Приближенная оценка периодических режимов нелинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.А.Одареев

Приближенная оценка периодических режимов нелинейных систем

Периодические колебания в нелинейной системе возникают под действием внешнего периодического возмущения. При отсутствии такого возмущения периодические режимы возбуждаются под влиянием собственных свойств системы.

Если предположить, что функция x(t) есть результат прохождения периодического сигнала y(t) через линейную часть системы с передаточной функцией W(p), а функция y(t) есть результат прохождения периодического сигнала через нелинейный элемент, то система уравнений движения может быть представлена в виде

x(t)-W(p) - y(t) , y(t)~f(x,t), (1)

где p = d/dt - оператор дифференцирования.

Из уравнений (1) следует, что свойства периодических режимов в общем случае определяются свойствами и линейной части системы, и нелинейного элемента. Равенства (1) могут быть записаны в интегральной форме. В частности, для случая комплексных сопряженных корней характеристического уравнения системы при наличии одной нелинейности и возмущения имеем интегральное уравнение вынужденных движений [1,2]:

оэ

xi + jHi(r)-Ri[xi(t-T)}iT = fe(t), (2)

о

00

где xi (/) - некоторая искомая z-ая переменная системы; fe(t)~ ¡(т)-у/((-т)с1т, y/(t) - внешнее, огра-

о

ниченное по модулю воздействие (если таких возмущений несколько, то величина fe (t) в правой части уравнения (1) определяется обычным образом как сумма интегралов по каждому возмущению уДО):

п

Н^ty-^^(q^Cosekt -qikSineKt)-qxp(akt) - весовая функция, определяемая линейной частью системы;

к=1

2п - порядок системы; (xi) - характеристика нелинейного элемента, при этом f(xl,, t) = y/i (t) - Rt (x,) . Структура коэффициентов q]k и qik приведена в [1]. В дальнейшем для краткости индекс i в уравнении (2) будем опускать, кроме того, иметь в виду, что ак < 0. Если в уравнении (2) положить /е (0 = 0. что соответствует устранению внешнего ограниченного воздействия, то получим уравнение, определяющее автономные стационарные состояния х = ха (t) нелинейной системы

со

ха + ¡H(t).R[xa(t-t)]dr = 0. (3)

о

В общем случае при произвольной характеристике нелинейного элемента у = R(x) невозможно аналитически

решить уравнения (2) и (3) и, следовательно, получить в явном виде выражение вынужденного и автономного стационарного процессов.

В линейном случае второе равенство системы уравнений (1) может принимать форму у = R(x) = х, что приводит уравнение (3) к простому виду

00

= - |Я(т) • ха (t -r)dr. о

Последнее уравнение имеет единственное решение ха (t) = xa = О, соответствующее состоянию равновесия. В нелинейной системе возможны несколько состояний равновесия, Полагая в уравнении (3) ха (t) = = const, получим

о

Весовая функция системы связана с передаточной функцией IV(р) преобразованием Лапласа

00

IV(р) = \Н(т) • ехр(~рт)с!т.

Отсюда при р = 0 имеем

Тогда из уравнения (4) получаем

ЩО )= ¡Щт)с/т.

1

х„.

(4)

(5)

(6)

(7)

¡¥(0) а

Если использовать обозначение статического коэффициента линеаризации

Я(ха) = Кс(ха)>ха, (ха & 0)

то равенство (7) перепишется в виде

К (х ) =--—.

с а Щ 0)

Для выявления состояний равновесия удобно использовать уравнение (7). Для этого на графике нелинейной характеристики у — Я(х) необходимо провести прямую

1

у----.

Ж (0)

Абсциссы точек их пересечения определяют значения возможных состояний равновесия, В случае, когда Ж(0) > 0, состояние равновесия единственное в точке ха = 0, при IV(0) < 0 в системе возможны состояния

равновесия, отличные от нулевого.

Помимо состояний равновесия в нелинейной системе возможны периодические процессы. Автономные периодические процессы, соответствующие периодическим решениям уравнения (3), являются автоколебаниями. Последние порождаются не внешними силами, а внутренними (собственными) свойствами нелинейной системы.

