Преобразование уравнений пространственного пограничного слоя для численного расчета Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м XIII 19 82

№ 5

УДК 532.526.2.011.7

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА

И. В. Петухов

Приведены необходимые сведения для организации численного расчета пространственных установившихся течений газа в пограничном слое. В произвольной системе координат на поверхности тела получены уравнения для определения толщины вытеснения и граничной функции тока при наличии массообмена. Приведено уравнение для определения масштабного множителя поперечной координаты, использование которого позволяет вести расчет в области с постоянными границами. Решение этого уравнения не зависит от выбора системы координат и является обобщением известных выражений для масштабного множителя в случае двумерных течений. Рассмотрена система уравнений пограничного слоя, преобразованных для численного расчета.

С расчетом пространственного пограничного слоя при произвольных граничных условиях, включая протекание газа через проницаемую поверхность Т7 с массовой поперечной скоростью ртииш, связаны три вопроса: 1) определение толщины вытеснения га и индуцированной скорости которые определяют воздействие

пограничного слоя на внешнее течение; 2) выбор граничного уело—»-

вия на Г для неоднозначно определяемой функции тока Ф; 3) выбор масштабного множителя поперечной координаты г для численного расчета пограничного слоя в области с постоянными границами. В настоящей статье эти вопросы рассмотрены в рамках классической теории пограничного слоя на единой основе. В качестве такой основы используется связь между формой поверхности тока г = возмущенного внешнего течения и малой массовой поперечной скоростью ре протекания через /% вызывающей возмущение:

(Нур (р* ие ге) = ре (1)

—

где ре ие — массовая продольная скорость внешнего течения, г = 0 на F; течение рассматривается при отсутствии пограничного слоя

Более удобной формой для численного определения 2^ является: «* ёгас^ (р* *е) + (р* ге)“* = Р« ^ (2)

При ра,‘дащ, = 0 уравнение для гл в форме длчр(реиега— ф*) = 0,

СО

где ф*= | (Реие — ри)йг, было получено в работе [1]. В работе [2] о

получено уравнение для га в ортогональной системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, и приведено явное выражение для га. В [3] обобщено уравнение для га в форме Лайтхилла [2] на случай рт1&тф0. Уравнение для га в произвольной системе координат можно представить в виде Р(реиега) = = рег№ф гДе индуцированная поперечная скорость чюа на F возмущенного внешнего течения выражается непосредственно:

РЛ=Р® +

При расчете пограничного слоя в качестве искомой функции

удобно рассматривать функцию тока Ф. Поскольку Ф определяется неоднозначно, возникает вопрос о стандартном определении гра-

—*■ —►

ничной функции на В качестве такого стандарта можно

принять = — Реаегч [см* (2-9)], где г? — доля толщины вытеснения, определяемая массообменом:

сНУр (ре ие ре гиид — Рщ,

Задачу пограничного слоя можно рассматривать при заданной чюа,

заменив граничное условие для ф асимптотическим: Ф -*■ ре ие (г —- га) при г->-со. Полагая ‘гц)а = га = 0, можно определить такое распределение массовой скорости отсоса ртгга^>, при котором пограничный слой не оказывает воздействие на внешнее течение (при безотрывном обтекании).

Чтобы вести расчет в области с постоянными границами, следует использовать преобразование дг/д(, — ре/р [см. (3.1)], где масштабный множитель г, качественно учитывает изменение толщины пограничного слоя. Указанное преобразование включает также преобразование Дородницына [4]. Условие '№в = ре1(регх) при замене ^ на 5 приводит к следующему уравнению для стандартного

ие%ха&Р(регзУ + 2(рег8У&\чРи.е==2\>.ере[ш. (3.5)]. В случае двумерных течений соответствующее явнбе выражение для хорошо известно. Им пользовались Гертлер и Виттинг [5] и в видоизмененной форме (с заменой ре на рт и у.е на (Ада)—Леви и Лиз |6]. Оно оправдало себя и при численных расчетах двумерного пограничного слоя.

