Об убывании при больших временах решений начально-краевой задачи на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары Текст научной статьи по специальности «Математика»

20. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 13-01-96050 р_урал_а).

Поступила в редакцию 1 июня 2015 г.

Mulyukov M.V. THE STABILITY OF THE LINEAR AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATION WITH DISTRIBUTED AND CONCENTRATED DELAY

A linear autonomous differential equation with distributed and concentrated delay is considered. Effective sharp criteria of the asymptotic and uniform stability are obtained. The criteria are represented graphically.

Key words: delay differential equations; asymptotic stability; uniform stability; effective criteria.

Мулюков Михаил Вадимович, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: [email protected]

Mulyukov Mikhail Vadimovich, Perm State National Research University, Perm, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Computational Mathematics and Mechanics Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.958

ОБ УБЫВАНИИ ПРИ БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ПОЛУОСИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КАВАХАРЫ

© М.А. Опритова, А.В. Фаминский

Ключевые слова: уравнение Кавахары; начально-краевая задача; убывание решений при больших временах.

Рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары, содержащего абсорбирующее слагаемое, которое может вырождаться на конечном отрезке. Устанавливается результат об убывании при больших временах слабых решений.

В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача для обобщенного уравнения Кавахары

иЬ иххххх + Ьиххх + аих + иих + д(х)и = 0 (1)

(а и Ь - вещественные константы) при £ ^ 0, х ^ 0 с граничными условиями

и\г=0 = и°(х)' и1х=0 = их 1х=0 = °" (2)

Уравнение Кавахары

и иххххх I Ьиххх I аих I иих — 0 (3)

было выведено в 1972 г. в работе [1] для описания распространения длинных нелинейных волн в средах со слабой дисперсией и является модификацией уравнения Кортевега-де Фриза

ut + uxxx + aux + uux = 0 (4)

на случай дисперсионного соотношения более высокого порядка. Слагаемое g(x)u с физической точки зрения означает наличие абсорбции в моделируемом процессе.

В работе изучается поведение слабых решений задачи (1), (2) при больших временах.

Заметим, что для решений задачи Коши для уравнения (3) справедлив закон сохранения в L2(R) :

/u"(t,x) dx = i u2 dx, (5)

JR JR

что исключает возможность их убывания по этой норме. Аналогичный закон сохранения справедлив и для уравнения Кортевега-де Фриза (4). В случае рассматриваемой начально-краевой задачи равенство (5) заменяется следующим:

/ u2(t,x) dx + uxx(r, 0) dr = u2 dx. (6)

JR+ J0 JR+

Конечно, наличие 2-го слагаемого в левой части равенства (6) не позволяет утверждать, что убывание решений в норме L2(R+) невозможно, однако положительный результат также неизвестен, так что вопрос о возможности убывания решений задачи (3), (2) в данной норме при t ^ остается открытым.

Заметим, что это вопрос остается открытым и в случае аналогичной задачи для уравнения (4) при краевом условии u|x=o = 0 (во 2-ом слагаемом вместо uxx следует тогда записать ux ). Чтобы построить убывающие при t ^ решения в статье [2] в уравнение (4) было введено дополнительное абсорбирующее слагаемое g(x)u , где функция g предполагалась неотрицательной и строго положительной в окрестности нуля и бесконечности. В дальнейшем в работе [3] было замечено, что последнее условие в окрестностм нуля можно снять. В случае задачи Коши для аналогичного обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза такой же результат был установлен в работе [4].

В настоящей работе результат аналогичный [2] получен для задачи (1), (2). Чтобы его сформулировать, введем некоторые обозначения.

Для любого T > 0 положим П+ = (0, T) х R+ , где R+ = (0, .

Для p € [1, положим Lp+ = LP(R+) , Wpk+ = Wpk(R+) . H+ = W2k+ = Hk(R+) , = Cjk(R+) - пространство непрерывных ограниченных на R+ функций, обладающих на R+ непрерывными ограниченными производными до порядка k включительно.

Определим специальное весовое пространство. Для а € R положим

La,+ = I/(x) : (1 + x)af € L2,+} и введем на нем естественную норму. Положим

T rm+\

dxdt.

ri rm+1

A+(/; T) = sup/ / /2(t,x) m>0 .Jo Jm

Для а ^ 0 введем пространство X а(П+) , состоящее из функций /(¿, ж) таких, что

/ € Сш([0, Т]; ¿2,+), А+(/хх; Т) < и, если а > 0 , то дополнительно

/хх € ¿2(0,Т; ¿2,+1/2)

(символ От обозначает пространство слабых отображений) с естественной нормой.

