Построение воксельных моделей геометрических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 4 (46) 2013

С. Н. Григорьев, докт. техн. наук, профессор, ректор МГТУ «Станкин», г. Москва

М. А. Локтев, аспирант МГТУ «Станкин», г. Москва А. В. Толок, докт. техн. наук, профессор, зав. кафедрой МГТУ «Станкин», г. Москва

Построение воксельных моделей геометрических объектов1

Решение многих задач систем автоматизированного проектирования базируется на воксельных геометрических моделях, поэтому создание алгоритмов эффективного построения таких моделей имеет для практики важное значение.

введение

В итоге работы по созданию принципов геометрического моделирования в САПР накоплен богатый опыт и получено множество различных типов представления геометрической модели (ГМ). Основным и наиболее полным типом описания геометрических характеристик модели является аналитический тип, который, несмотря на сложность его восприятия, считается эталоном полноты и точности в задачах геометрического моделирования. Остальные типы представления ГМ относятся к компьютерным ГМ (КГМ), получающимся посредством дискретизации аналитической модели на полигоны, и по отношению к ней являются упрощенными. Дискретизация позволяет информационно облегчить проектируемую полигональную КГМ, снижая ее точность, но повышая скорость компьютерной обработки. При этом разнообразие типов полигональных КГМ велико, однако принцип их построения базируется на едином облаке точек, принадлежащих модели и представленных пространственными координатами. Отличаются полигональные КГМ топологическим представлением геометрических характеристик, на котором основаны алгоритмы их обработки. В общем

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Минпромторг № г./к. 11411.1003704.05.059 от 31.10.2011.

случае процесс получения полигональной КГМ можно представить как преобразование аналитического типа ГМ (ип) евклидо-вого пространства Eп в дискретную полигональную КГМ (РП):

ип = г(X.....хп) ^ РП = (СПТ(^,р)),

где Dp () — функционал, обеспечивающий целостность представления полигональной КГМ; СП — массив координат узловых точек полигональной КГМ; Т'! — массив описания топологических связей узловых точек Sj и свойств описания этих связей Р ; I — количество узловых точек полигональной КГМ; — количество топологических связей полигональной КГМ.

При этом точность представления полигональной КГМ по отношению к аналитической ГМ целиком зависит от количества узловых точек СП, описывающих полигональную КГМ. В свою очередь, полнота модели характеризуется представленной топологией Т!. Следует отметить, что в выбранной формализации верхние значения являются индексами, а не степенью, как принято в математике.

Графическая кГМ

Компьютерная графическая модель является результатом визуального отображения геометрической модели, имея в своей осно-

№ 4 (46) 2013

ве пространственное распределение точек с цветовыми характеристиками или (в случае современного прототипирования) с физическими свойствами материала.

Графическое представление КГМ можно отобразить на проекции, применяя векторную и растровую графические модели и получив в результате плоское изображение. В процессе объемного прототипирования векторная графическая 3D-модель применима к отображению в векторную (физическую) модель в виде плотно штрихованных горизонтальных слоев для технологий лазерного облучения или спекания [1]. Растровый же образ применим для построения вок-сельной физической модели при использовании послойной проектной засветки в технологиях фотосинтеза [2]. Таким образом, наблюдается преемственность графических моделей к новым современным технологиям послойного синтеза, где синтезируемый прототип относится к результату графического отображения с физическими свойствами (физическая модель).

Процесс графического отображения КГМ (р") можно представить как рП ^ дП,, где д 2 — двумерный графический образ п-го пространства (для современных 1Т д, чаще всего встречается как растровое представление векторного графического образа). Процесс построения векторной физической модели имеет в своей основе векторный (от-резковый) принцип построения из-за векторного принципа перемещения лазерного луча. Этот принцип работы аналогичен принципу работы ЭЛТ, применяемых в векторных графических дисплеях в недавнем прошлом. Послойный набор плоских графических образов д2П посредством светового или температурного лазерного воздействия на соответствующий материал формирует физическую модель ткп, где к — количество слоев, позволяющих наращивать физическую модель ткп вдоль одной из координатных осей пространства Еп. Таким образом, преобразование ГМ в физическую модель (ФМ) формально можно представить тремя последовательными отображениями ип ^ р, ^ д, ^ ткп (д).

