ¿¿,с7) модели на основании уже имеющихся данных (кортежей)
1542
