CC BY
9
5. ШФОРМАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 621.3.018.1 Доц. Ю.М. Романишин1, д-р техн. наук;
проф. В.А. Павлиш1, канд. техн. наук; доц. Р.О. Корж1, канд. техн. наук; Ю.Р. Кохалевич2, С.Р. Путш1
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МОДЕЛ1 ФГГЦХ'Ю-НАГУМО НЕЙРОНА РЯДОМ ВОЛЬТЕРА
Розглянуто представлення моделi Ф1тцХ'ю-Нагумо нейрона рядом Вольтера та особливосп обчислення ядер Вольтера для ще'1 моделi нейрона. Отримано системи двох лшшних алгебршчних рiвнянь для спекав ядер Вольтера та ix розв'язки. Для реал1зацп оберненого перетворення Фур'е використано пакет прикладних програм Symbolic Math Toolbox системи MATLAB. Наведено граф1ки модуля спектра та ядра першого порядку ряду Вольтера.
Ключов1 слова: нейрон, модель Ф1тцХ'ю-Нагумо, ряд Вольтера, спектр.
Вступ. Модель ФггцХ'ю-Нагумо нейрона [1], на вщм1ну вщ системи чотирьох звичайних нелшшних диференщальних р1внянь першого порядку модел1 Ходжкша-Хаксл^ - це аналопчна система двох диференщальних р1в-нянь першого порядку (одне з яких е нелшшним) у форм1 Кош1 i е ютотним спрощенням моделi Ходжкша-Хаксл^ однак зберiгае основну властивiсть нейрона - повернення у початковий стан шсля формування нейроiмпульсу (чи серп iмпульсiв) внаслiдок дп зовнiшнього сигналу. Внаслщок цiеi модифжацп при використанш моделi значно спрощуеться математичний анашз та числове дослiдження бiонейронниx структур за велико'' кшькосп нейронiв. Одним з методiв побудови математичних моделей нелшшних динамiчниx об,ектiв е 'х представлення у виглядi рядiв Вольтера, ядра яких можна вважати узагальнен-ням iмпульсноi характеристики лiнiйниx систем на нелшшш. Особливостi побудови ряду Вольтера та визначення його ядер для моделi Ходжкша-Хак^ нейрона розглянуто в [2, 3]. Однак, незважаючи на доцшьшсть такого представлення моделi ФiтцХ,ю-Нагумо нейрона, а також його зв'язок з нейромере-жевими структурами, представлення моделi Ф^цХ'ю-Нагумо нейрона рядом Вольтера не дослщжувалося, що зумовлюе актуальнiсть цього дослщження.
Метою роботи е аналiз особливостей представлення моделi ФггцХ'ю-Нагумо нейрона у виглядi ряду Вольтера, обчислення ядер ряду, зокрема, ядра першого порядку в спектральному та часовому виглядах, можливостей спро-щення моделi на основi такого представлення.
Постановка задачi представлення моделi ФггцХ'ю-Нагумо нейрона рядом Вольтера. Розроблений у [2] та використаний у [3] метод представлення моделi Ходжкша-Хак^ нейрона рядом Вольтера е досить ушверсальним i може бути застосований також, з вщповщними модифiкацiями, i для побудови
1 НУ "Льв1вська полггехшка";
2 Льв1вський Д1НТ1У 1м. В. Чорновола
ряду Вольтера для моделi ФiтцХ,ю-Нагумо нейрона. Варiант моделi Ф^цХ'ю-Нагумо нейрона, наведений у [1], представимо, за аналопею з [2, 3], у виглядi системи рiвнянь:
^Т - /1О1, У2) = *(*); ^ - /2СУ1, У2) = *2(0; т ш
/1(У1, У2) =1 [У1(У1 + с)(Ш - У1) - ау2 ] ; /2(У1, У2) = У1- ЯУ2, (1)
е
де: х1(/) = Ьх((); х(() - густина зовшшнього струму активаци нейрона, мкАхсм-2 2 11
; Ь = 100 мВхсм хмк^" хмсек" ; У1(() - напруга на мембраш нейрона, мВ;
х2(() = 0; г - час, мсек; У2(() - внутршня функцiя часу та напруги на мембра-
2 2 1 ш, мВхмсек; е = 0.01 мВ хмсек; с = -0.1 мВ; Ш = 1 мВ; а = 1 мВ хмсек ;
q = 0.5 мсек-1.
Шукаемо представления функцш Ук (() через вхiднi сигнали хк (г) у виг-лядi таких рядiв Вольтера:
ГО ГО ГО
Ук(0 = | gkl(т)Xk(г - т)Шт + | | gk2(Tl, Т2)хи(г - Т\)Хи(г - Т2)ШтШт2 +
—ГО -ГО -ГО
ГО ГО ГО
+ 111 gкз(Tl,T2,Tз)Xк(г -Т1)хк(г -Т2)хк(г -тз)шт1тт2штз + ..., (2)
-ГО -ГО -ГО
де gkl(т); gk2(тl,т2); gkз(тl, т тз) - ядра ряду Вольтера для к -1 змшно! вщповщ-ного порядку; к = 1,2.
