Некоторые точные решения уравнений анизотропной теории пластичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографические ссылки дифференциальных уравнений. Новосибирск : Наука,

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. 2001

М. : Гостехтеоретиздат, 1956. 3. Яхно Л. В Суперпозиция решений Надаи и

2. Киряков П. П., Сенатов С. И., Яхно А. Н. При- Прандтля для задач плоской // Сиб.

ложение симметрий и законов сохранения к решению журн. индустр. математики. 2009. № 3. . 123 138.

S. I. Senashov, E. V. Filyushina, E. A. Popov

TRANSFORMATION OF EXACT SOLUTIONS OF EQUATIONS OF PLASTICITY WITH ADVANCED SYMMETRIES

The article shows how advanced symmetries of plane ideal plasticity influence on exact solutions. New solutions are obtained.

Keywords: two-dimensional plasticity, exact solutions, advanced symmetry.

© Сенатов С. И., Филюшина Е. В., Попов Е. А., 2011

УДК 539.374

С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина, А. М. Попов, И. В. Ковалев

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ АНИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ*

С помощью группы непрерывных преобразований, допускаемых системой уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае, найдены некоторые новые точные решения, которые являются аналогами точных решений в изотропном случае.

Ключевые слова: анизотропная теория пластичности, группа непрерывных преобразований, алгебра Ли.

1. Рассмотрим систему уравнений анизотропной теории пластичности в двумерном случае [1]:

^ 3 = 0, ^ -3 = 0, (1)

дx ду ду дx

(а( -аy )2

1 - c

+ 4т2 = 4k2,

-г ( -a'y )2 + 4т'2 = 4.

а2

В уравнениях (1), (З) сделаем замену: a'x = а — 2sin20, т'= cos 20, а'„ = а + 2sin20.

(2)

где стх, ст , т - компоненты тензора напряжения;

1 - c = а2 - параметр анизотропии [1]; k - предел текучести при сдвиге.

В системе (1)-(2) введем переменные ^'х = стх, ^'у =ст у, k т' = т, тогда вид уравнения (1) не изменится, а уравнение (2) примет вид

Получаем

да ( д9 д0 .

----21 а—00820 4------51п29 | = 0,

дx ^ дx дy

да (д0 д0

----21 — 8іп20 -а—00820 | = 0.

дy ^дт ду

Найдем характеристики системы (4).

Они имеют вид

(4)

dy| =

dx )1 2

-2 cos 20 ±4cos2 20 • а2 + sin2 20 sin 20

(5)

Соотношение на характеристиках (5) запишутся

так:

гК°

а = ±2\V—'2 cos2 20 + 2sin2 20d0. (6)

(З)

2. Найдем группу непрерывных преобразований, допускаемую системой (4). Допускаемый оператор ищем в виде [2]

5 5 д д

X = ^17Г+^2Т + П17Г + п2^, dx dy да 50

(7)

где 5>i зависят от x, y, а,

* Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1 (3023).

Продолжим оператор (7) на первые производные и подействуем полученным оператором на уравнение (4). В полученных соотношениях перейдем на многообразие, задаваемое системой (4). В результате имеем полином второго порядка по производным

д0 д0 „ 0 —,—. Поскольку <|г-, пг- зависят только от х, у, а, 0,

дх дУ

то полагаем коэффициенты при производных равными нулю. В результате получаем систему линейных дифференциальных уравнений на функции ^, п. Решая эту систему, получаем искомые операторы вида (7).

Имеет место теорема.

Теорема. Система уравнений (4) при а2 Ф1 допускает бесконечную алгебру Ли, которая порождается операторами

д д д

Х1 = х-4 у—, X 2 =—,

дх ду да

X+ = 0) ^ + Уo(а, 0) д-,

ox dy

(8)

где (x0, y0) - произвольное решение системы уравнений

^0

50

dxo

50

- 21 -a

dy^cos20+dx^sin20 | = 0

5а 5а

dxo 5а

- 21 ^у0 sin 20 +аcos 20 | = 0.

(9)

Аналог решения Прандтля. Это решение инвариантно относительно преобразований, порождаемых оператором

х = ±+^.

5ст дх

Решение уравнений (4) следует искать в виде

ст = - X + f (y), 0 = g (y), (10)

где функции f g определяются из (4) после подстановки туда соотношений (10). Имеем

[ст = -х + 2a-J 1 - y2 , (11)

[ y = cos20.

