CC BY
13
В.М. Онуфр1енко: ПОТЕНЦ1АЛИ ФРАКТАЛЬНИХ ШАР1В ЗАРЯД1В I СТРУМ1В У ШТУЧНОМУ СЕРЕДОВИЩ1
в-ю®
4 ■ 10
2 10
а.=0 \ \\ Л а,: (r U / \\ II =0,25 .л д \\
/ /а=0,5, >\ Я г ^ 1 ч ос=1 //"> // л ч ч
fit N Л 4 И \ И \ ц \ \\1Г л 1 Ч L \ ШГ\ \ /Ы \i v W л
10 20 30 40 Х,кк
Рисунок 6 - Распределение компоненты Еу2 поля
#(а) - типа при различных значениях дробного индекса а
ВЫВОДЫ
На примере полубесконечного волновода прямоугольного волновода, частично заполненного поперечно намагниченным ферритом с фрактальными свойствами сечения, показано влияние гиромагнитных эффектов на структуру магнитного поля.
Рассмотрена проблема существования "щелевой" волны в анизотропной среде. Показана возможность управления распространением волны за счет варьирования ширины воздушного зазора и величины скейлингового показателя, характеризующего степень фрактальности ферритового заполнения.
Применение интегро-дифференциального математического аппарата позволяет исследовать подобные типы структур произвольной формы сечения путем проектирования на идеально гладкую поверхность [7]. При этом сложная электродинамическая задача сводится к рассмотрению классической задачи об однородном заполнении области веществом, но в терминах а - характеристик компонент поля с классическими предельными условиями типа Дирихле.
Результаты работы могут использоваться для решения актуальных задач об управлении электромагнитным полем в волноведущих системах за счет варьирования скейлингового показателя.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Engheta N. Electromagnetics of Complex Media and Metamaterials // Conf. Proc. International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2002), V.l. - (Kiev) Ukraine, - 2002. - PP. 175 - 180.
2. Angulo С. M. Discontinuities in a rectangular waveguide partially filled with dielectric. // IRE Trans., MTT - 5, 1957. - PP. 68 - 74.
3. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волновод-ных задач. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. - 312с.
4. Onufriyenko V.M. Physical and Geometric Interpretation of Electromagnetic Field's 0C - Characteristics // Telecommunications and Radio Engineering, Vol. 53. - № 4-5, 1999. -PP. 136 -139.
5. Мисюра А.Д., Онуфриенко В.М. Собственные функции и числа прямоугольного волновода с фрактальными широкими стенками // Радюелектрошка. 1нформатика. Упра-влжня. - 2003. - № 1 (9). - С. 12 - 16.
6. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1992. - 416с.
7. Онуфр|'енко В.М. Дифержтегральж ОС - форми у хаусдор-фовж метрик на фрактальних множинах // Радюелектрошка. 1нформатика. Управлжня. - 2002. - №2 (8). -С. 31 - 35.
Надшшла 26.02.04 Шел я доробки 27.03.04
Наведено результаты досл1дження поверхневог моди, що розповсюджуеться у прямокутному хвилевогН, частково за-повненому поперечно намагтченим ашзотропним феритом. Для знаходження ОС - характеристик компонент поля у на-веденому середовищ1 використаний апарат дробового ттегро - диференщювання. Визначена залежшетъ значень поверхневого i.nnedancy та компонент електромагштного поля eid величины скейлшгового показника, що характе-ризуе стутнь фрактальност{ феритового заповнення.
The investigation results of surface wave, which propagates in rectangular waveguide which is partially filled by cross magnetic anisotropic ferrite have been showed. The apparatus of fractional integro - differential calculus has been used to find ОС - characteristics of electromagnetic field components in presented medium. The dependence of surface impedance and electromagnetic field components on values of scaling index which characterizes the degree of ferrite fractal filling has been determined.