Визначення ядер ряду Вольтера. Визначення ядер Вольтера зручшше виконувати в частотнш област [2]. Здiйснимо iнтегральне перетворення Фур'е ряду Вольтера:
ГО ГО ГО
Ук(ю) = Ок1(а>)8(ю) + | е| | gk2(тl, т)х(г - т)х(г -12^1^12^ +
-ГО -ГО -ГО
ГО ГО ГО ГО
+1 е~)ш gk(т1, Т2)х(г - Т1)х(г - Т2)ттШт2т +..., (з)
-ГО -ГО -ГО -ГО
де: Ук(ю) - спектри функцiй Ук((); Ом(ю) - спектри ядер gki; 5(ю) - спектр функци х1(г).
Можна показати (змшою порядку iнтегрування, за формулою спектра добутку двох сигнашв та спектра сигналу, змщеного у чаЫ), що це перетво-рення набувае такого вигляду:
1 ГО
Ук(ю) = Ок1(ю)5(ю) +--I 5(ю - ю1)5(ю1)Ок2(ю - ю, о)Шю
2п
+
1
+--- | | - ю1)5(ю - а>2)3(ю2Уокз(ю -ю1,ю1 - ю, сюШау2Шю +.... (4)
(2п)2
-ГО -ГО
Особливiстю моделi Ф^цХ'ю-Нагумо нейрона е полiномiальний характер функцш /1 i /2 (зокрема, функщя /1 е полiномом третього степеня щодо У1, а функщя /2 е лiнiйною), тому немае потреби розкладати цi функци у крат-
Hi ряди Маклорена, як це було зроблено в [2, 3]. Однак з точки зору викорис-тання результат, отриманих в [2, 3], доцшьно використати представления розкладами в ряди Маклорена функцш f i f2 загального виду, однак 3i скш-ченною кiлькiстю складових (очевидно, що fk (0,0) = 0):
f ( ) Ь dfk\ + 1 Ь Ь д 2fk I +
fk(У1 У2) _ Ь ^ (0,0)yi +—Ь Ь"Т"^ (0,0)ytyj +
i=1 oyi 2! i=i j=i dyidyj
1 2 2 2 д3 f ,
+TTЬЬ Ь д д д |(о,о)yiyjyp. (5)
3 i=i j=i p=i dyidyjdyp
Очевидно, що:
f _ Cd _ 10. dfi| _ 0 _ 100. f _ i.
— (0,0) _-_-i0, ~ (0,0) _--_-i0°, — (0,0) _
oy\ e dy2 e dyi
df2| _ q _ 05- д 2fi\ _ 2(d - c) _ f _ 6 _ 600 (6) T— (0,0) _-q _-0.5, —у (0,0) _-_ 220 . -T-H(0,0) _--_-600. (6)
dy2 dyi e dyi e
Bd iншi похщш дорiвнюють нулю.
Здiйснимо перетворення Фур'е системи рiвиянь (i) з урахуванням сшв-вiдношения (5)
2 df; 112 2 д 2 f, 0 jaYk _ЬдкУ1(^)+-—ЬЬ^гдт i 4a-ai)YM)dGi +
i_i dyi 2!2ni_i j_i dyidyj -0
+Ь Ь ¿_f_ x
3! (2n)2 i_i j_i p_i dyidyjdyp
00 О
x j j Yi(a - ai)Yj((Di - co2)Yp(a2)da2dai + ¿ki^(ю), (7)
де <5к1 - символ Кронекера.
Шсля пiдставляння виразу (4) у вираз (7) отримаемо рiвняння, якi пов'язують спектр вхiдного сигналу 8(ф), спектри ядер ряду Вольтера Ок(®), частиннi похiднi функцш /к по уг та штеграли послiдовних кратностей, що мютять цi спектри. Оскiльки цi рiвняння повиннi бути справедливими для будь-яких функцш £(®), рiвняння для визначення спектрiв ядер Окг(Ф) можуть бути отриманi прирiвнюванням вiдповiдних виразiв до 0.
