CC BY
46
УДК 330.42
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
© 2016
Тарасова Валентина Васильевна, магистрант Высшей школы бизнеса Тарасов Василий Евгеньевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института ядерной физики имени Д. В. Скобельцына Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва (Россия)
Аннотация. Стандартные предельные величины экономических показателей, используемых в экономическом анализе, определяются через производные целого (первого) порядка функции показателя по определяющему его фактору. Использование производных целого порядка фактически означает, что стандартные маржинальные величины являются лишь локальными характеристиками экономических процессов. Это обусловлено тем, что производные целых порядков определяются свойствами функции показателя лишь в бесконечно малой окрестности исследуемого значения фактора. В статье предлагается обобщение понятия предельной (маржинальной) величины экономического показателя, позволяющее учитывать изменение этого показателя на конечном интервале изменений определяющего фактора. Предлагается подход, позволяющий учесть все значения показателя во всех точка этого интервала, а не только в бесконечно малой окрестности рассматриваемой величины фактора. Для определения нового типа маржинальных величин используется математический аппарат производных и интегралов произвольных (целых и нецелых) порядков. Обсуждаются свойства предельных величин нецелого порядка. Доказывается, что экономический анализ, основанный на маржинальных величинах нецелого порядка, может давать более точные результаты по сравнению подходом, базирующемся на стандартных маржинальные величинах. Показано, что применение маржинальных величин нецелого порядка может давать точное описание прироста экономических показателей, описываемых функциями степенного типа. Приводятся формулы, позволяющие вычислять суммарные величины по предельным величинам нецелого порядка.
Ключевые слова: экономический анализ, экономический показатель, маржинальная величина, предельная величина, суммарная величина, производная нецелого порядка, интеграл нецелого порядка.
MARGINAL VALUES OF NON-INTEGER ORDER IN ECONOMIC ANALYSIS
© 2016
Tarasova Valentina Vasil'evna, master student of Higher School of Business Tarasov Vasily Evgen'evich, doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher of Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia)
Abstract. The standard marginal values of economic indicators, which are used in the economic analysis, are defined in terms of derivatives of integer (first) order of the indicator functions with respect to determining factor. The use of derivatives of integer order effectively means that the standard margin values are only local characteristics of economic processes. This is due to the fact that these derivatives of integer orders are determined by the properties indicator function only in an infinitesimal neighborhood of the investigated factor value. In this paper a generalization of the margin values of economic indicators is suggested to take into account the changes of this indicator on a finite interval of the determining factor. The proposed approach allows us to take into account all values of the indicator at all points of the interval, and not only in an infinitesimal neighborhood of the factor value. To define a new type of margin values, we use mathematical tools of derivatives and integrals of arbitrary (integer and non-integer) orders. The properties of the marginal values of non-integer order are discussed. We prove that an economic analysis, which is based on the marginal values of non-integer order, can give more accurate results than an approach that is based on standard margin values. It is shown that the use of marginal values of non-integer orders can give an exact description of the growth of economic indicators that are described by the functions of power type. The formulas that allow us to calculate the total value by the marginal values for non-integer order are suggested.
Keywords: economic analysis, economic indicator, the marginal value, the total value, derivative of non-integer order, integral of non-integer order.
