Микроэкономический смысл производных нецелого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

МИКРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНЫХ НЕЦЕЛОГО

ПОРЯДКА Тарасова В.В.1, Тарасов В.Е.2

1Тарасова Валентина Васильевна - магистрант, Высшая школа бизнеса;

2Тарасов Василий Евгеньевич - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

г. Москва

Аннотация: в статье предлагается микроэкономическая интерпретация производных нецелого порядка. Для этого используется экономический индикатор, который обобщает понятия средней и предельной (маржинальной) величин за счет учета эффектов памяти. При этом средняя и предельная величины являются частными случаями предлагаемого индикатора, когда его порядок равен нулю и единице, соответственно. Используя предлагаемое обобщение понятия предельной величины, производные нецелого порядка интерпретируются как экономические характеристики (индикаторы), являющиеся промежуточными между средним и предельным индикаторами. Микроэкономическим смыслом производной нецелого порядка является предельная величина, описывающая экономический процесс со степенной угасающей памятью.

Ключевые слова: предельная величина, средняя величина, маржинальный анализ, производная нецелого порядка, интерпретация производной.

Микроэкономика изучает поведение экономических агентов при принятии решений относительно потребления, производства и распределения ограниченных ресурсов. Одним из важнейших методов описания поведения экономических агентов в микроэкономике является предельный анализ, использующий математический аппарат производных целого порядка. Микроэкономическая интерпретация производных напрямую связана с предельным анализом и понятием предельной (маржинальной) величины.

В микроэкономике производная первого порядка описывает интенсивность изменения экономического показателя относительно исследуемого фактора, при условии неизменности других факторов [1]. Производная первого порядка от функции некоторого показателя по определяющему его фактору задает предельную (маржинальную) величину, соответствующую данному показателю. Предельная величина показывает прирост соответствующего показателя в расчете на единицу прироста определяющего его фактора. К базовым предельным величинам в микроэкономике относятся предельная производительность, предельная полезность, предельные затраты, предельная себестоимость, предельный доход, предельный спрос и некоторые другие.

В современной математике известны не только производные целых порядков, но и, так называемые, дробные производные [2, 3], порядок которых является нецелым числом. Производные дробных порядков активно используются в естественных науках [4, 5]. В экономике производные нецелого порядка могут применяться для описания экономических процессов с динамической памятью [6, 7]. Прежде чем перейти к рассмотрению микроэкономической интерпретации производных нецелого порядка, обсудим более детально некоторые аспекты экономической интерпретации производной первого порядка.

При изучении микроэкономических явлений и процессов обычно выполняется расчет, как предельных величин, так и средних величин для показателей, которые представляются в виде функций от определяющих факторов [1, с. 95-101]. Приведем стандартные определения средней и предельной величин. Пусть задана однозначная функция У=У(Х), описывающая однозначную зависимость экономического показателя У от некоторого

фактора X. Средняя величина показателя У определяется [1, с. 95-96] как отношение функции У=У(Х) к соответствующему значению фактора X, то есть

АУХ: = ^. (1)

Если функция У=У(Х), описывающая зависимость экономического показателя У от фактора X, является однозначной и дифференцируемой функцией, то предельная (маржинальная) величина показателя У определяется [1, с. 96] как производная первого порядка функции У=У(Х) по фактору X, то есть

мух: = т (2)

Важнейшим условием применимости формулы (2), задающей предельный индикатор, является предположение, что показатель У может быть представлен в виде однозначной функции фактора X. В общем случае, это предположение не выполняется, и зависимость У от X является неоднозначной, то есть одному значению Х могут соответствовать несколько различных значений У.

Приведем пример неоднозначной зависимости показателя У от фактора X, используя результаты нашей статьи [8, с. 7]. Пусть показатель и фактор, как функции времени 1, задаются уравнениями

Х© = 0.001 ■ I2 — 0.2 ■ I + 70, (3) У© = 0.01 ■ 112 — 3 ■ 1 + 1400. (4)

Зависимость показателя (4) от фактора (3) представлена в виде Рис. 1.

Рис. 1. Зависимость У от X, задаваемая формулами (3) и (4) для Г£ [0,200]

Приведем второй пример неоднозначной зависимости показателя У от фактора X, используя результаты статьи [8, с. 8]. Пусть показатель и фактор, как функции времени 1, задаются уравнениями

Х(11) = 8.2 ■ 10"9 ■ 1:4 — 1.5 ■ 10"5 ■ 1;3 + 5.4 ■ 10"3 ■ Г2 — 0.58 ■ I + 70, (5) У(11) = 7.5 ■ 10"6 ■ 114 — 3.5 ■ 10"3 ■ 113 + 0.51 ■ I2 — 24 ■ I + 1700. (6) Зависимость показателя (6) от фактора (5) представлена в виде Рис. 2.

