Приближенные методы решения задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

© М. Г. Мишина

m- mishina@ mail .ru

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, задача Коши, вольтерровый по А. Н. Тихонову оператор, приближенное решение.

Abstract. We offer a method of approximate solution of abstract functional-differential equation in arbitrary Banah functional spaces. The method is based on substitution an operator of volterra on a close operator, which possesses a property of т — kvasivolterrovosty. If approximate operator will be chosen properly then from this method we can get new and known methods of solution of concrete functional-differential equations.

Введение

Как правило, решения функционально-дифференциальных уравнений не сводятся к квадратурам. В то же время, интенсивное использование функционально-дифференциальных уравнений в математических моделях требует нахождения решений либо их качественных характеристик с высокой точностью.

Здесь рассматриваетя достаточно общий метод приближенного решения абстрактного функционально-дифференциального

хРабота выполнена при поддержке РФФИ, проект № 04-01-00324.

уравнения, на основании которого можно получить аналоги известных наговых методов (метода Тонелли, простого и улучшенного методов Эйлера) и новые методы.

§ 1. Обозначения

Будем предполагать, что В, О —банаховы пространства функций у : [а, Ь] ^ Мт, пространство О изоморфно и изометрично прямому произведению В х Мп. Пусть изоморфизм О = В х Мп задан операторами

^ : О ^ В х Мп, (Л, У) = ^ ^ : В х Мп ^ О,

где 5 : О ^ В, Л: В ^ О вольтерровые (по А. Н. Тихонову) операторы, функционал г : О ^ Мп обладает тем свойством, что для любых е > 0, х € О из х(£) = 0 на [а, а + е] следует гх = 0. Будем предполагать, что пространство В удовлетворяет следующему условию: для любого 7 € (0, Ь — а) и для любой сходящейся последовательности |уг} С В, У Уг — у У в ^ 0, из равенства у^ (£) = 0, г = 1,2,..., при £ € [а, а + 7] следует у(£) = 0 при £ € [а, а + 7]. Обозначим В7 — пространство сужений функций из В на множество [а, а + 7]. Норму зададим формулой У у7 У в = У у У в , где нижняя грань берется по всевозможным продолжениям у € В функции у7 € В7. Определим операторы ПВ : В ^ В7 , (ПВу)(£) = у(£) при всех £ € [а, а + 7]; 2в : (0, Ь — а] х В ^ М, 2в (7, у) = || ПВ у || в . Доопределим

отображение 2в значением 2в (0,у) = Нш 2в(7, у). Пусть

7^0+0

оператор Рв : В7 ^ В некоторым образом продолжает каждую функцию у7 € В7 до функции у € В, определенной на всем [а, Ь]. Аналогично построим пространство О7 и зададим операторы П^ : О ^ О7, 2п : [0, Ь — а] х О ^ Д, : О ^ О.

§ 2. Метод решения задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши

¿ж = Рж,

гж

а,

(2.1)

с вольтерровым оператором Р : В ^ В. Пусть при каждом к = 1, 2,... выбраны точки 0 = 70 <71 < ... <7к = Ь — а, и построен оператор Р; : В ^ В, обладающий следующим свойством: при всех ж,и Є В выполнено (Р;ж)(і) = (Р;и)(г), і Є [а, а + 71 ], и при любых і = 2,3,... к, если ж(і) = и(г), і Є [а, а + 7і-і], то (Р;ж)(і) = (Р;«)(£), і Є [а, а + 7*]. Пусть, кроме того, ||Р;ж; — Рж||в ^ 0, для любой сходящейся последо-

вательности {ж;} С В, ||ж; — ж||д -задачи (2.1) приближенной задачей

0. Метод состоит в замене

а.

¿ж; = Р; ж;, гж;

Решение г; задачи (2.2) определяется равенствами:

(2.2)

при г Є [а, а + 71 ] г;7і = П^ (Уа + ЛР; 0), 0 Є В

при г Є [а, а + 72] = П;? (Уа + ЛР; Р?г;7і),

при г Є [а, а + 7к] ,г;7к = П^ (Уа + ЛР; Р

'V

(2.3)

)

1

§3. Сходимость метода

Доказательство следующего утверждения о сходимости рассматриваемого метода основано на теоремах о непрерывной зависимости решений от параметров, полученных в [1,2].

Теорема 3.1. Пусть существуют такие числа ц < 1 и т > 0, что:

1) при всех х, и € В, 7 € (0, т), к = 1,2,... выполнено неравенство

2в(7,Р*.х — и) ^ д(7,х — и); (3.1)

2) для каждого натурального к, любых 7, £ € (0, Ь — а], удовлетворяющих неравенствам £ < 7 < £ + т и всех таких х,и € О, что х(£) = и(£) при £ € [а, а + £], выполнено неравенство (3.1).

Тогда:

a) при любом к = 1, 2,... «приближенная» задача (2.2) имеет единственное глобальное решение 2*, и всякое локальное решение является его частью;

b) краевая задача (2.1) имеет единственное глобальное решение 2, и всякое локальное решение является его частью;

c) Н2* — 2||д ^ °.

* * *

1. Жуковский Е. С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве // Изв. вузов. Математика. 2005. № 10 (521). С. 17-28.

2. Максимов В.П. О предельном переходе в краевых задачах для функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, № 11. С. 1984-1994.