Показано зв'язок мiж потенщалом розподгленого по точщ та фрактально структурованого заряду у класичнш
фрактальнш множит заряду (струму) та потенщалом точщ узагальнено у мoдeлi фрактального шару. Демон-
вiдoбpaжeння за допомогою перетворення Кельвта. Модель струеться застосування дuфepiнmeгpaлiв для опису сукуп-
класичного точкового заряду у фрактально структуроватй нocmi фрактальних зapядiв (cmpyмiв).
ВСТУП
Сучасш задач1 електродинамши вимагають створення тако! моде л 1 фрактального штучного середовища [1-2], що штерпретуеться трьома модельними р1зновидами, об'ектом розгляду яких е:
- неоднорадне середовище з фрактального геометри-чною структурою 1 однорщними розподкпами електроди-нам1чиих параметр1в, заряд1в (струм1в);
- однорщне сущльне середовище з фрактально не-однорщними диферштегральними розподшами електро-динам1чних матер1альних параметров, зарядов (струм^в);
- неоднорщне середовище з фрактального геометрич-ного структурою 1 з фрактальними неоднорщними диферштегральними розподыами електродинам1чних мате-р1альних параметр1в, заряд1в (струм1в).
Введения фрактально! моде л 1 штучного середовища пов'язане з необхщшстю формулговання основних р1в-нянь електродинамши у термшах диферштегрального числення [3;4;5].
У зв'язку з цим у сучаснш електромагштнш теорп ви-никае нова задача: за допомогою елеменпв фрактального анал1зу - роздыу розм1ршсно-метрично! теори мно-жин метричних простор1в, що вивчае об'екти за допомогою м1р дробових порядков, на топологи множин ф1зич-них заряд1в (елемент1в струм1в) з\ складною (фрактального) локальною будовою, визначити метрику фракталь-них точкових заряд1в 1 означити ¡нтегродиференщальну структуру сингулярних розподШв [6]. Це приводить до визначення хаусдорфово! м1ру нос1я фрактального заряду (елементу струму) [7].
Вим1рговання вщсташ з подалыпим визначенням вщ-повщно! метрики на покриттях некоординатних меж областей визначення поля простими компактами з розпо-дътами заряд ¡в (струм1в) на фрактальних множинах [6] дозволяе розглядати задачу вимтння заряд1в (струм1в)
q з фрактально структуровано! множини $(ц) с С облает! С з компактною границею ЭС на гладю контури
та поверхш з новим зарядом Я на дС(Б(д') С дй) так, щоб виконувалась р1вшсть потенщал1в заряд!в (струм1в) ц \ ц . Дшсно, це проявляеться у шдход1, що належить Рису [8], заснованому на розгляд1 перетворен-ня Кельвша заряду ¡, що таким чином, зводить задачу про вимп'ання м!ри Д1рака до проблеми р1вноваги.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ/
Розглянемо проекщю а - вим1рного фракталу Т7, на-вантаженого зарядом (струмом) з густиною на еле-ментарний вщр1зок Дх,- = х!+1 - х{ прямолшшно! оа ОХ.
Покриемо проекщю ланками Ах^ку стало! довжини 1 з кшцями, що знаходяться на точкових фрактальних зарядах контуру (¿-номер поколшня покриття). У насту-пному (&+1)-му поколшш покриття зменшуемо довжи-ну ланки Ах1(к+1) < &х,(к). Число вершин
ланок з довжиного Ах^к+1), що знаходяться в границях
ланки к -го поколшня з довжиною Ах1<-к-) ламано! л¡н11, функцюнально залежить вщ В1Дношення до
Ах,
(к+1)
(ДИВ. [5])
N
^¡(к + 1)Ах1(к)
Дх.
ча
К к)
< а < (1)
Отже, м1ра заряду у вигляд1 елементарного моменту Д(2(а^(Аххк+1)), що розподыяеться на лаши (&+1)-го поколшня покриття, визначаеться формулою (з ураху-ванням (1) та незмшноеп початкового
Аа(а)(Ахиы)) = д(а>(М
хДх,/
Ч(к+\)'
Ыы) + <>(Ах,(к+1)))' „(и)
= у(а)-
(Х1(к+1) Х1(к+1) + д(а)-о( Ахим)).