X

Рис. 2. Зависимость У от X, задаваемая формулами (5) и (6) для Г£ [0,240]

Из графиков, представленных на Рис. 1 и Рис. 2, видно, что, во многих случаях, одному значению Х могут соответствовать более одного значения У, то есть зависимость У от Х является неоднозначной.

Если зависимость показателя от фактора является неоднозначной, то мы не можем использовать формулы (1) и (2) для вычисления средних и предельных величин. Однако данную проблему можно устранить. Для этого достаточно воспользоваться тем фактом, что показатель и фактор практически всегда могут рассматриваться как однозначные функции времени. Поэтому при определении экономических индикаторов следует использовать параметрическую зависимость показателя У от фактора Х в виде однозначных функций Y=Y(t) и X=X(t).

В дифференциальном исчислении переменная У как функция аргумента Х называется заданной параметрически, если обе эти переменные заданы как функции некоторого параметра t [9, с. 238]. В нашем случае, в качестве параметра выступает время. Будем предполагать, что Y=Y(t) и X=X(t) являются непрерывно дифференцируемыми функциями в окрестности 1=Т. В результате средние и предельные величины показателя в момент времени 1=Т можно определить формулами

АУХ (Т): = (7)

/аумч

мух (Т): = ( м = ^ = (хощ ■ ^ (8)

\ с^ /

где предполагается X (Т) Ф 0 и X ( 1) (Т) : = с!Х(Т) / с1Т 0. Формула (8) фактически означает, что предельная величина является параметрической производной. В общем виде параметрическая производная целого порядка п>0 определяется формулой

0 х со У ю = ыотэ пу (1) ■ (9)

где предполагается, что . В результате .

Производная (9) также может быть названа производной функции У(1) по функции X(t) целого порядка п>0.

Если зависимость У© от X(t) можно представить в виде однозначной дифференцируемой функции У=У^, исключив временной параметр 1, то тогда формулы (2) и (8) будут эквивалентны в силу правила дифференцирования сложной функции. В этом случае, формулы (1) и (7) тоже будут эквивалентны. Для эквивалентности формул достаточно, чтобы функция X=X(t) в окрестности рассматриваемой точки 1=Т была обратимой. Для существования у функции X=X(t) в окрестности точки 1=Т обратной функции достаточно, чтобы производная Х(1) (1;) была непрерывна и отлична от нуля в точке 1=Т [9, с. 238]. Если функция Х = Х(1;) имеет отличную от нуля и сохраняющую знак производную Х(1) (1:) в некоторой окрестности точки 1=Т, то для этой функции в окрестности точки 1=Т существует обратная функция, определенная и дифференцируемая в некоторой окрестности точки Х0 = Х(Т) [9, с. 672].

Подчеркнем, что формулы (8) и (9) являются стандартными определениями параметрических производных. Более того, формула (8) может рассматриваться как обобщение первой производной показателя У=У(1) по фактору X=X(t) для параметрической зависимости У от X. В результате формулы (7) и (8) могут применяться для параметрических зависимостей, заданных уравнениями (3), (4) и/или (5), (6). При этом формулы (1) и (2) для зависимостей (3), (4) и (5), (6) неприменимы.

Используя формулу (8), можно утверждать, что МУХ(Т) характеризует скорость изменения показателя У=У(1) при единичной скорости изменения фактора X(t). В результате экономический смысл производной первого порядка по времени заключается в том, что она описывает скорость изменения экономического показателя с течением времени при единичной скорости изменения исследуемого фактора, при условии постоянства других факторов.

В результате можно утверждать, что экономическая интерпретация производной первого порядка для зависимости У от X, связана с предельным индикатором (8). Формула (8) позволяет нам интерпретировать первую производную как скорость изменения показателя У в расчете на единицу скорости изменения определяющего его фактора X в выбранный момент времени 1=Т. При этом данная интерпретация применима и для случая, когда для параметрической зависимости У(1) от X(t) не существует однозначной функции У=У^).

