Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

О.В. Васильева

НЕГОЛОНОМНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ НУЛЕВОЙ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ 2-ГО РОДА

Доказана теорема существования неголономной поверхности пример неголономной поверхности такого вида.

вращения нулевой полной кривизны 2-го рода. Построен

Неголономную поверхность [1] мы рассматриваем как совокупность всех интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа

Р (х, у, 2 )Сх + Q (х, у, 2 )Су + Я (х, у, 2 )С2 = 0, (0.1) где Р, Q, Я - гладкие функции в некоторой области О трехмерного евклидова пространства, при этом Р2 + Q2 + Я2 ^ 0 , УМ е О. Интегральные кривые уравнения (0.1), проходящие через точку М, касаются в этой точке одной плоскости, называемой касательной плоскостью неголономной поверхности в точке М. Прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью неголономной поверхности в точке М. Неголономной поверхностью вращения называют [2] такую неголо-номную поверхность, все нормали которой пересекают неподвижную прямую (ось вращения). Если него-лономная поверхность является неголономной поверхностью вращения, то через каждую точку М е О проходят две линии кривизны 2-го рода. Вдоль одной из них нормали к неголономной поверхности образуют конус с вершиной на оси вращения, и эта линия называется параллелью. Вторая линия кривизны 2-го рода лежит в плоскости, проходящей через ось вращения, и называется меридианом. В данной работе мы рассматриваем неголономные поверхности вращения, для которых полная кривизна 2-го рода [3] равна нулю.

1. Теорема существования

Выберем декартов подвижной репер \М; Ц, е2, е3}, где е3 - единичный вектор нормали. Деривационные формулы репера имеют вид

Сг = юге,

Оё1 =ю/ё;,

1 і — •> — _______________ГЛ ь*

где ю ■ — -ю

г - радиус-вектор точки М,

1, 1 = 1,2,3. Формы Пфаффа Ц, ю1 - главные формы, из них ю1 - базисные. Поэтому

ю3 = 4 ю1. (1.1)

Неголономная поверхность определяется уравне-

нием Пфаффа

ю3 = 0. (1.2)

Направив вектор ё[ по касательной к параллели,

мы приходим к уравнениям

ю2 = 0, ю3 = 0,

(1.3)

определяющим параллели. При этом А2 = о, 4 =р, А11 = -к1, А2 — -к2, где р - скаляр неголономности, 12

к1, к2 - главные кривизны 2-го рода. Кроме того,

обозначим Аъ — а, А3 = Ь . После этого формулы (1.1) принимают вид

ю3 =-к1ю1 +рю2 +аю3, (і 4)

2 і 2 і 3 (1.4)

ю3 = -к2ю + Ью .

Обозначим через Е вершину конуса, описываемого нормалями неголономной поверхности вдоль параллели. Тогда для радиус-вектора точки Е имеем

Е = г +1Є3, к 3

где к1 ^ 0 . Так как вдоль параллели точка Е неподвижна, то ёк1 зависит только от ю2, ю3, то есть

ёк1 =аю2 +Рю3. (1.5)

В выбранном репере меридианы определяются уравнениями

(к1 - к2 )ю' -Рю2 = 0 (16)

ю3 = 0.

Направляющий вектор оси вращения относительно выбранного репера есть вектор

р = ре1 + (к! - к2 )) - к-е3 . (1.7)

к1

Так как р - направляющий вектор оси вращения, то для него ёр\\ р . Это условие выполняется лишь тогда, когда

ЬР

к1 к2

Р —+ к,2. к: - к2 1

(1.8)

После соответствующих вычислений мы приходим к следующим выражениям форм Пфаффа через базисные формы:

1 т 1 2 Ьр 3

ю3 =-к1ю +рю + -—ю

к1 к2

ю3 — —к2ю + Ью ,

к - к2 ёк1 — аю2 +

1 I 1

-— (пю

+ а12ю2 +а13ю

13“

аЬ +к,2-

к1 - к.