а
-Дх,
¡(к+1)
(2)
Застосовуючи в (2) граничний перехщ, коли
^хик+1) одержуемо
<1<2(а) = ч(а) С1ах , ¿ах = у(а)
1
(х-х'Г
-¿ха. (3)
Пор1внюючи одержаний вираз для моменту заряду та диференшала (3) у випадку нормувального коефщ1ента
= —з виразом дробового диферштеграла [5],
В1Дм1чаемо можливкть ефективного застосування дифер-¡нтегрального апарату дробового порядку для визначення м1р та розм1рностей Хаусдорфа елементарних вщ-р1зк1В, за допомогою яких здшснюеться покриття фрактальних контур1в з розпод1леними зарядами (струмами). Для випадку зм1нно! вздовж оа ОХ густини заряду
(струму) {[^(х) з (3) випливае можлив1Сть використан-ня для опису фрактального розподыу за допомогою дробово! пох1дно!
( ОаГ)(х) =_!_Г 1(0 ¿г = —( 11~аГ)(х),
г(1-а; (к) (хч)" с1х а х
а
О < а < 1 .
МОДЕЛЬ потенц1ал1в та а - ШАР ¡в
Розглянемо зв'язок м1ж потенц1алом фрактально! множини з розпод1лом заряду (струму) та потенщалом вщображення ц1е! множини з використанням перетворе-ння Кельвша [8]. Для цього з кожним зарядом д, що не мае атомно! складово! у точщ х0 , зв'яжемо ¡нший заряд
ц * за формулою нормованого перетворення Кельв1на заряду д
¿д * (х*) = х), (0 < а < р),
(4)
18
185Ы 1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня" № 1, 2004
В.М. Онуфргенко: ПОТЕНЦ1АЛИ ФРАКТАЛЬНИХ ШАР1В ЗАРЯД1В I СТРУМ1В У ШТУЧНОМУ СЕРЕДОВИЩ1
Де е =
хо
(-1;
Р-1
1
Т(\-р + а) и-х0Га
3 урахуванням того, що дробовий штеграл в1д похщ-но! дельта-функцп Д1рака /"б^ е функцюналом, що
дш за
формулою С/«= ,
~ ТУ гу ) Л Л—о.
Г (а) 1 г
о
1
_ Г Лд*(х'*)
^ 0;а8(х* -х'*Мд*(х'*) =
V
|| - х |1"а0^а86с - х'МЯ(х') =
З(д')
З(ч')
II—ос
Х0 X |
В (6) використано формулу для похщно! дробового по рядку дельта-функцп Д1рака
.О» 8(х-х') =
1
Т(-а) (х-х>)1 +
а
а <0-
та
виходячи (
у(а)
з наближеноТ р1вност1
(28(х-(Ахиа,0) (28(х)
Ах1+а Ах1'
\ /
вибираемо у вигляд1 £а /Т(-а), а < 0 , чим забезпе-
„1+а
(коефвдент у (а.)
чуеться нормування та вир1внювання ф1зичних розм1р-ностей) одержуемо июля граничного переходу за умови
Ч
(а)
£ А'Шг)
(7)
Звщси робимо висновок, що густиною одиничного фрактального заряду (елементу струму) а - поля можна вважати
<1д * (х*) = (П_Ь(р-1)Хх - х0)с1д(х) = = (О;а8)(х-х0Мд(х). (5)
Одержане перетворення е шволюцшним: ( д* )* = д .
