CC BY
9
- Технические науки -
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ
ЗАДАЧИ
Л.И. Замкова, канд. техн. наук, доцент
Политехнический институт (филиала) ДГТУ в г. Таганроге (Россия, г. Таганрог)
Аннотация. В статье формулируется постановка двухкритериальной задачи о рационе, принадлежащей классу непрерывных многокритериальных задач. Проводится сравнительный анализ индивидуальной двухкритериальной задачи о рационе с классической однокритериальной задачей, используемой в качестве прототипа. Задача, сформулированная в статье, отличается от прототипа наличием второго критерия - объёма смеси и ограничения сверху на стоимость смеси. В рассматриваемой задаче не только минимизируется стоимость смеси, но и максимизируется её объём, в отличие от прототипа, что на практике позволяет более рационально вкладывать финансы предприятия и максимизировать объём производства.
Ключевые слова: многокритериальная задача, двухкритериальная задача, задача о рационе, формальная постановка, содержательная постановка, оптимальное решение.
В настоящее время продолжаются исследования многокритериальных оптимизационных задач. Изучение литературы в этой области показало, что новых применений на практике многокритериальных задач за последнее время найдено немного. В качестве примера исследовательской работы в этой области приведём задачу об изготовлении колбасной смеси [1] и задачу равновесного программирования, которая решалась в [2]. В связи с изложенным далее будет сформулирована двухкритериальная задача о рационе. Решение которой на практике позволит получить экономическую выгоду предприятию, занимающемуся изготовлением смесей. Отметим, что двухкритериальная задача, формулируемая в статье, относится к классу непрерывных многокритериальных задач.
В последующем разделе описываются формальная и содержательная постановки исследуемой задачи. А также выполняется анализ результатов её решения.
Анализ двухкритериальной задачи о рационе
Приведём формальную постановку задачи о рационе:
C = cj • Xj + Ü2 • + ■■■+ c\n ' xn ^ min
V = x + x^ + ■■■ + xn ^ max
V > b C < p
A = aW • X\ + a\2 • X2 + ■■+ a\n • xn >b
A2 = a21 • x1 + a22 • x2 + ■■+ a2n • xn > b2
(1)
Am = am1 • x1 + am2 • x2 + ■■■+ a
x. >0, j = n J
mn • xn > bm
Далее рассмотрим содержательную постановку задачи о рационе. Задан ассортимент различных продуктов в количестве П . Каждый продукт содержит определённое количество питательных веществ т видов. Необходимо определить оптимальный рацион, максимизируя его объём. Рацион должен иметь минимальную стоимость. Причём задано ограничение на дневной объём рациона - Ь и известна сумма, имеющаяся у предприятия на изготовление смеси - р.
Обозначения в (1) имеют следующий смысл:
а-- - содержание /-ого питательного У
вещества в у -ом продукте;
Ь • - количество I -ого необходимого
питательного вещества;
- Технические науки -
с• - стоимость единицы ] -ого продукта;
х • - количество ] -ого продукта, входящего в рацион.
Рассмотрим индивидуальную задачу (2), соответствующую постановке задачи (1). В качестве прототипа задачи (2) использовалась однокритериальная задача об оптимальном составлении рациона, представленная в работе [3].
0,3 • х + 0,9 • ^ min X + х2 ^ max X + х2 > 800 0,3 • х + 0,9 • х2 < 3000 0,21 • х - 0,3 • ^ < 0 0,03 • X - 0,01- х2 > 0
х. > 0, j = 1,2 ]
Построим однокритериальную задачу (3). В агрегированном критерии этой задачи критерии задачи (2) имеют одинаковые приоритеты, их веса 0,5:
- 0,5 • (0,3 • X + 0,9 • х2 j+ 0,5 • X + х2 j^ max
X + х2 > 800 0,3 • х + 0,9 • х2 < 3000 0,21 • х - 0,3 • х2 < 0 0,03^х -0,01 • х2 > 0
X ■ > 0, ] = 1,2 ]
(3)
Преобразованный критерий задачи (3) имеет вид: 0,35 • х^ + 0,05 • ^ ^ max .