ёк2 —-| ра11—+рЬ +а12 Ію1 -I ра12—+а2

к1 к2

+ |ь2 + к22 -^13--с

к1 к2

2

ю +

к1 к2

ёЬ —

рЬ2

рЬа11 -+ ч2 +а13

Л

к1 - к2 (к1 - к2 )2

рЬа

Л

12

(к1 - к2 )

2

ю2 +

рЬа

13

(к1- к2 )

ю +

ё р — р

к1 - к1

ка12 +Ьр)-{а11 +а)

ю +

а22 +а+а — |-| а12 -

к1

12

ар

к1

2

ю2 +

р I г.2 и 2 , аЬ , 2 аЬ

, а23 Ь к2 + , + к1 ,

к1 к1 V к1 к2 к

а13

аЬр

к1 (к1 к2 X

ё а —

а

к1 к2

■(а21 +Ьр)+к12р

ю +

а

к1 к2

а

к1 к2

22 +а+а|-к1р2 + к1к2 (к1 -к2 ) + ~ а 23 - Ь 2 - к22 +-^-+к,2 - аЬ І-Ае!

2

ю2 +

к1 к2 к1 у к1 к2

а2Ь

-к1 (к1 -к2 )Ь + к кк -к ) +ак1

ю3.

(1.9)

ю2 — Ью3,

ю2 — -

к1

а11ю -р

к1

- + Ь

ю2 +а13ю3

„ 2 | аЬ , 2 і 3

ёк — аю +1 к" + к1 |ю

ёЬ —

I Ь2р рЬа11

—- + -—11 + а

к1 к1

Л

13

1 р Ьа11 р Ь + ь2 ра13

к13 к12

2

ю2 +

ю +

рЬа1

2

ё р —

I 2 р а11

V

к1

- + а3

к12

-а11 -а

р3 а

к13

V 1

+

V

ю +

і

- + Ьр

-+7Г+-

-^-^213+рк,- а.3 +арЬ

2

ю2 +

/

к

ё а —

к

/

-^^2^+к12р

ю +

і

V Л1 у

' ааир ар Ь 2а ; 2

~~+~ ~ к'р

2

ю2 +

2і

„ , аа13р 2, 2 а Ь

2ак1--------2 р Ь - к1 р + —2~

к1 к1

ю3. (1.10)

Теорема 1. С произволом одной функции двух аргументов существуют неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.

Доказательство. Будем вести доказательство теоремы методом Кэлера, используя обозначения,

принятые в [4]. Следуя методу Кэлера, замыкаем равенства (1.10). В результате получим систему внешних дифференциальных уравнений вида:

1 т 1 р у 2 1 , 3

— ёа11 лю —— ёа11 лю I-------ёа13 лю +

к к12 к1

+А1ю лю + В^ю лю І^ю лю — 0,

рЬ , 1 , 1 р2ь , 2

——ёа11 лю +ёа13 лю------------— ёа11 лю -

к^ к13

—рёа13 лю2 +рЬ-ёа13 лю3 + ёа33 лю3 + к1 к12

^^2ю лю + ^2ю лю + С*2ю л ю — 0,

р2 р3

-^— ё а11 лю1 - ё а11 лю1 + ^— ё а11 лю2 +

к12 11 11 к13

2

р 2 р 3 3

+—ёа11 лю -^— ёа13 лю -ёа13 лю + (1.11) к1 к12

+А3ю лю іВ^ю лю +С3ю лю — 0,

где

Полная кривизна 2-го рода К = кгк2. Так как кх Ф 0 , то К = 0 лишь при к2 = 0 . При этом условии из (1.9) находим

1 т 1 2 Ьр 3

Ю3 =—к^ю + рю +---------ю ,

к1

Л 2аа11 + а11Ь + аЬ 2р Ь 2а13р

А1 —------~---1 I ~---------,

к12 к к1 к12 к1

В 2а11р ь 2Ьа13 +ра33 аа11рЬ аа13

к1

к1 к1

С —-2а.. --Ь^.