Для приближенного решения уравнения (3) воспользуемся понятием гармонической линеаризации. С этой целью его решение будем искать в виде

х(а) (Г) = АЭтаЛ

или в комплексной форме

хв(0 = лехр0'<о0. (8)

При гармонической линеаризации уравнение нелинейного элемента у - Я.(х) заменяется на уравнение вида

у = Кг (А) ■ ха (0 = Кг (А) • А ехр(у'йЯ). (9)

Подставляя (8) и (9) в уравнение (3), получим уравнение гармонически линеаризованной нелинейной системы

СО

А ■ ехрО'йЯ) + |Я(т) • Кг (А) • А ехр[/ю(/ - т)]^г = О

КГ(А) • А- ехр(у'й^)

или иначе

оо

А ехр(у'йЯ) = - |Я(г) • ехр(-7<уг)с/г _о

Отсюда, учитывая, что по определению частотной характеристики в соответствии с (5)

00

приходим к соотношению

1 = -\¥Цт)-Кг(А). (10)

Частотную характеристику Ж(]со) представим в виде

№(№) = ^о {<*>) • ехр(у<9(<у)), (11)

где 1¥0 (со) - амплитудно-частотная характеристика линейной части системы; 0(со) - фазовая частотная характеристика линейной части системы.

По аналогии с передаточными функциями линейных звеньев введем понятие эквивалентной передаточной функции нелинейного двухзначного звена

Кг(А) = а(А) + ]в(А). (12)

Для однозначного нелинейного элемента

Кг(А) = а(А) (13)

или иначе [5]

2л-

^ ¿.п

а(А) ~--^Я(А8тсЫ) • • Ж,

лА

Соотношение (12) можно переписать в виде

Кг(А) = д(А)-ехрУ(р(А)], (14)

где д(А) - эквивалентная амплитудная характеристика нелинейного элемента, ср(А) - эквивалентная фазовая характеристика нелинейного элемента, Функции д(А) и ср(А) связаны с коэффициентами гармонической линеаризации известными зависимостями

(15)

д(А) = ^а2(А) + в2(А)-, в(А)

ср(А) = агс/&

а(А)

(16)

(17)

(18)

(19)

Формулы (15) и (16) справедливы для двухзначных нелинейностей. Для однозначной нелинейности при в(А) = О имеем

д(А) = а(А), <р(А) = 0.

Подставим теперь (11) и (14) в равенство (10) и получим

1 + IV, (со) ехр []0(со)] • д(А) ехр []ср(А)\ = 0.

Отсюда нетрудно найти

-1 = Г0 («) • д(А) ■ ехр[/0(т) + ]ср{А)}

или иначе

ехр(-улг) - (со) ■ д(А) ■ ехр[]0(со) + ]<р(А)]. На основе уравнений (19) и (20) имеем следующие условия гармонического баланса:

-тс- 0(со) + ср(А)

или в логарифмическом масштабе

(20) (21)

Я(А)

(22)

О (со) --7Г- (р(А).

Из полученных соотношений (21) и (22) следует, что при одновременном выполнении условий баланса для амплитуд и фаз в нелинейной системе возникают автоколебания. В системе с однозначной нелинейностью имеем

2Щ1Гъ{а>) = 201ё-1-,

а(А) (23)

©(со) = -п.

Таким образом, условие существования гармонического режима требует, согласно (22) и (23), чтобы амплитуды на входе и выходе разомкнутой гармонически линеаризованной нелинейной системы были равны друг другу, а сдвиг

фаз между входной и выходной величинами был равен л. Соотношения вида (21), (22) и (23) представляют собой иную запись основного уравнения (10), которое можно назвать уравнением гармонического баланса для автоколебаний [5].