Произвол в выборе системы координат л;1, л;2 на Г ограничен условиями, чтобы координатные линии х1 пересекали критическую точку или линию и чтобы любая линия тока в пограничном слое, спроектированная на Р, пересекала любую координатную линию х2 в области решения только в одной точке. В настоящей работе

приводятся преобразованные уравнения пространственного пограничного слоя и соответствующие уравнения для г3, гд и га в произвольной системе координат на Г. Характеристиками уравнений для гч и гй являются линии тока внешнего течения. Поэтому эти уравнения могут решаться одновременно с основной системой уравнений и на основе той же разностной схемы по координатам на Т7, что и основная система. Полученные результаты позволяют стандартизировать численный расчет пространственного пограничного слоя на телах произвольной формы.

1. Уравнения пространственного пограничного слоя. Приведем понятия и обозначения, необходимые для записи уравнений пространственного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат х1, х* на поверхности тела /\ Ниже греческими буквами обозначены индексы, принимающие значения 1 и 2, причем индексы суммирования везде обозначены только буквами а и т; числа, возводимые в степень, заключены в скобки.

Пусть поверхность Р описывается радиус-вектором г —

— г (х1, х2). Имеем: г^ — дг/дхч — векторы координатного репера на /^; gv.•) = rv.rv— коэффициенты первой квадратичной формы (dr)2 = g^dx^,dx'¡ с фундаментальным определителем G = gvg22 —

— (£]2)2; гт = 5''га/’с, — векторы взаимного репера на Г, причем гт =

волы Кристоффеля на F, являющиеся коэффициентами разложений

дг^/дх* \F— G%r^ = Gai Здесь и ниже v\f— ортогональная проекция вектора v на F. Отметим тождество dYGjdxt = ]/G G^r Вектор v, касательный к F, имеет вид v — varz = vara, где гя и v-j— его контравариантные и ко вариантные составляющие соответственно, причем v-i = gv v°, vi — g^va. Более подробные сведения см. в [7].

Пограничный слой на F рассмотрим в системе координат х1, х2, z, где прямые г являются нормалями к F и z —0 на F. С погрешностью порядка І/j/Re, где Re — число Рейнольдса, все поверхности z = const в области пограничного слоя на гладкой поверхности можно считать идентичными, т. е. полагать <?гт/<?г = 0.

Вектор скорости представим в виде u + wm, где и — вектор,

касательный к F\ от = [/•], r2]lYG-—единичный вектор нормали к F.

При любом фиксированном г вектор и образует на F векторное поле. Для этого поля имеем

= gvT°\ ' gH = gn/G; g22 = gn/G', gl2 =

gnIG — компоненты об-

I Г I - Г- I

—--------------------- —сим

■v ЛгТ I

здесь du/dtp = du/dt\ F—продольное ускорение.

Любой параметр d в пограничном слое образует при фиксированном z скалярное поле на F. Имеем

„ а да _ да da „ да

grad, а - — г - g-*— г, , _ и ■ g,ad, а = и- — ;

здесь dajdtF — скорость изменения а вдоль продольной линии тока.

С учетом приведенных выражений уравнения пространственного пограничного слоя для установившихся течений можно записать в следующем виде

daw

div^pM + -d— = 0, (1.1)

+ ^ = (1.2,

^ + fi=4£+K#),+ i(*w):- О-3)

здесь и ниже р— давление, р — плотность, i — теплосодержание,

jj. и k — коэффициенты вязкости и теплопроводности соответст-

венно; индексом „еи обозначены параметры внешнего течения. К выписанной системе следует добавить уравнение состояния. При обтекании тела потоком невязкого совершенного газа с передней

критической точкой типа узел [8] имеем xotFu.e — 0, gradfP€ = = P^gradr ге. В этом случае уравнение (1.3) можно записать в виде

di , di dip . / ди\2 , д /, di\ ,л лл

flirF + ^7iF=f^ + »\dF) +s(%)' О'4»

Граничные условия для уравнений (1.2), (1.5) имеют вид

и ие при г оо, (1.6)

и = 0 при г —0, (1.7)

— при 2 = 0 (1.8)

и для уравнения (1.4)

г 1е при 2 оо, (1.9)

кдЦдг = pwww(i — il>) при г = 0. (1-10)

Здесь РирВДщ, — массовая скорость протекания через Г, Ьь — теплосодержание газа в резервуаре. Условие (1.10) приведено для примера, оно может иметь иной вид.