Постановка проблемы в общем виде и ее связь с важными научными и практическими задачами. Одной из важнейших задач экономического анализа является исследование и описание экономических процессов, используя суммарные и предельные (маржинальные) величины для экономических показателей. В качестве базовых предельных величин в экономическом анализе рассматриваются предельная полезность, предельная выручка, предельные затраты, предельная себестоимость, предельная производительность, предельный доход, предельный спрос и другие. Предельные величины показывают изменение (прирост) соответствующего экономического показателя в расчете на единицу прироста фактора, от которого зависит рассматриваемый показатель. Предельная величина показателя обычно определяется как производная первого порядка соответствующей функции по фактору, от которого зависит показатель. Под суммарной величиной часто понимать однозначную функцию Y=Y(x), описывающую зависимость экономического показателя Y от некоторого фактора X. В экономическом анализе к основным суммарным величинам относят, например, полезность как функцию количества потребляемого блага; доход, выручку, издержки как функции объема выпуска продукции; сам объем выпуска продукции как функцию от количества труда и капитала. Суммарная величина может быть вы-
числена как интеграл первого порядка от маржинальной величины. Применение в экономическом анализе понятия предельной величины позволило использовать аппарат математического анализа, включающий дифференциальное и интегральное исчисления целого порядка. Стандартные маржинальные величины, определяемые как производные первого порядка по определяющему их фактору, характеризуют экономическую ситуацию только локально, поскольку эти производные определяются свойствами функции лишь в бесконечно малой окрестности исследуемого значения фактора. Для описания экономических процессов, в которых текущее состояние процесса зависит не только от бесконечно малой окрестности этого состояния, необходимо обобщение понятий и методов экономического анализа. В частности, важно сформулировать обобщение понятия предельной (маржинальной) величины экономического показателя, позволяющее учитывать изменение этого показателя на конечном интервале значение определяющего фактора. Необходимо разработать методы, позволяющие учесть все значения показателя во всех точка некоторого заданного интервала, а не только в бесконечно малой окрестности рассматриваемой величины фактора. Такое обобщение методов экономического анализа возможно лишь при условии создания и использования адекватного математического аппарата, позволяющего описывать
нелокальности в пространстве факторов (и параметров), характеризующих экономический процесс.
Анализ последних исследований и публикаций, в которых рассматривались аспекты этой проблемы и на которых обосновывается автор; выделение неразрешенных раньше частей общей проблемы. Приведем определение стандартной предельной величины. Пусть задана функция ) ¥(Х). которая является однозначной и дифференцируемой в окрестности значения Хд . Тогда предельная (маржинальная) величина экономического показателя ¥ определяется как производная первого порядка от функции ¥=¥(Х) по фактору А'в точке
Данная предельная величина определяется произво-У^(Х):= с1У(Х)/с1Х, т0 есть
дной первого порядка у(Ч
свойствами функции ¥(Х) в окрестности точки Х0 в пространстве факторов. При этом саму функцию ¥=¥(Х) часто называют суммарной величиной показателя. Предельная величина (1) характеризует изменение показателя Y, вызванное приростом фактора X на единицу, при условии, что все остальные факторы неизменны.
Кратко опишем, как стандартная предельная величина (1) позволяет вычислять изменения экономического показателя Y при изменениях фактора X. Математической основой такого описания является формула Тейлора. Для функции Y=Y(X) формула Тейлора может быть записана в виде
= У(х0 > + > ■ ах - яг (хУ (2)
где - значение производной первого по-
рядка функции ¥(Х) по А' в точке Ар; /1А' - абсолютное приращение соответствующего фактора (АХ X — Ар).
X) - остаточный член. В форме Пеано (асимптотической форме) остаточный член имеет вид К2(Х) ■ = о01 Х~) , то есть он является бесконечно малой величиной (бесконечно малой функцией) в окрестности точки Х0.
В результате, пренебрегая бесконечно малой величиной ДД/О. полное приращение АУ \= 17(АГ]_) — К (Ар] , описывающее абсолютное изменение показателя при изменении фактора с Х0 на . записывается через приращение фактора IX в виде
АУх = У!р(Х0) - АХ = МУ^ ■ АХ (3
где Х0 - базисное значение фактора А', от которого зависит показатель Г; Х1 - фактическое значение этого фактора, АХ: = — Х0 - абсолютные изменения (отклонения) фактора А'. При этом остаточный член Я2(Х) , которым пренебрегают, интерпретируется как ошибка метода 5:= АУ - А Ух.