(2) Задача (3) решалась в среде программы lp_solve. В результате вычислений получили =3225,80; ^ =2258,06; V
=5483,86; C =2999,994. На рисунке 1 представлен скриншот результатов работы программы при решении задачи (3):
Рис. 1. Результаты работы программы при решении задачи
Преимуществом задачи (2) в отличие от прототипа является дополнительное ограничение сверху на стоимость смеси и одновременная максимизация объёма смеси с минимизацией стоимости. Сравним задачу (2) с онокритериальной задачей (4), в которой в качестве единственного критерия рассматривается стоимость смеси:
0,3 • х + 0,9 • х2 ^ min X + х2 > 800 0,3• х + 0,9• х2 < 3000 0,21 • х - 0,3 • х2 < 0 0,03^X -0,01"х2 > 0
х у > 0, j = 1,2 ]
(4)
Технические науки
Задача (4) решалась в среде программы 1р_8о1уе. В результате вычислений получили ^ =470,58; ^ =329,41; V =799,99;
С =437,64. На рисунке 2 представлен скриншот результатов работы программы при решении задачи (4):
Рис. 2. Результаты работы программы при решении задачи
В последующем разделе подводятся итоги проведённого в статье анализа двухкритериальной задачи о рационе, принадлежащей классу непрерывных многокритериальных задач.
Заключение
Сформулированная в статье задача (1) имеет практическую ценность. А именно, результаты её решения позволяют предприятию рационально вкладывать капитал при расширении производства. Действительно, обладая фиксированной суммой финансовых средств p, предприятие может определить наибольший объём производства при этих затратах. Заметим, что оптимальное решение задачи (1) на примере её индивидуальной постановки (2) эквивалентно оптимальному решению классической задачи (4). А именно, оценим отношение оптимальной стоимости
2
C задачи (2) к соответствующей характеристике Cкл классической задачи (4). Получим:
C
2
2999,994
Cкл 437,64
6,85
(5)
Оценим отношение оптимальных объёмов рациона задачи (2) и задачи (4):
V
2
5483,86
6,85
(6)
Vкл 799,99
То есть, применение двухкритериаль-ной задачи о рационе является практически выгодным, а её решение не хуже (эквивалентное) решения однокритериальной задачи о рационе. А в задаче (1) не только минимизируется стоимость смеси, но и максимизируется её объём, в отличие от прототипа, что на практике позволяет более рационально вкладывать финансовые ресурсы предприятия и максимизировать объём производства.
- Технические науки -
Библиографический список
1. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения -М., -1992. - С. 237-439.
2. Васильев Ф.П., Антипин А.С., Артемьева Л.А. Регуляризованный непрерывный экстраградиентный метод решения параметрической многокритериальной задачи равновесного программирования // Доклады Российской академии наук. - 2010. - Т. 434 - №4. -С. 439-442.
3. https://infopedia.su/8x11cd7.html
PRACTICAL APPLICATION OF A CONTINUOUS PROBLEM WITH SEVERAL
CRITERIA
I.L. Zamkova, candidate of technical sciences, associate professor Polytechnical institute (branch) DSTU in Taganrog (Russia, Taganrog)
Abstract. In clause the statement of a problem about a diet with two criteria belonging to a class of continuous problems with several criteria is formulated. The comparative analysis of an individual problem about a diet with two criteria with a classical problem with one criterion used as the prototype will be carried out. The problem formulated in clause, differs from the prototype by presence of the second criterion - volume of a mix and restriction from above on cost of a mix. In a considered problem not only cost of a mix is minimized, but also determined greatest volume, as against the prototype, that in practice allows more rationally to put the finance of the enterprise at greatest volume of manufacture.
Keywords: problem with several criteria, problem with two criteria, problem about a diet, formal statement, substantial statement, optimum decision.