З прирiвнювання коефщенпв при £(®) до 0 отримаемо:
/фО^ф) = £ ^ Ой(ф) + ; к = £2. (8)
i=1 ЧУг
Це система двох лiнiйних рiвнянь з двома невщомими спектрами ядер першого порядку. Для моделi ФiтцХ,ю-Нагумо нейрона ця система рiвнянь на-бувае вигляду
/ф- — | О11(ф) + -О21(ф) = 1
е ) е . (9)
-Оп(ф) + (/Ф + фОпфФ) = 0
Розв'язки ще! системи рiвнянь:
j° + q
Gn(a)
ja —
cd
a
G2\(a>) ■
1
(j° + q) + -e
ja
cd
a
(10)
(j°+q)+-
e
Внаслiдок величини Gk1(a) представляються дробово-рацiональними виразами вiдносно ja, знаменники виразiв е полiномом другого степеня, чи-сельник G11(a) - полшомом першого степеня, а чисельник G21(®) - сталою. Модуль G11(a) (спектр ядра першого порядку gn) зображено на рис. а. Обер-нене перетворення спектра реалiзуеться у символьному виглядi з використан-ням пакету прикладних програм Symbolic Math Toolbox системи MATLAB. На рис. б зображено графж ядра першого порядку g11, обчисленого на основi от-риманого виразу. Цi характеристики яюсно збiгаються з вiдповiдними графжа-ми для ядра першого порядку ряду Вольтера моделi Ходжкша-Хак^ [3], хоча й вiдрiзняються числовими параметрами, оскшьки в обох моделях використо-вуеться рiзне нормування. Отриманi графiки на рис. для модуля спектра ядра першого порядку та самого ядра, як i ядра першого порядку для моделi Хо-джкша-Хаксл^ близью за характером до частотно! та iмпульсно! характеристик енергетично! моделi нейрона, отриманих у [4].
Рис. Модуль спектра та ядра першого порядку ряду Вольтера З прирiвнювання коефщенпв при 5 (ю - (ю) в iнтегралах
ГО
| 8(ю-а1)8(а>{)...Шю до 0 отримаемо:
2 / 12 2 д2 /к -
уюОк2(ю-ю,ю) = ЕТ-Ой(ю-ю,ю)+ —ЕЕ ^ ^ Ол(ю-ю)ОДю),к = 1;2. (11)
i=1 ^ 2! i=1 ]=1 дУдУ/
Ця система рiвнянь може бути приведена до вигляду
2 /к 12 2 д2 /к Хю + ю)Ок2(ю,ю) = Е"т-Gi2(оl,ю)+—ЕЕ „ „ ]1(ю). (12)
i=1 дУ 2! i=1 =1 дУгдУ}
Аналопчно попередньому, для спектрiв ядер другого порядку отримаемо систему лшшних алгебра!чних рiвнянь з матрицею тако! само! структу-ри, що й для ядер першого порядку. Для моделi ФггцХ'ю-Нагумо нейрона ця система рiвнянь набувае такого вигляду:
cd | a d — c
j(® + a)--Gu(®, a)+-G22®, a) =-G 1(®G1(02)
e ) e e
—G12®, 02) + (j(® + 02) + q)G22(®, 02) = 0
(13)
Розв'язки системи:
ё - с
-(7(0 + 02) + д)0 1(01)011(02)
012(0,0) = -г-е-щ--; (14)
7(0 + 02)--(7(0 + 02) + д) + -
е ) е
ё - с
-011(01)011(02)
022°ь02) = у-----(15)
7(0 + 02)--(7(01 + 02) + д) + -
е ) е
З прирiвнювання подвiйних штеграшв та справедливостi ще! рiвностi при довшьнш функцн ^(0) отримаемо умову:
2 д/к
7(01 +02 + 0з)<0й(01, 02, 03) = Е 0,3(0, 02, 0з) +
,=1 дУ,
1 2 2 д2 Д 12 2 о2 Д
+ Т7 ЕЕ 0,1(0)0 j2(о2, 0) + — ЕЕ 0 ]°)Ра(01, 02) +
2!,=1 7=1 7 2!,=1 7=1 дУ,дУ7
1 2 2 2 д3 /к +^ Е Е Е д д 71 Оя(01)0л(02)0/,1(0з). (16)
3!,=17=1 р=1 дУ,дУ7дУр
Звiдси для моделi ФiтцХ,ю-Нагумо отримаемо систему рiвнянь:
сё ^ —
7(0 + 02 + 03)--013(01,02,03) + —023(01,02,03) =
е ) е
ё - С 1
=-(011(01)012(02,03)+011(03)012(0,02))—011(01)011(02)011(03);
е е
-013(01,02,03) + (7(01 + 02 + 03) + я023(0,02,03) = 0. (17)
Розв'язок ще! системи:
023(01,02,03) = [(ё - с)011(01)012(02,03) + (ё - с)0п(03)012(01,02) -- 011(01)011(02)011(03)]/[е/(0 + 02 + 0)[/(0 + 02 + 03) + д] --сё[7(0 + 02 + 0) + д]+- ];
013(01, 02, 03) = 023(01, 02, 03)[7(0 +02 +03) + д]. (18)
Аналопчним чином, хоча й значно складшшими перетвореннями, мож-на отримати системи алгебра!чних рiвнянь для ядер Вольтера вищих порядкiв.
