Синхронизация автоколебательных систем с диффузионными связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).

ФИЗИКА

УДК 621.373.1

СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ДИФФУЗИОННЫМИ СВЯЗЯМИ

© 2008 С.А. Агибалов^ В.В.Зайцев^ Г.П. Яровой3

На основе интегральных уравнений движения получены общие соотношения для расчета частотных характеристик и областей устойчивости синхронных колебаний в дискретно-распределенных автоколебательных системах с обратными связями диффузионного (параболического) типа. Приведен пример численного анализа синхронных колебаний в распределенном ЛС-генераторе, находящемся по действием внешнего гармонического сигнала.

Ключевые слова: автоколебательные системы, синхронизация, синхронные колебания, устойчивость.

Введение

К классу дискретно-распределенных относится множество автоколебательных систем, в которых сосредоточенный в пространстве (дискретный) активный элемент локально взаимодействует с распределенными резонансными цепями и цепями обратной связи. При этом пространственно распределенные цепи могут быть как волнового, так и диффузионного типа. Волновые резонансные системы широко распространены в микроволновом диапазоне. Они входят в состав многочисленных типов твердотельных и электронных СВЧ-генераторов. Математические модели таких генераторов— нелинейные граничные задачи для гиперболических уравнений.

Автоколебательные системы с диффузионными цепями обратной связи (ОС) менее распространены, но и они находят применение в радиоэлектро-

1 Агибалов Сергей Александрович, кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

2Зайцев Валерий Васильевич (zaitsev@ssu.samara.ru), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

3Яровой Геннадий Петрович (yarovoi@ssu.samara.ru), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

нике. Например, при генерировании колебаний в диапазоне частот от долей герц до сотен килогерц применяются генераторы с фазосдвигающими цепями ОС, выполненными на основе распределенных ЛС-линий [1, 2]. Моделирование автоколебаний в системах с диффузионными обратными связями основано на решениях нелинейных граничных задач для параболических уравнений. Подобного рода модели используются также при решении задач химической кинетики, эволюции био- и экосистем [3].

Из-за отсутствия высокодобротных резонансных систем стабильность частоты автоколебаний в генераторах с диффузионными связями невысока и для ее повышения можно применять синхронизацию генераторов внешним высокостабильным сигналом. По проблеме синхронизации автоколебательных систем в настоящее время существует обширная библиография (см., например, список литературы в монографии [4]). Тем не менее, исследования по теории синхронизации ряда автогенераторов не получили должного развития. Это относится, в частности, к генератору с распределенной ЛС-линий в цепи обратной связи.

В статье [5] анализ динамики автоколебаний в генераторе с ЛС-линий предложено проводить на основе численных решений интегрального уравнения движения (ИУД) генератора. В настоящей работе интегральная модель применяется для исследования процессов синхронизации генератора внешним гармоническим сигналом.

1. Интегральное уравнение движения автогенератора с диффузионной ОС

В качестве базовой будем рассматривать структурную схему автоколебательной системы, изображенную на рис. 1. Здесь диффузионная ОС для инвертирующего безынерционного усилителя реализуется распределенной ЛС-линией.

Рис. 1. Структурная схема автогенератора с диффузионной ОС

Передаточная характеристика операционного усилителя описывается нелинейной зависимостью его выходного напряжения иа от входного напряжения и: иа = О(и). Широко распространенная аппроксимация этой за-

Л и2 \ 2

ВИСИМОСТИ имеет ВИД С{и) = кои \ 1---------- при \и\ ^ и а И С{и) = —коих5ЩП(и)

\ 3Щ) 3

при \и\ > и,.

Здесь ко — малосигнальный коэффициент усиления, и, — напряжение насыщения передаточной характеристики. В дальнейшем мы будем использовать также нормированные на величину и, напряжения: х = и/и, и ха = = иа/и,. Для них

/ Х2 \ 2

g(x) = к$х\ 1 —— при \х\ ^ 1 и g(x) = -к$§1£п(х) при \х\ > 1. (1)

3 } г ' ' 3

Помимо (1) в классической теории автоколебательных систем часто используется кубическая нелинейность

g{x) = k0x^\-^. (2)

Распределенную ЯС-линию будем характеризовать постоянной времени т = ЯС12, где Я и С —погонные сопротивление и емкость, I —длина линии.

Дифференциальная модель рассматриваемого генератора имеет вид параболического уравнения

ду = Р&у

д1 Хд12 К ’

для нормированного на и, напряжения у(^, г) в ЯС-линии, где ^ — координата, отсчитываемая вдоль линии. К уравнению (3) добавляются нелинейные граничные условия:

ду(Ч, г)

y(0, t) = g (x(t)), x(t) = -y(l, t) + e(t),

dl

= 0. (4)

l=i

Здесь e(t) = Es(t)/Us — нормированная эдс источника сигнала синхронизации. Отметим, что последнее из условий (4) записано в приближении нулевого входного тока усилителя.