Следует отметить, что одним из причин, порождающих неоднозначность функции показателя, является наличие памяти у экономических агентов [6, 7]. Субъекты экономических отношений могут помнить предыдущие заметные изменения показателя Y(t) и фактора X(t), и при повторных аналогичных изменениях реагировать на эти изменения уже по-другому, чем это делали ранее. Как следствие, показатель будет другим, не смотря на то, что фактор принимает те же значения. Это приводит к тому, что одному и тому же значению фактора соответствует несколько различных значений показателя. Математически это описывается как неоднозначность функции Y=Y(X). Наличие памяти у экономических субъектов приводит к тому, что предельный индикатор в момент времени 1=Т может зависеть от всех изменений У(1) и X® на некотором конечном интервале времени (0,Т), предшествующем рассматриваемому моменту ^Т. Средняя и предельная величины показателя, определяемые формулами (7) и (8), зависят только от заданного момента времени 1=Т и его бесконечно малой окрестности ^Т. Поэтому можно сказать, что стандартные определения экономических индикаторов (7) и (8) применимы только при условии, что все экономические субъекты страдают полной амнезией. Очевидно, что данное приближение не всегда можно использовать в экономическом анализе. Математически это приближение обусловлено использованием производных целого порядка.

В современной математике известно понятие производной (интегро-дифференцирования) нецелого порядка [2, 3]. Производные нецелого порядка могут применяться для описанию экономических процессов с памятью [6, 7]. Известны различные типы производных нецелого порядка. В данной статье мы будем рассматривать производную Капуто. Одной из отличительных особенностей этой производной является то, что её действие на постоянную функцию дает ноль. Применение производной Капуто в экономическом анализе позволяет получать нулевые значения предельного индикатора нецелого порядка для постоянной

функции. Известны левосторонние и правосторонние производные Капуто. Мы будем рассматривать только левосторонние производные, поскольку экономический процесс в момент времени Т зависит только от изменений состояния этого процесса в прошлом, то есть для 1<Т, а правосторонняя производная Капуто определяется интегрированием по значениям функции при 1>Т. Пусть функция ОД имеет производные вплоть до (п-1) порядка, которые являются абсолютно непрерывными функциями на интервале [0,Т]. Тогда левосторонняя производная Капуто порядка а > 0 определяется [3, с. 90-99] формулой

= <10) где Г (а) - гамма функция, и Т>0, п:=[а]+1, а f (п) 0) - производная целого порядка п от функции ОД по времени 1 Для целых значений а=п, производная Капуто совпадает [3, с. 9293], [10, с. 79] со стандартной производной порядка п, то есть

§«) = (^)=т, даа) = г(т) . (11)

Параметрическая дробная производная Риманна-Лиувилля описывается в разделе 18.2 книги [2, с. 248-250] и разделе 2.5 в [3, с. 99-105]. Параметрическая производная Капуто была предложена в формуле 23 из Определения 3 в работе [11, с. 224]. Свойства этой производной были описаны в статье [12]. Левосторонняя параметрическая производная Капуто порядка а>0 определяется уравнением

( (1) -гсь-с * (х 1 - пу (т) , (12)

где а<<Ъ, п — 1 < а < п, функция X(т) имеет непрерывные производные и Х ( 1 -1 (т) = с1Х(т) / с1т Ф 0. Производная (12) также называется дробной производной Капуто функции У(0 по функции X(t) порядка а>0. Для целых значений а=п>0, параметрическая производная Капуто (12) совпадает со стандартной параметрической производной (9), то есть ( оОу.ХУ) (1) = Ох У0). Если X(т)=т, то параметрическая производная (12) совпадет с производной Капуто (10), то есть

( 0О ^У) а)=о0^(1). (13) Отметим, что производные (10) и (12) не эквивалентны даже при существовании однозначной функции У=У^) в силу усложнения правила дифференцирования сложной функции для дробных производных [10, с. 97-98], [13, с. 59].

Используя левосторонние производные Капуто (10) и (12), можно определить обобщение понятий предельных и средних величин, которое позволит учитывать эффекты памяти в экономических процессах [6, 7]. Впервые предельные (маржинальные) величины нецелого порядка для экономических процессов с памятью были предложены в работах [14, 15, 16]. Пусть экономический показатель У=У(1) и определяющий его фактор X=X(t) являются функциями времени 16 [ 0 ;Т] , которые имеет производные вплоть до (п-1)-го порядка, являющиеся абсолютно непрерывными функциями на интервале [0,Т]. Тогда предельная (маржинальная) величина, характеризующего экономический процесс со степенной памятью в момент времени 1=Т, может быть определено [14, 15, 16] в виде уравнения

МУХ (а, Т) : = °р|уЮ, (14) хч ' Овтх(с) у '

где °О уХ 0) Ф 0, и °О у - левосторонняя производная Капуто порядка а> 0 , которая

определяется выражением (10). Параметр а характеризует степень угасания памяти об

изменениях показателя и фактора на интервале [0,Т].