В стандартном определении (1) предельной величины используется производная целого (первого) порядка. В современной математике, помимо производных целых порядков, хорошо известны производные нецелых (дробных, произвольных) порядков [1-5]. Производные и интегралы нецелых порядков активно применяются в естественных науках [5, 6, 7] для описания различных процессов, характеризующихся нелокальностью и памятью. В настоящее время производные и интегралы нецелого порядка стали использоваться для описания финансовых процессов [8-12], динамики рынка [13, 14, 15], и различных экономических процессов [16-23].
В математике известны различные типы производных нецелого порядка, предложенные Риманом, Лиувиллем, Сониным, Летниковым, Маршо, Риссом, Вейлем, Адамаром, Капуто [1, 2, 3]. Для обобщения понятия предельной величины экономического показателя наиболее удобными являются производные Капуто [3, с. 90-99]. Отличительной особенностью этой производной
является то, что ее действие на постоянную функцию дает ноль. Это позволяет постоянной функции экономического показателя сопоставить нулевую предельную величину. Приведем определение производной Капуто [3, с. 92].
Определение. Пусть функция Д(х) имеет целые производные вплоть до (п-1) порядка, которые являются абсолютно непрерывными функциями на интервале [а,Ь]. Тогда производная Капуто порядка а > 0 функции /(х) определяется формулой
(0а = Г' <4>
где Р(сс) - гамма функция, а<х<Ь, а /-^(/с) - производная целого порядка п=[а]+1 функции Дх) по переменной х.
Отметим, что для целых положительных значений порядка а=п производная Капуто совпадает [3, с. 92] со стандартной производной целого порядка п. то есть
Из формулы (5) видно, что стандартные производные являются частными случаями производной Капуто порядка а > 0.
В недавних работах [18-23] производные Капуто были применены для описания ценовой эластичности спроса с памятью [18, 19], для описания эластичности экономических процессов [18, 19], экономического поведения потребителей [20, 21], для вычисления предельной полезности в экономических процессах с памятью [22]. В работе [23] производные Капуто нецелого порядка были использованы для анализа эластичности объемов биржевых торгов по доллару США от его средневзвешенного курса на торгах ЕТС.
Формирование целей статьи (постановка задания). Целью данной статьи является разработка новых инструментов, которые позволят расширить возможности экономического анализа. Создание аналитического аппарата, который предоставит возможности учитывать свойства экономических процессов, обусловленные нелокальностью в пространстве параметров. Для этого используется дифференциальное и интегральное исчисление нецелого порядка. Формулировка понятия предельной (маржинальной) величины нецелого порядка, позволяющего учитывать не только бесконечно малую окрестность значения определяющего фактора, но конечный интервал изменений данного фактора. Получение формул, позволяющих находить суммарные величины по маржинальным величинам нецелого порядка.
Изложение основного материала исследования с полным обоснованием полученных научных результатов.
1. Понятие предельной величины нецелого порядка. Поскольку описание изменения (3) экономического показателя Y при изменениях фактора X базируется на понятии предельной величины (1) и на формуле Тейлора (2), то для обобщения маржинальной величины за счет использования производных дробного (нецелого) порядка, нам понадобится обобщение формулы Тейлора для производной Капуто. Рассмотрим сначала обобщение ряда Тейлора, которое было предложено в статье [24].
Известно [24, с. 289], что функциюД(х) для х>а можно разложить в ряд Тейлора порядка 0<а<1 с производными Капуто
Здесь о)
представить в виде
- остаточный член, который можно
где а<Р+<х. Для Л-2 формула (6) имеет вид /00 = /Ь0 + ^^ ■ Сг - оу + ДаяСк, А ^
/ы - - ■
гСа + и
■лдх + я^СеУ
у От) = Г со + ■
гСв+О
чаем, что формула (12) принимает стандартный вид (1),
Если х<а, то функцию /(х) нельзя разложить в ряд Тейлора (6) с производными Капуто (4) нецелого порядка а. Кроме этого, существенным недостатком формул (6) и (7) является совпадением начальных и конечных значений переменной в выражениях производной Капуто. Это приводит к ограничениям на применимость формул (6) и (7) в экономическом анализе, сужая интервал, характеризуемый маржинальной величиной показателя к окрестности точки х=а. Для того, чтобы рассматривать конечный интервал в предельных величинах нецелого порядка, мы предлагаем обобщение формулы Тейлора (7) на случай, когда производная Капуто вычисляется для произвольной точки ха > а. Рассмотрение ряда Тейлора (7) для функции и для самих производных Капуто в точке I = х0. позволяет получить требуемую формулу
Ш№»> , „ / л (8)
Другими словами, предельная (маржинальная) величина первого порядка (а=1) является стандартной предельной величиной.