Условия (1.6) —(1.8) определяют <1> с точностью до функции '¡>0(х\х2), которая удовлетворяет уравнению

2. Определение толщины вытеснения, индуцированной скорости и граничной функции тока. Рассмотрим на основе (1.5) внешнее течение вблизи Р при отсутствии пограничного слоя. Имеем

<ье = реие г. Зададим на Р малую поперечную скорость Тогда

Поверхность г — является поверхностью тока внешнего течения, возмущенного скоростью т на Р.

Уравнение (2.1) можно представить в следующей форме:

которая является более удобной для численного решения при заданной

Введем систему координат я1, связанную с линиями тока внешнего течения, такую, что и^^-0, и?е = 0. Имеем

где |, s — длина линии тока, отсчитываемая от передней

критической точки или линии, « — толщина элементарного слоя тока на F (т. е. расстояние между двумя близкими линиями тока), отнесенная к dx2 = const.

Интегрируя (2.1) вдоль линии тока, получим

В общем случае величину гг удобнее определять путем численного решения уравнения (2.2).

Для функции ф в пограничном слое с учетом (1.5), (1.6) и (1.8) имеем

функцию тока фе возмущенного внешнего течения можно представить в виде фе = реие(г — гг), где

divF(pe uezg) = Pewg.

(2.1)

«* grad^. (ре zg) + (ре zg) div^ ue = Pe wg,

(2.2)

ue=Vgnul, ds = /gndxl, n = VGlVgu, (2.3)

(2.4)

0

о 0

ОС

+ f (Peue — Pu)dz,

0

где divF <{»„, = — pwww. Следовательно, ф ф' при z oo где

функция '¡4 определяет внешнее течение вблизи F, возмущенное пограничным слоем. Экстраполируя это течение вплоть до F, имеем при Z — О

СО

Pewd = — diVf-td = Рщ,та»«, + div^J (peue — pu)dz, (2.6)

о

где wd— индуцированная поперечная скорость на F возмущенного внешнего течения.

Из (2.1) получим при замене g на d

div, (Pe“ezd) = Pewd> (2-7)

где zd — толщина вытеснения; поверхность z = zd является поверхностью тока внешнего течения, возмущенного пограничным слоем. Сравнивая (2.6), (2.7) находим

divfi0 = 0, %=?euezd + *td- (2-8)

С учетом замечания, сделанного перед (1.11), из ф можно вычесть ф0 (2.8). Тогда (2.5) примет простейший вид ф' = peue(z — zd).

Понятия wd и zd соответствуют двум способам учета обратного влияния пограничного слоя на внешнее течение. Чтобы учесть это влияние (при безотрывном обтекании), достаточно решить

внешнюю задачу обтекания данного тела с заданным распределением малой поперечной скорости wd на его поверхности или решить эту задачу для тела с непроницаемой поверхностью, но утолщенного на малую величину zd.

С учетом (2.6), (2.7) zd может быть представлена в виде

Zd — (Zd — Zq) + Zq> ГДе Zd — Z q И Zq ~~~ ДОЛИ ТОЛЩИНЫ ВЫТеСНвНИЯ,

определяемые соответственно торможением потока и протеканием газа через F. Соответственно имеем wd = (wd — wq)-\-wq, где

q (Pto Ре•

Чтобы устранить неопределенность в выборе граничного условия для 'bw, примем

—*• —*•

Фо, = - Ре Ue Zq. (2-9)

где zq определяется из (2.1) при замене g на q

divр (ре ие Zq'$= Ре Wq ^ШРш Ww. (2.10)

Соотношения (2.9), (2.10) позволяют стандартизировать учет

граничных значений для ф на F при заданном распределении pwww. Величины zg, g=d, q вычисляются на основе (2.2), их явные выражения имеют вид (2.4).