Определив приближенно периодическое движение системы путем решения уравнений (10) или (21), необходимо проверить его устойчивость и убедиться в реальном существовании автоколебаний. Для исследования устойчивости периодического движения можно составить соответствующее уравнение в вариациях. Для приближенной оценки устойчивости автоколебаний можно также воспользоваться приближенными методами, основанными на следующих соображениях [4],

Движение системы, близкое к найденному периодическому, приближенно можно считать синусоидальным с медленно изменяющейся амплитудой В, приближающейся к амплитуде автоколебаний А в случае устойчивых автоколебаний и удаляющейся от А в случае неустойчивых автоколебаний. Если автоколебания в системе устойчивы и имеют амплитуду А, то при замене этой амплитуды величиной В > А в равенстве (10) пара чисто мнимых корней ± jco должна замениться парой комплексных сопряженных корней с отрицательной действительной частью, а в случае замены А величиной В < А корни ± jco должны замениться парой комплексных сопряженных корней с положительной действительной частью. Для проверки характера изменения корней ± jco при замене в первом уравнении (21) величины А величиной В удобнее всего пользоваться критерием Найквиста. Действительно, так как уравнение (10) имеет чисто мнимые корни ± jco при А- В, то амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы

Wр {jco, В) - W{jco)Kr (В) (24)

при А-В проходит через точку (-1,у0) на комплексной плоскости. В случае устойчивых автоколебаний при замене амплитуды А близкой к ней величиной В > А кривая амплитудно-фазовой характеристики Wр {jco, В) смещается вправо от точки (-1, у'0) в сторону к мнимой оси, а при замене А близкой к ней величиной В < А кривая Wp{jco,B) смещается влево от точки (-1,у0) в сторону от мнимой оси. В случае неустойчивых автоколебаний наблюдается обратная картина.

Приведем пример расчета автоколебаний. В частности, определим параметры автоколебаний в нелинейной системе, имеющей линейную часть с передаточной функцией

W(p) = K/p(TiP + l)(T2p + X) и идеальное реле с нелинейной характеристикой [3,4]

у = R{x) = С - Sigwc.

Для определения частоты со и амплитуды А автоколебаний запишем уравнение (10) в форме

1 =---—--КГ{А).

coj{coTx+\){jcoT2+\)

Поскольку данное релейное звено имеет нечетную однозначную характеристику, коэффициент гармонической линеаризации подчиняется равенству (13) и определяется формулой [3]

Kr(A) = 4СI тсА.

В связи с этим предыдущее уравнение примет вид

4 КС

—— + jco{jcoT{ + \){jcoT2 + 1) = 0. пА

Разделяя в этом уравнении действительную и мнимую части, получим два уравнения для определения амплитуды А и частоты со автоколебаний

4 КС

со2 (Т. + 7\) = 0,

7lA

со(\ - со2ТхТ2)~ 0.

Отсюда имеем частоту автоколебаний и амплитуду автоколебаний

со

тхт2

А = — CK

л: Тх+Т2

ад Тпаигппптик1Р I "ПРПГТВЯ

до 1 рапV»,! I пода | ^рсг/ци 1 ВС»

Оценим теперь устойчивость найденного периодического режима. Для этого воспользуемся приближенным способом с привлечением критерия Найквиста.

Частотная характеристика разомкнутой системы при замене амплитуды А величиной В согласно формуле (24) имеет вид

4 КС

Я'ДМЛ)

к ■ я[/й>(1 - ®2Г,Г2) - ю2 (Г, + Т2)]'

Подставляя в последнее выражение вместо частоты со ее величину 1 / ^Т{Т2 и учитывая, что в соответствии с (10) ¡V (/¿у, А) = -1, получим

Отсюда следует, что если В > А, то Жр (]со, В) > -1, а если В < А , то IV (]со, В) < -1. Таким образом, найденное периодическое решение устойчиво.

При наличии внешнего гармонического воздействия правая часть в уравнении (2) может быть представлена в виде

/до = + (25)

В этом случае в зависимости от различных условий в нелинейной системе возможны различные режимы. Если нелинейная система абсолютно устойчива, то вынужденные процессы будут периодическими с частотой, равной частоте внешнего гармонического воздействия сов или с частотой сов/К субгармонических колебаний. Если же в нелинейной системе были автоколебания, то внешнее гармоническое воздействие может их подавить и навязать системе свою частоту сов или субгармонику сов/К. В дальнейшем ограничимся рассмотрением вынужденных процессов, которые

приближенно представляют собой гармонические колебания с частотой сов т.е.