Для а=0, используя свойство = /Ы и
Г(1) = 1, получаем, что предельная величина нулевого порядка равна суммарной величине, то есть
(14)
Для 0<а<1, предельная величина
(а): = (~)/Г(се - 1) вьфажается форму -
лой
где > а. а" > а. Я2й. (.г) = о(¿1 и*) - остаточный член в асимптотической форме, и используем обозначение
&ах\= (х-аУ-(х^-аУ. (9)
Для простоты рассмотрим только случай с начальной точкой а=0. Это условие не дает сильных ограничений, поскольку многие факторы могут описываться положительными вещественными числами. В этом случае формула (9) записывается в виде
Ю+г)^ ч „ . „ м (Ю)
где Хп > 0, X > 0. и Л^ОГ) = о[ЛиЮ. Отметим, что АаХ := Xе — Х£ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для а=1, формула Тейлора (10) дает стандартную формулу (2).
В результате, пренебрегая бесконечно малой величиной К2аСО, приращение ЛУ ■= К(ЛГ]_) — К(ЛГ0) показателя У записывается через приращение фактора Л'в виде
лд гСс+1.1
где Х0 - базисное значение фактора X, оказывающего влияние на показатель Г; X, - фактическое значение этого фактора; АаХ = — Х£ - обобщенное (степенное) изменение (отклонения) фактора Л'. В результате мы приходим к следующему определению предельной величины произвольного (целого и нецелого) порядка.
Определение. Пусть функция У=У(Х), описывающая однозначную зависимость показателя У от фактора X, имеет целые производные вплоть до (п-1) порядка, которые являются абсолютно непрерывными функциями на интервале [0, X, /. Тогда предельная (маржинальная) величина порядка 0 < а < 1 для показателя У и факторах из интервала [0, Х-_] определятся формулой
«V г 1 ■ДУ*'-** (12)
г <&+ и
где Г(а) - гамма функция и 0 < X < Хь.
В формуле (12) можно воспользоваться аналитическим продолжением по параметру а с единичного интервала [0,1] на положительную вещественную полуось. В результате предельную величину МУх(я) можно рассматриваться для любых неотрицательных порядков а>0.
Рассмотрим частные случаи маржинальной величины (12) порядка а.
Для а=1, используя формулу (5) и Г(2) = 1, полу-
Подставляя (15) в (11), получаем искомую формулу АУ^ = ■ АаХ. " " 716)
где ЛаХ = Х^ - - обобщенное (степенное) изменение (отклонение) факторах Для а=1 формула (16) сводится к формуле (3). В результате предельные величины (12) порядка а позволяют описывать приращение экономического показателя А¥ := Кй^) — КО^ 1 через изменение фактора А'.
Известно, что производная Капуто порядка а>0 постоянной функции равна нулю. Поэтому для постоянной функции показателя (У(Х)=сот1), мы получим нулевую предельную величину (МУХ Си) = 0) для любых порядков а>0, и, как следствие, нулевое приращение показателя ¿У — 0.
