Порядок приближения дифференцируемых функций классом линейных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Гудошникова

УДК 518.9

ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ КЛАССОМ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Данная статья является продолжением работ [1, 2], в которых рассматривалась последовательность операторов

^п(/;ж) —

1

00

д(г(ж))п

к=0

к

п

®к,

г (ж) ^(г(ж))

где д(г) и ^(г) - аналитические в круге |г| < а, принимающие положительные значения на [0; а], такие что на [0; а] ж^'(ж) < ^(ж) и числа

ао,п — д(0)пи ак,п —

1 а

к-1

к!¿гк-1

д(г)п ^(г)к

, к — 1, то,

г=0

неотрицательны, а г (ж) - функция, обратная к функции

ж(г) —

г^(г) д/(г)

г) - /(г) д(г) '

В работе [1] было показано, что ж(г) монотонна на [0; а], г/(ж) > 0, и

д/(г) > 0.

Обозначим -(ж) — —жд(ж) . .

г /(ж)д/(ж)

В работе [2] была доказана теорема, несложное уточнение которой может быть сформулировано следующим образом

Теорема 1.

Для / е С[0; ж(а)] |; ж) - /(ж)| < 2и /;

'- (ж)

п

Для/ е С 1[0; ж(а)] |Ьп(/; ж) - / (ж)| < 2'

-(ж) ,/-(ж)

п

^ //;

п

Для/ е С2 [0; ж(а)] |Ьп(/; ж) - / (ж)| <

-(ж)

ЧГ;\/ — 1 + ||/

п

N N -(ж), -(ж) / „,, /-(ж) И |Ьп(/; ж) - /(ж) - у2-)I < — • И ///и/ —)

2п п п

к

Из теоремы 1 видно, что порядок приближения операторами Ьп улучшается при переходе от класса непрерывных функций к дифференцируемым и от дифференцируемых к дважды дифференцируемым, но не дальше, и порядок приближения г раз дифференцируемых функций при г > 2 есть 1/п.

Следуя идее Бернштейна, рассмотрим последовательность операторов М„(/; х) = Ьп(/; х) - 2Ьп((г - х)2; х)Ьп(/"; х).

Теорема 2. Для/ е С2[0; х(а)]

\М„и; х) - /(х)|< 24/"м/^

пп

Доказательство. По формуле Тейлора

/(г) = /(х) + Г(х)(г - х) + 2/"(х)(г - х)2 + Яп(х, г), (1)

где Яп(х,г) = ^[/"(С) - /"(х)](г - х)2, £ - точка между х и г. 2

Применим к равенству (1) оператор Ьп: Ьп(/(г); х) = /(х)Ьп(1; х) + /'(х)Ьп((г - х); х) + 1 /"(х)Ьп((г - х)2; х)+

+Ьп(Яп(х; г); х). Как было показано в работе [2],

Ьп(1; х) = 1, Ьп(г - х; х) = 0, Ьп((Ь - х)2; х) = *

п

* Ьп((/(г); х) = /(х) + 2/"(х)^ + Ьп(Яп(х, г); х) *

2п

* Мп(/; х) - /(х) = 2 [/"(х) - Ьп(/"(г); х)] ^ + Ьп(Яп(г, х); х).

2 П

Во-первых, по теореме 1

1Ы/"; х) - /"(х)|< 2ы1/

Во-вторых, для любого 5 > 0

\/"(С) - /"(х)\ < + <"(/";5) *

20

^ х) < 1 ш(/"; 5)

£п((* - х)2; х) + ¿п((* - х)4; х)

Нетрудно получить, что £п((£-х)4; х) =

взяв 5 =-, получаем

п

4 . -(х)-/2(х) + ^2(ж)^/;(ж)

П3

, поэтому,

^ / ^ / N N 1 ( пи ^(хм -(х)

Ьп(Лп(^,х); х) < 1 ш /"; ^-у

-(х)п п

Следовательно,

|М,,(/; х) - /(х)|< 2ш(/"м/

пп

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-0100167).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Гудошникова Е.В. Конструкция линейных положительных операторов // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 20-22,

2, Гудошникова Е.В. Конструкции Л ПО и их аппроксимативные свойства // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С, 18-20,

УДК 517.927.25

А.П. Гуревич

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

В спектральной теории линейных дифференциальных и интегральных операторов важную роль играет существование у рассматриваемых уравнений линейно независимой системы решений, которая имеет асимптотику по спектральному параметру, такую что ее главный член совпадает с решением некоторого канонического уравнения и при этом имеет простое представление. Использование асимптотических представлений решений позволяет получить информацию о расположении спектра оператора, изучить поведение его резольвенты, сделать вывод о свойствах ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям [1]. В случае, когда собственные значения оператора находятся в полосе, содержащей вещественную