х(0 = хв (Г) = А8тсое г. (26)

В комплексной форме выражения (25) и (26) представляются в виде

Л (0 = в ехРОЧ' +

Используя уравнение гармонически линеаризованного нелинейного элемента (9), интегральное уравнение вынужденных движений (2) можно представить в форме

+ \Н{т) ■ Кг (А) ;*.(/- т)йт = /„ (0 .

Поскольку хв (( - т) - хв (0 • ехр(-у'&>йг), из последнего интегрального уравнения получим

1

1 + тги<».)-Кг№

Л (О

или с учетом выражений (27) имеем

1

ехрО'м)-ЩМв)-Кг(А)

(28)

(29)

При отсутствии внешнего гармонического воздействия В - 0 и соотношение (29) переходит в соотношение гармонического баланса для автоколебаний (10). Равенство (29) выражает собой гармонический баланс для вынужденных колебаний гармонически линеаризованной системы и определяет амплитуду вынужденных колебаний А и сдвиг фаз /и между внешним гармоническим воздействием и вынужденными колебаниями.

Предположим теперь, что х(/) - стационарный случайный процесс. Тогда у = Я(х) будет также стационарным

случайным процессом. Введем в рассмотрение коэффициент стохастической линеаризации Кст. Значение этого

коэффициента определим из условия наилучшего среднеквадратического приближения у(!) величиной

у(Г) = Кст -х(0, (30)

т.е. из условия

м{[у(О-Я» Г }=тт

или в развернутой форме

м{[Д(х(0) - Kcrx(t)]2 } = min. Дифференцируя левую часть последнего выражения по Кст и приравнивая производную нулю, получим

Мр(х(0 - KCTx(t)}c(t)} = 0.

Отсюда, учитывая, что

00

M{R[x(t)] ■ x(t)} = Кух (0) = Jä(jc) • х • p(x)dx9

-оо

оо

м{х2(о}=^л(0)= jx2p(x)dx = <72x,

-оо

где К (0) и Кх(0) - начальные значения взаимной и автокорреляционной функции соответственно, р(х) -

плотность распределения нормального случайного процесса, получаем выражение для коэффициента стохастической линеаризации

1 00

Кст — Кст (стх) = —— ¡R(x)-x-p(x)dx. (31)

В том случае, когда имеет место стационарный эргодический процесс, величины корреляционных функций можно определить из формул [5]

кУло>) = ш~\я[х{ф№,

-Т

т

(32)

Тогда наряду с (31) имеем

Кст -Кст(ах)

1

lim—

er т-*»гт

(33)

Таким образом, уравнение стохастической линеаризации (30) по сути представляет собой аппроксимацию уравнения нелинейного элемента системы при случайном воздействии. Остановимся на частном случае. Предположим, что

x(t) = ASin(cot + <р) (34)

где <р - случайная фаза.

Подставляя (34) во второе равенство (32), получим

Кх( 0) = а2х=А2/2.

Тогда начальное значение взаимной корреляционной функции для однозначной нелинейности согласно (13), (17) и (32) определится соотношением

1 т

Кух(0) = lim — \R[ASin{cot + <р)]• ASin{cot + <p)dt = а(А)а2 = КГ (ä)<j] ,

-т

Отсюда с учетом (33) имеем Кст (сгх) = Кг (А). Следовательно, для однозначной нелинейности коэффициенты стохастической и гармонической линеаризации совпадают.

Рассмотрим нелинейную систему, к которой приложено внешнее случайное воздействие /в ((). Удобной характеристикой качества нелинейной системы в этом случае может служить дисперсия переменной х(7), которая при нулевом среднем значении М{х(^)} = 0 равна сг2х =м{х2(Г)}. Для определения су] воспользуемся стохастической линеаризацией. Тогда уравнение вынужденного процесса (2) с учетом (30) запишется в виде

ои

+ Кст К ) \Н(т)хв (t - T)dt = /. (О

Последнее уравнение является приближенным. Оно описывает стохастически линеаризованную систему. Частотная характеристика этой стохастически линеаризованной системы для переменной хв (0 согласно (28) имеет вид

1

\ + 1Гит9УКсг(<тх)

Далее будем полагать для простоты письма сов-со, В отличие от частотной характеристики линейной системы,

частотная характеристика стохастически линеаризованной системы (35) зависит от дисперсии а\. Величина этой дисперсии по определению равна

2я

9 1 С

=— )5х(а>)<1а>1

(36)

где (со) - спектральная плотность стационарного случайного процесса.

