CC BY
45
УДК 519.2:528.1
Н.Б. Лесных, Г.И. Лесных, А.Л. Малиновский СГГА, Новосибирск
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ
Рассмотрен вопрос обоснования предельных ошибок измерений для логистического закона распределения. Представлены результаты статистических исследований рядов случайных чисел и невязок рядов треугольников триангуляции 1-го класса.
N.B. Lesnykh, G.I. Lesnykh, A.L. Malinovsky SSGA, Novosibirsk
LIMITING ERRORS OF MEASUREMENT
The limiting errors of measurement are substantiated as concerns the logistic distribution law. The statistical investigations of random numbers series and the firstorder triangulation misclosures are presented.
Считается, что результат ряда наблюдений СВ Х, наиболее уклоняющийся от среднего значения, может являться элементом генеральной совокупности значений этой случайной величины, но возможно и наличие в нем грубой ошибки. Для обнаружения грубой ошибки используют соответствующие критерии согласия или правило три сигма: если случайная величина
распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения
Р{|Х - Мх| < 3g} = 0,997. (1)
Вероятность Р = 0,997 близка к единице, это вероятность практически достоверного события. Соответственно вероятность 1 - Р = 0,003 - мала. Поэтому ошибки, превышающие по абсолютной величине значение 3g, а также 2,5g с вероятностью Р = 0,988, 2g (Р = 0,954) или 3 m, 2,5 m, 2 m считаются грубыми.
Дттред — Зт (2)
\ред - предельная ошибка измерения,
m - средняя квадратическая ошибка результата измерения.
Таким образом, обоснование предельной ошибки измерения связано с законом распределения результатов измерений. Принимаемые в геодезии допуски основываются на предположении о нормальном законе распределения случайных ошибок измерений и их функций.
Однако, статистический анализ геодезических данных [1] не всегда однозначно оценивает закон распределения случайной величины. Часто
эмпирическое распределение некоторой СВ Х может быть идентифицировано двумя или несколькими законами.
Приведем результаты наших статистических исследований двух законов распределения - нормального и логистического.
Параметры логистического распределения а = МХ - математическое ожидание (совпадает с параметром нормального закона), л=ал/з/тг -масштабный параметр. Функция логистического распределения имеет вид:
Р(х)=^— , (3)
1+е“2
х-а
где ъ
Асимметрия логистического распределения S = 0 (как и для нормального закона), полностью совпадают два из четырех свойств случайных ошибок измерений: положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной величине, равновозможны; среднее арифметическое случайных ошибок при неограниченном возрастании числа наблюдений стремится к нулю.
Формируем ряд случайных чисел (ошибок измерений), имеющих логистическое распределение [2] по формуле
1_¥ (4)
Х = а+?і1п
У
где вектор Y - имеет равномерное распределение с параметрами [0, 1] табл. 1.
Таблица 1. Логистическое распределение
Случайные числа хі, распределенные по логистическому закону
- 1,62 - 0,91 - 1,63 - 0,31 0,21 - 1,20 0,32 - 1,23 0,36 - 1,21
0,38 1,24 1,11 0,61 1,27 - 0,29 0,60 - 0,56 0,42 0,89
- 0,06 - 1,38 1,15 0,12 - 0,57 - 0,32 0,77 1,60 1,38 - 0,65
1,36 - 0,96 - 1,94 0,92 - 0,57 - 0,19 - 0,14 - 0,72 - 0,87 - 0,22
- 0,92 0,73 0,38 - 1,47 - 0,25 0,70 - 0,34 1,23 0,57 0,08
0,01 0,72 - 1,08 - 0,85 - 0,92 3,52 0,76 1,05 0,88 - 0,72
Проверим соответствие распределения этого ряда случайных чисел нормальному закону [3]. По результатам анализа получены следующие оценки параметров и числовых характеристик:
п
_ IX
а = Мх = х=і^— =0,0013; а = п
11 9
Е(хі-х)
І=1
11 -1
= 2,134.
Оценка асимметрии: Б = - 0,041; а§ = 0,32; 2а§ = 0,64; 3 а§ = 0,96. Так как Б с 2а§ , асимметрия не существенна.
Оценка эксцесса Е= 0,233; аЕ= 0,63; 2аЕ= 1,26; ЗаЕ= 1,89.
Так как Е < 2 сг^, эксцесс не существенный.
Критерий Пирсона 2С : вычисленное значение хи квадрат = 4,57, Р(х2>
Хэ) = 0,206 для числа степеней свободы г = 3 превышает уровень значимости а = 0,05. Критерий не противоречит гипотезе о нормальном законе распределения ряда случайных чисел табл. 1.
