Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.958

Потенциалы для линеаризованного уравнения

Кавахары

Р. В. Кувшинов

Кафедра нелинейного анализа и оптимизации Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, 117198, Москва, Россия

Исследуются свойства решений потенциального типа смешанной задачи в полуполосе для линеаризованного уравнения Кавахары.

Ключевые слова: линеаризованное уравнение Кавахары, решения потенциального типа.

1. Введение

В настоящей работе исследуются свойства решений потенциального типа смешанной задачи для линеаризованного уравнения Кавахары

иг — иххххх + Ьи XXX + аих = / (1,х) (1)

(а и Ь некоторые действительные константы) в левой полуполосе П_ = (0, Т) х (К_ = (0, —то), Т > 0 — произвольно).

Для данной задачи установим начальное условие:

и(0,х) = и0(х), х< 0; (2)

и для £ £ [0, Т] следующие граничные условия:

и(1,0) = иг(1), их(1,0) = «2СО, ихх(1,0) = и3(г). (3)

Впервые уравнение иг — иххххх + Ъиххх + аих + иих = f (1, х) было получено Кава-харой в 1972 году в работе [1] для описания длинных нелинейных волн в средах со слабой дисперсией (см. также [2,3]). В литературе уравнение Кавахары также называют уравнением Кортевега-де Фриза (КдФ) 5-го порядка или сингулярно возмущённым уравнением КдФ (см. [4,5]) иг + иххх + аих + иих = f (1,х).

В работах [6, 7] строятся решения потенциального типа для уравнения КдФ и далее используются для доказательства глобальной корректности смешанной задачи. Глобальная корректность смешанной задачи для уравнения Кавахары в полуполосе П+ была установлена в работе [8], где было построено решение, представленное в виде суммы потенциалов.

В статье [9] с помощью потенциалов исследованы вопросы существования и единственности слабых решений смешанной задачи для обобщённого уравнения Кавахары в П+, если начальная функция (возможно, с некоторым степенным весом на +то) принадлежит пространствам ¿2 или Н2.

Основным результатом настоящей работы является построение и изучение свойств решений потенциального типа для линеаризованного уравнения Кава-хары при ио = 0, / = 0, щ £ Н(к+2)/5(0,Т), щ £ Н(к+1)/5(0,Т), и3 £ Нк/5(0,Т), к ^ 0 целое. Подобные условия гладкости граничных данных являются естественными, поскольку индуцированы свойствами оператора дг — д5 в следующем

Статья поступила в редакцию 12 апреля 2010 г.

смысле. Рассмотрим задачу Коши для линеаризованного однородного уравнения Кавахары при а = b = 0

vt - vxxxxx = 0, v(0, x) = vo(x).

Тогда, если vq G HS(R) для некоторого s G R, то, как легко показать методами работы [10], существует единственное решение этой задачи v(t,x) G С(Rt; HS(R)) и для любого x G R выполняются соотношения

\\D2t,Zv(-,x)\\Hs/5 (Rt) = \\Dl/5 Vx(-,X)^Hs/5(Rt) = ^Vxx(-,X)^Hs/5(Rt) = c^WvoWh - (R).

2. Обозначения

Пусть r](x) — некоторая функция, такая, что r] G Сœ(R), r](x) > 0, r]'(x) > 0 Ух, r](x) = 0 для х < 0, г](х) = 1 для x > 1, г]'(х) > 0 для 0 < х < 1. Положим Р(дх) = дХ — ЬдХ — адх. Далее, если не оговорено противное, будем считать, что I — некоторый интервал на R (ограниченный или неограниченный), к, I, m, п, j - целые неотрицательные числа, р G [1, +го], s G R. Через С£ (I) обозначим пространство функций с непрерывными и ограниченными в I производными до порядка к включительно. Положим Съ(1 ) = С°(1 ). Если интервал I ограничен, индекс b будем опускать.

Символы f = Т[f] и Т-1[f] используются соответственно для обозначения прямого и обратного преобразований Фурье, понимаемых как операции в L2 (R). В частности, для f G S (R) (пространство Шварца быстро убывающих функций)

№ = j e_*xf (x)dx, r-1[f](x) = ±J e*xf (£)<%.