Интегральная модель генератора строится на основе импульсной характеристики ЛС-линии, которая определяется как отклик напряжения на выходе линии на дельта-импульс напряжения на ее входе: h(t) = y(l, t) при y(0, t) = 8(t). То есть она вычисляется по решению уравнения (3) с граничными условиями

dy(l, t)

y(0, t) = b(t),

=0

l=i

дЧ

и нулевыми начальными условиями. Эта задача может быть решена, например, методом преобразования Лапласа. При этом мы получим системную функцию вида

2ехр ( д[рх]

Щр) =---------7-----Чг, (5)

1 + ехр (2 s/px J

по которой обратным преобразованием вычисляется импульсная характери-

стика

СО / О О ч

КО = -^(-1)"(2и + 1)ехр|-Я ^ + ^ 9(0-

т и=0 ' т'

Используя полученную импульсную характеристику, на основе того, что для ЛС-линии входным является сигнал g(x(t)), а выходным— y(l, t), запишем ИУД автогенератора относительно нормированной переменной x(t) :

t

x(t) = - J' g (x(t')) h(t - t')dtr + e(t) + X (t). (6)

0

Здесь X(t) — переходной процесс на выходе ЛС-линии при разомкнутой цепи обратной связи. Интегральную модель ЛС-генератора (6) будем использовать для исследования режима установившихся колебаний в полосе удержания и их устойчивости.

2. Установившийся режим синхронных колебаний

Для исследования режима установившихся синхронных колебаний в уравнении (6) нижний предел интегрирования (начало отсчета времени) следует перенести в минус бесконечность и учесть затухание свободных колебаний X(t). В результате получим ИУД

- t’)dt’ + e(t) (7)

x(t) = - J' g (x(t')) h(t - t')dt' + e(t)

с гармоническим внешним воздействием e(t) = E cos(wt).

В гармоническом приближении решение уравнения (7) для синхронных колебаний будем искать в виде

x(t) = -Aexp(jcoi) + —A* exp(-jcoi) = acos(coi + ф).

Нелинейную передаточную характеристику (1) разложим в ряд Фурье

g (a cos(cot + ф)) = —Glia) exp (j(coi + ф)) + -Gi(a) exp (-ji(üt + ф)) + в.г.,

в котором при дальнейшем анализе не будем учитывать высшие гармоники в.г. После подстановки этих гармонических функций в ИУД (7) и ряда преобразований получим нелинейное алгебраическое уравнение для амплитуды а и фазы ф синхронных колебаний:

a + Gi(a)H(j&) = E exp(-jф), (8)

где H(j&) — частотная характеристика ЛС-линии.

Комплексное уравнение (8) эквивалентно системе двух действительных уравнений

a + G\(a)K(ш) cos 0(ш) = E cos ф,

G1(a)K(ш) sin 0(ш) = -E sin ф.

Уравнения записаны с использованием АЧХ и ФЧХ ДС-линии: K(ш) = = |Н(_/ш)| и 0(ш) = ^(Н(]ш)). Исключив из системы (9) фазу ф, получим уравнение АЧХ синхронных колебаний:

a2 + 2aG1(a)K(ш) cos 0(ш) + G^^K2^) = E2. (10)

Уравнение (10) решается численно. Аналитические результаты для него удается получить лишь при малых амплитудах внешнего воздействия.

Будем считать, что е = E/áo << 1, где áo — амплитуда свободных автоколебаний, определяемая решением уравнения

ao = Gi(áo)K (шо);

Шо = 2п2/т — частота свободных автоколебаний. В этих условиях амплитуду синхронных колебаний представим в виде суммы

a = áo + Aa = áo(1 + a)

с малыми абсолютным Aa и относительным a приращениями: Aa << ao, a << 1. Будем также считать, что расстройка частот внешнего воздействия и свободных автоколебаний A = ш - шо удовлетворяет условию

Ъ = — «1.

шо

При выполнении указанных допущений уравнения (9) линеаризуются относительно приращения Aa, а уравнение (10) преобразуется в квадратное уравнение вида

(pa + к%)2 + о2^2 = е2, (11)

со следующими параметрами: p = 1 - G1(ao)K(шо) — прочность предельного цикла автоколебаний, к = -шоК'(шо)/К(шо), о = -шо0'(шо). Значения двух последних параметров равны: к = о ~ 1.565. Из уравнения (11) находим значение устойчивого относительного приращения амплитуды:

ра = -к§ + -\Je2 - о2^2. (12)

На рис. 2 приведены графики зависимости pa(^) для различных значений нормированной амплитуды е внешнего воздействия.