2. Предельные величины для степенной функции. Степенные законы и функции степенного типа играют важную роль в экономической теории и финансах [27, 28]. При этом формулы вида (3) со стандартными предельными величинами без остаточного члена не могут дать точных результатов для степенных функций с нецелыми показателями. Как мы докажем ниже, формулы вида (16) с предельными величинами нецелого порядка (даже без остаточного члена) могут дать точные значения. Для доказательства этого утверждения нам понадобятся формулы производных Капуто для степенной функции [3, с. 95], имеющие вид
частности, имеем ^ _ ^^ _ ^ _ ^
Рассмотрим пример вычисления предельной величины порядка а для экономического показателя У. описываемого степенной функцией У(Х~) '= А -Х& + В , где А и 3 - некоторые постоянные, а (3 - показатель степени. Используя уравнения (17) и (18) для функции У(Х) := А — В, мы получаем
В результате предельная величина порядка а, вычисленная по формуле (12), имеет вид
л-гЕр+1; „в-н (20)
МУ,
Кр-а+О-гйи-О р
а изменение показателя Y, вычисленное по формуле (16), имеет вид
АУ
X,а
ГСр-о+О-гСс+О 0 s '
(21)
где А^Х = Х^
Если порядок производной Капуто брать равным показателю степени функции (а=(3), то формула (19) дает выражение (В£У)00 ■= А ■ Г(а - 1). В этом случае
fa=P), формула (20) дает MY:iic() = А, а формулу (21)
можно записать в видеАУХ/а = А • АаХ. В результате по-
лучаем утверждение, что предельная величина порядка равного показателю степени функции является постоянной величиной.
Абсолютный прирост АУ = У{X¿) — К(Ао) показателя Г, задаваемого функцией у(л') \= А-Равен
AY = AXf - Aïf.
(22)
Sa = АХ( - АХ$ ~
rip-c+ù-r Ctf+iJ
(24)
жинальные величинах. В результате можно сделать вывод, что применение маржинальных величин нецелого порядка может давать более адекватное описание, чем стандартные предельные величины, для широкого класса функций экономических показателей, включающего степенные функции.
3. От предельной величины нецелого порядка к суммарной величине. Для нахождения суммарной величины по маржинальной величине используется математически аппарат интегрального исчисления целого порядка. Математической основой метода вычисления суммарной величины является фундаментальная (основная) теорема математического анализа и стандартная формула Ньютона-Лейбница
(29)
Приведем пример стандартных формул, описывающих связь между суммарной величиной и предельной величиной показателя. Для функции одной переменной Y=Y(X) формула Ньютона-Лейбниц, позволяющая вычислять влияние фактора X на показатель, имеет вид
Сравним изменение показателя Y, задаваемое формулой (21) и абсолютный прирост показателя (22). Разность этих величин определяет ошибку метода, базирующегося на показателях нецелого порядка (12). В общем случае, ошибка метода, обусловленная отбрасыванием остаточного члена, определяется выражением Бс-. = АУ - АУХЛ. (23)
Для степенной функции У (А") := А -I* , подставляя (27) и (29) в (30) получаем
Для нахождения суммарной величины по стандартной предельной величине, используется формула
АУ = мухах. (31>
Рассмотрим применение интегралов нецелого порядка в экономическом анализе для нахождения суммарной величины по маржинальной величине нецелого порядка. В статье [25] было доказано, что обратной операцией для производной Капуто порядка а является интегрирование Римана-Лиувилля этого же порядка. Дадим определения интегрирования Римана-Лиувилля [1, с.41-42].
Определение. Пусть функция /(х) измерима на интервале (а,Ъ) и выполняется условие Jl'\fQfi\tЦ < оо-
Для случая а=(3 формула (30) принимает вид
лСк? = о.
-
■а4
(25)
В результате получаем утверждение о том, что для степенных функций предельная величина задает приращение показателя с абсолютной точностью (с нулевой ошибкой, 5=0).