RR

Положим HS = HS(R) = { f : Т-1 (1 + |£|)Sf(0 G ^(R)} . Через HS(I) обозначим пространство сужений на I функций из HS. Свойства пространств HS можно найти, например, в [11].

В дальнейшем если = R, то символ R в обозначениях для функциональных пространств будем опускать: Lp = Lp(R), Съ = Съ(М-) и т.д., а если I = R+ или I = R-, то будем использовать нижний индекс + или —, а именно: Lp,+ = Lp( Lp,- = Lp(R-), Я+ = HS(R+), H S = HS(R-), Cb,+ = Съ(Ш+), = = W£(R+), Wp;_ = W£(R-) и т.д.

Если В - некоторое банахово пространство, то через Съ(1; В) будем обозначать пространство непрерывных ограниченных отображений отрезка I в В (если I ограничен, то индекс Ь, разумеется, опускается). Символы Lp(I; В) используются в общепринятом смысле.

Будем использовать следующее простое интерполяционное неравенство. Пусть к ^ 1, р G [2, +го], m < к. Тогда для любого интервала I существует такая константа с = с(к,т, р), что для любого f G Нк(I)

\\fM\\MD < 4/(k)\\L2(i)\\/\\L_(1) + cW/Wl^ # = ¡(m + 2 — 1). (4)

Решение рассматриваемой задачи строится в следующих классах функций.

Определение 1. Для T > 0 и к ^ 0 через Хк((0,Т) x I) (I может быть R или R_) обозначим пространство функций u(t,х) таких, что

д^и G С ([0,Т];Нк_Хт(1)) , m < к/5, (5)

д1хи £ Съ (/; Н(к_1+2)/Ъ(0, т^ , 1 ^ к + 2, (6)

д^д1хи £ Ь8 (0, Т; Съ(1)), 5т + I < к, (7)

Основным результатом работы является доказательство теоремы о представлении решения линейной смешанной задачи с нулевыми начальной функцией и правой частью.

3. Потенциалы

Решение задачи Коши для уравнения (1) с f = 0 и начальным условием (2) при х G R может быть записано в виде (см., например, [12])

u(t, х) = 1 |Vi(i5+fei3-ai)«0(Ol (х) = S(t, х; ио). (8)

Тогда верна лемма

Лемма 1. Если и0 G Нк, f = 0, то для некоторого Т > 0 решение u(t,x) задачи (1), (2) в пространстве Хк(Пт) (Пг = (0,Т) х R) существует и для любого t0 G (0, Т] справедливо неравенство

NX(nt0) < с(Т,к)\\ио\\н*. (9)

Лемма доказана в статье [8].

Для построения решения потенциального типа для уравнения (1) нам понадобятся некоторые свойства корней алгебраического уравнения

г5 - br3 - ar - гХ = 0, Л G R \{0}. (10)

Если а = b = 0, то корни этого уравнения тривиально находятся и среди них есть ровно два корня ri(A) и г2(Х) с положительной действительной частью и один чисто мнимый корень гз(Л). Тогда для произвольных а и b существует такое Х0(а,Ь) > 0, что при |А| ^ А0 для некоторых констант Ъ > 0 и с1 > 0 корни г к (X) обладают следующими свойствами (нумерацию корней можно выбрать так, чтобы они были непрерывны по Л, г к (-Х) = г к (X), при к = 1, 2 и 3):

Re г к (X) > с1Л|1/5, при к = 1, 2; Re гз(Х) = 0;

H(X) К Ci| А|1/5 , при к = 1, 2, 3; (11)

| ri (X) - rm(X)l > с1Л|1/5, при l,m = 1,2,3 и 1 = т.

В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что \0(a,b) ^ 1 для любых а и Ь.

Заметим, что для уравнения (10) существуют ещё 2 корня г1(Х) и г2(Х) с отрицательной действительной частью и обладающие аналогичными свойствами (см. [8])

Re r-к(X) < -с]А|1/5, |гк(А)| < ?1|А|1/5, |п(А) - Г2(Л)| > 2]А|1/5.