Висновки. Моделi нелшшних систем у виглядi рядiв Вольтера, як е узагальненням iнтегралу згортки для лшшних систем, дають змогу виразити вихщний сигнал через вхщний у виглядi складових, що вщповщають лiнiйнiй частинi та нелiнiйним вищих порядюв. Модель ФiтцХ,ю-Нагумо нейрона - це система двох диференщальних рiвнянь першого порядку (одне з яких е нель нiйним), якi пов'язують вхiдний сигнал (густина струму), вихщний сигнал (напруга на мембранi), внутршню змiнну та параметри моделi. Для усунення внутршньо! змшно! можна застосувати зведення моделi до представлення у виглядi ряду Вольтера, ядра якого е узагальненням iмпульсноl характеристики
лшшно! системи для нелшшних систем. Використання ще! моделi, незважа-ючи на складшсть рядiв Вольтера, дае змогу розглядати pi3Hi наближення мо-делi нейрона - лшшну, нелiнiйнi моделi рiзних порядкiв. Обчислення спектрiв ядер Вольтера зводиться до розв'язування однотипних систем двох лшшних алгебра!чних рiвнянь з двома невщомими.
Лiтература
1. Gerstner W. Spiking Neuron Models. Single Neurons, Populations, Plasticity / W. Gerstner, W.M. Kistler. - Cambridge University Press, 2002. - 5,26 MB.
2. Kistler W. Reduction of the Hodgkin-Huxley Equations to a Single-Variable Threshold Model / W. Kistler, W. Gerstner, J. Leo van Hemmen // Neural Computation 9(5). - PP. 1015-1045.
3. Романишин Ю.М. Ряд Вольтера для моделi Ходжкша-Хаксш нейрона / Ю.М. Рома-нишин, Ю.Р. Кохалевич, С.Р. Пуюш // Моделювання та шформацшт технологп : зб. наук. праць 1н-ту проблем моделювання в енергетищ iм. Г.С. Пухова НАН Укра!ни. - К., 2010. -Вип. 56 . - С. 156-163.
4. Смердов А.А. Электрическая модель нейрона при одиночном возбуждении / А.А. Смердов, Ю.М. Романишин // Вопросы кибернетики: биомединформатика и ее приложения. -М. : Изд-во АН СССР. - 1988. - С. 168-174.
РоманышинЮ.М., ПавлышВ.А., КоржР.О., Кохалевич Ю.Р., Пукиш С.Р. Представление модели ФитцХью-Нагумо нейрона рядом Вольтерра
Рассмотрено представление модели ФитцХью-Нагумо нейрона рядом Вольтерра и особенности вычисления ядер Вольтерра для этой модели нейрона. Получены системы двух линейных алгебраических уравнений для спектров ядер Вольтерра и их решения. Для реализации обратного преобразования Фурье использован пакет прикладных программ Symbolic Math Toolbox системы MATLAB. Приведены графики модуля спектра и ядра первого порядка ряда Вольтерра.
Ключевые слова: нейрон, модель ФитцХью-Нагумо, ряд Вольтерра, спектр.
Romanyshyn Yu.M., Pavlysh V.A., Korzh R.O., Kokchalevych Yu.R., Pu-kish S.R. Representation of FitzHugh-Nagumo model of neuron by Volterra series
The representation of FitzHugh-Nagumo neuron model by Volterra series and features of calculation of Volterra kernels for this neuron model are considered. The systems of two linear algebraic equations for spectra of Volterra kernels and their solutions are obtained. Symbolic Math Toolbox of MATLAB system for inverse Fourier transforms is used. Diagrams of spectrum module and first order kernel of Volterra series are given.
Keywords: neuron, FitzHugh-Nagumo model, Volterra series, spectrum.
УДК 669.14.018.025 Проф. З.А. Дурягта, д-р техн. наук;
проф. Р. О. Ткаченко, д-р техн. наук; тж. О.Р. Ткаченко; acnip. Н.В. Щербовських - НУ "Л.beiecbrn полтехмка"
ОЦ1НЮВАННЯ Ф1ЗИКО-МЕХАН1ЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОВЕРХН1 ПРОГРАМНИМИ ЗАСОБАМИ ШТУЧНОГО
1НТЕЛЕКТУ
Виконано ощнювання вщсутшх характеристик мшротвердосп та термо-е.р.с. поверхш сталi тсля лазерного легування rnoôieM та азотом методом заповнення про-пусюв i3 використанням нейромережних засобiв. Обчислено похибки передбачених даних для вщомих тестових значень.
Ключовi слова: лазерне легування, мшротвердють, термо-е.р.с., штучний ште-
лект.
