Приближение классом линейных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

всплеск ^jk(x) = 2j/2ф(2jx — k), j,k G Z, ассоциированный с масштабирующей функцией может быть построен при помощи оператора Si, дополнительного к оператору So в соответствии с теоремой.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект Ms МД-1354-2013.1) и гранта РФФИ (проект № 13-01-00102).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Cuntz J. Simple C*-algebras generated by isometries // Commun, math, Phys. 1977. Vol. 57. P. 173-185.

2, Bratteli 0., Jorgensen P. Isometries, shifts, Cuntz algebras and multiresolution wavelet analysis of scale N // Integr, equ, oper, theory. 1997, Vol, 28, P. 382-443,

3, Новиков И. Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А., Теория всплесков, М,: Физ-матлит, 2005,

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОМ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В работах [1] и [2] рассматривалась последовательность операторов:

k

Ln (f; x) —

1

g(z(x))n

£ f

k=0

k

n

®k,

z (x) ф^(x))

где д(г) и ф(г) - аналитические в круге |г| < а, принимающие положительные значения на [0; а], такие, что на [0; а] хф'(х) < ф(х) и числа

ao,n — g(0)n и ak,n —

1 d

k-i

k! dzk

g(z)n ^(z)k

k — 1, oo

z=0

неотрицательны, a z(x) - функция, обратная к функции

z^(z) g'(z)

x(z) —

z) - /(z) g(z) '

Частными случаями операторов Ln являются многие хорошо известные операторы, например, операторы Caca - Миракьяна, Баскакова, Ка-талана. Кроме того, несложно указать пары функций д и ф с требуемыми свойствами и получить новые последовательности операторов.

Были доказаны теоремы, из которых видно, что порядок приближения операторами дифференцируемых функций по сути есть п-1/2, дважды дифференцируемых - п-1 и для трижды и более раз дифференцируемых функций не улучшается.

В работе [3] для дважды дифференцируемых функций была рассмотрена последовательность операторов:

Мп(/; х) = £„(/; х) - 1 £„((£ - х)2; х)£п(/"; х) и было доказано, что

, „ / , ч ,/ м ^(х) I /^(хМ / ч хд(х)

|МП(/; х) - Дх)|< 2-(-)^///м/-П-) , цде -(х) = ), (1)

п \ \ п I г/(х)д/(х)

то есть порядок приближения дважды дифференцируемых функций операторами Мп лучше, чем операторами С другой стороны, из доказательства нетрудно увидеть, что порядок приближения операторами Мп трижды дифференцируемых функций не может быть лучше, чемп-3/2.

По аналогии с операторами Мп для V раз дифференцируемых функций (V > 2) рассмотрим последовательность операторов:

V-1 1

(/; х) = (/; х) - ^ -¿п((* - х)к; х)Мп^-к(/(к); х),

к=2 '

Мп>1 (/; х) = Мп>2(/; х) = Ьп(/; х).

Теорема. Если функция / V раз дифференцируема, то

|Мп^(/; х) - /(х)| < п-^^-1); )С(V(х),

п

где С(V) - некоторая констант,а, ^(х) - функция, которая может

-(х)

Доказательство. Применим метод математической индукции. Так как Мп,3(/; х) = Мп(/; х), из неравенства (1) видно, что для V = 3 утверждение теоремы выполняется. Для V > 3 разложим / по формуле Тейлора и применим оператор Так как (1; х) = 1 и £п(£ - х; х) = 0, получаем:

V-1 1

(/; х) - /(х) = ^ ^¿„((* - х)к; х) [/(к)(х) - -к(/(к); х)

+

к=2

х), (2)

где (£; х) = --—- [/(v-1)(^) - /(v-1)(х)] (£-x)V-1, точка между

(v - 1)!

£ и х.

^ п

Так как —£п(/; х) = , , £п((£ - х)/; х), получаем ах -(х)

£п((£ - х)к; х) = п-к+1^к(х), где (х) = -(х)^к_ 1(х), и>2(х) = -(х).

(3)

По предположению индукции

/(к)(х) - (/(к); х) < п-^ш((/(к))(-к-1); С(Л)^-*(х).

п

(4)

Так как |/(v 1)(^) - /^ 1)(х)| < ^1 + ^ ^(/(v 1); 6), получаем, что

1

1

; х)| <7-— и(/^-1); 6) ¿п(|* - x|V-1; х) + ¿п(|* - x|V+1; х)

(V - 1)11 62

Если V нечетное, то

£п(|£ - x|V-1; х) = £п((£ - x)V-1; х) = п-^2^-1(х)

и для 6 = у^р^ 62^п(|£ - х^+1; х) = 61- x)V+1; х) = п-^1^(х)

Если V четное, то

£п(|£ - x|V-1; х) = - х^-2|£ - х|; х) < < - х)2; х) =

= — = n-v

п

и ^- x|V+1; х) < 6^л/^ПСС^-х^х- х)2; х) = = = n-V^2V-1(х).

Следовательно, в любом случае

; х)| < п-^(/(v-1); 6)С(V*(х). (5)

Из соотношений (2-5) следует утверждение теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гудошникова Е. В. Конструкция линейных положительных операторов // Математика, Механика : сб. науч.трудов, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып.9, С. 20-22.

2. Гудошникова Е. В. Конструкции ЛПО и их аппроксимативные свойства // Математика. Механика : сб. науч. трудов. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып.10. С. 18-20.

3. Гудошникова Е. В. Порядок приближения дифференцируемых функций классом линейных операторов // Математика. Механика : сб. науч. трудов. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып.11. С. 18-20.

УДК 517.984

М. Ю. Игнатьев

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА НА ПРОСТЕЙШЕМ НЕКОМПАКТНОМ ГРАФЕ

С ЦИКЛОМ

Пусть Г - геометрический граф с в ершиной v\ и ребрами ro, ri, где r\ - луч с начал ом в vi, ro - цик л [v1, v1] длин ы п. Будем считать, что ребро ro параметризовано параметром xo £ [0,п], а r1 - параметром x1 £ [0, го). Функцию y на графе Г будем трактовать как пару функций (yo(xo),yi(xi)).

На ребрах rj, j = 0,1 рассмотрим дифференциальные уравнения:

%o := -У? + qo(xo)yo = р^ (1)

n-2

У1 := yin) + £ q1j (X1)yij) = Pn У1, (2)

j=o

где qo £ L(0, п) - вещественнозначная функция, n > 2, q1j _ комплексно-значные, вообще говоря, функции, такие, что qj (x1)exp(rx1) £ L(0, го) для некоторого т > 0. Пусть üv = {р : arg р £ п, Пп) } и uk, k = 1,n - корни n-й степени из 1, упорядоченные таким об разом, что Re(pw1) < < Re(pw2) < ... < Re(pwn) при р £ Для k = 2, n определим решение типа Вейля = (^ko(xo, р), ^k1(x1, р)) как функцию со следующими свойствами:

1) г^ко является решением уравнения (1), является решением уравнения (2);

2) выполнены условия склейки:

^ko(0, р) = Ып, р) = Ы0, р),