Корни й(А) и г2(Х) используются в статье [8] для построения граничного потенциала для однородного уравнения (1) в П+, а именно, для х ^ 0 и некоторых функций ^(t) G H(к+2)/5 и V(t) G H(к+1)/5 (с дополнительным условием j2(X) = = v(X) = 0 при |А| < Х0(а, Ь)) строится потенциал вида

J +(t,x; ) = Tt 1

fi (\)p^(X)x — Го (\)pfl(X)x Pfl( X)x — p^(X)x

Г1(Л)е~ n) ~(ze— m + e~(l) !m щ)

Г1 (X) - r2(X) n(\) - r2(X)

Введём теперь функцию типа граничного потенциала для однородного уравнения (1) в П—.

Определение 2. Пусть граничные функции (3) и1(1),ик(1),и3(1) € Ь2 ий^А) ик(А) = и3(А) = 0 при |А| < А0(а, Ь). Пусть также

А = А (1, гк(А), г2к(А)) =

1 Ы А) гк( А) 1 гк(А) гк(А) 1 г3(А) гк(А)

Гк(Х)х

(гз - г2)(г3 - Г1)(г2 - п).

По аналогии с А определим А1 [еГк(Х)х, гк (А), гк(А)), Ак (1, еГк (х^х, гк (А)) и А3 (1, Гк (А), еГк (Х)х) путём замены соответствующих столбцов на еГк (Х)х. Тогда для г € К и ж < 0

J(1, х;и1,щ,и3) = 1

Аил*) + (А) + А3!":3(А)

(12)

Теорема 1. Пусть и1 € Н (к+к)/5, и2 € Н (к+1)/5, и3 € Нк/5 для некоторого к > 0, причём и(А) = и2(А) = и3(А) = 0 при |А| < А0(а, Ь). Тогда для любого Т > 0 имеет место неравенство

\\3(■, ■;и1,и2,и3)\\Хк(п-) < с(Т,к) (\\и1\\Н(к+2)/ъ + \\и2\\Н(к+1)/ъ + \\и3\\н*/5). (13) Доказательство. Преобразуем потенциал J следующим образом

J = 3 + Г-

1 - ег3(\)х / 1( А) 1 ( А)

[ А 1 ( А) ( А)

1 гк(А) 1 гк(А)

и2(А) +

и1(А)-

1 п( А) 1 ( А)

щ(А)

= 5 + Г

1

о гз( У) —

С(А)

где

3 = Г—1

(

е

А V

е Г2(

А

г2(а) гк(А)

3( А) 32( А)

ЫА) г2(А)

3( А) 32( А)

14 (А) -щ(А) -

1 гк(А)

1 гк(А)

1 1 ( А)

1 3 ( А)

и2(А) + и2(А) +

1 п(А)

1 3( А)

1 П( А)

1 3( А)

ЫА)) -

и3(А)

Так как г^3(А) — чисто мнимый корень уравнения (10), то его можно представить в виде г3(А) = гр(А). Нетрудно видеть, что функция р(А) — непрерывна и монотонна при |А| > А0, и обладает свойствами: 1р(А)1 < с1А11/5, р'(А) — непрерывна и 1р, 1Л)| ^ с1А14/ъ. Сделав замену £ = р(А), получим

1

Г3(Х)х

С(А)

=

1

гр-1(^)1с(р-1(0)(р -1(0)'

= Б{Ьх, Г-1 [С(р-1(0)(р-1(0)'])

где р-1(0 = е + ье -а£.

Воспользуемся неравенством (9)

\Хк(Пт)

<

з(г,х, г—-1 [с(р-1(0)(р-1(0)'])

< №-1(Шр-1(6)']\\Н < 4(1 + 1Фко(Р-1(0)(р-1(0Ук2 =

1/2

=

(1 + |Ш2*|с {р—1(0)|2 ((р-ЧО)') ^

1/2

< С1

= с П (1 +1р(Х)\)2кс2(Х)(р'(\))-1 ал) < ш /

(1 + |Л|1/5)* (мл)| |Л|з/5 + |«2(Л)| |Л|2/5 + |«а(Л)| |Л|1/5) |Л|2/5/|Л|з/5

<

< с(Т, к) (КУнс^+2)/5 + \\и2\\нс^+1)/5 + \\из\\н*/5).

Для оценки 3 в норме (5) воспользуемся неравенством, установленным в [13]: если некоторая непрерывная функция удовлетворяет неравенству И,е ^ е|£| для некоторого е > 0 и любого £ £ К, то

< с(е)\\П

ь2.