Дадим определение слабого решения рассматриваемой задачи.

Определение 1. Функция и(£, х) из пространства Ьте(0, Т; Ь2,+) называется слабым решением задачи (1), (2), если для любой функции ф(£, х) такой, что ф € ¿2(0, Т; Н+) , фг € ¿2(0,Т; ¿2,+) , ф|г=т = 0, ф|х=0 = фх|х=0 = фхх|х=0 = 0, выполняется интегральное тождество

п+

и(фг — дХф + ЬдХф + афх — дф) + -и2фх йхЛЬ + и0(х)ф(0,х) йх = 0. (7)

Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема1. Пусть и0 € Ь2,+ , д € . Предположим также, что

д(х) ^ 0 Ух > 0 (8)

и существуют Е > 0, а0 > 0 такие, что

д(х) ^ а0 Ух > Е. (9)

Тогда существуют положительные константы с и с0 , зависящие от ||и0||^2 + и +,

такие что существует слабое решение задачи (1), (2) и € X0(П+) УТ > 0, для которого справедливо неравенство

Iи(г, -)Ць2 + < се-Сог ^ 0. (10)

Замечание 1. Если и0 € Ьа,+ для некоторого а ^ 0, д € , то существование слабого решения задачи (1), (2) в пространстве Ха(П+) для любого Т > 0 и его единственность при а ^ 3/8 доказаны в работе [5].

Замечание 2. В статье [6] аналогичный результат получен для более общего, чем (1) уравнения, а именно,

иг — иххххх + Ьиххх + иих + д1(£, х)их + д(ь, х)и = 0,

но при более сильных предположениях гладкости функции д : равномерно по £ эта функция должна принадлежать пространству ,+ .

В случае интегрирования по полуоси М+ пределы интегрирования будем опускать. Основным утверждением, используемым для доказательства Теоремы 1, является следующая лемма.

1 /2

Л е м м а 1. Пусть и0 € Ь2'+ , д € и выполнены условия (8), (9). Тогда для любого

Т > 0 для слабого решения задачи (1), (2) и € X 1/2(П+) справедливо неравенство

Пи2 йхМ ^ 2с // ди2 йхМ + с ихх |х=0 (11)

]]п+ Л) х=

где константа с зависит от ||и0||^2 + и ||д||ь^, + .

Доказательство. Прежде всего заметим, что из результатов статьи [6] следует, что след ихх|х=0 существует.

Предположим, что неравенство (11) не имеет места. Тогда существуют последовательность начальных функций [щь € Ь^, ограниченная в ¿2,+ , и последовательность

к

+

функций (gfc}fcgN (для которых выполнены условия (8) и (9)), ограниченная в , для

которых соответствующие слабые решения задачи типа (1), (2) ufc(t,x) € X1/2(П+) удовлетворяют условию

2 Яп+ gfc u2dxdt + /0

lim -T--= 0. (12)

/0X u2 dxdi

Положим

ufc (t,x) u0fc (ж) = ^L2((0;T)x(0;ß))' (t'x) = , V02 (x) = •

Тогда

HL2((0,T)x(0,ß)) =1 Vk € N (13)

и функция Vfc является слабым решением следующей задачи:

vt - Vxxxxx + bvxxx + avx + PfcVVx + gfcv = 0, v |t=0 = V0fc• (14)

Заметим, что поскольку € X 1/2(П+) , то € L^(0,T; L2,+) , € L2(0, T; L2,+) и

тогда, в частности, в силу известных теорем вложения € Ь8/з(0,Т; . Следова-

тельно, UfcUfcx,gfcUfc € L2(n+) . Из результатов работы [7, Леммы 4.3, 4.4] следует, что в таком случае для функций при t € [0, T] справедливо равенство аналогичное (6):

У uk(t, ж) dx + J u|xx|x=0 dr + 2 J j g2uk dxdr = J uQ2 dx (15)

(формально оно получается умножением соответствующего равенства (1) на 2u&(t, ж) и последующим интегрированием). В частности, из (8) и (15) следует, что функция ||и&(t, -)||l2 + не возрастает и

Pfc < T1/2||U02||l2,+ • (16)

Кроме того, в силу (12) при k ^

2 ff vidxdt + / vLxL=0 dt ^0. (17)