Задачу пограничного слоя можно рассматривать при заданной

—*•

индуцированной скорости wd. В этом случае для ф вместо граничного условия (2.9) следует ставить асимптотическое условие ——►

Ф -* Ре ue(z ~ zd) ПРИ z->oo, (2.11)

где га определяется из (2.2) при замене g на <1,

Условие (2.11) представляет интерес при — = В этом

случае определяется такое распределение массовой скорости отсоса газа через /\ при котором пограничный слой не оказывает возмущающего воздействия на внешнее течение.

3. Выбор масштабного множителя поперечной координаты. Чтобы вести расчет в области с постоянными границами, уравнения пограничного слоя необходимо преобразовать путем введения относительной поперечной координаты к = где масштабный множитель г5(х1, х2) качественно учитывает характер изменения физической толщины пограничного слоя Кроме того, удобно включить плотность в преобразование для перехода к новой поперечной координате С аналогично преобразованию Дородницына. Результирующее преобразование имеет вид

Множитель определим на основе (2.1) с заменой g на 5. Из соображения о порядках величин в пограничном слое примем

Здесь учтено, что семейство линий С —const не зависит от выбора константы с. Подставляя (3.2) в (2.1), получим

Определение в форме (3.3) не зависит от выбора системы координат на /\ В системе координат (2.3) найдем

При 1 или г (расстояние от оси симметрии) выражение (3.4) сводится к известным выражениям для в случае плоских или осесимметричных течений. В общем случае г3 определяется из решения уравнения, линейного относительно (рег5У'.

Характеристиками уравнений (2.2) и (3.5) для определения zd> zq и zs являются линии тока внешнего течения. Поэтому эти уравнения могут решаться одновременно с основной системой уравнений и на основе той же разностной схемы по продольным координатам х1, х2, что и основная система.

Рассмотрим поведение zs в окрестности критической точки Р

—> —>■

типа „узел“. С погрешностью порядка (г)2, где г = 0 в Р, уравнения пограничного слоя можно рассматривать на плоскости, касательной к F в Р [8]. За xt возьмем декартовы координаты в касательной плоскости, орты которых совпадают с главными направлениями внешнего течения. В рассматриваемой окрестности имеем = const, ре = const, и уравнение (3.5) принимает вид

dhldt = pjp, h = z/zs.

(3-І)

. (3.2)

zs divf {pe ue zs) = \>.e,

(3.3)

s

(3-4)

0

gradF(pe zs)2 + 2 (Pe zs)2 div,, ue = 2?e tv

(3.5)

В точке Р имеем

(3.6)

где индексом „О" отмечены значения величин в Р. Учитывая (см. [8]), что

диг/дх* = + и« = («тт + 2и1) &зз- Т = 1 - 2-

получим следующее выражение для г/.

(3.7)

где ¿>зз — проекция вектора кривизны присоединенной линии тока на ось хт.

Выражение (3.7) показывает, что поверхность г = ортогональна присоединенной линии тока.

4. Преобразование уравнений пространственного пограничного слоя для численного расчета. Используя преобразование (3.1) применительно к (1.2), (1.4), (1.5), получим следующую систему уравнений:

где обозначено

Относительная поперечная скорость <7 = (ргг»)/(регде =

— гі) = Ре/®«» определяется из выражения

при граничных условиях (1.6) — (1.10), где асимптотические условия заменяются условиями на внешней границе С = Св,

где Ьд=гд/г„ дт = (ртіі>Л(ре-м3); и іь — заданные величины,.

С учетом (2.10) кд определяется из уравнения

(У2

q = — — as df°!dx°.