Применение воксельного моделирования |

в IT-технологиях позволяет рассматривать ^

КГМ в виде набора растровых графических ч-

образов [3,4] и применять новые компью- g*

терно-графические способы решения задач о

математического моделирования. При этом ^

следует отметить, что общий принцип и ко- ^

личество этапов построения физической <8*

модели сохраняются неизменными: ^

un ^ Vn = { о} ^ gf3 ^ mk (g), s

где Vn — n-мерная КГМ, представленная множеством воксельных графических моделей v }p, поэлементно отображающих геометрические свойства un с числом p.

Отображаемая растровая графическая модель gn=3 является проекцией выбранного 3D-пространства для модели Vn. Послойный синтез физической модели на основе воксельной КГМ отличается лишь применяемым принципом растровой засветки (облучения), позволяющим организовать сплошную засветку требуемой области. Растровый принцип засветки имеет ряд серьезных преимуществ перед векторным принципом, повышая скорость и точность формирования физической модели.

Появление на мировом рынке устройств послойного фотосинтеза на основе засветки DLP-проекторами позволяет приступить к созданию высокоточных настольных 3D-принтеров, конкурирующих в точности со струйными технологиями типа jet. При этом скорость выполнения физической модели не зависит от ее сложности и размеров, а значит, по техническим показателям эта технология имеет явные преимущества.

Проблема применения таких технологий состоит в том, что проектирование сложных геометрических объектов в современных САПР базируется на создании полигональных КГМ, большинство которых представлены лишь отсеками поверхности тела. Послойная растеризация таких моделей заключается в построчном заполнении светящихся точек, относящихся к объекту и по-

№ 4 (46) 2013

гашенных вне него. Набор полученных данным путем растровых графических моделей д2п=3 формирует неполную воксельную графическую модель vn¡ , отображающую лишь единственное свойство — принадлежности воксела телу ГМ vnh о = {дП=3}к. С учетом применения ранее созданных КГМ в существующих САПР число этапов построения физической модели сокращается, включая преобразования р" ^ V" = {дП=3}к ^ т"к(д).

Подкупающая, на первый взгляд, простота такого решения таит в себе ряд подводных камней, которые оборачиваются целыми геометрическими исследованиями с целью построения эффективного алгоритма последовательного перебора отсеков поверхности, максимально учитывающего возможные проявления свойства принадлежности телу объекта. Получаемая при этом во-ксельная графическая модель VI' может представлять лишь отдельный элемент множества } и не является КГМ, поскольку не отражает никаких геометрических свойств ГМ, создавая лишь дополнительное промежуточное представление, не применимое на других этапах геометрического моделирования.

Идея предлагаемого подхода заключается в применении алгоритмов перехода между существующими моделями рассматриваемо мой технологической цепочки с возможно-^ стью замыкания разных типов КГМ на ГМ:

гО

и т" (д) ^ д2"=3 ^ V" о ип о

ц =

£ о р" ^ д"=3 ^ т" (д).

¡5 Постановка задачи

ц

Й Целью работы является решение задачи,

обратной задаче построения полигональной

Ц КГМ: р" ^ ип, т. е. разработка «анализато-

* ра» полигональной модели САПР для возмож-

| ности перехода к воксельной КГМ — V".

§ Для решения поставленной задачи при-а

§ меним кусочно-аналитический метод описали ния контура с применением математическо-| го аппарата R-функций, предложенный еще & в 1982 г. В. Л. Рвачёвым в работе [5]. Такую задачу он рассматривал как задачу автома-

тического построения предикатных уравнений многоугольных областей на плоскости

. В качестве входной информации принимается последовательность x], x1,..., x^, x2! координат вершин многоугольника, в качестве выходной информации — предикатное уравнение F = 1 для границы многоугольника, F = 2 — внутренней области многоугольника, а F = 0 — его внешней области Q0.

Предикатное уравнение прямой, проходящей через точки x1 = (x], x2) и x1+1 = (x]+1, x2+1), в работе [5] рассматривается в виде

s ] (x) = - x]( x2+1 - x2) + x2( x]+1 - x]) - (1) -x2x]+1 + x]x2+1 = 0. ( )

В той же работе доказано, что уравнение (1) является ориентированным уравнением прямой, а, следовательно, функция s((x) > 0 — слева от прямой, на которой лежит вектор x(x(+1, и s((x) < 0 — справа от нее.

