Преобразование ограничений в задаче учета спроса на пассажирские перевозки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.4.014.6

Г. Н. КОДОЛА (УкрГХТУ) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОГРАНИЧЕНИЙ

В ЗАДАЧЕ УЧЕТА СПРОСА НА ПАССАЖИРСКИЕ ПЕРЕВОЗКИ

Розглядаеться задача векторно1 onraMÎ3a^ï розподшення попиту на перевезення пасажирiв м1ж станцiя-ми з новим шдходом до перетворення обмежень.

Рассматривается задача векторной оптимизации распределения спроса на пассажирские перевозки между станциями с новым подходом к преобразованию ограничений.

The problem of vector optimization of demand distribution for passenger transportations between stations with the new approach to transformation of restrictions is considered.

В работах [1; 2] были рассмотрены математические модели учета спроса на пассажирские перевозки в поездах дальнего следования, где в качестве модели рассматривалась задача векторной оптимизации с ограничениями. При решении данной задачи в [2] возникла трудность распределения мест, чтобы удовлетворить спрос.

Рассмотрим задачу из [2]

() ^

V-F2(Y ),

^ min

(1)

при условиях

Ё У 2 j ^ У12

j=3

n

Ё Уз j < У13 + У23

j=4

Ё Ё Уу ~ Ё1 Уш j=i+1 k=1

(2)

- У23 +Ё Уз j < У13'

j=4

n

— У 24 - У34 +Ё У4 j < У14

j=5

-ЁУы + Ё Уц <Ун' i = 2,n-1

j=i+1

k=2

Запишем преобразованные условия в матричной форме

где

C• Y *

^23 ^

Y =

где ) - средние потери; Р2(У) - средняя прибыль; у у (^)- число мест, которые могут быть проданы в А^ для поездки в Л}.;

7 = (у12,у13,...,у1п,у23,у24,...,у2пуп-1п) ;

п - количество станций.

Преобразуем условия (2). Для этого из правой части перенесем все у ^, для /Ф1 в

левую часть:

п

Ё у 21 < у12 ,

1 =3

Y =

У24

У2п У34 У35

У 3п

V У п—1 п У

^12 ^ У13 У14

V У1п—1 У

а матрица C представляет собой:

с =

Г1 1 .. .1 1 о о о .. .о о .. .о о о о о о

—1 о .. .о о 1 1 1 .. .1 1 .. .о о о о о о

о —1 .. .о о —1 о о .. .о о .. .о о о о о о

о о .. .о о о о о .. .о о .. .1 1 1 о о о

о о .. .о о о о о .. .о о .. . —1 о о 1 1 о

V о о .. . —1 о о о о .. . —1 о .. .о —1 о —1 о 1

Размерность матрицы С составит:

п—1

(п — 2) X (п — 2)п — ^ I.

г=2

Рассмотрим пример, для п = 5 . Выпишем условия (2):

У23 + У24 + У25 < Уl2, У34 + У35 < У13 + У23 '

У45 < У14 + У24 + У34.

Преобразуем данные неравенства, как описано выше

У23 + У24 + У25 < У12,

У23 + У34 + У35 < Уl3, —У24 — У34 + У45 < У14.

В матричной форме

ГУ23 ^

Г1 1 1 о о о 1 У24 Г У12 ]

— 1 о о 1 1 о • У25 < У13

V о —1 о —1 о 1 У У34 V У14 ,

У35

V У45 У

Разобьем матрицу с на две матрицы и вектор У1 на два вектора, тогда преобразованные условия (2) в матричной форме примут вид:

ГУ23 ^ ГУ34 ^ Г У12 ^

А • У24 + В • У35 < У13 (3)

VУ25 у V У45 У V У14 У

А =

Г 1 —1

1 о

о —1

1 1

о о

в =

Г ооо 1 1 1 о —1 о 1

У

Тогда, если существует обратная матрица к матрице А , решение системы неравенств (3) будет следующим:

ГУ23 ^ У24 .У25,

< А'1

Г У12 ^

У13 ,У14.