Решение ищется в области

0 < С < Се, Се = const

ит = «т при С — Се, ит = 0 при С = 0, p = — hqul при С — О,

i = ie при С = Се, kdildt = qw(i— i„) при С = 0,

(4.3)

(4.4)

(4.5)

as Ме Ss hq q-wi

(4.6)

Величина Се выбирается достаточно большой (Се — 4ч-8). С учетом (2.6), (2.7), (3.1) и (4.7) уравнение для относительной толщины вытеснения — принимает вид

(4.8)

где да=^та!т3 — относительная индуцированная скорость;

дкР ч

(4.9)

В рассматриваемом случае, когда справедливо (1.4), имеем ре/р = //^, дЩд(, = Ц1е, и уравнение (4.2) представляет собой уравнение третьего порядка по £ для определения А при дополнительном условии: к — О при С = 0.

С учетом (2.11) при заданной величине ^ вместо условия (4.4) следует рассматривать условие

Р = {Ье — ка) и] при С = Се, где Нй определяется из (4.8).

Распределение скорости протекания через Т7 определяется из выражения .

й/1

Qw Xa P-w as

дх°

В выписанной системе 1 (4.1) — (4.9) масштабный множитель zs, (§5) может быть выбран произвольно. При стандартном выборе zs, на основе (3.5) функция 8^ определяется из уравнения

u.^ + 2(8J2(^+w.G:a)==2v (4Ю) В этом случае с учетом (4.7) и (3.3) имеем Й=1. Уравнения (4.19), (4.6) и (4.8) с учетом (4.9) решаются одновременно с основной системой (4.1), (4.2).

При численном решении уравнений удобно пользоваться безразмерными величинами. Пусть ас —const — характерная величина

—>

для модуля скаляра а или вектора а. Введем безразмерные величины при сохранении прежних обозначений

—у —>

a: a¡ac, где а —г, и, ■}>, а\ a/act ag = ag¡ac, где а = z, w, р, р, г, и., k я g = e, w, s, q, d.

Примем rc = xc, т. e. будем считать, что система безразмерных координат л:ч на F получена на основе безразмерной декартовой

—► —У

системы г: г/хс. За независимые характерные константы ас примем

величины, которые входят в выражение для числа Re = р., и. xjv.r. Для и wr имеем

zjxc = wc¡uc = 1/1/Re.

Остальные характерные константы определим из условия, чтобы уравнения пограничного слоя не меняли свой вид при замене размерных величин на безразмерные. Отсюда следует

№c = uczc = wcxc' рс = рс(ис)\ ic = (uc)\ kc = ¡v При указанном выборе характерных констант все выражения и уравнения, которые приведены выше, сохраняют свой вид при замене размерных величин на безразмерные.

В случае затупленного тела с критической точкой типа узел характерные константы рс, ¡ic и отношение ujxc удобно выбирать из следующих условий для безразмерных величин: рв о = t4« о = ди°е/дх°=\, откуда с учетом (3.6) 2í0 = 5í0=l и as0 = ize0=l.

Полученные результаты позволяют стандартизировать численный расчет пространственного пограничного слоя при произвольных граничных условиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sedney R. Some aspects of three dimensional boundary layer flows. Quart. Appl. Math., vol. 15, N 2, 1957 .

2. Light hi 11 J. J. On displacement thickness. „J. of Fluid Mechanics“, vol. 4, pt. 4, 1958.

3. Фэннелоп Т. К. Толщина вытеснения пограничных слоев с учетом массообмена через поверхность. „Ракетная техника и космонавтика“ № 6, 1966.

4. Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе.

ПММ, т. VI, № 6, 1942.

5. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз, 1962.

6. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

7. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.

Глава VII, М., ГИТТЛ, 1956.

8. Петухов И. В. Структура течения невязкого газа в окрестности изолированной критической точки. .Ученые записки ДАГИ“, т. XIII, № 2, 1982.

Рукопись поступила 25/111 1981 г.