CC BY
85
№4(22)2009
А. В. Толок
Графические образы-модели в информационных технологиях
Современный этап развития компьютерных графических технологий требует расширения границ их применения в сложных информационных процессах. Визуализация графической информации является однозначно важным, но далеко не единственным способом ее применения. Графическая информация как организованный образ графических данных может и должна активно использоваться в качестве модели исследуемого объекта наряду с его геометрическими моделями.
Недопустимо подменять понятие геометрической модели понятием графической модели, как это часто делается. Геометрическая модель объекта содержит информацию о геометрических свойствах. Ее можно представить аналитическими выражениями, каркасом, содержащим координаты точек и их связи, и т. п. Однако она не готова к непосредственному изображению, поскольку не содержит графической информации в формате изображения. Для визуализации геометрической модели предварительно необходимо задать закон построения графического образа. Можно предполагать, что графический образ является видовой моделью некоторой геометрической модели исследуемого объекта. Ведь часто прибегают к изображению не только геометрических форм объекта, но и материала, плотности, напряжений и т. п., представленных геометрической моделью. Графический образ содержит лишь информацию о цвете в каждой точке изображения и отображает характеристики модели через цветовые сочетания. Неужели изображению уготована участь подмодели? Какую главную особенность должна приобрести графическая модель, чтобы отображать непосредственно свойства объекта, а не его модели?
Изображение объекта с применением проекционных процедур с понижением размерности (перспектива) уже нельзя назвать моделью, поскольку оно теряет обратную связь с объектом-прототипом, хотя оно тоже является компьютерным графическим образом исследуе-
мого объекта. Получается, что одним из требований к компьютерному графическому образу-модели является его соразмерность с объектом-прототипом. Только в этом случае можно говорить об адекватности образа-модели своему прототипу.
Представим себе некоторый реальный объект и его восприятие человеком. Держа в руках гипсовый шар, мы не рассматриваем его координаты, а ведем оценку геометрических свойств через отражение светового луча от поверхности сферы. Таким образом, дифференциальные характеристики объекта через изменение тона складывают наше геометрическое представление о нем. А ведь именно эти характеристики, столь необходимые для изображения объекта, не присутствуют в геометрических моделях или присутствуют в узловых точках каркаса, требуя применения интерполяционных задач для уточнения графического образа. Характеристика изменения наклона нормали в соседних точках объекта является инвариантом, а значит геометрическим свойством, которое характеризует постоянство формы объекта в различных преобразованиях. Выделим это свойство и попробуем промоделировать его на графических образах на основе тоновых изменений цвета.
Зачастую в таком графическом образе можно организовать локальную геометрическую информацию, не содержащуюся в привычных для нас геометрических моделях, позволяющую расширить возможности дифференци-
31
№4(22)2009
а §
i s й
л g
о
а »
а
€ §■
S
«о a
5
»о о €
<з
0 <и
1 »
3
а
ального анализа объекта-прототипа. Далее по тексту такой графический образ определим как образная геометрическая модель. Поскольку такой образ может содержать не только информацию о геометрических свойствах прототипа, то в общем случае можно говорить о некотором образе-модели или, сокращенно, М-образе [1].
На этапе развития систем аналитического проектирования особую роль играет процесс формирования и анализа пространственных объектов. Особое место занимают те графические образы, которые содержат максимально полную геометрическую информацию об аналитическом объекте при его отображении. В этом случае воксельное графическое представление вызывает особый интересу разработчиков аналитических систем автоматизированного проектирования (САПР) в силу упорядоченности, регулярности и индексной соразмерности элементов образа с самим объектом. В работе речь пойдет о способах применения воксельных представлений аналитических объектов проектирования как графической информационной основы в решении задач геометрического моделирования и моделирования оптимизационных процессов в аналитических САПР.
Одним из принципиальных отличий образной геометрической модели (М-образа) от ее графического изображения является широта применения в дальнейших автоматизированных процессах (например, визуализация, оптимизационные и инженерные расчеты и т. п.). М-образ соразмерен с самим объектом, содержит локальные геометрические характеристики объекта, и позволяет порождать новые. Воксельное представление рассматривается как набор кубических окрестностей точек, заполняющих ортогональное пространство геометрического объекта, а значит, содержит возможность определения локальных геометрических характеристик в этих точках. В современных воксельных САПР эти характеристики в основном применяются в задачах рендеринга геометрического объекта в процессе построения плоского изображения его проекции. В результате полезная геометрическая информация является временно формируемой
и не сохраняется для дополнительных применений. Предлагаемый способ воксельного графического представления такой информации позволяет формировать образную геометрическую модель аналитического объекта. Под воксельной графической структурой образной геометрической модели в данном изложении предлагается рассматривать структурную организацию графических данных как целочисленных скалярных полей, нормированных по значению палитры цвета и совпадающих по размерности с объектом. Она отображает свойства (в нашем случае дифференциальные) объекта. Такое качество, как возможность применения воксельных графических структур, в дальнейших расчетах позволяет отнести эти образы к М-образам.
