CC BY
16
вания путем совместного использования ПК, программ типа Design Expert 6.0,10 и моделей шероховатости.
Модели микрорельефа поверхности получены по результатам ПФЭ и ДА в два этапа. Первоначальная регрессионная процедура использовала метод НК-оценок. Затем эти модели были проанализированы по критерию Бокса-Кокса на целесообразность трансформирования методом МП-оценок. Оказалось, что все
исходные модели, за исключением l50{l]),q-1,2,
требуют преобразований. Оно было выполнено с помощью программы на основе степенных и логарифмических функций,
Предложенная методика дополнительной проверки эффективности трансформирования моделей НК-оценок позволила сократить их количество с 18 до 10. Признано целесообразным проводить эту процедуру только в том случае, если ее эффективность оценивается величиной не менее 5%.
Сопоставление прогнозируемых параметров микронеровностей с результатами эксперимента свидетельствует о том, что метод МП-оценок точнее отражает
соотношение между у и X по сравнению с НК-
оценками, Современные компьютерные технологии позволяют рекомендовать его для более широкого использования в машиностроении.
Библиографический список
1, Кендалл М., Стюарт А, Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М,: Наука, 1976. - 736 с.
2, Шеффе Г, Дисперсионный анализ, - М,: Наука, 1980, - 512 с.
3, Закс Ш, Теория статистических выводов, - М,: Мир, 1975. - 776 с,
4, Солер Я,И., Казимиров Д.Ю. Поиск стохастических моделей при нелинейной параметризации для прогнозирования микрорельефа поверхности при плоском шлифовании закаленных сталей// Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине экономике: Мат. V МНПК, В 3-х ч. - Новочеркасск; ЮРГТУ, 2005, - 4.2. - С.16-29,
5, Суслов А.Г, Технологическое обеспечение параметров состояния поверхностного слоя деталей. - М.: Машиностроение, 1987. - 208 с,
Д.А.Журавлёв, A.C.Калашников, М.А.Гаер
Геометрическое моделирование деталей и сборок с пространственными допусками в САПР нового поколения
Существует множество способов задания поверхностей: аналитический (с помощью явных функций, неявных функций, параметрически), приближенные методы (с помощью В-сплайнов, метод Безье и т.д.). Однако все эти методы хотя и применяются в системах автоматизированного проектирования, но не являются достаточно гибкими и удобными, поскольку ни один из них не может позволить в полной мере производить анализ собираемости при автоматизированном проектировании сборок с учетом допусков. В настоящей работе предлагается новый, более универсальный способ задания поверхности, а также расчета координат любой её точки. Он относится к приближенным методам и основан на дифференциально-геометрическом подходе.
Согласно основной теореме теории поверхностей (теорема Бонне) [1], всякая поверхность определяется однозначно заданием пары квадратичных форм в области II на плоскости (связанных структурными уравнениями) при условии задания начальных условий для решения системы уравнений в частных производных (деривационных формул).
Эти начальные условия определяют точку М трехмерного пространства и ортонормированный репер \е\, в2, ез}, в
которые переходят отмеченная точка и0 области V' на чертеже и отмеченный двумерный репер в этой точке [б].
Такое задание поверхности в нашем случае очень удобно, т.к. варьируя коэффициентами квадратичных форм, можно получать реальное положение поверхности детали при каждом значении заданных на нее допусков (см. дифференциально-геометрическую классификацию допусков в [б]).
Кроме того, этот подход оказывается единственно-возможным при реализации алгоритмов сборки с учётом пространственных отклонений положения поверхности, таких как отклонение от параллельности и перпендикулярности плоскостей, соосности и перпендикулярности осей и т.д. [4]. Так, для получения нового положения поверхности при некотором значении допуска достаточно отклонить её отмеченный репер, который является начальным условием при решении системы дифференциальных уравнений, упомянутых выше.
Универсальность этого метода заключается в том, что независимо от типа поверхности, её вида, отклонения от номинальных размеров и форм алгоритмы расчёта её положения, пересечения с другими поверхностями и т.д, остаются неизменными. По сути, мы предлагаем новый подход к геометрическому моделированию изделий в системах автоматизированного проектирования, основным преимуществом которого является возможность моделировать трёхмерные отклонения поверхностей и проводить анализ сборок с учетом допусков, 1. Квадратичные формы поверхности
Пусть некоторая поверхность 51 задана регулярной векторнозначной функцией г - г (и, V), при этом её част-
дг дг
ные производные
д и
ги и -— = неколлинеарны.
ду
1.1. Первая квадратичная форма. Как известно, дифференциал функции г находится по следующей формуле:
с1г = гис1.и + гу(Ь.
