Представление кривых на карте поверхности заданной квадратичными формами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таблица 4

Результаты измерений параметров шероховатости при обработке заготовки с образованием строк по нормалям к образующим

Номер Rz Ra

участка

1 17,4 3,2

2 13,0 2,6

3 10,2 2

4 14,2 2,7

5 13,0 2,6

6 10,8 2,1

7 12,3 2,4

8 18,8 3,6

В табл. 3 представлены данные по полученным средним значениям параметров шероховатости в различных сечениях для четырех заготовок с привязкой к положениям касательных в точках измеряемых поверхностей по отношению к плоскости стола фрезерного станка и базовым плоскостям заготовок. Средние результаты измерения параметров Яг и Яа даны на диаграммах (рис. 4 и 5).

По результатам измерений и приведенным диаграммам можно сделать вывод, что при высокой подаче и встречном фрезеровании шероховатость поверхности значительно превышает шероховатость, получаемую при попутном фрезеровании, и даже выходит за пределы заданной геометрической шероховатости, Наилучшее качество поверхности наблюдается при фрезеровании с малыми подачами, причем в этом случае вид фрезерования не сказывается на результатах. Заклю-

чения по параметру Яа аналогичны предыдущим. Кроме того, можно сказать, что участки 1, 4, 5, 8 (см. табл. 2), как показывают профилограммы, имеют наибольшую шероховатость по сравнению с участками 2, 3, 6, 7. Это может быть объяснено повышенным смятием и деформированием обрабатываемого материала при фрезеровании концевой частью сфероцилиндрической фрезы.

Результаты определения параметров шероховатости заготовки, обработанной с образованием строк в направлении нормалей к образующим поверхности представлены в табл. 4. Обработка проходила с подачей uf = 1200мм./мин встречным фрезерованием. Измерения шероховатости поверхности произведены в направлении, перпендикулярном к линиям обработки поверхности. Полученные данные сопоставимы с результатами, представленными в табл. 3. Это подтверждает, что шероховатость при обработке сфероцилиндрической фрезой в значительной степени зависит от того, какой частью фреза входит в контакт с обрабатываемой сложной поверхностью.

Библиографический список

1. Радзевич С.П. Формообразование сложных поверхностей на станках с ЧПУ. - К.: Вища шк., 1991. - 192 с.

2. Исаев А, И. Процесс образования поверхностного слоя при обработке металлов резанием. - М.: МАШГИЗ, 1950. - 358 с.

3. Резников Н.И. Учение о резании. - М.: МАШГИЗ, 1947. - 587 с.

4. Koulla H. Beiträge zur Beschreibung von technischen Flächen mitteis erweiterter Oberflächenkenngrößen auf der Basis von 3D-Messungen: Dissertation, Technischen Universität Bergakademie Freiberg 2002. - 170 s.

М.Д.Гаер3 А.В.Шабадин

Представление кривых на карте поверхности, заданной квадратичными формами

Рассматриваемая в данной работе задача возникла при разработке САПР, позволяющей моделировать пространственные допустимые отклонения деталей и сборок. Основные результаты наших исследований в этом направлении отражены в [1-4]. Все поверхности здесь задаются их первой и второй квадратичными формами.

При вычислении контура пересечения двух точечно-заданных поверхностей возникает проблема представления и хранения информации о кривой контура на карте поверхности [4]. Контуры необходимы для определения внешних границ поверхностей, внутренних «дыр», а также для определения действительной и недействи-

тельной частей поверхности (рис. 1). Есть два способа хранить информацию о контуре. Первый способ - это хранение всех вычисленных точек пересечения. Этот способ обеспечивает необходимую «гладкость» кривой и с определением действительности и недействительности точки на поверхности не возникает проблем. Второй способ - хранить только некоторые важные для нас опорные точки и лишь при необходимости вычислять промежуточные точки между некоторыми из них, применяя при этом разработанный нами ранее метод натуральной параметризации плоских кривых.

Рис. 1. «Дыра» на карте поверхности

Первый способ очень прост в реализации, но не лишен серьезных недостатков. При сохранении всех точек контура количество этих точек будет равно отношению длины контура к точности поверхности. Так, для контура длиной 1 м с точностью расчета 0.001 мм количество точек будет около 106.

При программировании класса работы с контурами необходимо учитывать размер каждой структуры данных. Рассмотрим структуру точки контура.