1. Система аналитического проектирования РАНОК
В качестве примера применения воксельных графических структур М-образов в процессе аналитического проектирования предлагается рассмотреть структурную организацию графического ядра в системе рекурсивного анализа на образных компонентах «РАНОК». Эта система изначально готовилась как инструментарий математического анализа сложных аналитических функций. Она имеет два основных блока: иллюстративный и когнитивный, объединенных графическим ядром, которое базируется на применении воксельной графической структуры. Основные блоки системы представлены на рис. 1.
На схеме видно, что организованная на базе М-образов информационная основа позволяет реализовывать в системе РАНОК комбинацию используемых направлений компьютерной графики: иллюстративной и когнитивной. Иллюстративный блок не должен вызывать сомнений в своей принадлежности, поскольку формирует на основе графического ядра традиционное реалистичное изображение объекта, заданного аналитическим способом, с возможностью выделения положительных и отрицательных областей значения. При этом, подобно многим системам воксельной визуализации, здесь доступны всевозможные средства визу-
32
№4(22)2009
§
Рис. 1. Функциональная схема системы РАНОК
ального восприятия пользователем (прозрачность, цвет, вращение, сечения и т. п.). По сути, это визуальный анализ в блоке синтеза системы РАНОК.
Если во многих системах визуализации подобная процедура является основным приемом анализа некоторого результата моделирования, то анализ в системе РАНОК предполагает более сложную процедурную структуру, где иллюстративный блок лишь отображает результаты анализа.
Рассмотрим когнитивные предпосылки блока анализа системы. В системе РАНОК М-об-разы являются внутренними графическими представлениями, позволяющими выходить как на иллюстративные задачи (генерировать изображения исследуемого объекта), так и на задачи, анализирующие исследуемый аналитический объект по дифференциальным характеристикам, которые трудно формализуются существующими методами. Заметим сразу, что М-образы представляют графическую информацию не о самой модели, а о процессе ее дифференцирования. Процесс дифференцирования зачастую относится к достаточно сложным и трудно формализуемым процессам, особенно когда исследуемая функция многомерна или имеет отсутствие гладкости и разрывы.
Система РАНОК базируется на рекурсивном принципе деления области определения функции, что позволяет избежать этих сложностей, пренебрегая понятиями «точка разрыва» и «угол». К алгоритмам, получаемым с использованием М-образов, можно отнести реализацию градиентного метода, определение экстремумов функции и т. п. При этом перечисленные задачи имеют простую формализацию процесса автоматизации на основе внутренней графической информации ядра базовых графических представлений (М-об-разов).
Изначально специальный формульный компилятор РОРТи, заимствованный из инструментальной системы решения задач математической физики [2], со встроенными возможностями конструктивной геометрии (Р-функции), обрабатывает описание исходного аналитического выражения и(х,у,г) и рекурсивно определяет значения компонентов нормали для каждой точки исследуемого пространства. Полученные данные, нормированные в пределах палитры цвета (например, 0,..., 255), заносятся в воксельные массивы и формируют базовые М-образы, достаточные для дальнейшего автоматического определения остальных дифференциальных М-образов. Пример работы генератора М-образов показан на рис. 2 для дву-
33
№4(22)2009
мерного случая. На этом рисунке изображена воксельная графическая структура, содержащая дифференциальную информацию о модели до производных второй степени. Самый нижний образ отображает традиционное высотное отношение точек нуль-поверхности функции.