А квадрат этого дифференциала
1 = (Яг2 = гьЫи7 + 2 • (ги, \dudv + г]1 dv2 называется первой квадратичной формой поверхности [1]
Отметим, что функции Е = Г - и С = ,) называются коэффициентами первой квадратич-
ной формы, которую в общем виде можно записать так:
I = Еди2 + 2- ¥dudv + Gdv2. Свойства первой квадратичной формы:
1° I = 0 <=> dr = 0, то есть гу du + г^V = О .
2° I - есть инвариант поверхности. Первая квадратичная форма не меняется при переходе к другой системе
координат, то есть не зависит от выбора параметризации на поверхности Я. Часто для краткости первую квадратичную форму описывают следующим образом:
ГЕ Е^
I
Е С
1,2. Вторая квадратичная форма поверхности. Напомним, что единичный вектор нормали определяется по форму-
ле
п =
\ги>гу]\'
Второй квадратичной формой поверхности ~ называется
11-{гии,п^ы2 +2 ■(г1П„п)4ис1у + (гУ}„п}(Ь>2
или
II = Ыы2 + 2 • ЬЫг^ + Шv2, где функции Ь - (гш, п ), М — (гт, п) и N — (г^, п ) называются коэффициентами второй квадратичной формы и вычисляются по следующим формулам [1]:
Ги =
_ \Гуы ' Ги ? К ] , iv! — \т _ 1/уу ? Уц ■> К ]
• IV! — у НУ V - У л . ту _
Отметим, что вторую квадратичную форму описывают также следующим образом:
II
М N
)
1.3. Деривационные формулы поверхности. Пусть поверхность задана векторнозначной функцией г = г(и,у). Тогда тройка векторов образует базис 8 пространстве И'. Значит, любой вектор трёхмерного простран-
В зарубежной литературе I часто называется первой фундаментальной формой. В зарубежной литературе II часто называется второй фундаментальной формой,
ства К"' можно представить в виде линейной комбинации этих трёх векторов. Таким образом, справедливы равенства:
гии = + Гйг, + Ьп ,
К, =т1гги + Г2гу+Мг, (1)
^ =Г22П, + Г22гу + Ж,
где функции Гд вычисляются по нижеприведённым формулам и называются коэффициентами (или символами) Кристоффеля:
г
ge.-2ff.-ife..
Аес-
г2 =
111
г.
Г1 - СЕи~РСи . Г2 _
1 12 ~ /' ч' 1 12
2[ео~р2)
2 {еС-Р2
22
; Г.
2(ес-е2) ес. -2ее+е6\.
(2)
2 (еС-Е2) 22 2(ЕС-Е2)
Согласно свойству векторнозначной функции, имеющей единичную длину []], её производная в данной точке является вектором, ортогональным ей. Тогда п Л пи и п _1_ пу и, следовательно, будут справедливы следующие равенства:
= 4 (и, у) ■ги+В](и, у) ■ г\; (3)
где Д , у42 , Вх, В2 - вычисляются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм по формулам:
мр - 10 / \ ее - ме
А1(и,у) = —--; В](и,у) =
А2(и,у)
ес? - е2
- М? + №•" 2
(4)
/ \ м.
; В2{и,у) = -
ес - е ме - л'е
ес-е ес - е"
Таким образом, объединив уравнения (1) и (3), имеем следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:
4 =Гпг;(+Г11гу + £^:
^ =Г12ги+Г12гу+М2:
,2г
1Г V
12 Г 124
"2 -
(5)
"и
п¥=А2ги+В2гу.
Далее перейдём от системы уравнений (5) к эквивалентной ей, сделав замену функций ги - /{и,у),
к, = /(".V)
гу = |'(и,у)
Л = Г,*|Т(и,У) + 1п(и,у);
Л = Г,'2/(м,у)+ Мп (и, V);
= Г£,/(И,у) + Г222 ^(М,У)+
Л = А2/(и,у)+ Вг£(и,у). где /(и,у), £г(и,у), «(и, у), г{и,у) - неизвестные векторнозначные функции, их геометрический смысл заключается в следующем: г (и, у) - функция, которая описывает искомую поверхность; й(и,у) - функция нормали к
искомой поверхности; /{и, у) и - функции векторов, лежащих в касательной плоскости к искомой поверх-
ности.
Система (б) будет иметь единственное решение при задании начальных условий:
п(и0^0) = ё3.