Значение Описание

ид/ Координаты точки контура на карте

Ми, Координаты нормали к точке на карте

сх, су, С2 Координаты реальной точки в пространстве

пх, пу, те Координаты нормали к трехмерной точке

СигСоп1оиг!Мит Номер текущего контура

Эта структура хранится в виде двунаправленного списка для обеспечения «непрерывности» контура и связей всех точек. Таким образом, объем памяти, необходимый для одной точки, примерно равен 92 байта. То есть объем оперативной памяти, необходимой для хранения всех точек, составит около 92 Мб. Такое большое количество информации существенно снижает производительность (скорость в этом случае будет зависеть напрямую от скорости оперативной памяти) при любых операциях над контурами, будь то добавление очередных точек, сортировка контура или поиск.

Второй способ требует гораздо меньше ресурсов оперативной памяти и как следствие увеличивает производительность.

Пусть Ао, А], А2 - три подряд идущие точки контура,

тогда касательным вектором tl в точке А] будем называть вектор

а.-, а~, 0 2 (рис. 2).

ал

Б общем виде касательный вектор ^ в точке Д равен /.

А \А<\

Л

А Л,л

Пусть Ао, А], А2, А3, Ад, А5 - шесть подряд идущих

точек контура, тогда Л

А-)

\ А)

V

а, а,

А А

I, =

А -, Ал

А, А

Л

III

касательные векторы

соответственно в точках Аь А2, Аз, Ад (рис. 3, слева).

Пусть угол между вектором и вектором t2 получился отложен по часовой стрелке (против часовой

стрелки), а углы между вектором /2 и вектором ^ , а

также между вектором и вектором t4 получились

отложенными против часовой стрелки (по часовой стрелке) (рис. 3, справа). Тогда в таком, и только таком, случае одну из данных точек, а именно точку А2 будем называть точкой перегиба.

Основными узловыми точками контура будем называть его точки перегиба.

При отсутствии точек перегиба на достаточно большом участке кривой к основным узловым точкам можно добавлять промежуточные точки, которые будем называть промежуточными узловыми точками. Это позволит восстанавливать кривую более точно, а также поможет в ситуации отсутствия точек перегиба на кривой, как, например, в контуре 2 на рис. 4.

Основные узловые точки, промежуточные узловые точки, а также в случае незамкнутой кривой начальную и конечную точки - все вместе будем называть просто узловыми точками.

Рис. 3

точка перегиба

/

\ f

/

Контур 3

\ \

Контур 1

_____^

Контур 2

Рис. 4. Виды контуров

Таким образом, алгоритм получения узловых точек сводится к следующим действиям:

1. Находим векторы /,

- АЛ

А А,

- ДА U =

а, а :

<3 =

а2а4

а2а4

2. (рх =Z(t]J2), (р2 - Z(t2it3) ,

(P3=Z(LJ4).

3. Находим Sin (рх = t].x * t2.y - ti .у * t2.x.

4. Находим Sin (p2 - 12.x * 13.y - 12.y * 1з.х.

5. Цикл по всем точкам контура. 1=0.

: Ai+3Al+5 5.1. ti+A ---

ий-ЗД+5

5.2. Sin (pi+ 3 = 1i+3.x * 1¡+4.y - 11+3.y * 11+4.x.

5.3. Если (Sin (ph ] > 0 и Sin (pnl< 0 и

Sin cpn3 < 0)

или {Sin (p, , < 0 и Sin (pr 2 > 0 и

Sin (pn3 > 0), то:

5.3.1. Добавить точку перегиба Д+2 с вектором

касательной ti+2 . 5.4.1=1 + 1.

5.5. Выполнять пп. 5.1-5.4, пока I < п (п - количество точек контура).

При таком подходе сохраняется лишь часть всех точек контура и поэтому необходимо иметь возможность в нужный момент построить между двумя любыми опорными точками точный контур с заданной точностью дискретизации. Добиться этого можно, используя метод натуральной параметризации (метод аппроксимации кривой методами дифференциальной геометрии), основной идеей которого является применение формул Френе при натуральной параметризации искомой кривой.

Существует множество способов аппроксимации и интерполяции кривых, такие как методы Безье, сплайнов

и т.д. Однако эти методы нам не кажутся достаточно гибкими и удобными, поскольку все они сводятся к некоторому параметрическому представлению кривых, например, с помощью кубических сплайн-функций, т.е. кривая делится на участки, на каждом из которых она представляется в виде некоторой аналитически описываемой кривой.