Согласно выражению (12) устойчивые синхронные колебания наблюдаются в области синхронизации (удержания), ограниченной расстройками h,s = ±е/о. Область синхронизации (язык Арнольда) показана на рис. 3 серым цветом.

Отметим, что область синхронизации расположена симметрично относительно частоты свободных автоколебаний. Подобным свойством обладают изохронные генераторы томсоновского типа (см., например, [6]). В то же время, в отличие от изохронных томсоновских автогенераторов, зависимость a(^) не является четной функцией.

р а

0.1

0.05

-0.05

-0.1

( ^

0.1 { 0.075

e= =0.05

\\

\

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 £,

Рис. 2. Семейство АЧХ синхронных колебаний при малых амплитудах сигнала синхронизации

3. Устойчивость режима синхронных колебаний

При исследовании устойчивости установившихся режимов синхронных колебаний будем предполагать наличие малого возмущения комплексной амплитуды внешнего воздействия:

e(t) = (E + Д£ц(г)) cos(tot) - AE±(t) sin(wt).

Здесь AE|| и AE± — синфазная и квадратурная составляющие возмущения такие, что |AE||(t)|, |AE±(t)| << E и AE|| = AE± = 0 при t < 0.

Решение ИУД (7) при наличии возмущения синхросигнала представим в виде

x(t) = - (а + Aa(t) + jaA(p(t)) exp (j((x)t + ф)) + к.с.,

полагая при этом, что синфазная и квадратурная составляющие возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний малы: |Aa(t)|, |aДф(t)| << а. Кроме того, естественно считать, что Aa(t) = 0, Дф(t) = 0 при t < 0.

Если ввести в рассмотрение векторы возмущений AA = (Aa, aA^T и AE = = (AEy, AE±)T, линеаризованное ИУД (7) можно записать в виде

t

AA(t) = - J* AA(t')hM(t - t')dt' + AE(t). (13)

0

В этой записи использована матричная импульсная характеристика

h (t) = { 5 d(a)Re {exp(-jwt)h(t)} -S a(a)Im {exp(-jwt)h(t)}

M \ Sd(a)Im {exp(-jwt)h(t)} Sa(a)Re {exp(-jwt)h(t)}

Є

Рис. 3. Область синхронизации (язык Арнольда) при малых амплитудах сигнала синхронизации

Ее элементы содержат дифференциальную Sd(a) = dGi(a)/da и среднюю Sa(a) = Gi(a)/a крутизну передаточной характеристики усилителя по первой гармонике.

Системная функция линейного преобразования (13) возмущений комплексной амплитуды сигнала синхронизации в возмущения комплексной амплитуды синхронных колебаний равна

1 / 1 + Sa(o)Hc(s\co) Sa(a)Hs(s\со) \

M(S) D(s;to,fl)\ -5rf(fl)^(s;to) 1 + S<i(a)Hc(s- со) ) ’

где

Hc(s; со) = — [Я(5 + jco) + Я(5 - jco)], Hs(s\со) = ^ [Я(5 + jco) - Я(5 - jco)],

D(s; ш, a) = 1 + (Sd(a) + Sa(a)) Hc(s; ш) + Sd(a)Sa(a)H(s + jw)H(s - jrn). (14)

В представленных выражениях после точки с запятой указаны параметры функциональных зависимостей.

Устойчивость синхронных колебаний относительно малых возмущений предполагает отсутствие полюсов системной функции преобразования (13) в правой полуплоскости комплексного аргумента s. В конечном счете это сводится к отсутствию в правой полуплоскости нулей функции (14). В ква-зигармоническом приближении, учитывая что |s| << ш, функцию D(s; ш, a) представим разложением в ряд Тейлора:

D(s; со, а) = -D's'( 0; со, a)s2 + D'( 0; со, a)s + D( 0; со, а).

Это разложение в совокупности с критерием Рауса—Гурвица позволяет установить, что границы областей устойчивости в пространстве параметров

(ш, а) представляют собой геометрические места точек, для которых

Б(0; ш, а) = 1 + (5 ¿(а) + 5а(а)) Яе {Н(/ш)| + 84(а)5а(а)|Н(/ш)|2 = 0 (15)

или

(0; ш, а) = (5¿(а) + 5а(а)) Яе {Н'(;'ш)} + (16)

+254(а)5 а(а)Яе {Н'0'ш)Н(-;ш)} = 0. ( )

Линии а = а(ш) границ областей устойчивости определяются численным решением нелинейных уравнений (15) и (16).

4. Результаты для автогенератора с кубической нелинейностью

Полученные выше соотношения, в частности, уравнения (10), (15) и (16), справедливы для безынерционной нелинейности g(x) общего вида. Для ’’классической” кубической нелинейности (2) эти нелинейные уравнения становятся алгебраическими, что позволяет при численном анализе синхронных колебаний использовать надежные и эффективные методы поиска корней полиномов.