Тогда для любого I заменой Л = £5 с учётом неравенств (11) получим, что равномерно по £ £ К выполняется цепочка неравенств

Л X г

г[ (Л)

егг(X)х

А \

(

Г2(Л) г2(Л) Г3(Л) г2(Л)

щ (Л) —

1 г2(Л) 1 г!(Л)

щ(Л) +

+

1 2( Л) 1 гз( Л)

еГ2(X)X

\ , рг2(Х)% / «з(Л^ — г2 (Л)—А-

п(л) г2(л) гз(Л) Г2(Л)

(Л) —

1 г2(Л)

2 з

1 г2(Л)

и2(Л) +

1 п( Л) 1 з( Л)

«з(лп ал

)

<

< С

у + (х)^ ^|Л|г/5|^1(Л)| +

+|л|(г _1)/5 |«2(Л)| + |л|(г _2)/5|из(л)|) ал

<

< С1(\\е+4ме)\\ь2 + м1+зые )и2 + г+2«з(г)\и2) <

< С2(\\и1\\н(¡+2)/5 + \\«2\н(г + 1)/5 + \\из\\нг/5).

Оценка в норме (6) очевидна при х < 0, поскольку И,е гк > 0, к = 1,2. Оценка д]пд1х,] в норме Ь8(0,Т;С[—1,0]) следует из уже установленных оценок в нормах (5), (6) и интерполяционного неравенства (4) (где следует взять к = 2, т = 0, р = +то):

Ь&(0,Т ;С[_1,0])

<

<

I Т

I-(

1/8

1/4

Ь (_1,0)

з/4 Ь2 (_ 1,0)

+

ь (_1,0),

а

<

ь

2

I X

Ь2

2

ь

2

ь

2,

8

< С\ 8Ир ге[0,т ]

< с2 вир <€[0,Т ]

3/4

Ы-1;0)

3/4

( т

I (

1/8

в 1+2.

1/4

Ы-1,о)

+

1/4

Ь2(-1,0),

<

в1х.

ч ^Р

Ь2(-1,0) же[—1,о]

в 1+27

1/4

ь2(0,т)

+

в! .7

1/4

Ь2(0,Т)

<

< С3 (||и1||Я0+2)/5 + ||М2Уя(г + !)/5 + И^зУяг/5) .

Для оценки в норме Р8(0, Т; С [-то, -1]) заметим, что для любого х0 < 0 ит,1 ^ 0 верно неравенство

вир

Х^Хо

д?д1х.

< С(х0,т, О (||и1 ^2 + ||u2||L2 + ||U3||L2) ,

которое очевидно следует из свойств корней гк(Х). Тогда оценка . в норме Р8(0,Т;С[-то, -1]) вытекает из этого неравенства. □

Рассмотрим задачу в П— для уравнения (1) с начальными и граничными данными (2), (3). Корректность этой задачи установлена в [14]. Целью нашего исследования является уточнение некоторых свойств решений задачи (1)—(3).

Начнём с одного вспомогательного результата. Положим <7>0(х) = и0(х) и для любого натурального т

Фт(х) = д™—1 /(0,х) + р (дх)Фт—1 (х).

Лемма 2. Пусть и0 € Н-,, и1,и2,и3 € для любого к, / = 0, и!та)(0) =

<7>т(0), и^^^(0) = Ф'т(0), и3™\0) = <7т(0) для любого т. Тогда существует единственное бесконечно дифференцируемое решение и(1 ,х) задачи (1)-(3) такое, что для любого к, если 5т + I < 5к, то

I дтд! и II

\дг дхи\\сь(м+;L2,—)

< с( к) (Ыя— + ЬЛтУ^ + + ||и3 Ц^) . (14)

Доказательство. Положим

х2

ф(Ь, х) = щ(1)г1(1 +х) + и2 (Ъ)х Т] (1 + х) + и3(Ь)—Г1(1 + х)