Выявленное свойство выдвигает определенные требования к заданию области: если область Q.2 является внутренней областью ограниченного многоугольника (рис. 1) с вершинами в точках x( (( = 1,..., n), то обход этих вершин должен вестись против часовой стрелки и для вершин должно соблюдаться условие xn+1 = x1. Последнее условие указывает на то, что рассматриваемая область замкнута. Соответственно, несоблюдение условия означает, что область незамкнута.

Согласно обозначениям, принятым в теории RFM (R-functional modeling), полуплоскость, ограниченную прямой и проходящую

Рис. 1. Замкнутый контур с обходом против часовой стрелки

№ 4 (46) 2013

О0

О

а

б

Рис. 2. Примеры описания области с разными обходами

' + 1, обозначим через ^2.

через точки х и х Такая область определяется предикатным уравнением 53 [(х) = 2]. В случае выпуклого п-угольника (рис. 2а) область а2 может быть задана логической формулой

а2 =¿2 п... п^п.

Для задания внешней области п-уголь-ника (рис. 2б) логическая формула примет вид

а2 =^2 и... и^п.

Те же формулы справедливы и в случае незамкнутых областей.

Рассмотрим область а2 как пересечение областей а2 и а2, где первая область есть внутренняя область выпуклого п-уголь-ника х1х2...хпх1, вторая область есть внешняя область т-угольника у1у2...уту1. В работе [5] рассмотрен случай, когда область а2 врезается в область а2 через сторону х'х'+1. Дальнейшие рассуждения показывают, что если а((х) = 0,( = 1,...,п, и т■ (у) = 0,} = 1,...,т — ориентированные уравнения сторон многоугольников а2 и а2, которым соответствуют трехзначные предикаты

= 5з [(х)], Т = вз [т(у)], то область а2 можно задать формулой

,(( и... и Т2)

. Ш2„.

Представленную формулу В. Л. Рва-чёв получил заменой £2 выражением Т12 и... и Т2.

Задача построения кусочно-аналитического описания области а2 сводится к рекурсивному разбиению заданной области на выпуклые подобласти с чередованием на каждом шаге рекурсии логических операций «пересечение» и «объединение».

Рассмотрим алгоритм решения поставленной задачи на примере получения кусочно аналитического описания области а2, представленной на рис. 3.

Множество полуплоскостей ^2 (( = 1...17) описывают рассматриваемую область а2. Представим рекурсивное описание формулы, разбив эту процедуру на этапы.

На рисунке 3 пунктирной линией показаны дополнительные отрезки, превращающие область и ее подобласти в выпуклые. Алгоритмически наличие выпуклости можно выявить прямым перебором ^2 всех узлов а2

15

а2 =^2 п...п22_1 щ

п

+1п..

Рис. 3. Замкнутая невыпуклая область а2

53

1 оо

ео £

I

ЭЙ

13

4

№ 4 (46) 2013

с отбрасыванием 22 при обнаружении узлов, попадающих в область ст((х) < 0. Границей подобласти в этом случае является последовательная цепочка узлов, не прошедшая проверку на соблюдение условия выпуклости ст((х) > 0, например, {7,8,9,10,11}. Такая цепочка образует свой контур, который, в свою очередь, подвергается проверке на соблюдение условия выпуклости, путем выделения следующей подобласти, не соответствующей условию выпуклости {9,10,11}, и т. д. вплоть до момента, когда невыпуклые контуры уже не обнаруживаются. На первом уровне рекурсии рассматриваемого примера можно выделить выпуклую область О2:

= ^ п24,5 п25,6 п26,7 п27,11 П

П2Н13 П213,14 П2Н15 П215,1.

Двойная последовательность значений нижних индексов в формуле введена умышленно, поскольку нарушена последовательность обхода узловых точек области О2. Результат компьютерного построения области О^, представленный на рис. 4, отражает результат, полученный на первом уровне рекурсии.

<и л

мз

0

1 *

и

0

е

1

I £

0 со

1

<и

о &

и ё

Рис. 4. Заполнение области О„

На следующем уровне рекурсии рассматриваются области, не вошедшие в описание, полученное на первом уровне:

О2,1 = 22,3 и22,4;

О2,2 = 22,8 и22,9 и29,11;

Включив рекурсивный блок в общую формулу, получим:

о2 = о21 п(о2 и^2,2 и^2,3 и^2,4).