././П+ ./0

Покажем, что функции v02 равномерно по k ограничены в пространстве ¿2,+ . Действительно, в силу условия (9)

u| dxdt ^ — 11 g2uk dxdt + i i u2 dxdt П+ a0 У./П+ ./0 ./0

и тогда из равенства (15) следует, что

У uq2 dx ^ T u2 dxdt + J u2xx |x=0 dt + 2 gfcu2 dxdt ^

^ (2 + 00т) /Х+ g2u2dxdt + / u2xxL=0 dt + T fofo u2'

и, поэтому,

1 \ /7 /"T

vfcxx- Ix =

J v0fcdx < (2 + От) JJn+ v2dxdt + Jo vQxx L=0 dt + T •

Применяя (17) находим, что

1|У0к Ы + < С. (18)

Тогда из (16), (18) и результатов работы [5, Теорема 1.1] следует, что равномерно по к

NНх°(П+) ^ С (19)

В частности, из самого равенства (14) и оценки (19) следует, что равномерно по к

11^НЬ2(0,Т;Я-3(0,г)) < с(г) Уг > 0.

Переходя к подпоследовательностям (с сохранением обозначений) получаем, что Рк ^ р, 9к ^ д * -слабо в , у0к ^ у0 слабо в Ь2,+ , Ук ^ V * —слабо в Ьте(0, Т; Ь2,+) , Ук ^

^ V слабо в ¿2(0, Т; Я2(0, г)) Уг > 0 , Ук ^ V сильно в Ь2(0, Т; Н:(0, г)) Уг > 0 при к ^ + . С другой стороны, из (17) следует, что Ук ^ 0 в Ь2 ((0,Т) х (Е, , следовательно,

Ук ^ V сильно в Ь2(П+), где ж) = 0 для х > Е. (20)

Пусть ф(Ь,х) - любая пробная функция из Определения 1. Для каждой функции Ук запишем соответствующий аналог равенства (7):

JJ + К {Фг — 95хф + Ъд1ф + афх — дкф) + уУкФх] йхйг + J У0к(х)ф(0, х) йх = 0.

Заметим, что ф € С([0, Т]; Н+2) С С([0, Т]; С^+) . Тогда переходя в полученном равенстве к пределу при к ^ получаем с учетом (17), что

JJ \у(фг — дх5ф + ЪддХф + афх) + рУ2фх] йхМ + ^ у0(х)ф(0, х) йх = 0,

т. е. функция у € Х0(П+) является слабым решением задачи

— дХу + ЪдХу + аух + руух = 0, у|г=0 = у0. (21)

Более того, в силу (20) V € Ха(П+) для любого а > 0. Тогда из [6, Теорема 1.2] следует, что V, Ух € Ь^ ((5, Т) х М+)) , дх> € ¿2 ((5, Т) х М+)) при т < 4 для любого 5 € (0, Т). Это означает, что для решения V уравнения (21) применимы результаты статьи [8, Теорема 1] о единственности продолжения, из которых следует, что в силу (20) х) = 0 в П+ . Следовательно, также согласно (20) Ук ^ 0 в ¿2(П+) , что противоречит равенству (13). Лемма доказана.

Теперь можно доказать Теорему 1.

Доказательство. Пусть сначала ад € ¿2/+ , тогда и € X 1/2(П+) для любого Т > 0. Запишем равенство (15) для функции и:

У и2(Ь,х) йх + J ихх|х=0 йт + 2 J J ди2 йхйт = J и0 йх. (21)

В частности, функция ||и(£, -)||ь2 + не возрастает. Зафиксируем Т > 0 , тогда

/гТ Г + <Х !■

и2(Т,х) йх + 2а0 j J и2 йхйЬ ^ J и0 йх

и, следовательно,

11 и2 йх(И ^ I и0 йх--— I и2(Т,х) йх + I I и2 йх(И.

УУп+ 2аЛ 0 2а0^ У0 У0

С помощью оценки (11) это неравенство можно переписать в виде

u2 dxdt ^ u0 dx--— u2 (T, x) dx + c

n+ 2a0J0 2 a0J V ' ;

t-T

,2 J^sU I I n,2 I dt

П+

gu2 dxdt + u

xx Ix=0

. (22)

Выражая величину в квадратных скобках в (22) с помощью равенства (21) при Ь = Т и используя невозрастание \\п(Ь, -)||ь2,+ , находим, что

ТI п2(Т,х) dx ^ У — ! п2(Т,х) Лх + с(/ п^ dx — J п2(Т,х) dx

и, следовательно,

т. е.