Следующий уровень представляет компоненты вектора нормали пи =(Аи, Ви, Си). Во-
ксельная графическая структура на рис.2 представлена не полностью, поскольку на третьем уровне должны присутствовать, кроме отношений (ди/дх) и (ди/ду), еще два отношения (ди/ду) и (ди/дх), отображающие относительное отклонение от соответствующих осей Ох и Оу проекции нормали Нрх0упи (рис. 3). На основе этих образов достаточно просто реализуется автоматизация градиентного ме-
8 §
i s
äs
■о g
о
а »
а
€ §■
=
«о a
5
»о о S
а
о
<и %
<и »
a а
Рис. 2. Структура разложения на М-образы функции вида и=х^¡пОтсу/а)+у2 -сшЫх/а), а =1
34
№4(22)2009
Цу Lyx
Рис.3. М-образыdx/dyиду/дх
ьс о 5
тода в пространстве Е3 [3]. Если образы с рисунка 3 представить двумерными массивами графических данных СХУ и сух соответственно, то алгоритм двумерной градиентной задачи сводится к простому описанию:
p+P < х - с, ={cx+1,'+1, Cx+1-', CX+1-'-1} 2 8 1 J
2 - 8 > x - Cx ={CX-^+1, CX-1j, CX"1-j-1};
Cy =
C ={CiJ+1 CiJ C-1-1}
X l^4- X X X J
2+8 < y - Cy ={Cy+1, '+1 ,CyJ+1, Cy-1-'+1}
2 - 8 > y - Cy ={Cy+1 '-1 -Cy''-1, Cy1J-1} '
C ={C'+1-' C' -' C'-1,'} V _ !>y - ^y - ^y J
Cres Сх П Cy,
где Cx Cy — множество элементов строки и столбца соответственно; Cres — искомый элемент индексной таблицы, определяющий направление смещения линии градиентного спуска.
На рис.4 демонстрируются возможности визуализации функции, описывающей форму чашки с примером градиентного анализа одной из ее областей и определения экстремумов.
Пример использования оригинальной организации воксельных графических структур в системе РАНОК демонстрирует многофункциональность приложений в различных задачах математического моделирования [4,5]. Рассмотрим некоторые из них.
Рис. 4. Примеры работы иллюстративного блока системы РАНОК
35
Cx =
№4(22)2009
! -о
I »
0
f
00
1
о
5
I
vsT
0
QJ
1 s
2. Моделирование сложных геометрических объектов на основе математического аппарата R-функций
В последние годы можно отметить возрастающий интерес к аналитическому моделированию геометрических объектов на основе математического аппарата R-функций (RFM). Непосредственно лаборатория прикладной математики Харьковского ИПМ им. А. Н. Подгорного НАН Украины под руководством академика В. Л. Рвачева с 2000 г. начинает совместную работу по созданию аналитических приложений для автоматизированной системы РАНОК. Первая совместная работа [6] посвящена построению уравнений трехмерных локусов, которая выразилась аналитическим описанием модели турбинной лопатки, показанной на рис. 5а. Модель умышленно представлена с эффектом прозрачности, чтобы показать пустотные каналы охлаждения, проходящие вдоль тела лопатки. Активное сотрудничество приводит к постановке проблемы по созданию конструктивных средств автоматизации задания геометрической информации на основе аппарата R-функций [7]. Отмечено, что уравнения простейших трехмерных геометрических объектов могут быть использованы в качестве стандартных примитивов, а построение уравнения поверхности составного геометрического объекта в 3D осуществляется по формуле:
w =
N
IK
i=1
n
N+K
nwi
\i=N+1
=0,
где Wi — область положительных значений функции стандартных примитивов; W, — область отрицательных значений функции стандартных примитивов, а операции Uи П заменяются системами ^-операций {R0}или{Rа}.
В [8] расширено множество {he} — реализуемых функций специальными преобразованиями координат, позволяющими строить нормализованные уравнения стандартных примитивов и разработаны новые подходы к решению обратной задачи аналитической геометрии (задан геометрический объект, требуется написать его уравнение) в трехмерном пространстве на основе теории R-функ-ций. На рис. 56 демонстрируется пример визуализации в системе РАНОК, рассмотренный в [8].
3. Построение математических моделей сложных эконометрических систем
Рассмотрим некоторую абстрактную функциональную математическую модель, использующую в основе производственную функцию [9]. Аналитически система описывается следующими зависимостями:
f ( ф ) = b (b=1);
f (i) = 2ib (b=0,5);
f (k) = 2k + b (b = 1);
F( x) = 3ф1 + 2i05 + (2k +1) ^ opt.
a 6
Рис. 5. Объекты, описанные математическим аппаратом R-функций
36
№4(22)2009
В данной подсистеме три функционирующих системообразующих ресурсных потока: финансовый ф, кадровый k и информационный i.
Результатом исследования является гиперкуб, размещенный одним из узлов в начале системы координат(phi,i,k). Рассматриваемый параметр w (доход) определяется внутри куба в зависимости от заданных закономерностей:
w 1 = афb, w2 = dic, w3 = ek + g, w = w 1 Aw2 Aw3 .
На рис.6 показана кривая градиентного развития w рассмотренной системы, позволяющая составлять долгосрочное планирование с учетом поступательного возрастания рассматриваемых потоков. При этом определяются значения трех потоков в каждой точке градиентного движения.