Обозначим через 5/(со) спектральную плотность внешнего случайного воздействия. Тогда, используя свойства спектральных плотностей, получим

и соответственно из (36) имеем

2 п

су

(38)

Правая часть последнего равенства может быть вычислена аналитически через коэффициенты спектральной плотности с применением обычных методов теории функций комплексного переменного [5]. Если обозначить результат этих вычислений через ср(стх) , то из (38) получаем уравнение относительно искомой дисперсии

=<Р(<*Х)-

(39)

Уравнение (39) может быть решено различными итеративными или графическими методами. В случае, когда система такова, что линейная часть с передаточной функцией ¡¥(р) = Е(р)/О(р) не пропускает спектр частот,

соответствующий флуктуациям /в (7) и определяемый спектральной плотностью (со), отыскание величины <тл2

значительно упрощается, а именно из (35) имеем

Е(]со)

П(]со)

и таким образом, из (38) следует

ст..

2 71

ЕОсо)

(40)

оив>)

т.е. <у\ в этом случае не зависит от величины х(() и от формы нелинейности.

В заключение вернемся к задаче, где исследовались автоколебания нелинейной системы на основе уравнений (10) и (24). При наличии высокочастотных флуктуаций fв (?) с дисперсией и 2 автоколебания в системе определяются уравнением (10) в форме

К

Кст(А,сгх),

1

]а>(]соТх + \)(]соТ2 +1)

(41)

где А - амплитуда колебаний входного сигнала реле, а сгх - его дисперсия.

Коэффициент стохастической линеаризации Кст (А, &2) для идеального реле равен [3,4].

Кст(А,сгх) = ^В0(Л), А

Л = А/стхл12, С = 1. Здесь функция В0 (2) формируется в виде знакочередующегося ряда [4]:

_ ... 2/1 ... X А, .

(42)

(43)

(44)

Так как линейная часть системы не пропускает высокочастотных флуктуаций, <7Х = сг/. Этот же результат следует из равенства (40), где

ЕО'а>)

Эисо)

= 1

Выделяя в (41) вещественные и мнимые части с заменой ах на сг/, получим

ККСТ(А,<т/) - со2(Т1 +Т2) = О,

\Т2<

со - Т,Т,со3 = 0.

Из второго уравнения этой системы определяем частоту автоколебаний со = 1/ у/Т1Т2 (она совпадает с таковой при отсутствии флуктуаций), а из первого уравнения получим

Т.

(45)

1 Т +Т Кст{А,ст{) = — - 1 2

К т,т2

В свою очередь, согласно (42) и (43), имеем

Кст (А,ст/) = КСТ (А)

В0 (Л) Аа^ л/2

(46)

А =

сг/Л/2

Из ряда (44) следует, что при А ~> 0 величина В0 (А) -> 2А/л/яг и значит, согласно (46), получаем

1 ¡2

Кст —

сг

при А = О (А = 0).

Таким образом, с учетом последних граничных условий из равенств (46) следует

1

(7,

I- >кст> о

при условии, что 0 < А < оо.

Отсюда, согласно (45), получаем условие существования автоколебаний в системе при действии на нее высокочастотных внешних флуктуаций:

1

->

1

\ л К ТХТ2

>0.