и перейдём от исходной задачи к задаче такого же типа для функции и^,х) = и(1 ,х) - ф(р,х) с нулевыми краевыми условиями, начальной функцией г>0 = и0 - ф(0, •) и правой частью Р = Р(дх)ф - фг. Рассмотрим линейный оператор А = Р(дх) в Р2,— с областью определения В(А) = {р € Н— : р(0) = р'(0) = р" (0) = 0}. Этот оператор является диссипативным: (Ар,р) = 0, и замкнутым. Диссипативным является и сопряжённый оператор А* = -Р(дх) с областью определения В(А*) = {ш € Я— : ш(0) = ш'(0) = 0}. Если замкнутый оператор дисси-пативен вместе со своим сопряжённым, то этот оператор порождает сжимающую полугруппу класса С0 (см., например, [15]), откуда (заметим, что ь0 € В(А) в силу условий согласования) вытекает существование единственного решения , а следовательно, и и, для которого неравенство (14) выполнено при к = 0.

Дифференцированием уравнения (1) по и аналогичными рассуждениями для соответствующей смешанной задачи для производной иг получаем сначала неравенство (14) при к = т = 1, а затем (выражая дХи из самого уравнения (1) и используя (4) для оценки младших производных) при к = 1, т = 0. □

Установим теперь теорему о представлении решения линейной смешанной задачи с нулевыми начальной функцией и правой частью.

8

Определение 3. Пусть и0 = 0, и1,и2,и3 € Ь2(0,Т), / = 0. Тогда функция и(1 ,х) € Ь2((0,Т) х (-х0, 0)) для любого х0 > 0 называется обобщённым решением задачи (1)—(3), если для любой функции ,х), такой, что ф € Ь2(0,Т;Н5), € Ь2(0,Т; Ь2,-) и такой, что (р(1 ,х) = 0 при х < -х0 для некоторого х0 > 0, г=т = 0, Ф>1Х=0 = фх1х=0 = 0, выполняется интегральное тождество

т

[и (фг + Ь ф XXX + а(рх)]4хАЬ+ (и\(V) (ф хххх (г, 0) - Ъфхх(г, 0)) -

п- 0

-и2^)<Рххх^, 0) + из(£)<Рхх&, 0)) = 0.

Теорема 2. Пусть и0 = 0, / = 0, их € Н2/5, и2 € Н1/5, и3 € Ь2и щ(Ь) = и2(£) = и3(£) = 0 при £ < 0. Тогда для любого Т > 0 в П- существует обобщённое решение задачи (1)-(3), вида

и(1 ,х) = 7 (1 ,х;и1,и2 ,и3) + ,х), (15)

где

их(^ ^-на -Хло(\))и1^)№, т® ^-на -хлотм^т,

и3$) = 7 -1[(1 -хло (\)ШЖ1)

(х\0 — характеристическая функция интервала (-Х0,Х0)), а функция ш бесконечно дифференцируема при £ > 0, х < 0 и для любых т, I, х0 > 0 выполняется неравенство

\\дГд1х

Ш\\с([0 Т ]-С[-хо 0]) ^ c(х0, m, 1)(\\и1 \ \ь2 + \ \и2\ \ь2 + \Ы \ь2 ) . (16)

Доказательство. Пусть и1,и2,и3 € Со°+, и рассмотрим построенное в предыдущей лемме гладкое решение и(1 ,х) для задачи (1)-(3). Применим преобразование Лапласа для р = е + %X, где £ > 0, а именно положим

~и(р^ = / е-*и(г,х)<и.

Тогда функция и для любого р удовлетворяет следующему уравнению (при х ^ 0) и граничным условиям:

ри(р, х) - Р(дх)и(р, х) = 0, и(р, 0) = гц(р), Пх(р, 0) = и2(р), ихх(р, 0) = йз(р), где Йь и2, и3 - преобразования Лапласа функций их, и2, и и3 соответственно.

Характеристическое уравнение г5 - Ьг3 - гаг - гХ - е = 0 имеет ровно три корня X, е), Г2(X, £) и гз(X, е) с положительной действительной частью. Поэтому функцию и можно записать в виде

и(р,х) = Е1(Х,е,х)и1(р) + Е2(Х,е,х)и2(р)+,Ез(Х,е,х)из (р), (17)

где в случае = г2 = г3

Я =А1 Я =А2 р =Аз

Е1 = ~К, Е2 = 72, Ез = 73

(смотри Определение 3); в случае равенства двух корней, например, г2 = г3 = г

Д1 =

г2 + гг1(хг - хг 1 - 2)

2г х(У2 - Г2) Гх _

Д2 = -;-~- е--;-— е

(г - г1)2 2

е,х +

(г - г1)2

= Г1Х

(г - Г1 )2

(г - г1)2

пх д^ _ 1 + х(Т ^Гх +

(г - г1)2

(г - г1)2

и в случае равенства трёх корней 1 = 2 = =

2 х2

Д1 = (1 - гх + ух2) е™, Д2 = (х - гх2) егх, Д3 = у егх.