Наш метод натуральной параметризации отличается тем, что не нужно вычислять и тем более хранить никаких параметров. Хранятся только узловые точки, через которые должна пройти кривая, и как минимум два угла наклона касательных (в начальной и конечной точках). Если в некоторых точках касательные неизвестны, то они рассчитываются однозначно указанным нами способом, без ограничения и привлечения аналитически описываемых объектов.

Наш метод позволяет однозначно рассчитывать с заданной точностью промежуточные значения кривой. Разные случаи кривых показаны на рис. 5.

Как говорилось ранее, контуры необходимы для определения действительных и недействительных точек поверхности. Опишем кратко этот алгоритм.

Напомним, что картой называется двумерное компактное многообразие II (возможно с краем). Элементарная карта - это замкнутая область и в I?2 (всегда с краем) [4].

Далее будем рассматривать только элементарные карты.

Пусть замкнутая кривая, ограничивающая некоторую область и с Я2,задана узловыми точками. Тогда:

если точки даны в порядке обхода по часовой стрелке, то вектор главной нормали в каждой точке кривой, построенной методом натуральной параметризации, направлен во внешнюю сторону от области и (рис. 6, а);

если же точки даны в порядке обхода против часовой стрелки, то вектор главной нормали в каждой точке кривой, построенной методом натуральной параметризации, направлен вовнутрь области и (рис. 6, б).

Пусть точка М е [?2; точка N принадлежит границе с?и некоторой области II с [?2 так, что расстояние ММ -

наименьшее; п - вектор главной нормали к кривой <зи в точке N. Пусть также кривая <?и, построенная методом натуральной параметризации и ограничивающая область и, является «гладкой». Тогда:

!А

•' ( А }

Я

\ >'{11)

О < а <:

# ^ л < О »

А

г'(А)

г'(А

/ В х г' с В)

ту < а п О < (у С -^у

§ 3 < 0 - тг <С ;1 <

Б В

Г (В)

О < а < ~ О -4 д < |

Л

о- < «

о ^ д

О о

§ < 3

Е Ж 3

Рис 5. Виды кривых в зависимости от направления касательных

/

/И к

>. [ £ )

2.

V

" ¿Л

2.

По часовой стрелке Против часовой стрелки

6

Рис. 6. Направление главной нормали

Цилиндрическая поверхность

Рис. 7. Пересекаемые поверхности

Рис. 8. Контуры: а - с 5193 добавленными точками; 6 - с 79 опорными точками

1) если вектор п направлен вовнутрь области U, то

(а) если mn = Ö , то М е öü;

(б) если MN tt п, то М е Ext U;

(в) если mn tl п , то М е Int U;

2) если вектор п направлен во внешнюю сторону

от U, то

(а) если mn = Ö, то М е ÖU;

(б) если mn tt «,тоМе Int U;

(в) если Ш tl п, то М е Ext U. Рассмотрим две поверхности - цилиндрическую и

плоскую (рис. 7). Цилиндр имеет радиус 10 мм, плоскость имеет размеры 210x100 мм. Найдем пересечение этих поверхностей с построением контура и добавлением в него всех точек (представление информации первым способом). Точность расчета выберем 0.008 мм. После пересечения поверхностей сформированный контур со всеми добавленными точками содержит около 5000 точек.

На рис. 8 изображены два контура, в первый контур добавлены все точки пересечения поверхностей, во второй - добавлены только точки перегиба.

Замерим быстродействие обоих способов. Тестирование ведется на компьютере с конфигурацией ?-\У 2x2.8 Ггц, 2 Гб ЙАМ РРР-ЗЗЗМгц. Для этого определим действительность 100 000 точек. Проверка первым способом дает результат в 2 мин. 03 сек., второй же результат получился за 10 сек.

Как видно из натурных испытаний, скорость первого метода очень низкая, поэтому этот метод нецелесообразно применять в реальной системе.

Библиографический список

1. Гаер М.А. Разработка и исследование геометрических моделей пространственных допусков сборок с использованием кватернионов: Дисс. ... канд. техн. наук. - Иркутск, 2005.

2. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Геометрическое моделирование деталей и сборок с пространственными допусками в САПР нового поколения // Вестник ИрГТУ. - 2006. - № 4, - С. 17-23.

3. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. -2005. - № 1. - С. 116-125.

4. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков // Вестник ИрГТУ. - 2002. - № 12. - С. 82-92.