Следовательно, при заданных флуктуациях автоколебания в системе будут иметь место при коэффициенте усиле-

ния

К>а

л Т\ +Т2

/

2 ТХТ2

(47)

в то время как при отсутствии флуктуаций автоколебания имели место при любом значении К. Если параметры системы К, Тх и Т2 заданы, то условие существования автоколебаний можно записать в виде

<7, ^

л Т}+Т2

Последнее условие ограничивает уровень дисперсии внешних флуктуаций, в пределах которой возможны автоколебания. С превышением предельного значения

<7

/ _пред

2.к т

к Т,+Т2

автоколебания срываются, что аналогично захвату системы вынужденными колебаниями,

Подводя некоторый итог, можно отметить следующее. Материал статьи в основном посвящен систематическому рассмотрению некоторых прикладных задач теории нелинейных колебаний с помощью формализма интегральных уравнений на основе метода декомпозиции, изложенного в [1,2]. Таким путем удается, в частности, исследовать нелинейные системы, используя гармоническую и стохастическую линеаризацию нелинейностей, Изложенный подход позволяет естественным образом связать общую теорию нелинейных колебаний с понятиями, широко используемыми в теории автоматического управления, такими как передаточная функция, частотная характеристика и т.п.

Однако, обладая заманчивой для инженера простотой, этот подход не является строго обоснованным, особенно при исследовании режимов, отличных от периодических. Поэтому его применение желательно сопровождать сравнением с результатами эксперимента или с результатами, полученными точными методами.

Библиографический список

1. Одареев В,А. Одна задача анализа периодических режимов нелинейных систем. Восточно-Сибирский авиационный сборник. -Иркутск, 2001, - С. 107-112,

2. Одареев В,А, Метод редукционной декомпозиции в прикладных задачах динамики систем. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1991, - 216 с.

3. Попов Е,П, Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах, - М.: Изд-во «Наука», 1973. - 584 с,

4. Пугачев В,С. и др. Основы автоматического управления, - М.: Изд-во «Наука», 1974. - 720 с.

5. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем, - М.: Изд-во «Наука», 1977. - 560 с.

А.А.Пыхалов, А.В.Выеотский

Контактная задача расчета сборных роторов турбомашин с применением метода конечных элементов

К роторным системам современных турбомашин как в авиационных газотурбинных двигателях (ГТД), так и в других энергетических установках предъявляются все более жесткие требования по работоспособности, надежности и долговечности. Одним из эффективных способов успешной работы в этом направлении является дальнейшее повышение и продвижение уровня теоретических расчетов, позволяющих проводить проектирование, изготовление и доводку конструкций роторов с применением комплекса численных экспериментов высокой степени адекватности. От глубины математической проработки проектируемой конструкции ротора на современном этапе развития турбомашин в значительной мере зависит уровень снижения дорогостоящих натурных экспериментов, а главное, получение роторных систем с необходимыми параметрами работоспособности, надежности и долговечности. В рассматриваемой работе представлена математическая модель и расчетные примеры, целью реализации которых являлась возможность численного анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) сборных роторов.

Математическая модель физики явления построена с применением контактной задачи конструкционного типа, когда сопрягаемые зоны деталей ротора известны заранее, но условия сопряжения между ними в начальной или какой-либо другой стадии работы деформируемой системы необязательно могут иметь непосредственный контакт или касание. То есть эти условия могут изменяться в процессе работы сборной конструкции,

Для создания представленной математической модели использовались три составляющие: 1) основные зависимости механики твердого деформируемого тела; 2) определенный математический подход к теории контактного взаимодействия (сопряжения) тел; 3) численное решение с применением вариационно-энергетического алгоритма метода конечных элементов (МКЭ) [1],

Контактной задаче с использованием МКЭ посвящено большое количество работ и в частности отечественных авторов, таких как [2-6, 9 и др.]. Вместе с тем, необходимо отметить, что во всех этих работах как в математических подходах, так и в расчетных примерах представлены голономные (однонаправленные) контактные связи сопрягаемых тел. К деформируемым системам с такими связями, например, относятся: задачи о контакте в двухслойных и многослойных оболочках; задачи о различного рода штампах; расчет центральной посадки тел вращения с натягом (не с зазором); расчет посадки рабочих лопаток осевых турбомашин с замком типа «елочка» и др.

Естественно, что для анализа сборных роторов турбомашин, в особенности современных высоконагруженных их конструкций, эти подходы не могут иметь удовлетворительного применения. Например, сборные ротора авиационных ГТД, наряду с высоким уровнем энерго-напряженности, имеют в своей конструкции сложно-разветвленную и много-