к
i
Рис. 6. Пример решения градиентного развития системы
Пример является упрощенным, но, по мнению автора, достаточным для демонстрации возможностей предлагаемого метода в реализациях различных постановок более сложных задач в области управления и экономики.
4. Постановка и решение задач
математического программирования
4.1. Формулировка оптимизационной
задачи математического программирования на основе аппарата ^функций
Логические операции на основе функций В.Л.Рвачева
Я0Л = х + у — Vх2 + у2, = х + у х2 + у2,
где х,у — предикатные функции, в последнее | время активно используются в процессах ^ моделирования сложных геометрических ^ многообразий в различных размерностях декартового пространства.
При этом формируются положительные и отрицательные области, а также нулевая граница, характеризующая зрительное восприятие геометрических характеристик формируемого объекта.
Исходим из того, что математическое программирование рассматривает методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Таким образом, постановка задачи сводится к организации такого геометрического пространства, где определяется область допустимых решений со значениями целевой функции внутри (область допустимых планов), а остальная область не должна противоречить решению поставленной оптимизационной задачи градиентным методом.
В общем случае рассмотрим систему ограничений как множество предикатных функций шт,ш2,...,шп для некоторого пространства Еп. Область допустимых решений ш можно организовать как пересечение предикатных функций:
п
ш = П ш,- = шт Л ш2 Л...Лшп.
/=1
При этом граница области ш принимает нулевое значение, внешняя зона пространства Еп области ш становится отрицательной, а во внутренней области присутствует некоторый нелинейный закон распространения положительных значений с экстремальной точкой в центре образуемой границами фигуры. Присутствующие положительные значения внутри области ш создают проблему применения данного подхода в исследовании заданной целевой функции Г, описанной в том же пространстве Еп. Для помещения функции Г в область ш необходимо предварительно обнулить положительные значения внутри области ш.
№4(22)2009
Для этого предлагается использовать главное свойство теории R-функций — сохранение нулевой границы в ходе логических операций над предикатами. Вычтем из полученной функциональной зависимости w ее значение по модулю:
w 0 =w — |w I.
При этом положительная область значений w обнуляется, а отрицательная область обретает более выраженное убывание значений. Сложение пространства целевой функции F с пространством области ограничений w позволяет получить общее пространство функции Fw = F + w0, где значения целевой функции сохранятся на области ограничений w, а на ее границе образуется излом, позволяющий определять экстремальные точки, попадающие на границу области w. Окончательный вид функции F можно записать так:
Fw = F + wо -(1+VF)^max Fw = F +|wо -(1 + VF)|^min,
где F —целевая функция;
w0 — обнуленная область допустимых планов.
Возникает правомерный вопрос о дифференцировании изломов функции Fw. Решить данную проблему позволяет принцип получения дифференциальных образов-моделей g в системе РАНОК. Этот принцип основан на ре-| курсивном дихотомическом разбиении облас-§ ти определения функции и всегда рассматри-5 вает «окрестность излома» с постоянным при-§ ближением. Погрешность решения при этом
§ зависит от заданной глубины рекурсии. »
1 4.2. Иллюстрация примеров решения задач
нелинейного программирования Ш в системе РАНОК
g Рассмотрим применение предложенного
о способа на наглядных примерах математиче-
j ского программирования [10]. Математиче-
8 ская постановка может выглядеть так.
QJ
g Задача 1 (нелинейная постановка)
О
■г Найти глобальный максимум функции z=2х1 — x2 + x2 на множестве решений систе-^ мы
\ х2 < 3
•¡3х, + 2х2 <12 [ х, > 0, х2 > 0.
Решение. Линиями уровня функции z являются параболы (рис.7). Функцию z можно рассматривать как сумму двух вогнутых функций /1 (х1) =2х, — х2 и /2 (х2) = х2 [10]. Поэтомуz — вогнутая функция. Следовательно, локальный максимум функции z будет глобальным. zтах = 4 и достигается в точке О(1;3).
В системе РАНОК нет нужды определять характер функции. Достаточно просто описать в выделенных областях экрана функцию ограничений и целевую функцию (рис. 8). Результат работы системы показан на рис. 9 и представлен в трехмерном пространстве. Искомая точка глобального экстремума выделена окружностью с точкой и совпадает с положением точки О. При этом координаты полученной точки приближаются к точному значению (1,015625; 3,046875; 4,046630859375).
Задача 2 (дробно-линейная постановка)
Найти максимальное значение целевой
функции z=х-х2 ^ х3 на множестве реше-
2 х1 + х3 +1
ний системы ограничений:
• х1 — х2 + 3 х3 =8
¡¡ — х1 + 2 х2 — х3 = 4
• х>0 (/ = 1,2,3).