Три свойства случайных ошибок измерений проверяем критерием равенства вероятностей [1]:
Р(|п р - k | < ta) = в, (5)
где в = Ф(:) - доверительная вероятность; k - число ошибок в заданном интервале; п - число всех ошибок, подлежащих исследованию; р -
теоретическая вероятность попадания ошибки в заданный интервал; a=.N/npq , д
= 1-р.
Если неравенство (5) выполняется, можно считать, что данное свойство имеет место.
Количество элементов выборки, попадающее в заданные интервалы представим виде вектора К = (43 56 60 29 13 4) с элементами: к(|Х|< а) = 43; к(|Х| < 2а) = 56; к(|Х| < 3а) = 60; к(х > 0) = 29; к(а < 1x1 < 2а) = 13; к(2а < 1x1 < 3 а) = 4. Ни одно значение не превышает За .
|Рп-К| = (2,02 1,24 0,18 1 3,26 1,42) - вектор абсолютных значений
разностей теоретического и эмпирического числа ошибок в интервалах. Для нормального закона распределения вектор вероятностей попадания случайных ошибок в заданные интервалы Р = (0,683 0,954 0,997 0,5 0,271 0,043).
2а= (7,20 3,24 0,84 7,74 6,88 3,14) - допустимые значения разностей
|Р1 п—к{|.
Четвертое свойство проверяем критерием равенства средних:
(«)
а/л/п
I э= 0,0048- вычисленное значение статистики критерия равенства средних;
P(t > tэ) = 0,996 близка к единице. Все свойства выполняются.
Таким образом, результаты исследований не противоречат гипотезе о нормальном распределении ряда значений случайной величины Х, сформированному по логистическому закону с параметрами а = 0 и 1 = 1 ( а= 0,0013, X = 1,177).
Исследуем на логистический закон распределения ряд из п = 60 случайных, нормально распределенных чисел - ошибок измерений с параметрами [0,1] табл. 2.
Случайные, нормально распределенные числа хі
- 1,62 - 0,91 - 1,63 - 0,31 0,21 - 1,20 0,32 -1,23 0,36 -1,21
0,38 1,24 1,11 0,61 1,27 - 0,29 0,60 - 0,56 0,42 0,89
- 0,06 - 1,38 1,15 0,12 - 0,57 - 0,32 0,77 1,60 1,38 -0,65
1,36 - 0,96 - 1,94 0,92 - 0,57 - 0,19 - 0,14 -0,72 - 0,87 -0,22
- 0,92 0,73 0,38 - 1,47 - 0,25 0,70 - 0,34 1,23 0,54 0,08
0,01 0,72 - 1,08 - 0,85 - 0,92 3,52 0,76 1,05 0,88 -0,72
Оценки параметров и числовых характеристик получили следующие значения: а= 0,020; X =0,558; а = 1,013.
Оценка асимметрии Б = 0,475; а§ = 0,316; 2а§ = 0,63; 3 а§ = 0,95.
Так как Б < 2а§ , асимметрия не существенна. Оценка эксцесса Е= 0,637;
= 0,632; 2 а^ = 1,264; 3 = 1,896. Эксцесс кривой логистического
распределения Е ~ 1,2. Это значение попадает в доверительный интервал
Ё -2Щ <Е< Ё+ 2Щ;~ 0,627 <Е< 1,901.
Следовательно, можно считать, что вычисленная оценка эксцесса несущественно отличается от теоретического эксцесса логистической кривой.
2
Критерий Пирсона X не противоречит гипотезе о логистическом
2 2 2 распределении СВ X: %э = 5,97, Р( % > Хэ ) = 0,094 - превышает уровень
значимости а = 0,05.
Для логистического закона распределения вероятности попадания случайных ошибок в интервалы, устанавливаемые при проверке их свойств, заданы вектором Р = (0,720 0,948 0,991 0,5 0,228 0,043).
К = (41 59 59 30 18 0); |Рп-К| = ( 0,02 1,76 0,82 0 1,74 2,58).
При допусках 2а = (7,21 3,24 0,85 7,75 6, 89 3,14).
Одно XI = 3,52 превышает За , что считается недопустимым для нормального закона распределения. Для логистического закона это значение с той же вероятностью Р = 0,997 попадет в интервал |Л| < 3,6 а (3,6 а = 3,64).
Статистика критерия равенства средних: 1;э = 0,154; Р(Ч > 1э) = 0,875 -высока. Все свойства случайных ошибок измерений для логистического закона распределения выполняются.