Найдем линии скольжения (характеристики) решения (11).

Для этого продифференцируем соотношение

y = cos 0 по х. Имеем

)±*ja

—— -2cos20—

dx dx

d 0 -a cos 20 ±-\/а2 cos2 20 + sin2 20

sin20

Разделяя в этом уравнении переменные, после несложных преобразований получаем

(-a cos20 ± л/<

a2 cos2 20 + sin2 20 ) d20 = dx,

Или, если а > 1, то

20

1

-2si”20±-КI1-

2

а -1

или

Замечание. Если а = 1, то система уравнений (4) допускает еще два оператора [2]:

5 5 5

Xз — — у---+ x----I---,

3 5x 5y 50

„ e5 5 5 5

X4 —§1-----+^2-----+40-----а—,

Sx 5y 5а 50

где

§1 — x cos20 + y sin20 + уо,

§2 — x sin20-y cos20-xa.

Оператору X1 соответствует группа однопараметрических преобразований, допускаемых системой (4):

x — x exp a1, y' — y exp a1,

где а1 - групповой параметр.

Оператору X2 соответствует группа однопараметрических преобразований

Оператору Х+ соответствуют преобразования вида X = х + ах0(а, 0), у'= у + ау0(а, 0), где (х0, у0) -

произвольное решение системы (9).

3. Построим некоторые инвариантные решения системы (4).

-2sin20±—E

а

sin zdz — x + c,

f f 2 тУ\

2eU 1

— x + c,

(12)

где Е(ф, k) - эллиптический интеграл второго рода. Если |а| < 1, то из соотношения

20

-2sin20± — f 11-

а0

получаем

2

1 -а

sin zdz — x + c,

-2sin 20±-

1 + -

1 -a

E

а

20

1 -a2

І a2

1 +

1 -a2 a2 /

1 -a sin 20 cos 20

а

1 +1—-^ + sin2 20

а

— x + c,

или

-2sin20 ±t—г

а

1 -a sin 20 cos 20

1 +1—<a— + sin2 20

— x + c.

a

a — a + a 2.

a

Если а = 1, то получаем известную формулу х = ±29-5ш29 + с.

Аналог решения Надаи. Это решение инвариантное относительно группы, порожденной подалгеброй

5 5 5

х = х----Ъ у---Ъю----.

дх ду 5ст

Решение следует искать в виде ст = ю 1п х + / (у

—g y

У/ — Z.

или

tg2g — ■

1 - z

2

Дифференцируя (16) по переменной z, получим

2 g' 2а (1 + z 2)

cos2 2g (1 - z2)2

Поскольку

2. 1

cos 2g —

1 + 4a2 z 2

■(z sin2g +a cos 2 g).

Имеем

sin2 2g — 1 - cos2 2g — 1 - 1

sin2g —

__________— tg22g ;

1 + tg22g 1 + tg22g ’

tg2g

+ tg22g

sin 2 g —-

2az

Ї-7

2az

Vl + 4a2 z 2

1 + 4a 2

поэтому

f2-f т

(l+z2) і

+ 4a2z2 I

2az

-y/l + 4a2 z 2

+ a

1 - z

2 A

Vl + 4a 2 z 2

dz.

Найдем характеристики этого решения. Имеем

dy A — -2 cos 20 ±л/а2 cos2 20 +sin2 20

sin 20

dx )т

-а±д/а2 + tg220

tg20

l (l - z2 )±yja2 (l - z2 ) + 4a2z2

2az

(14)

2 z

Для простоты рассмотрим случай ю= 0. Подставим (14) в систему уравнений (4). Имеем

zf' + 2 g' (-az cos2g + sin 2 g) = 0,

f' + 2g'(z sin2g +a cos 2g) = 0. (15)

Система уравнений (15) имеет нетривиальное решение, если

(z2 -1) sin 2g + 2az cos 2g — 0 2az

z2 -1 ±

(1 + z2)

2z

1,2

2z

(1S)

(16)

(17)

_________ (l - z 2 ) ,

1 + tg22 g 1 + 4a2 z 2’ то, подставляя это соотношение в (17) и во второе уравнение (15), имеем

2a (l + z2 )

Интегрируя уравнения (1S), получаем два семейства характеристик: — const, x2 + y2 — const.