2. Отмеченный репер как локальная система координат
Подвижные реперы, т.е. системы координат, ассоциируемые с элементом геометрического образа, широко применяются в дифференциальной геометрии. В простейших случаях реперы находят непосредственно из геометрических соображений, используя, прежде всего, теорию соприкосновений, Если наряду с геометрическим образом Т7 заданы одна радиус-вектор функция г и три вектор-функции т], т2, т3, удовлетворяющие условию
(т1, т2, щ) * 0,
причём эти вектор-функции являются функциями тех же параметров, что и функции, определяющие образ Р, то определяемая точкой г (начало) и векторным базисом {тх, т2, т3} аффинная система координат называется подвижным репером образа Р [б]. Решение системы дифференциальных уравнений (б) с начальными условиями
(7), которые представим в виде четвёрки вектор функций в данном случае и есть подвижный репер
искомой поверхности.
Пусть каждая поверхность имеет свою некоторую локальную систему координат Е = {ё0,ёх >ё2 »^з}> К0Т0РУЮ будем называть отмеченным репером данной поверхности, Здесь ё0 - радиус-вектор начала координат, [ёх,ё2,ё3} - ортонормированный базис.
Для различных поверхностей могут быть определены различные правила построения отмеченных реперов. При этом отмеченная точка необязательно принадлежит рассматриваемой поверхности. Представим в таблице такие правила для плоскости и цилиндра [4].
Далее будем считать, что каждая поверхность рассматривается в своей локальной системе координат Е. Тогда для движения поверхности в трехмерном пространстве (поворота, параллельного переноса) достаточно все преобразования проводить лишь с её отмеченным репером Е .
Тип поверхности Отмеченный репер Е = {е0, е\, е2, е3} Начальный репер Е° = |<20°, ех, е2 , е3 |
Плоскость [ахЬ -нормируемый участок) ё0 - координаты центра прямоугольника ахЬ, ограничивающего плоскость в трёхмерном пространстве; ё} и ё7 - два трёхмерных единичных взаимноортого- нальных вектора, направленных по сторонам этого прямоугольника; ё3 - нормаль к плоскости. =ё0-~(аёх+Ьё2); —о _ — . —0 _ — . —10 _ — ех — ех; е2 — е2, е3 — е3; геометрически это означает, что начальный репер находится в углу нормируемого участка а х Ъ.
Цилиндрическая поверхность радиуса Я и высотой к ё0 - координаты середины оси цилиндра; ёх и ё2 - два трёхмерных взаимноортогональных вектора, при этом ёх - вектор касательной в нулевой точке; вектор ё, направлен вдоль оси цилиндра; гъ — [ёх, ё2 ] - вектор нормали к цилиндру в нулевой точке. -о - V- —0 _ Г)— . — о _ — —о _ — . геометрически это означает, что начальный репер находится на «нижнем» основании цилиндра.
Отметим, что начальные условия (7) - это репер искомой поверхности в некоторой начальной точке. Он также для различных типов поверхностей определяется по-разному (см, таблицу),
3. Карты
Напомним, что картой называется двумерное компактное многообразие II (возможно с краем). Элементарная
карта - это замкнутая область I/ в К2 (всегда с краем) [5], Другими словами, карта поверхности - это область изменения параметров рассматриваемой поверхности.
Так, для плоскости, ограниченной прямоугольником ахЬ, картой будет являться также прямоугольный кусок плоскости: ме[0;д], у<е[0;6]. Для круглого цилиндра радиуса Я и высотой к картой является прямоугольник:
и € [0;2ж], у е [0;/?].
Как правило, детали имеют не одну поверхность. В этом случае каждая поверхность детали имеет свою карту, а набор всех карт детали будем называть атласом.
Пусть (и,у) е и - некоторая точка карты данной поверхности, тогда ей соответствует точка М поверхности с радиус-вектором 7{и, у). В этом случае точка карты (и, у) называется прообразом точки М поверхности, а точка М - образом точки (и, у) карты рассматриваемой поверхности.
При задании начальных условий (7), то есть начального репера Е°, задается и начальная точка (и0, у0 ) карты искомой поверхности, которая является прообразом точки этой поверхности, описанной радиус-вектором ё0° =Г(«0,У0).