Передаточной характеристике (2) соответствует амплитуда первой гармоники выходного напряжения усилителя вида

/ а2 ^

G\(a) — к§а 11 — —

При этом уравнение (10) сводится к алгебраическому уравнению р2(ш)а6 - 8р(ш) (cos 0(ш) + р(ш)) а4+

+ 16^1 + 2p(w)cos 0(ш) + р2(ш)) а2 = 16£2, где введено обозначение р(ш) = &0K(ш).

(17)

Амплитудно-частотные характеристики синхронных колебаний для коэффициента усиления &0 = 15 (в этом случае «0 = 0.953) при различных амплитудах внешнего воздействия, полученные путем численного решения уравнения (17), показаны на рис. 4. Характеристика 1, соответствующая амплитуде Е = 0.035 распадается на две кривые: замкнутую кривую, по форме напоминающую эллипс, и кривую резонансного типа. При увеличении амплитуды внешнего воздействия обе кривые сливаются в одну — характеристика 2 при амплитуде Е = 0.073 и характеристика 3 при амплитуде Е = 0.112. Существуют области расстроек, при которых зависимость А = А(^) является трехзначной, но устойчивым состояниям соответствует лишь одна ветвь зависимости. Как показывают исследования устойчивости синхронных колебаний, в тех случаях, когда амплитудно-частотная характеристика имеет в своем составе замкнутую кривую, устойчивые состояния расположены на верхней части кривой между точками с вертикальными

касательными. Качественно эти устойчивые ветви АЧХ полностью соответствуют малосигнальным кривым рис. 2.

С учетом того, что для нелинейности усилителя вида (2) дифференциальная и средняя крутизна его передаточной характеристики равны (а) =

Л 3а2\ / а2\

= А'о11----— I и 5а(<7) = А'о 11 —— I, уравнения границ областей устойчивости

(15) и (16) сводятся к биквадратным уравнениям. Границы областей устойчивости показаны на рис. 4 пунктирными линиями. Линия I определяется условием (15), а линия II —условием (16). Устойчивыми являются участки АЧХ, расположенные вне области, ограниченной линией I, и выше линии II.

Рис. 4. Семейство АЧХ синхронных колебаний

Заметим, что качественно форма АЧХ и расположение областей устойчивости напоминают картину синхронизации автогенератора Ван дер Поля с запаздыванием в интервале от половины до полного периода автоколебаний [7].

Заключение

Представленная методика анализа процессов синхронизации автоколебаний в дискретно-распределенном автогенераторе на основе интегрального уравнения движения системы обладает значительной степенью универсальности. Соотношения (10), (15), (16) позволяют проводить расчеты частотных характеристик синхронных колебаний автогенераторов, выполненных

на основе сосредоточенных активных элементов и сосредоточенных или распределенных в пространстве колебательных систем и цепей обратных связей. При этом передаточную характеристику (1) и системную функцию (5) следует заменить соответствующими зависимостями, выполняющимися в исследуемой системе.

Литература

[1] Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, Г.М. Уткин. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

[2] Кабанов, Д.А. Функциональные устройства с распределенными параметрами: Основы теории и расчета / Д.А. Кабанов - М.: Сов. радио, 1979. - 336 с. - С. 7-38.

[3] Васильев, В.А. Автоволновые процессы / В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

[4] Пиковский, А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А. Пиковский, М.Розенблюм, Ю.Куртс. - М.: Техносфера, 2003. -496 с.

[5] Зайцев, В.В. Моделирование автоколебаний в ЯС-генераторах на основе интегральных уравнений движения / В.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2006. - Т. 9. -№2. - С. 64-68.

[6] Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах /

A.Н. Малахов. - М.: Наука, 1968. - 660 с.

[7] Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием /

B.П. Рубаник. - М.: Наука, 1969. - 288 с.

Поступила в редакцию 18/ VII/2008; в окончательном варианте — 18/^7/2008.

SYNCHRONISATION OF SELF-OSCILLATOR WITH DIFFUSION FEEDBACK CIRCUIT

© 2008 S.A. Agibalov,4 V.V. Zaitsev,5 G.P. Yarovoi6

On the basis of self-oscillating systems integral equation dynamic there have been work out general correlation for the calculation frequency characteristic and synchronous oscillations sphere of stability in discretely distributed self-excited oscillators. There has been perform numerical analysis of synchronous oscillations in the distributed ÆC-oscillator, wich is under the influence of external harmonic signal.

Keywords and phrases: self-oscillating systems, synchronization, synchronous

oscillations, stability.

Paper received 18/VII/2008.

Paper accepted 18/ VII/2008.

4Agibalov Sergei Aleksandrovich, Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

5Zaitsev Valeriy Vasilievich (zaitsev@ssu.samara.ru), Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

6Yarovoi Gennadiy Petrovich (yarovoi@ssu.samara.ru), Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.