Функции Д1, Д2 и Дз непрерывны (также как и производные любого порядка по х этих функций), более того, их можно по непрерывности продолжить для = 0 и равномерно по £ € [0,1] при х € 0, для любого натурального I:

| дХД1| € с (|А|1/5 + |А|(!+1)/5х + |А|(г+2)/5х2) , I дХД2| € С (|А|1/5 + |А| 1/5х + |А|(г+1)/5х2) , (18)

1 дХДз^ с(|А|1/5 + |А|1/5х2) .

Для доказательства неравенств (18) воспользуемся следующими вспомогательными неравенствами.

Для любой выпуклого множества В и гладкой функции ¡(у) € Н(В), у € С, А) Если |/'(у) € а (а ^ 0) и у, у' € В, то выполняется неравенство

!(у) - Я у')

У- У'

€ а.

В) Если | f''(y)| €Ь (а > 0) и у, у', у0 € В, то выполняется неравенство

¡(у) - К У0) К у') - К У0)

- 0

у' - У0

/(У - у')

€ 2 Ь.

С) Если |/''(y)| €Ь (а ^ 0) и у, у' € В, то выполняется неравенство

К у) - Я у')

-

-/'( у)^ /(у-у')

€ Ь.

Перейдём теперь к доказательству (18). Рассмотрим сначала случай г1 = г2 = г3. Без ограничения общности можно считать, что 0 € Ие Г1 € Ие Г2 и 0 € Ие Г1 € Ие гз, и, если положить х3 = г3 - г1, х2 = г2 - г1 (Ие х3 > 0, Ие х3 > 0), получим

Д1 =

еГ1Х г2г3

еГ2Хг 1Г3

+

е Гзх г1г2

(Г2 - Г1)(г3 - п) (Г2 - Г1)(г3 - Г2) (г3 - Г1)(Г3 - Г2)

=

1 + Г1

еХз'Х _ е«2Х

¿3 - ¿2

- 1 е ^2х 1

2

+

+

1

1

1

¿3 - ¿2

2

1

7'1 X .

23 X

2

23 X

22 X

Д2 =

"(г 2 +Г3)

+

е Г2Х(г 1 + г3)

+

"(г 1 + Г2)

(г2 - Г1)(г3- п) (г2 - Г1)(г3- Г2) (г3- Г1)(Г3- Г2)

= г1 еГ1х

2 (ег<2х — 1 е*зх - 1\ ехз'х - 1 ех^х - 1 - +-+-

3 - 2

2

3

3

2

= 2зх _

3 - 2

Ез =

+

(г2 - гг)(гз - гг) (г2 - гг)(гз - г 2) (гз - Г1 )(гз - г 2)

3 - 2

егзх _ 1 ег2х _ 1

3

2

Пусть И = {г : Ив 2 ^ 0}. Применим неравенство А) для /(у) = еух, где в разных случаях у = г3, у' = г2 или у = г3, у' = 0 или у = х2, у' = 0, а также неравенство В) для /(у) = еух, где у = х3, у' = х2, у0 = 0. Так как Ив хх < 0, то |/'(г)1 < |х||егх1 < 1х1, и |/''(г)1 < 1х121 егх1 < 1х12. Поэтому выполняется (18) для Е1, Е2, Е3 при I = 0.

Оценим теперь производную д1х функций Е1, Е2, Е3:

I-г

д1хЯг = г\Кг + еГ1хУ] С\ г(+1

о=о

Хо 3' е

г3х _

4

г2х

3 - 2

+ г:

I—0 — 1юг3х

егзх +

+ г2~ 3—1 е г2х + п

3 егзх _

-г—-1 е

23 - 22

д1хК2 = г[Кг + е

-1

г\ху ^ С3 .