4. Для построения других новых решений уравнений (4) и их характеристик следует построить некоторые решения уравнений (9). Решение уравнений (9) можно искать в виде

x0 — Pa + A (0),

Vo — B(0); (19)

x0 — A (0) exp a,

Vo — B (0) exp a, (20)

x0 — A (0)sin a + B (0)cos a, (21)

y0 — a (0) sin a + b (0) cos a;

x0 — A (0)sha + B (0)cha, (22)

y0 — a (0) sha + b (0) cha,

где a(0), b(0), A(0), B(0) — искомые функции;

P — const.

После подстановки этих соотношений в уравнения (9) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Каждое из таких решений дает бесконечную серию решений системы (9).

Лемма. Решение вида

x — Pa + A(0),

Vo — B(0)

порождает бесконечную серию решений систем уравнений (9), а, следовательно, и бесконечную серию точных решений уравнений пластичности.

Доказательство

Подставляя (19) в (9), без труда получаем x0 — -a - 2sin 20, y0 — cos 20.

Это значит, что система (4) допускает оператор вида X — xodx + Vody.

Будем искать инвариантное решение системы (9) на подалгебре

X — 5a - (a + 2sin20)5x + cos 205y.

Оно имеет вид

х1 =-у ст2 - 2стабш29 + /(9),

у1 = стсо8 29+§ (9).

Подставляя эти соотношения в (9), имеем

х =- У ст2 - 2ста бш29 + с1,

у1 = стсоБ29-2а9.

Это и есть неявное решение системы уравнений (4).

Поскольку система (9) допускает оператор X = х1дх + у15у, то ее инвариантное решение можно искать на подалгебре

X = дст - (12 ст2 + 2ст бш 29)— + (ст соб 29- 2а9)ду.

' 2 дх

Оно имеет вид

х2 = -У^ст3 -12ст2абш29 + /(9), у2 =- У^ ст2 соб29- 2а9ст + g(9).

Подставляя (х2, у2) в уравнения (9), найдем /, g,

а, следовательно, еще одно неявное решение уравнений (4). Действуя таким же образом, мы сможем построить бесконечную серию решений как уравнений (9), так и уравнений (4).

Аналогичная ситуация имеет место и с другими решениями из (20).

Замечание. Решения (х0,у0),(х1,уД(х2,у2),... порождают точечные симметрии, действуя которыми на решение Прандтля и его характеристики получаем еще бесконечные серии решений.

Этот способ построения решений будет описан в следующих статьях.

Библиографические ссылки

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М. : Гостехтеоретиздат, 1954.

2. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Наука, 2001.

S. I. Senashov, E. V. Filyushina, A. M. Popov, I. V. Kovalev

SOME EXACT SOLUTIONS OF EQUATIONS OF THE ANISOTROPIC THEORY OF PLASTICITY

With the help of a group of continuous transformations accepted by the system of equations of anisotropic plasticity in bivariate case there were found some new exact solutions, which are analogues of exact solutions in the isotropic case.

Keywords: anisotropic theory ofplasticity, group of continuous transformations, the Lie algebra.

© Сенашов С. И., Филюшина Е. В., Попов А. М., Ковалев И. В., 2011

УДК 681.324

Н. Г. Треногин, Е. А. Веловатый, М. Н. Петров

ОПИСАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ АРХИТЕКТУРЫ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ СВЯЗИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕНЗОРНОЙ МЕТОДОЛОГИИ АНАЛИЗА СИСТЕМ

Рассмотрен вопрос применения тензорного анализа для описания архитектуры управления предприятием телекоммуникационной отрасли.

Ключевые слова: управление, телекоммуникации, архитектура, предприятие.

Работу современного крупного предприятия всегда сопровождает набор необходимых для осуществления бизнес-деятельности информационных систем: система управления предприятием, система биллинга (для предприятий связи), система электронного документооборота и т. д.

Современные информационные системы в своей работе опираются не только на безупречно спроектированную техническую архитектуру или правильно выбранную систему баз данных, а зачастую обеспечивают стабильную работу за счет сочетания многих

параметров. Принято говорить об «интегральном» подходе к обеспечению необходимых характеристик быстродействия и надежности систем.

С 2009 г. на предприятии связи макрорегиональ-ного филиала «Сибирь» ОАО «Ростелеком» эксплуатируется система управления предприятием на базе Oracle E-Business Suite.

В данной работе рассмотрен подход к оценке и повышению быстродействия системы управления предприятием. Для описания технической архитектуры системы управления предприятием предлагается ис-