Сравним теперь полученные результаты со стандартным методом, базирующемся на формулах (1) и (3). Если порядок производной Капуто взять равным единице (а=1), то формула (12) будет определять стандартную предельную величину (1). Поэтому формула (20) с а=1 задает стандартную ггосдсльную величину для степенной функции ИХ) := А ■ — В в виде
Формула (21) с а=1 задает стандартное изменение показателя У, вычисленное по формуле (3), имеющее вид
(27;
Ошибка и — 5^ — АУ — А Ух стандартного метода, базирующегося на предельных величинах (1), равна
5 = АХ( - АХ? - АрХ?~'~(Хь - (28)
Видно, что эта ошибка (28) отлична от нуля ((5 = 0).
Таким образом, мы доказали, что экономический анализ, основанный на маржинальных величинах нецелого порядка, может давать более точные результаты по сравнению подходом, основанном на стандартных мар-
Тогда интеграл Римана-Лиувилля порядка а>0 по переменной х определяется формулой
где Г(сг) - гамма функция, а<х<Ь.
Интеграл Римана-Лиувилля (32) являются обобщением стандартного и-кратного интегрирования. Отметим, что интеграл Римана-Лиувилля (32) для порядка а=1 дает стянпяптньтй ^тнтетпял первого порядка
C'i-ЯЬ) ■= 4 fWdf (33)
Таким образов интегрирование первого порядка, которое используется в формуле суммарной величины (34), является частным случаем интеграла произвольного порядка а>0.
Поскольку формула (31) базируется на формуле Ньютона-Лейбница и фундаментальной теореме математического анализа, то для обобщения этой формулы необходимо иметь обобщение фундаментальной теоремы и формулы Ньютона-Лейбница на случай интегралов и производных нецелых порядков. Фундаментальная теорема дифференциального и интегрального исчислений нецелого порядка была сформулирована в статье [25], и монографиях [6, с. 263-267] и [7, с. 247-248]. Некоторые дополнительные аспекты этой теоремы обсуждаются в статье [26]. Для нецелого порядка а>0 выполняется следующая обобщенная гЬопмула Ньютона-Лейбница " Я<*> = /00 - /(я) - П", Ь) (34)
где Via^^lzl^ib-af
Отметим, что благодаря свойству
и-1<а<и.
и
(35)
формула (34) для а=1 дает стандартную формулу Ньютона-Лейбница (29).
Для 0 <а<1 формулу (34) можно записать в виде
¿су)оо = - у (0) • (36)
В результате получаем формулу для нахождения суммарной величины по предельной величине МУХ (я) нецелого порядка а, имеющую вид
Г&г + 1) (!£. МУХ (я» 00 = У РО -У (О) (3 7)
Для применения этой формулы в экономическом анализе для степенных функций с показателем р > О следует использовать интегралы Римана-Лиувилля порядка а>0 [3, с. 71], имеющие вид
nß+ IT+Li
С1 -
Для а=1 формулы (36)-(38) принимают стандартный вид с интегралами и производными первого порядка.
Помимо формулы (38) для степенной функции существует набор формул интегрирования нецелого порядка, приведенных в Таблице 9.1 в монографии [1, с. 140-141]. Для аналитических вычислений суммарной величины по маржинальной величине нецелого порядка требуется использование этих табличных интегралов.
Выводы исследования и перспективы дальнейших изысканий данного направления. Предлагаемое понятие предельной (маржинальной) величины нецелого порядка позволяет расширить возможности применения экономического анализа. Использование предельных величин нецелого порядка, для широкого класса функций (включающего функции степенного типа), может давать более точные результаты по сравнению стандартным подходом. Кроме этого, предельные величины нецелого порядка позволяют учитывать эффекты нелокальности и памяти в экономическом анализе. При применении предельных величин нецелого порядка следует учитывать, что для производных нецелого порядка не выполняется стандартное правило дифференцирования произведения [29, 30] и нарушается стандартного правило дифференцирования сложной функции [31]. Для вычисления суммарных величин по предельным величинам нецелого порядка можно использовать табличные интегралы, приведенные в монографии [1, с. 140-141].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Марычев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения. Минск: Наука и Техника, 1987. 688 с.
2. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1998. 340 p.
3. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 p.
4. Diethelm К. The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. 247 p.
5. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
6. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. М.: Институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.
7. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York: Springer, 2011. 505 p.
8. Scalas E., Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus and continuous-time finance // Physica A. 2000. Vol.
284. № 1-4. P. 376-84.
9. Mainardi F., Raberto M., Gorenflo R., Scalas E. Fractional calculus and continuous-time finance II: The waiting-time distribution // Physica A. 2000. Vol. 287. № 3-4. P. 468-481.
10. Gorenflo R., Mainardi F., Scalas E., Raberto M. Fractional calculus and continuous-time finance III: the diffusion limit // Mathematical Finance. Birkhauser, Basel, 2001. P. 171-180.
11. Tenreiro Machado J., Duarte F.B., Duarte G.M. Fractional dynamics in financial indeces // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2012. Vol. 22. № 10. Article ID 1250249. 12 p.
12. Kerss A., Leonenko N., Sikorskii A. Fractional Skellam processes with applications to finance // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2014. Vol. 17. № 2. P. 532-551.
13. Laskin N. Fractional market dynamics // Physica A. 2000. Vol. 287. № 3. P. 482-492.
14. Cartea A., Del-Castillo-Negrete D. Fractional diffusion models of option prices in markets with jumps // Physica A. 2007. Vol. 374. № 2. P. 749-763.
15. Vilela Mendes R. A fractional calculus interpretation of the fractional volatility model // Nonlinear Dynamics. 2009. Vol. 55. № 4. P.395-399.
16. Skovranek T., Podlubny I., Petras I. Modeling of the national economies in state-space: A fractional calculus approach // Economic Modelling. 2012. Vol. 29. № 4. P. 1322-1327.
17. Tenreiro Machado J.A., Mata M.E. Pseudo phase plane and fractional calculus modeling of western global economic downturn // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. Vol. 22. № 1-3. P. 396-406.
18. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Ценовая эластичность спроса с памятью // Экономика, шциология и право. 2016. № 4-1. С. 98-106.
19. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Elasticity for economic processes with memory: Fractional differential calculus approach // Fractional Differential Calculus. 2016. Vol. 6. № 2. P. 219-232.
20. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Критерии эредитарности экономического процесса и эффект памяти // Молодой ученый. 2016. № 14 (118). С. 396-399.
21. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Экономические индикаторы: неоднозначность и эффекты памяти // Экономика. Управление. Право. 2016. № 3 (66). С. 3-5.
22. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Предельная полезность для экономических процессов с памятью // Альманах современной науки и образования. 2016. № 7 (109). C. 108-113.
23. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Эластичность внебиржевого кассового оборота валютного рынка РФ // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 7-1 (90). С. 207-215.
24. Odibat Z.M., Shawagfeh N. T. Generalized Taylor's formula // Applied Mathematics and Computation. 2007. Vol. 186. № 1. P. 286-293.
25. Tarasov V.E. Fractional vector calculus and fractional Maxwell's equations // Annals of Physics. 2008. Vol. 323. № 11. P. 2756-2778.
26. Grigoletto E.C., De Oliveira E.C. Fractional versions of the fundamental theorem of calculus // Applied Mathematics. 2013. Vol. 4. P. 23-33.
27. Gabaix X. Power laws in economics and finance // Annual Review of Economics. 2009. Vol. 1. № 1. P. 255-293.
28. Gabaix X. Power laws in economics: An introduction // Journal of Economic Perspectives. 2016. Vol. 30. № 1. P. 185-206.
29. Tarasov V. E. Leibniz rule and fractional derivatives of power functions // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 11. № 3. Article ID 031014. 4 p.
30. Tarasov V.E. No violation of the Leibniz rule. No fractional derivative // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2013. Vol. 18. № 11. P. 2945-2948.
31. Tarasov V.E. On chain rule for fractional derivatives // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. Vol. 30. № 1-3. P. 1-4.