1

^ 2р3Ь3 арЬ2 рЬ2 а11 2аа11р Ь -р3Ь2а11

А2 — ~ + ~ТТ~ + , 2 + п п +

к13

1

1

к13

к14

+ 2Ьа13 +_

2р2Ьа1

к1

ра33,

А3 — к1

- + 1

(1.12)

і

2аа11 +а11Ь +аЬ 2р Ь 2а13р

V V

В3 — к1

к1 к1

I р2 I

рт+1

к2 к1

к

( 2а11р ь 2Ьа13 +ра33 аа11рЬ аа13^

к1

С3 —-к1

I 2 V

рг+1

к к1

к к к14 к12

-2а11 -^О^-ра113а13 -Ьк1

Пусть

к{ кх

С а11 = у1ю1 + у 2ю2 + у3ю3,

Са13 ^ю +^2ю + Я^ю , (1.13)

С а33 = ц1ю1 + ц2ю2 + ц3ю3.

Строим цепь интегральных элементов

Ег с Е2 с Е3. Для Е1 полагаем ю1 = ю2 = 0 . Величи-

ны у3, Х3, ц3 являются независимыми параметрами, т.е. характеристическое число г1 = 3. Для Е2 полагаем ю2 = 0 . Получаем следующие соотношения:

Х1 = у 3 + кСх,

(1.14)

* — Х3 -рЬС1 + С2,

к1

( р2 і

ір7 +1

к2

V к1 у

С1 + С3 — 0,

+

+

13

2

к

последнее из которых в силу (1.12) представляет собой тождество. Поэтому характеристическое число г2 = 1, а характер цепи ^ = г1 — г2 = 2 . Подставляя (1.13) в (1.1), находим

Y 2 = Yi H ki al

ki

Х2 = -“Y3 - k1B1,

M"2 =-pХ к, кi

(1.15)

Кроме того, возникают соотношения

2

V ЛІ j

I p2 Л

Pr H і

k2

k1

A, H A3 = О,

B, H B3 = О,

a3 = О

pa2 -kia1 = О,

de

ai

2 1 3 Л =-------1 b +—

2 iffl=ffl=o ^ ^ k

вектор e2 II Je2 лишь тогда, когда

2 11 2

a11 =-bk1. (2.4)

Касательный вектор к линии второго семейства

(2.3) есть

dr =a11 e, H—1 e2 NI pe, H k,e2. p

Асимптотическая линия семейства (2.3) будет прямой линией, если

11 сг,

d2 r|

1 P 2

a =—a к

r.N3 — (1

то есть если

-£*^i + ki^i -pCi + Л = 0, k1

являющиеся тождествами в силу (1.12). Из (1.14), (1.15) следует, что построенная нами цепь интегральных элементов не особая, характеристическое число r3 = 0 , характер s2 = r2 - r3 = 1. Так как сумма характеров цепи s1 + s2 + s3 равна числу неизвестных функций a11,a13,a33 системы, т.е. s1 + s2 + s3 = 3, то s3 = 0. Достаточный признак Кэлера выполнен. Решение системы существует. А так как s2 = 1, s3 = 0, то это решение имеет произвол в одну функцию двух аргументов. Тем самым доказано существование него-лономной поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода. Широта класса таких неголоном-ных поверхностей - одна функция двух аргументов.

2. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода,

для которых оба семейства асимптотических являются прямыми линиями

Теорема 2. Существуют неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода, для которых оба семейства асимптотических являются прямыми линиями.

Доказательство. Асимптотические линии него-лономной поверхности вращения данного класса определяются уравнениями

-k1 (со1 ) + рю1ю2 = 0, (2 1)

ю3 = 0.

Как видим, система (2.1) определяет два семейства линий:

ю1 = 0,

dpH^a1;, = paj2 Hdk,

p

k1

А последнее равенство выполняется при a11 = bk1.