Результат компьютерного построения области О2, представленный на рис. 5, отражает результат, полученный на втором уровне рекурсии.

Рис. 5. Заполнение области О2 на двух уровнях рекурсии

На следующем уровне рекурсии рассматриваются оставшиеся последовательности узлов, не вошедших в выпуклые фигуры предыдущего уровня рекурсии. Для рассматриваемого примера это Ц22 = 2910 п^2011. Полное описание области О2принимает вид:

о2 = п(ц2,1 ио2,г

и(а2,2 )^ц2,З ^^2,4).

Результат компьютерного построения области О2, представленный на рис. 6, отражает конечный результат работы рекурсивной процедуры.

О2 = 22 ^ 22 ; О2 =22

2,3 ^11,12 ^-^12,13' "2,4 _ 15,16

Рис. 6. Заполнение области О2 на всех уровнях рекурсии

Послойное заполнение контуров сечений полигональной модели рП с разложением

54

№ 4 (46) 2013

графической информации по геометрическим свойствам (например, как показано на рис. 7) [3] позволяет перейти от полигональной КГМ к воксельной КГМ.

Полученные принципы можно распространить на пространство с применением трехточечных полупространств. Это позволяет перейти к кусочно-аналитическому представлению модели pn ^ upn, обладающей точностью полигональной КГМ.

Рис. 7. Заполнение области графическим представлением значения функции ирп

Заключение

Несмотря на то, что речь идет о получении кусочно-аналитического описания поверхности геометрической модели, R-функциональный принцип позволяет формировать замкнутые геометрические тела с характерными аналитическому описанию свойствами для каждой точки полученного функционального пространства. Сопоставим R-функциональное представление треугольника и функции окружности, описывающей его. Положение точки максимального значения функции для обеих фигур окажется одинаковым, поскольку предикатная функция, описывающая стороны треугольника, возрастает в направлении, перпендикулярном этим сторонам внутри фигуры. В результате экстремум R-функ-ционального представления треугольника сопоставим с пересечением его срединных перпендикуляров как один из способов нахождения центра описанной окружности. Отсюда следует, что экстремум R-функцио-нального представления любого правильного многоугольника является экстремумом

функции окружности, описывающей этот многоугольник.

Представленный принцип построения во-ксельной модели не только решает задачу подготовки графических данных для процесса прототипирования методом фотосинтеза, но и позволяет расширить возможности использования полученной воксельной КГМ в задачах воксельного моделирования. Это обеспечивается возможностью моделирования тех свойств, которые присутствуют у аналитической ГМ и теряются при переходе к полигональной КГМ. В результате воксельная КГМ приобретает более полное геометрическое представление и может применяться для решения широкого класса задач математического моделирования [6].

Список литературы

1. Авсеев А. В., Камаев В. С., Коцюба Е. В., Марков М. А., Новиков М. М., Панченко В. Я. Оперативное формирование трехмерных объектов методом лазерной стереолитографии // Сборник трудов ИПЛИТ РАН / под ред. чл.-корр. РАН В. Я. Панченко и проф. В. С. Голубева. М.: Интерконтакт Наука, 2005. — С. 26-39.

2. Осинев А. ZBuilder — семь раз отмерь // CADmaster. 2011. № 11. С. 116-117 (электронный носитель): http://9132222.ru/catalog/hard/printer-3d/zbuilder-ultra/.

3. Толок А. В. Применение воксельных моделей в процессе автоматизации математического моделирования // Автоматика и телемеханика. 2009. № 6. С. 167-180.

4. Григорьев С. Н., Толок А. В., Силантьев Д. А., Лоторевич Е. А., Пушкарёв С. А. Автоматизация графического способа решения некоторых математических задач // Прикладная информатика.

2012. № 5 (41). С. 44-50.

5. Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. — 552 с.

6. Григорьев С. Н., Силантьев Д. А., Лоторевич Е. А., Пушкарёв С. А., Толок А. В. Визуализация математического моделирования при определении рабочих поверхностей деталей // Технология машиностроения. Обзорно-аналитический журнал. М.: Технология машиностроения.

2013. № 2 (138). С. 57-60.

1 оа

ео £

I

ЭЙ

55