Зв'язок м1ж потенщалами фа заряд1в д 1 д* з урахуванням (4)-(5) для одновим1рного випадку воображения випливае безпосередньо
(8)
що для зб1жного з вксю ОХ напрямку перетворюеться в
о Бх1+а8(х), а < 0, або о х), р < 1. Повний заряд фрактального а - поля дор1внюе нулю
V *
а його момент
= [ о^гвелЦ-) = и«С8ело)=о,
де
О
V
Ы
(6)
Введения у розгляд а потенщал!В за формулою (6), дозволяе вивести узагальнену формулу густини
д^а^(х) заряду (2 (елементу струму), що вщповщають а - полю, розмщеному в точщ х=0 1 ор1ентованому вздовж заданого напрямку / = (11>12>,..) ¡п) для випад-к1в: 1) класичш точкой 1 заряди у фрактально структуро-ванш точщ: 2) фрактально структурований заряд у класичнш точщ.
Узагальнеш форму ли для густини (х) нормова-
ного заряду (елементу струму), що вщповщають а - полю, враховуючи (3), вщом1 формули дробового штегро-диференцшвання частинами [9]
X
(а+ 0«/Хх) /(х')а+ ОахЫх - х')йх' =
а
х
= -\ь(х-х'ХаЖГХх')<1х'
= №(5(2),\е \)=(0о«(Ш1)=(0о«оХх) =
Одержану густину (8) будемо називати густиною фрактального розподшу (фрактальним шаром) заряд1в (елемешчв струм1в), що е узагальненням означення тра-дищйно застосовних розподШв у вигляд1 так званого простого та подвшного шар1в.
Якщо в (7) покласти значения скейлшгового показни-ка а=0, то утворюеться дипольний розподы заряд1в (елеменпв струм1в) на простому шар1 з густиною
ш
та повним зарядом
Э5
де
,0.
= (5<2,0)=0, якому шдповщае момент
д(80)
де
,(х,е)
= {5о,\е\) = {ш) = <2(х)-
3 (8) для кусково-гладко! двосторонньо'1 поверхш 5,
коли п - нормаль до 5, а \(х) - неперервна поверхнева густина заряд1в (елеменпв струм!в) на 5, одержуемо
д
узагальнену функцш--Д'е за прави-
дп х Ь
лом
= ■ (9)
Узагальнена функщя _ _ С£)"у85,)' згщно з (9),
Э п
описуе просторову густину заряд1в (елемент1в струм1в), що в1дповщае розпод^лу дипол1В на поверхн1 5 з повер-хневою густиною моменту VI х) та ор1ентованих вздовж заданого напрямку нормал1 п на 5 (подвшний шар).
Фрактальш заряди (струми) з ноаями у вигляд1 сукупносп ¡зольованих точок допускають явний опис.
Якщо носш узагальненого заряду (струму) Q<a>(х) е фрактального точкою в х=0, то ¡снуе единий cnoci6 представления
Q(x) = ^CpD*8(x) =
(10)
7=0 |a|<W
де N - порядок Q( х), Ср - деяю сталь
Дшсно, для 9(л')=1 та будь-якого Ах>0 маемо Q(x) = d — Q(x), отже для будь-яко! функцн ф мож-
на записати
Ах )
' f x 1 \
+ Ф N У
(id
су фрактальних об'ект1в за допомогою введения хаус-дорфово! розм1рност1 1 розрахунку хаусдорфово! м1ри з розповсюдженням результате на випадок задач фрактально! електродинамжи.
Розглядувана модель з введениям потеши;шв на фрактальних шарах дозволяе зв'язувати геометричш \ ф1зичш властивост! фрактального середовища, тобто ви-вчати взаемодпо структури та протяжноеп речовини з густиною заряд1в (струм1в) та 1х сумкний вплив на компоненти електромагштного поля.
Введения у розгляд диферштеграл1в дозволяе уза-гальнити розглядувану схему на випадок вим1тання фрактального заряду (струму) з урахуванням моде л 1 фрактального шару з несиметричним розподьтом пози-тивних 1 негативних заряд1в (струмш).
Наведен! результата теоретичного моделювання при-датш до використання у пошуках електродинам1чно активних штучних матер1ал1в ¡з заданими властиво-стями.