Таким образом, результаты исследования ряда случайных нормально распределенных чисел не противоречат гипотезе о логистическом распределении этих данных. Случайная ошибка А36 = Х36 = 3,52, превышающая За = 3,04, проходит по допуску 3,6а логистического закона распределения.
Выполнен аналогичный анализ невязок рядов треугольников триангуляции 1-го класса Омск - Семиярское в количестве п = 61 [1] и Акмолинск -Успенский (п = 29) табл. 3.
Невязки ряда триангуляции Акмолинск - Успенское
- 1,45 - 1,79 0,80 0,51 1,28 0,87 - 0,54 - 1,97 - 0,72 0,82
- 0,65 - 1,07 4,14 1,10 - 0,78 - 0,76 1,00 - 0,83 2,15 - 0,67
- 0,30 0,36 0,80 - 1,23 1,62 2,15 - 0,32 - 0,54 - 1,18
Результаты статистического анализа (табл. 4) не противоречат гипотезам о нормальном и логистическом законах распределения невязок.
Таблица 4. Результаты анализа невязок
Критерии Омск - Семиярское Акмолинск - Успенский
Нормальный Логистический Нормальный Логистический
а = М(х) 0,130 0,097
а 0,903 1,375
X - 0,498.. - 1,758
Б, ст§ 2а§ 0,325; 0,31; 0,62. 0,83; 0,42; 0,84
Е, Щ 2Щ 0,405; 0,63; 1,26. 0,475; 1,90.
г1 4,36 5,57 5,11 6,39
2 2 Р(х >Хэ) 0,225 (г = 3) 0,144 0,024 (г = 1) 0,012
К 45 58 60 33 13 2 22 28 28 13 6 0
Рп-К 3,3 0,2 0,8 2,5 3,5 0,6 1,1 0,2 0,4 2,5 0,9 0,6 2,2 0,3 0,9 1,5 1,9 1,2 1,1 0,5 0,7 1,5 0,6 1,2
2 а = 2 л] прд 7,3 3,3 0,9 7,8 6,9 3,2 7,0 3,5 1,5 7,8 6,5 3,2 5,0 2,3 0,6 5,4 4,8 2,2 4,8 2,4 1,0 5,4 4,5 2,2
tэ 1,126 0,378
P(t > 1э) 0,264 (г = 60) 0,708 (г = 28)
2 2 II
Вероятности Р(% >%э) выше Ддя нормального закона, разности |р^п-к^|
меньше для логистического закона. Для невязок ряда Акмолинск - Успенский
2 2
вероятность Р(х >хэ ) не велика - на уровне значимости 0,02 для нормального закона и 0,01 для логистического закона, что можно объяснить небольшим объемом исследуемой выборки.
Теоретическое значение эксцесса Е = 1,2 попадает в интервал (Е-2а^ <Е< Е + 2 а^),
для ряда Омск - Семиярское (- 0,86 < Е < 1,66), для ряда Акмолинск -Успенский (- 1,42 < Е < 2,38).
Одна невязка ряда Омск - Семиярское превышает допуск нормального закона распределения 3 т, 2,99 > 2,71, но не превосходит возможный допуск логистического закона распределения, равный 3,6 т (3,6 а = 3,25).
Одна невязка ряда Акмолинск - Успенский (табл. 3) превышает предельное для нормального закона значение: 4,14 > 4, 12, но также не превосходит допуск логистического закона распределения, равный 3,6 т (3,6 а = 4.95).
Таким образом, логистический закон распределения ошибок геодезических измерений и их функций может иметь место наряду с нормальным и это также объясняет наличие уклонений отдельных значений от принятых допусков нормального закона.
Очевидно, если случайные ошибки измерений распределены по логистическому закону, абсолютная величина ошибки может достигать 3,6 а с вероятностью
Р(|А|< 3,6 а) = 0,997.
Тогда предельная ошибка измерения Апред = 3,6 m.
Превышение допусков нормального закона в рассмотренных примерах находит свое теоретическое объяснение.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лесных, Н.Б. Законы распределения случайных величин в геодезии: монография - Новосибирск: СГГА, 2005. - 128 с.
2. Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений случайных величин: Программная система. - Новосибирск: НГТУ, 1995. -125 с.
3. Лесных Н.Б. Некоторые аспекты алгоритма статистического анализа геодезических данных. - V межд. научный конгресс «ГЕО - СИБИРЬ» 2009. -С. 16 - 19.
© Н.Б. Лесных, Г.И. Лесных, А.Л. Малиновский, 2011