3=0

,3+1

- -1

2

з

- -1

3 - 2

0 — 3—1 „гзх , ,у0 — 3—1юг2х

+ ,г3 3 егзх + г:

-+

Хо 3е

¿з'х _

2

4 3е

г2х

3 - 2

1

д1хК3 = г\Е1 + еГ1х ^С3

=0

1-3—1

з

1-3—1,

3 - 2

Пусть И = {г : Ив г > 0}. Слагаемые г11Е1, г[К2, г[К3 оцениваются аналогично И,1, И,2, В,3 с учётом множителя г[. Для доказательства оставшейся части суммы применим неравенство А) для ( ) = у х и для ( ) = -1 у х, где у = г3, у' = х2. Тогда получим, что для Е\, Е2, Е3 выполняется (18) для I ^ 1. Рассмотрим теперь случай равенства двух корней г2 = Г3 = г = г

1) Случай 0 ^ Ив г 1 ^ Ив г. Если положить х = г - г\ (Ив 2 ^ 0), получим

Е =

г2 + гх(г + г{)(хх - 2)

егх +

(х + гх)2

=

1 - -1

^ - хе ^

2 1

егх - 1

+ хг 1 ег

Е2 =

2(г + п) -хф + 2г 1) _ 2(х + п)

=

егх - 1

- х г х +

2 1 г х - 1

х

Г1 X

Г2 X

гзх

Г\ X

г 2 х

3

1

г2 х

1

г\х

г\х

Д3 =

ЭГ1Х

1 хх ~ ™ 1 - е2х + -

0 г1х

е2х - 1

Пусть В = {г : Ие г ^ 0}. Применим неравенство А) для /(у) = еух, где у = г, у' = 0, а также неравенство С) для /(у) = е ух, где у = х, у' = 0. Так как Ие гх € 0, то |f'(z)| € |х||ezх| € |х| и |f''(z)| € |х|2|ezх| € |х|2. Поэтому выполняется неравенство (18) для Д1, Д2, Д3 при = 0. Оценим теперь производную д1х функций Д1, Д2, Д3:

—1

дХД1 = г[Д1 + еГ1Х Г, С*г{+1 х—-1 е2х(г + п)+

3 = 0

+( I -з- 1)г 1г14—2 е2х + (1 -з- 2)*

у1 —*—1 о 2х1

1

д1хД2 = г\Въ + еГ1Х^с1 г{ [-(г + 2г 1)хг1——1 е2х+

=0

+2(I -з- 1)г 1Х1——2е2х - (I -з- 2)г1——1 е2х] д1хД3 = г{Д3 + еГ1х^ С{г( [хг1——1 е2х + (I -3- 1)г1——2 е2х] .

1

=0

Отсюда видно, что для Д1, Д2, Д3 выполняется (18) для I ^ 1. 2) Случай 0 € Ие г € Ие г1 и, если положить х = г1 - г (Ие 2 ^ 0), то получим

Д1 = —

(г + г)2 - г (г + г)(х г + 2) г2 е2х

Д2 = —

2г + хх (х + 2г) 2г е2

г2 (е2х - 1 1 - хг +--(--х

-х)

Д3 = —

1 + хг е2х

2г ( е2х - 1 \

х----х

е2х — 1

х

Пусть В = {г : Ие г > 0}. Применим неравенство С) для /(у) = еух, где у = 0, у' = г. Так как Ие гх € 0, то € |х||е2х| € |х| и € |х|21е2х| € |х|2.

Поэтому выполняется (18) для Д1, Д2, Д3 при 1 = 0. Оценим теперь производную д1х функций Д1, Д2, Д3:

дхД1 = ГД1 + егхг

е2х - 1 г--1

2

д1хД1 = г1Д1 + егх С\г*+2 [х1——2е2х\ + С\—1г1—1 [дхД1 - ГД1] , 2,

дхД2 = ГД2 + ег

=0

12

2

е2х - 1

д1хД2 = г1Д2 - егх^С\г*+1 [2г г1——2 е2х] + С^г1—1 [дхД2 - ГД2] , I > 2,

=0

хе2х -

' dxR3 = rR3 + er

еzx - 1

1-2

dlxR3 = rlR3 + erx ^ C¡rj [zl-j-2ezx] + C¡-1r1-1 [dxR3 - rR3], 2.