Из (2.4) и (2.5) следует

a,, = О.

(2.5)

(2.6)

Итак, для исследуемой здесь поверхности вращения к2 = а11 = 0 . Кроме того, при к2 = а11 =0 из (1.9) имеем

а12 = ^

bp2

22

(2.7)

a23 = b2 -Pai3

k1

Тогда из (1.10) имеем

к1ю12 + Ьрю2 —а13ю3 = 0. (2.8)

Внешнее дифференцирование (2.8) приводит нас к следующему выражению:

da13 HI pa33 - bpk, -

Hb

a -

2bp

k1

ki

2 I

13 U2

21

а1 ла2 = О.

Отсюда следует b

2

2a

2ki + _7 P j

= О,

т.е. возникают три возможности:

2 a2

1) b = 0, 2) 2k12 + — = 0, 3) b = 0, a = 0. P

(2.2) Случаи 2), 3) не имеют места, так как приводят к ра-

(2.3)

ю3 = 0.

Касательные линии к семейству асимптотических (2.2) параллельны векторам е2. Поскольку

венствам 2к12 = —а-, к = 0 . То и другое невозможно.

Р

Переходим к рассмотрению первого случая: Ь = 0 . Тогда из (1.10) и (2.7) следует

а13 = а23 = а33 = а12 = а22 = 0 ,

и

а равенства (1.10) примут вид

ю'з = -kjO1 + рю2,

= 0,

ю2 = 0,

dk = аю2 +kj2ro3,

1 2ар 2 і з

d р = -аю +-----ю +pkj®

k1

(2.9)

d а = kj2pro: +

lo 2 А

2а у 2

~7--------к1Р

k1

ю + 2а^ю .

Нетрудно убедиться, что система дифференциальных уравнений (2.9) вполне интегрируема. Следовательно, рассматриваемый класс неголономных поверхностей вращения существует с параметрическим произволом.

Неголономные поверхности исследуемого класса, существование которых мы только что доказали, обладают следующими свойствами.

Одна из асимптотических совпадает с меридианом, а вторая ортогональна параллели. Действительно, из условия

X 2Х, ё[, е2) = 0

находим уравнения асимптотических

к1 (ю1) — рю'ю2 + к2 (ю2) = 0,

ю3 = 0.

Из (2.10) видим, что при к2 = 0 одна из асимптотических

ю1 = <V, k1

Отсюда и из (2.9) следует

i dv + р • du ю =-----------,

k1

3 dk -а^du

ю = ——2--------,

k

dр = -—dv + —dk, k1 k1

2а

d а = pk1dv +---dk1.

k1

Проинтегрировав последние два уравнения, полу-

чим

р = k1 (c1 cos v + c2 sin v), a = -&j2 (-q sinv + c2 cosv),

ю1 = — dv + _cos v + c2sin v)du, (2.14)

k1

ю2 = du,

ю3 = ^jdk1 +(-c1sinv + c2cosv)du. k1

Деривационные формулы подвижного репера примут теперь вид:

(2.10)

dr =

—dv + ( cos v + c2 sinv)u

e1 + du • e2 +

(2.11)

ю3 = 0

совпадает с меридианом, а вторая

ю1 =ю3 = 0 (2.12)

ортогональна параллели.

Линии тока нормалей е3 неголономной поверхности вращения - прямые линии. Действительно, в силу (2.9) Се3 = 0, вдоль линий тока ю1 = ю2 = 0 . Следовательно, последние - прямые линии.

Векторное поле нормалей неголономной поверхности имеет эквидирекционные поверхности (поверхности, вдоль которых векторы поля параллельны [3]). Эти поверхности являются интегральными поверхностями вполне интегрируемого уравнения Пфаффа

к1ю1 — рю2 = 0. (2.13)

Касательная плоскость к1ю1 — рю2 = 0 к эквиди-рекционной поверхности не меняется вдоль нее. Следовательно, эквидирекционные поверхности являются плоскостями. Линии тока лежат на этих плоскостях.