38
№4(22)2009
Рис. 8. Пример описания системы ограничений и целевой функции в системе РАНОК
Рис. 9. Визуализация результата определения глобального максимума
Решение в силу длительности изложения можно опустить, выделив лишь результирующую точку глобального экстремума в координатах: (20,12,0).
Результат работы системы РАНОК изображен на рис. 10. Точка решения также выделена окружностью и расположена на отрезке области допустимых значений и имеет координаты: X = 20,0390625, Х2 =11,8359375, х3 =0,1171875, z max =0,20197231.
Рис. 10. Решение задачи дробно-линейного программирования
39
№4(22)2009
а §
i s й
л g
о
а »
а
€ §■
S
«о a
5
»о о €
<з
0 <и
1 »
3
а
Сходимость результатов решения данным способом обеспечивается увеличением глубины рекурсии при разбиении области определения функции. При этом следует отметить ряд очевидных преимуществ перед многими существующими способами: применение Я-опера-ций позволяет кусочно описывать области ограничений любой сложности, а применение образов-моделей в контексте системы РАНОК позволяет работать с любой размерностью пространства и любым порядком дифференцирования.
Заключение
Когнитивная графика стоит еще у истоков своих возможностей, но уже можно говорить об инструменте в руках исследователей, охватывающем широкий круг математических приложений на компьютерной основе. Представленный в растровых и воксельных изображениях один из способов применения векторных полей в решении градиентных задач позволяет по-новому рассматривать применение теории полей в системах автоматизации. Такой подход характерен сведением плотности исследуемого поля к максимально наглядному решению. Перечисленные возможности системы еще не описывают весь класс задач, решаемых на регулярных воксельных структурах когнитивных М-образов. Вероятно, такой подход применим для моделирования решений многих научных проблем, упрощая алгоритм их решения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Топок А. В. Синтез компьютерных образов геометрическиххарактеристикдля оценки рельефа поверхности функции двух переменных. Доповщ1 нацюнальноТ академп наук УкраТни. 2004. №4. С. 63-69.
2. Топок В. А., Киричевский В. В., Гомвнюк С. И., ГрвбвнюкС. Н., БувайпоД.П. Метод конечных элементов: теория, алгоритмы, реализация. Киев: Нау-кова думка, 2003.
3. Топок А. В., МыпьцввА.М., КорогодВ.Л. Алгоритм пространственного движения по градиенту
на основе М-образов. Прикладная геометрия и инженерная графика. К: КНУСА 2007. Вып. 77. С. 85-90.
4. Мыльцев А. М., Топок А. В. Элементы математического анализа на основе воксельных отображений // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/ CAM/PDM — 2007): тезисы докладов 7-й международной конференции / под ред. Е.И.Артамонова. М.: Институт проблем управления РАН. 2007. С. 13-14.
5. КорогодВ.Л., Мыльцев А. М, Толок А. В. Решение задач математического программирования в системе аналитического проектирования «РАНОК» / Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD'2008) Материалы 2-й международной конференции. (1-3 октября 2008, Москва, Россия). Т. 2. М.: Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. 2008. С. 122-125.
6. Рвачев В. Л., Толок А. В., Уваров Р. А., Шейко Т. И. Новые подходы к построению уравнений трехмерных локусов с помощью R-функций // Бюлопчш науки. Вкник Запорвького Державного ушверси-тету: збфн. наук. ст. Запор1жжя: ЗДУ. 2000. № 2. С. 119-131.
7. Максименко-Шейко К. В., Мацевитый А. М., Толок А. В., Шейко Т. И. Конструктивные средства метода R-функций для автоматизации построения уравнений сложных геометрических объектов // Вкн. За-порв. державн. ун-ту: Зб1рн. наук. ст. Фв.-мат. науки. Запорв. держав. ун-т. 2004. 2. С. 66-76.
8. Максименко-Шейко К. В., Мацевитый А. М., Толок А. В., Шейко Т. И. R -функции и обратная задача аналитической геометрии в трехмерном пространстве // Ежемесячный теоретический и прикладной научно-технический журнал (с приложениями). М.: Новые технологии. 2007. Вып. 10. С. 23-32.
9. Плоский В. А., Толок А. В., Бондарь Е. А. Визуально-геометрическое представление потокорас-пределения ресурсов в СТС «Прикладная геометрия»// Геометрическое и компьютерное моделирование. Харьков: Харьк. гос. ун-т питания и торговли. 2007. Вып. 16. С. 162-168.
10. Монахов В. М. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике: пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978.
40