(Т + + с) I п2(Т, х) Лх ^ (+ с) I п0 Лх,

Jп2(Т,х) Лх < 7(\по\\ь2,+, Ыьх,+ )У пО Лх, 7 € (0,1),

откуда стандартным приемом выводим оценку (10).

В общем случае для любого Н > 0 положим п0ь(х) = п0(х) при х ^ 1/Н, п0ь(х) = 0

1/2

при х > 1/Н. Тогда п0ь € Ь2'+ и п0ь ^ п0 в Ь2 + при Н ^ +0. Для соответствующих решений пь задачи типа (1), (2) с начальной функцией п0ь справедлива равномерная по Н оценка (10). Более того, слабое решение исходной задачи п € X0(П+) УТ > 0 может быть получено на основе оценок из [5] как * -слабый предел, в частности, в пространствах Ь^(п,п + 1; Ь2,+) Уп функций пь , и тогда оценка (10) останется справедливой и в предельном случае. Теорема доказана.

2

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. № 1. P. 260-264.

2. Linares F., Pazoto A.F. Asymptotic behavior of the Korteweg-de Vries equation posed in a quarter plane // J. Differential Equ. 2009. V. 246. P. 1342-1353.

3. Pazoto A.F., Rosier R. Uniform stabilization in weighted Sobolev spaces for the KdV equation posed on the half-line // Descrete Contin. Dyn. Syst., Ser B. 2010. V. 14. P. 1511-1535.

4. Cavalcanti M.M., Domingos Cavalcanti V.N., Faminskii A., Natali F. Decay of solutions to damped Korteweg-de Vries equation // Appl. Math. Optim. 2012. V. 65. № 2. P. 221-251.

5. Сангаре К., Фаминский А.В. Слабые решения смешанной задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары // Матем. заметки. 2009. Т. 85. № 1. С. 98-109.

6. Опритова М.А., Фаминский А.В. О начально-краевой задаче в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары // Укр. матем. вестник. 2014. Т. 11. № 3. С. 312-339.

7. Кувшинов Р.В., Фаминский А.В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кавахары // Дифф. уравнения. 2009. Т. 45. № 3. С. 391-402.

8. Шананин Н.А. О частичной квазианалитичности обобщенных решений слабо нелинейных дифференциальных уравнений со взвешенными производными // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 4. С. 608-619.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках реализации государственного задания министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности (код проекта 1.333.2014/К).

Поступила в редакцию 11 июня 2015 г.

Opritova M.A., Faminskii A.M. ON LARGE-TIME DECAY OF SOLUTIONS TO AN INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM ON A SEMI-AXIS FOR THE GENERALIZED KAWAHARA EQUATION.

An initial-boundary value problem on a semi-axis for the generalized Kawahara equation with an absorption term which can degenerate on a bounded interval is considered. A result on large-time decay of weak solutions is established.

Key words: Kawahara equation; initial-boundary value problem; large-time decay of solutions.

Опритова Мария Александровна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Opritova Mariya Aleksandrovna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]

Фаминский Андрей Вадимович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Faminskii Andrei Vadimovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]

УДК 330.4, 519.86, 517.977.5

ОПТИМИЗАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПОЛИТИКИ ФИРМ ИННОВАЦИОННОГО СЕКТОРА

© В.А. Остапов, Н.Н. Оленев

Ключевые слова: динамическая модель; венчурное инвестирование; оптимальное управление.

Статья посвящена исследованию процесса инвестирования в инновационные проекты. Построена динамическая модель жизненного цикла инновационных фирм на основе микроописания соответствующего инвестиционного периода. Поставлена и решена неавтономная задача оптимального управления для фирмы инновационного сектора экономики.

В статье дано построение динамической модели, являющейся упрощенным микроописанием деятельности фирм - объектов венчурного инвестирования типа стартапов или других инновационных проектов.

Основной целью исследования этой работы является изучение влияния различных форм инвестирования на прибыль венчурного капиталиста (ВК) и капитализацию фирмы, которая получает от первого инвестиции, выплачивая обратно определенную часть дохода или передавая часть капитала в его собственность.

Существенным аспектом модели является наличие мультипликатора знаний, влияющего на выпуск инновационных фирм. По своей форме он отражает процесс передачи знаний о ведении бизнеса от инвестора к мелким фирмам, что позволяет вторым успешно выходить на рынок. При этом задачей инвестора является масштабирование бизнеса, т. е. превращение мелкого стартапа в крупную корпорацию. Ниже предложена модель, описывающая жизненный цикл инновационного проекта.