Зададимся целью найти уравнение неголономной поверхности вращения рассматриваемого класса в неподвижной системе координат. Так как Вю2 = 0 и В(ю1 — рю21 = 0 , то это позволяет ввести параметры и и V следующим образом: ю2 = Си, к1ю1 — рю2 = dv.

+ (-c1 sinv + c2 cos v)du

k1

de1 = dv • Є3, de2 = 0, de3 = -dv • ej.

Отсюда находим

Є =e1cos v + e3sin v,

e2 = S2,

e3 = - sinv + Є3 cos v,

(2.15)

где є1, є2, є3 - постоянные единичные взаимно перпендикулярные векторы. Примем их за базис неподвижной декартовой системы координат. Относительно нее

dr = (c1 _ + e2 + c2 e3) du +

+—_ cos v + _ sin v)dv + -1- dk,e3. ki k12

Интегрируем уравнение (2.16):

dr 1 ,_ _ . 4

— = —(_1 cos v + e3 sin v),

dvk1

следовательно,

Г = k- (_1sin v -_,cos v) + ) (u, k1).

Из (2.16) и (2.17) следует f

(2.16)

(2.17)

dk1

= 0,

т.е. f является функцией только от u .

df ^

du

= c1 Є1 +Є2 + c2 ^

отсюда

f = __1 +_2 + c2_3 )u + Г0.

Помещая начало неподвижной декартовой системы координат в точку M0 (r), мы получаем выражение для радиус-вектора точки M _r) е G :

Г = k- (_1 sin v -_ cos v) + c1u_1 + c2u_ + U_2.

Координаты же точки M относительно неподвижной декартовой системы выражаются через параметры u, v, k1 следующим образом:

1

x = — sin v H c,u, k1 1

y = u,

і

z = -—cos v Hc2u.

(2.1S)

1

Отсюда получаем

k, (x - c, y ) = sin v, k, (-z H c2y ) = cos v,

ki2 (x - ciy)2 H(z - c2y)2

(2.19)

= i.

(2.22)

Меридианы определяются уравнениями

&jK>1 - рю2 = 0,

ю3 = 0,

или, учитывая введенный ранее параметр v, следующей системой:

dv = 0, ю3 = 0.

Отсюда следует, что v = const, тогда из (2.16) получим уравнение

X - Cly = m (-z + C2y), где m1 - константа, m1 = tg v .

Из (2.18) получим

dz

— = m1, dx

откуда имеем

z = m1x + m2,

где m2 - постоянная интегрирования. Таким образом, меридианы определяются системой уравнений

Из (2.14) и (2.19) находим в декартовых координатах уравнение Пфаффа

ку - х)ёх + (с2у - г)ёг — 0, (2.20)

определяющее неголономную поверхность вращения, для которой полная кривизна 2-го рода равна нулю и всякая параллель является геодезической прямейшей. Определяется параллель уравнениями

У — С

(х - сс1 )2 + ( - сс2 )2 — С2 (с12 + С22 )+ с3, т.е. всякая параллель представляет собой окружность.

m,x - z H m2 = 0, x -(c, H c2 m, )y H m,z = 0,

т.е. меридианы - прямые линии. Функция

(2.23)

Р (х — с1 у )2 +(—2 + с2 у )2

для (2.20) является скаляром неголономности. Нетрудно показать, используя (2.14), (2.15), (2.19), что ось вращения

X = с у, г = с2 у

совпадает с особой прямой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Роговой М.Р. К дифференциальной геометрии неголономной гиперповерхности // Укр. геом. сб. 1970. Вып. 7. С. 9S-10S.

2. Синцов Д.М. Работы по неголономной геометрии. Киев: Вища школа, 1972.

3. СлухаевВ.В. Геометрия векторных полей. Томск, 19S2.

4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М. - Л.: ГИТТЛ, 194S. С.432.

Статья представлена кафедрой геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 12 мая 2003 г.