CC BY
7Фешетневсцие чтения
УДК 539.374
Л. В. Яхно
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ ДВУМЕРНОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ*
Рассматривается гиперболическая система уравнений двумерной идеальной пластичности с условием текучести Сен-Венана-Мизеса. Характеристики этой системы деформируются под действием точечных преобразований допускаемых групп, что позволяет построить новые аналитические решения. Обсуждается механический смысл полученных характеристических полей. Описывается общий алгоритм преобразования решений гиперболической системы двух квазилинейных однородных уравнений от двух независимых переменных.
Рассмотрим классическую систему двумерной идеальной пластичности [1], состоящую из двух уравнений равновесия и условия пластичности Сен-Венана-Мизеса:
ба 5Т 5Т да
^ + = 0,^ + = 0, 5х ду дх ду (1)
\2 . Лгг2 _ ,17 2
(а -а )2
V х у '
■4т2 =4к2
хУ
где ах, а , т^ - комтоненты тензора напряжений;
к - постоянная пластичности. Система (1) описывает напряженное состояние пластически деформируемого материала.
Известно, система (1) сводится к гиперболической квазилинейной системе
да ( 50 „л 50 . п --2к I — 008 20 +—81п20 I = 0,
дх ^ дх ду 0
да Г д0 . „л д0 Л п --2к I — 81П 20--008 20 I = 0,
ду ^ дх ду 0
(2)
где а - гидростатическое давление; 0 + я/4 -угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ох.
В работе [2] показано, что квазилинейная система (2) допускает оператор
X5 = х0(а, 0) — + у0(а, 9)—, (3)
дх ду
где (х0, у0) - произвольное решение линейной системы
дх - 2к | дх -00820 + да 81П20 да 0 1 = 0,
ду д0 - 2к [ дх —81П 20 - 008 20Л да 0 1 = 0.
Используя действие оператора (3), из известных решений Прандтля и Надаи [3] получено семейство новых решений:
х = а I -а — - р. к - к 81п 20 I + 1 к 1 к 1
р2-к
+(1 - а)Яв0081 0-^ |в^
(4)
у = ак 00820 + (1 - а)Яе 2к 81п|0-^
где а - вещественный групповой параметр; р1, р2, к - константы. Решение (4) описывает напряжение в пластической зоне вокруг отверстия, изображенного на рис. 1.
Рис. 1. Поле линий скольжения для решения (4)
получено семейство новых
Аналогично решений:
х = ±а ехр
А-а 2кс
Б-:(0)-
к к % +(1 - а)I -а— р1--к81п20
к к ,
у = ± а ехр
А-а 2кс
Б~'(0)Г (0) + (1 - а)к 008 20, (5)
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы
Математические методы моделирования, управления и анализа данных
Рис. 2. Поле линий скольжения для решения (5) где
(
T(e)=tg
e+---arctg
4
^ tg^î íe+P c+1e c 1 4
Л
s (e) = 7 c+cT2 (e) + (i - T2 (e)) sin 2e - 2T (e) cos 2e,
а - вещественный групповой параметр; A, p1, h - константы. Решение (5) описывает напряжение в канале, имеющем форму, приведенную на рис. 2.
Таким образом, для решений (4), (5) найдены уравнения характеристик, уравнения граничных линий и соответствующие граничные условия.
Библиографический список
1. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. М. : Физматлит, 2003.
2. Senashov, S. I. Symmetries and conservation laws of 2-dimensional ideal plasticity / S. I. Senashov, A. M. Vinogradov // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1988. Vol. 3, № 3. C. 415-439.
3. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел / А. Надаи. М. : Иностр. лит., 1954.
L. V. Yakhno
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
DEFORMATION OF CHARACTERISTICS OF PLANE IDEAL PLASTICITY
The hyperbolic system of bidimensional ideal plasticity equations under the Saint-Venan - Mises's yield criterion is considered. Its characteristic curves are deformed by the action of admitted group of point transformations, that permits to construct a new analytical solution. The mechanical sense of obtained characteristic fields is discussed. The general algorithm of the relation of solutions of quasilinear hyperbolic system of two homogeneous equations of two independent variables is proposed.
© Яхно Л. В., 2009