де
ф (х) = V ф = a + . Rea> Q) ПЕРЕД ¡К П ОС И Л АНЬ
N т+р;
j=0 |а|<ЛГ
е розвиненням за аналогом (див. [9]) ряду Тейлора.
В (11) перший доданок прямуе до нуля за умови Дх —>+0 а другий доданок не залежить вщ Ах I дор1в-нюе },<ры), де 2 е продовженням 0 на С°°. Отже, (11) набувае виду
|а|<ЛГ
Якщо позначити Со =—--((2, л Л то одержуемо
р гп + р;
зв'язок з фрактально структурованим шаром заряду (струму) у вигляд1
«2,ч>) = ^м/'сряЧго;=^сргор5)Фл
7=0 |a|SJV
J=0 |a|<JV
Для / =0 маемо
(Q,<f>)=ca( Da 8, (?) = (-1)а caDa фГ О; -
f-l)|a| ~ ca=^—(Q,xa).
Г(1 + а)
Таким чином доведено можливють опису (10) сукупно-CTi ¡зольованих фрактальних заря/ив (струм1в) за допомогою диферштеграл1в деякого порядку a , що характе-ризуе скейлшгов1 властивосп конф1гурапп розподкчу.
висновки
Внаслщок розширення класу допустимих значень скейлшгового показника 0 < a < 1 у вим1рюваннях про-тяжност! сильно пор1заних, структурованих, шорстких KOHTypiB (поверхонь, об'ем1в) (класична теор1я буду-еться, як вщомо, для a = 1) з'явилась можливють опи-
1. Engheta N. Electromagnetics of Complex Media and Metamaterials// Conf. Proc. International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2002), V.I.- (Kiev) Ukraine.- 2002.-P. 175-180.
2. Онуфриенко B.M. Учет фрактальных свойств искусственной среды в оценках диэлектрической проницаемости // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника.-2002.-Т.45, № 10. - С.72-76.
3. Engheta N. On the Role of Fractional Calculus in Electromagnetic Theory // IEEE Antennas & Propagation Magazine. Vol. 39, № 4,1997, pp.35-46.
4. Онуфр1енко B.M. Диферштегральж - форми у хаусдор-фовт метриш на фрактальних множинах // Радюеле-ктрожка. 1нформатика. Управлшня. - 2002. -№ 2 (8). -С. 31-35.
5. Onufriyenko V. Physical and Geometric Interpretation of Electromagnetic Field's a -Characteristics //Telecommunications and Radio Engineering, Vol.53(4-5), 1999,pp. 136139.
6. Онуфриенко B.M. Стационарное магнитное поле фрактального распределения токов проводимости// Радиофизика и электроника: Сб. науч. тр./ НАН Украины, Ин-т радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова. -Харьков..-2000.-Т. 6, № 1.-С.7-11.
7. Onufriyenko V. Integro-Differential Charges and Currents Distribution on the Fractal Medium Topology // Conf. Proc. International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2002), V.2.- (Kiev) Ukraine.-2002.-P. 382-384.
8. Ландкоф H.C. Основы современной теории потенциала. М.: Наука.-1966,- 516 с.
9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.
Надшшла 26.02.04
Показана связь между потенциалом распределенного по фрактальному множеству заряда (тока) и потенциалом отображения с помощью преобразования Кельвина. Модель классического точечного заряда в фрактально структурированной точке и фрактально структурированного заряда в классической точке обобщено в модели фрактального слоя. Демонстрируется применение дифферинтегралов для описания совокупности фрактальных зарядов (токов).
The potential of a charge distribution (current) and its mapping using the Kelvin' transformations are constructed. The model of a classical point charge at a structured fractal point and that of a structured fractal charge at a classical point are extended to a model of a fractal stratum. Application of differintegrals for description of a manifold of fractal charges (current) is shown.
20
ISSN 1607-3274 "Радшелектронжа. 1нформатика. Управлшня" № 1, 2004