+ А'1 • В •

ГУ34 ^

У35 ,У45,

Определитель матрицы А равен 1. Обратная матрица представляет собой:

А-1 =

Г о —1 о 1 о о —1

1 1

1

где

Для того, чтобы получить решение системы неравенств (3) достаточно задаться значениями:

ГУ34 ^ У35 У45

Г У12 ^

У13

V У14 У

Рассматривая случай для п = 6 , определитель матрицы А также равен 1, и т. д. Выпишем условия (3) для общего случая:

1 1 . 1 1

—1 о . о о

о —1 . о о

о о . о о

о о . о о

о о . —1 о

ГУ23 1

У24 У25

У2п—1 чУ2п ,

Г о о о

о о

о о о о о о 1

1 1 1 . 1 1 . о о о о о о

—1 о о . о о . о о о о о о

о о о . о о . 1 1 1 о о о

о о о . о о . —1 о о 1 1 о

о о о . —1 о . о —1 о —1 о 1

<

(4)

Можно выделить следующие свойства матрицы А :

Определитель матрицы А для любой размерности будет равен 1.

Обратная матрица к матрице А размерности п будет следующей:

Г о —1 о

А'1 =

о о —1

0 о о

1 1 1

о о 1

о о

0 —1

1 1 У

(5)

тогда решение системы неравенств (4) имеет вид

ГУ23 1

У 24 У 25

У 2п—1

V У2п У

< А'1 •

ГУ34 1

У35

У 3п У45

У4п

V Уп—1 п У

+ А-1 • В •

Г У12 1

У13

У14

V У1п—1 у

где А 1 определяется как (5).

Г У34

У35

У3п У45

У4п

V У п—1 п У

Рассмотрим численный пример из [2], где рассматривается задача распределения мест по станциям для 4 городов на поезд с одним типом мест.

Информация о спросе представлена в виде:

Г У12 1

У13 У14

V У1п—1 У

Ашт =

А =

шах

1о

2о 5

бо 3о 4

15

25 1о

8о 5о 1о

где матрица Ашт содержит информацию о минимальной величине спроса, матрица Ашах - о

максимальной величине спроса на поездки. Информация разбита по столбцам, т. е. первый столбец показывает спрос на поездки из первой станции до второй, третьей и четвертой.

При этих исходных данных было получено следующее решение задачи:

У =

Г 11,4 1

21,4 6,41 65,6 35,7 5,69У

т. е. из первой станции до второй выделяется 11 мест, из первой до третей - 21 место, из пер-

вой до четвертой - 66 мест, из второй до третьей станции выделяется 6 мест, из второй до четвертой - 36 мест, при чем ограничения (2) по второй станции для данного решения не выполняются, т. е.

(у23 + у24) > Уl2,

сделаны были выводы, что бронирование мест по второй станции необходимо перераспределить.

Для решения задачи перераспределения воспользуемся представленным выше методом.

Запишем ограничения (2) с учетом преобразования:

|У23 + У24 ^ Уl2, I"у23 + У34 ^ у13-

Решением данной системы неравенств будет следующее:

|у24 ^ 26, Iу23 >"15

Откуда следует, что по второй станции недостаток мест на данный поезд до третьей станции составляет 15 мест.

Один из вариантов решения данной задачи представлен в [3], где в ограничения (2) включено новое слагаемое, учитывающее свободные места, следующие от станции А1 до станции

Аг, и будут записаны как

г-1

Ё у г; =Ё укг + у0

1=г+1

к=1

Ё у 21 = у12 + У12

1=3

п

Ё у3 1 = у13 + У23 + у0

1=4

7 > 0, у0 > О,

где у0 - свободные места, следующие от станции А1 до станции Аг.

С учетом этого выпишем ограничения (2) по второй станции для рассматриваемого примера

у23 + У24 ^ у12 + у^

где у102 - свободные места, следующие от станции А1 до станции А2 .

Поэтому, чтобы удовлетворить спрос по второй станции необходимо от первой станции до второй пустить дополнительные места в ко-

0 1 с

личестве у12 = 15, при этом от первой станции

до второй они будут идти порожняком. Как вариант для сокращения убытков от порожнего пробега дополнительных мест в стоимость билета необходимо включать затраты по холостому пробегу.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Босов А. А. Определение эффективной структуры пассажирского поезда / А. А. Босов, Е. А. Момот // Вюник Дншропетр. нац. ун-т за-лiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - Д.: Вид-во Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн.. трансп. iм. акад. В. Лазаряна, 2003. - № 1. - С. 91-95.

2. Аксенов И. М. Математическая модель композиции пассажирских составов / И. М. Аксенов, Г. Н. Кодола, Е. А. Момот // Залiзничний транспорт Украши. - 2005. - № 1. - С. 47-50.

3. Кодола Г. Н. Математическая модель учета спроса на пассажирские перевозки // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тезисы ЬХУ1 Междунар. научно-практической конф. - Д.: Вид-во Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна, 2006. - С. 296-297.

Поступила в редколлегию 07.10.2006.