3 = 0

Пусть Б = {г : Ив 2 ^ 0}. Применим неравенство А) для /(у) = еух, где у = х, у' = 0. Так как Ив хх < 0, то |/'(г)1 < |х||егх1 < 1x1. Поэтому выполняется (18) для К\, К2, Я3 при I ^ 1. Неравенства (18) в случае равенства трёх корней п = г2 = г3 = г очевидны.

Применяя формулу обращения преобразования Лапласа и переходя к пределу при £ ^ +0 (что законно в силу (18)), из представления (17) выводим, что

и(г, х) = Т-1 [К1(Л, 0,х)и1(Л) + К2(Л, 0,х)и2(Л) + К3(Л, 0,х)и3(Л)](г) = = 7(1 ,х;иьо,иь1,иь3) + 7-1[(Я1(Х, 0,х)их(Л) + Я2(Л, 0,х)«2(Л)+

+ Е3(Л, 0, х)и3(Л))х\о(Л)](£) = 7(Ь, х; щ, щ,щ) + , х).

Изучим свойства функции т. Очевидно, что она бесконечно дифференцируема при х ^ 0 и для любых т, I справедлива оценка

\\д1хт(-,х)\\н™ < с(т, 1)(1 + х2)(\\и1\\Ь2 + \\иа\\ь2 + \Ы\ь2).

В общем случае утверждение теоремы получается замыканием на основе неравенств (13) и (16). Теорема доказана. □

Литература

1. Kawahara T. Oscillatory Solitary Waves in Dispersive Media // J. Phys. Soc. Japan. — 1972. — Vol. 33. — Pp. 260-264.

2. Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом // Прикл. матем. мех. — 1988. — Т. 52. — С. 230-234.

3. Ильичев А. Т. О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией // Труды МИАН. — 1989. — Т. 186. — С. 222-226.

4. Pomeau Y., Ramani A., Grammaticos B. Structural Stability of the Korteweg-de Vries Solitons under a Singular Perturbation // Physica D. — 1988. — Vol. 31. — Pp. 127-134.

5. Boyd J. P. Weakly Non-Local Solitons for Capillary-Gravity Waves: Fifth Degree Korteweg-de Vries Equation // Physica D. — 1991. — Vol. 48. — Pp. 129-146.

6. Faminskii A. V. An Initial Boundary-Value Problem in a Half-Strip for the Korteweg-de Vries Equation in Fractional-Order Sobolev Spaces // Comm. Partial Differential Equations. — 2004. — Vol. 29. — Pp. 1653-1695.

7. Faminskii A. V. Global Well-Posedness of Two Initial-Boundary-Value Problems for the Korteweg-de Vries Equation // Differential Integral Equations. — 2007. — Vol. 20. — Pp. 601-642.

8. Кувшинов Р. В., Фаминский А. В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кавахары // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45. — С. 391402.

9. Сангаре К., Фаминский А. В. Слабые решения смешанной задачи в полуполосе для обощенного уравнения Кавахары // Математические заметки. — 2009. — Т. 85. — С. 98-109.

10. Kenig C. E, Ponce G, Vega L. Well-Posedness of the Initial Value Problem for the Korteweg-de Vries Equation // J. Amer. Math. Soc. — 1991. — Vol. 4. — Pp. 323-347.

11. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

12. Cui S., Tao S. Stricharts Estimates for Dispersive Equations and Solvability of the Kawahara Equation // J. Math. Anal. Appl. — 2005. — Vol. 304. — Pp. 683-702.

13. Bona J. L., Sun S., Zhang B.-Y. A Nonhomogeneous Boundary-Value Problems for the Korteweg-de Vries Equation in a Quarter-Plane // Trans. Amer. Math. Soc. — 2002. — Vol. 354. — Pp. 427-490.

14. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Смешанная задача для (26+1)-гиперболических уравнений // Труды ММО. — 1981. — Т. 43. — С. 197-259.

15. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.

UDC 517.958

Potentials for a Linearized Kawahara Equation

R. V. Kuvshinov

Department of Nonlinear Analysis and Optimization

Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198

Properties of special solutions of potential type for a linearized Kawahara equation in a half-strip are studied.

Key words and phrases: linearized Kawahara equation, solutions of potential type.