Предельная (маржинальная) величина, характеризующая экономический процесс со

степенной памятью в момент времени 1=Т, может определяться через параметрическую

производную (12) формулой

МУх (а,Т) : = ( о Б^У) (I) , (15) где Х ( 1 )(т) , и °О у;х - левосторонняя параметрическая производная Капуто порядка а > 0, определяемая выражением (12).

Стандартная предельная величина (8) экономического показателя учитывает изменения показателя и фактора только в бесконечно малой окрестности момента времени Т. Предлагаемые экономические индикаторы (14) и (15) позволяют описывать зависимость экономических процессов от изменений состояний процесса на конечном интервале времени [0,Т]. В индикаторах с памятью (14) и (15), рассматриваемом в момент времени Т, учитывается зависимость не только от показателя У(1) и фактора X(t) в этот момент времени 0=Т), но и от их изменений У(1) и X(t) на конечном интервале времени [0,Т].

Рассмотрим частные случаи предельных величин (14) и (15).

Для значения параметра угасания памяти а=1, параметрическая маржинальная величина (15) совпадает со стандартной параметрической предельной величиной (8), то есть

МУх (1 , Т) = МУХ (Т) = (^ ■ У (Т) ■ (16)

Индикатор (15) обобщает понятия предельной величины (8), включив это понятие как частный случай.

Используя о0 ^ = 1(Т) , получаем, что индикатор (14) задает стандартную среднюю величину (7) в виде

МУХ (0, Т) = = ^ТТ = АУХ(Т) (17)

Используя , получаем индикатор (14) задает стандартную

-'т

предельную величину (8) в виде

сг

мух а ,т)=ш) = ^=мух(т) (18)

Из полученных равенств (17) и (18) видно, что средняя величина (7) и предельная величина (8) являются частными случаями предлагаемого индикатора (14) порядка а . Индикатор (14) обобщает понятия средней и предельной величин, включив эти понятия как частные случаи. Кроме этого, маржинальная величина (14) позволяет рассматривать не только средние и предельные характеристики экономических явлений и процессов, но и такие характеристики, которые являются промежуточными между средней и предельной. Предлагаемый индикатор включает в себя весь спектр промежуточных характеристик (индикаторов) экономического процесса от средней величины до предельной.

Отметим, что формула (14) может применяться для зависимостей У от X, заданных уравнениями (3), (4) и/или (5), (6). Для этого достаточно применить формулы, позволяющие вычислять производные Капуто порядка а для степенной функции [3, с. 95], имеющие вид

0 а+ ^ = .ЛР!^ гр-а, (19)

а ! Г ( Р - а! 1 ) у '

а (20)

где и В частности, имеем а и

а а а .

Формула (15) также может применяться для неоднозначных зависимостей таких, как (3)-(6). Однако вычисление индикаторов (15) для этих неоднозначных зависимостей значительно сложнее, чем вычисления индикаторов (14). Вычисление предельной величины (15) для однозначных функций У=У(X) может быть реализовано, используя, например, формулы [12, с. 464], имеющие вид

оа-: (* © - х (0) ) р=рГ^ (ха) - х (0) ) р- а, (21)

где а и .

В результате можно сделать вывод, что экономическая интерпретация производной нецелого порядка а напрямую связана с предложенной концепцией предельных (маржинальных) величин с динамической памятью, определенных формулами (14) и (15). Производная нецелого порядка а>0 можно интерпретировать как предельную (маржинальную) величин экономического показателя У в экономическом процессе с памятью. При этом данная интерпретация применима не только для производных Капуто, но и для всех видов производных нецелого порядка, позволяющих описывать динамическую память в экономике [6, 7].

Отметим, что производные нецелого порядка имеют различную интерпретацию в микроэкономике и макроэкономике. Макроэкономическая интерпретация производных и интегралов нецелого порядка связана с обобщениями понятий акселератора и мультипликатора, предложенными в [17, 18, 19] для описания макроэкономических процессов со степенной памятью [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28].

Список литературы

1. Грачева М.В., Черемных Ю.Н., Туманова Е.А. Моделирование экономических процессов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. 543 с.

2. Самко С.Г., Килбас А.А., Марычев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения. Минск: Наука и Техника, 1987. 688 с.

3. KilbasA.A., Srivastava H. M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential. Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 с.

4. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

5. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. Москва: ИИКИ, 2011. 568 с.

6. Tarasova V. V., Tarasov V.E. Concept of dynamic memory in economics // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2018. Vol. 55. P. 127-145. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.06.032.

7. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Понятие динамической памяти в экономической теории // Экономика и предпринимательство, 2017. № 6 (83). С. 868-880.

8. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. О применимости точечной эластичности спроса по цене для биржевых торгов по доллару США // Научная перспектива, 2016. № 6. С. 6-11.

9. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Наука, 1979. 720 с.

10. PodlubnyI. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1998. 340 p.

11. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Elasticity for economic processes with memory: fractional differential calculus approach // Fractional Differential Calculus, 2016. Vol. 6. № 2. P. 219-232. DOI: 10.7153/fdc-06-14.

12. Almeida R. A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2017. Vol. 44. P. 460-481. DOI: 10.1016/j.cnsns.2016.09.006.

13. Diethelm K. The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. Berlin: Springer-Verlag, 2010. 247 p.

14. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Предельная полезность для экономических процессов с памятью // Альманах современной науки и образования, 2016. № 7 (109). C. 108-113.

15. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Экономический показатель, обобщающий среднюю и предельную величины // Экономика и предпринимательство, 2016. № 11 -1 (76-1). С. 817-823.

16. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Предельные величины нецелого порядка в экономическом анализе // Азимут Научных Исследований: Экономика и Управление, 2016. № 3 (16). С. 197-201.

17. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Обобщение понятий акселератора и мультипликатора для учета эффектов памяти в макроэкономике // Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-3 (75-3). С. 1121-1129.

18. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic accelerator with memory: discrete time approach // Проблемы современной науки и образования, 2016. No. 36 (78). P. 37-42. DOI: 10.20861/2304-2338-2016-78-002.

19. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Точная дискретизация экономических акселераторов и мультипликаторов с памятью // Экономика и предпринимательство, 2017. № 7 (84). С. 1063-1069.

20. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Влияние эффектов памяти на мировую экономику и бизнес // Азимут Научных Исследований: Экономика и Управление, 2016. Том 5. № 4 (17). C. 369-372.

21. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Fractional dynamics of natural growth and memory effect in economics // European Research, 2016. № 12 (23). P. 30-37. DOI: 10.20861/2410-2873-201623-004.

22. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Эредитарное обобщение модели Харрода-Домара и эффекты памяти // Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-2 (75-2). С. 72-78.

23. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Эффекты памяти в эредитарной модели Харрода-Домара // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 32 (74). С. 38-44. DOI: 10.20861/2304-2338-2016-74-002.

24. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Кейнсианская модель экономического роста с памятью // Экономика и управление: проблемы, решения, 2016. № 10-2 (58). С. 21-29.

25. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Эффекты памяти в эредитарной модели Кейнса // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 38 (80). С. 56-61. DOI: 10.20861/2304-23382016-80-001.

26. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic growth model with constant pace and dynamic memory // Проблемы современной науки и образования, 2017. № 2 (84). P. 40-45. DOI: 10.20861/2304-2338-2017-84-001.

27. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Динамические межотраслевые модели с памятью, обобщающие модель Леонтьева // Экономика и предпринимательство, 2017. № 2-1 (79-1). С. 913-924.

28. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Dynamic intersectoral models with power-law memory // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2018. Vol. 54. P. 100-117. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.05.015.

ОБЛИГАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ЗАЙМА: ЭФФЕКТИВНАЯ ФОРМА ПРИВЛЕЧЕНИЯ СРЕДСТВ ДЛЯ РОССИЙСКОЙ ЭКОНОМИКИ ИЛИ ОЧЕРЕДНАЯ НЕСБЫТОЧНАЯ МЕЧТА МИНИСТЕРСТВА ФИНАНСОВ? Ахметжанова И.Р.

Ахметжанова Ильнара Рамилевна - студент, направление: государственное и муниципальное управление, факультет государственного управления и финансового контроля, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва

Аннотация: в статье рассматривается эффективность использования государственных мероприятий, а именно выпуск облигаций федерального займа, для экономики Российской Федерации в период кризиса.

Ключевые слова: облигации федерального займа, государственные облигации, Министерство финансов, экономика, кризис, инвестирование.

Проблема привлечения инвесторов в Россию всегда оставалась одной из самых насущных проблем в российской экономике. В настоящее время об этой проблеме стали говорить все чаще и в государственных аппаратах, в том числе: в Правительстве, в Министерстве финансов, в Центральном Банке Российской Федерации. Необходимость применения государственных мероприятий для привлечения средств в экономику остро ощущается как населением, так и властными органами. Таким образом, Министерство финансов Российской Федерации решило выпустить государственные облигации. В апреле Министерство финансов сначала выпустило облигации федерального займа для физических лиц.