4. Алгоритм расчета точек поверхности Итак, пусть дано:
1) коэффициенты квадратичных форм - Е(и, у),¥(и, у),С(и,у),1и(и, у),М(и, у),1Ч(и, у) ;
~ г—о —о —о —о]
2) начальный репер - | е0, е1 , е2, е3 [;
3) карта, т.е. правило изменения параметров и и V с начальными значениями и0 и у0
4) шаги расчета ки, \ по параметрам и и V соответственно,
При численном решении системы дифференциальных уравнений в частных производных (6) первого порядка используем разностную схему, основанную на следующих формулах [3]:
д/(м,у) /О + К,у) - /(и, у) , д/{и, у) ^ /(и,у + \)-/(и,у) ди Ьи ' ду /?,,
То есть, система уравнений (6) при фиксированных значениях и и у становится системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений искомых функций:
г (и + ки, у) = ки/(и,у) + 7(и,у); г (и,У + = /*у£(м, у) + г (и, у);
7(и + киУу) = \ (а|,/(«,у) + д2,у) + Щи,у)) + /(и,у);
/ (и,у + ку) = к( А|\2У(и, у) + А?2£(и, у) + Мп (и, у)) + У (и, у);
£(и,у + /*у) = к, (а^2/(м,у) + а\Жи,у) + №(иУ)) + £0, у);
Ш + \, v) = 7(м, v + ) - У (и, у) + £0, у); п(и + Ии, у) = \ (АхУ\и, у) + я, £(м, у)) 4- й(м, у);
п(и,у 4- Нч) = Иу{Л2У{и, у) + В2Ц(и, у)) + и (к, у).
Таким образом, алгоритм расчета точек искомой поверхности сводится к следующему:
1. Присваиваем начальные значения по формулам
г(и0,у0) = ё0°: 7(и0,у0) = ё1°-л/е(и0,у0); £(и0,у0) = ё,0-у]О(щ,у0); й(м0,у0)-ё3°.
2. Для и от до итах, у от у0 до утах с шагом \ и /гу соответственно по предыдущим значениям неизвестных функций вычисляем их следующие значения по формулам (8).
Т.е., зная значения неизвестных функций в фиксированной точке {и,у) карты С/, можно вычислить их значения
в точках (и + ки,у) и (и,у + ку). Это позволяет получить все точки поверхности с заданной «точностью» Ии и \ .
«Непрерывность расчёта». При решении конкретных задач в каждый момент времени, как правило, необходимо знать точки не всей поверхности, а лишь некоторого ее участка. А также на различных участках поверхности в зависимости от поставленных целей может потребоваться различная точность расчета, Кроме того, заметим, что при расчете каждой точки г(и1У\)) искомой поверхности, двигаясь по карте вправо, необходимо знать лишь две предыдущие точки - г(и1 1;"У;+1) и г (глм, V,), а двигаясь по карте вверх необходимо знать вообще только одну точку Тогда, согласно сделанным замечаниям, рассматриваемый алгоритм сводится к следующей последовательности действий:
1) выбирается участок нужного в данный момент размера на карте искомой поверхности (участок области V), т.е. задаются его граничные точки (^00И;оо) и (мл>уЛ) (рисунок);
2) вводится параметр Р (назовем его коэффициентом уточнения), с помощью которого варьируется точность расчета;
3) вычисляются координаты точки г(гл00,\'00) и вектора нормали Я(к00,у00). При этом движение по карте происходит от точки (и0,У0) сначала вправо до точки (и00,у0), затем вверх до точки (и00,у00) (рис. 1);
4) далее действуем по алгоритму расчета точек поверхности, считая при этом начальными условиями значения неизвестных функций в точке (ы00, у00 ), а конечными условиями - их значения в точке (ип, ).
(итах,утах)
(иО,уО)
(иОО.уО)
Данный алгоритм позволяет приблизиться с любой заданной точностью к любой точке поверхности, не затрачивая при этом огромных ресурсов оперативной памяти компьютера и его процессора, Также, в этом случае можно говорить в некотором смысле о непрерывности функций, получаемых в результате численного решения системы уравнений (8), поскольку мы можем переходить от большего участка карты к следующему более мелкому, уменьшая его до сколь угодно малого размера, при этом на каждом последующем участке можно задавать все более и более высокую точность.
Библиографический список
1, Александров АД, Нецветаев Н.Ю, Геометрия: Учеб, пособие, - М.: Наука, 1990, - 672 с,
2, Бранец В, Н„ Шмыглевский И, П, Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела, - М.: Наука, 1973, - 320 с, .
3, Годунов С,К,, Рябенький В.С, Разностные схемы (введение в теорию); Учеб, пособие, - М,: Наука, 1997.
4, Журавлёв ДА, Гаер М,А. Пространственная геометрическая характеристика допусков II Вестник ИрГТУ. - 2005, - № 1, С,
5, Журавлёв Д.А.. Грушко П,Я„ Яценко О,В, О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков II Вестник ИрГТУ, - 2002, - №12. - С. 82-92,
6, Щербаков Р.Н, Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. - Томск, 1973,
