Построение точных решений уравнения синус-Гордона на основе его характеристического кольца Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 49-58.

УДК 517.9

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА НА ОСНОВЕ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО КОЛЬЦА ЛИ

А.В. ЖИБЕР, С.Н. КАМАЕВА

Аннотация. В работе рассматривается схема построения точных решений уравнения синус-Гордона, основанная на ограничении структуры характеристического кольца Ли. Подробно иследован случай, когда размерность пространства коммутаторов длины 6 равна 1.

Ключевые слова: солитоны, векторные поля, кольцо Ли.

Mathematics Subject Classification: 34A05, 35B06

1. Введение

Известно, что метод обратной задачи теории рассеяния позволяет строить точные решения уравнения синус-Гордона

и

'Ху

еи + е-ад,

так называемые солитоны (см., например [1], [2]).

В настоящей работе рассматривается альтернативный подход к построению точных решений уравнения (1) на основе характеристического кольца Ли.

Характеристическое кольцо А уравнения (1) порождается векторными полями см. [3].

д _ д д д ^1 ду + Ul ди + ^ ди1 + ди2 +

д

дщ

Здесь щ = иу, и1 = их, и2 = ихх,..., / = еи + е-и, а И — оператор полного дифференцирования по переменной х. Пусть Ьп — линейное пространство коммутаторов, образующих длины п — 1 , п = 2, 3,.... Тогда характеристическое кольцо Ли А представимо в виде

а =

i=2

Положим

Lr.

г=2

и.

A.V. Zhiber, S.N. Kamaeva, Construction of exact solution to Sine-Gordon equation on the base of its characteristic Lie ring. © ЖИБЕР А.В., КАМАЕВА С.Н. 2016.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 15-11-2007). Поступила 6 июля 2016 г.

Полное описание структуры кольца Ли А приведено в [3]. Для кольца А в частности справедливы формулы

[

сИтЬп = { ' р ,к = 3,4,...,

1, при п = 2к — 1.

¿гт,Ь2 = 2, д1%тЬз = 1, ¿¡т,Ь4 = 1, д1%тЬ5 = 1.

Точные решения уравнения (1) N-го порядка возникают, если на пространство наложить условие

= -1 + 1.

В работе исследуется случай N = 3. В общей ситуации = 7 и линейное про-

странство £б порождается векторными полями Х1,Х2,Хз = [Х2,Х1],Х5 = [Х1,Хз], Х7 = [Х1, Х5], Х8 = [Х2, Х7], Х9 = [Х1,Х7]. При этом всегда ¿гт^г = г,г = 2, 3, 4, 5 и справедливы формулы

[Б,Хз] = —ГХ2, [В,ХЪ] = ¡'Хз — ¡Х1,

[о,х7] = ¡'х5, [о,х8] = ¡Х5, [о,х9] = —¡х8 + ¡'х7, ( )

где И — оператор полного дифференцирования по переменной х. Полное описание нахождения этих значений можно найти в работе [3]. Исследуем два случая = 6 и = 5.

2. Характеристическое кольцо Ли в случае = 6.

В этом разделе мы получим условия на решение уравнения синус-Гордона, когда = 6, то есть, = 1. А именно рассмотрим два случая:

1) Векторные поля Х1, Х2, Х3, Х§, Х7, Х9 - линейно независимы, а Х8 является их линейной комбинацией.

2) Векторные поля Х1, Х2, Х3, Х5, Х7, Х8 - линейно независимы, а Х9 является их линейной комбинацией.

Пусть выполняется первый случай, то есть

Х8 = а1 Х1 + а2 Хз + аз Х5 + а4 Х7 + а5Х9,

тогда

[В,Х8] = [Б, «1X1 + ^Хз + + а4X7 + а5Хд]. По свойству коммутаторов последнее соотношение можно записать в виде

[Б, Х8] = оц[И, Х1 ] + 0(а1)Х1 + а2[0, Хз] + И^Хз + азр, Х5] + 0{аз)Х5+

+ а4[0,Х7]+ 0(аА)Х7 + а5 [0,Х9] + 0(а5 )Х9.

Используя формулы (2), получим [Д Х8] = —ах!Х2 + В{ах)Хх — ^Г Х2 + И^Хз + аз/'Хз — аз/Х^

+ 0(аз)Х5 + а,4$' Х5 + Б(а4 )Х7 — а1а5/Х1 — a2aъfXз — aзaъfXъ—

— а4а5!Х7 — а5а5!Х9 + Х7 + 0(а5 )Х9.

Но с другой стороны

[В,Х8] = ¡Х5,

поэтому можно приравнять коэффициенты при независимых операторах Х^ и получить систему уравнений

И(«1) — «э/ — «1«б/ = 0, (3)

—«1/ — «2 / = 0, (4)

И(«2) + «э!' — «2«ъ! = 0, (5)

И(аэ) + а4 / — «э«/ = I, (6)

Б(а4) + а / — «4а/ = 0, (7)

Б(а5) — = 0. (8) Таким образом справедливо утверждение:

Лемма 1. Если Х1,Х2,Хэ,Х5,Х7, Х9 линейно независимы, а Х8 является их линейной комбинацией, то справедливы соотношения (3) - (8).

Исследуем систему уравнений (3)-(8). Если « = 0, то эти уравнения перепишутся в виде

И(«1) — «э/ = 0, (9)

—«11 — «2 / = 0, (10)

И(«2) + «э / = 0, (11)

И(«э) + «4 /' = I, (12)

И(«4) = 0. (13)

Легко проверить, что случай «1«2 = 0 не реализуется. Пусть теперь «1«2 = 0. Выразим «2 в уравнении (10) через «

«2 = —у, (14)

и продифференцируем его, учитывая, что 1 — у^ = — ^, будем иметь

И(«2) = —И(«1) £ + .

Учитывая последнее равенство и соотношение (9) и (11) получаем, что

и1«1

= . (15)

Теперь из (15) и (9) получим дифференциальное уравнение

Р(«1) = и±£ «1 Г ,

решение которого имеет вид

«1 = Ф(у) Г. (16)

Отсюда, используя формулы (14) и (15), найдем

«2 = —Ф(у) I. (17)

«э = щф(у). (18)

А из уравнения (12) следует, что

f — и2ф(У)

«4 =-у,-. (19)

Осталось показать, что И(«4) = 0. Для этого надо решить следующее уравнение

Продифференцируем его и выразим

из/' — 4142/' (20)

Поскольку И(ф(у)) = 0, то, применив оператов И к правой части (20), получим

ЩП4 /' — щщ/' — и1^/'

и2/'2 — 2и1и2из/2 + и\и2/2 которое выполняется, если только

0,

и1 и4 — и2из — и\и2 = 0. (21)

Таким образом, из соотношений (16)—(21) следует справедливость следующего предложения:

Теорема 1. Если а5 = 0, то решение системы уравнений (3)-(8) имеет вид &1 = —-4и1 ^ г, а2 = —гт^—1, = —тт4-1—1, ®4 = из{—и1и2? , и при этом справедливо

1 из} —и1и2}' 2 из} —и1и2}' з из} —и1и2}' 4 из}' — щи2} ' 1 1

равенство (21).

Случай, когда а4 = 0 приводит к соотношению

и3/ — 4142/' = 0, (22)

решение которого в силу уравнения (1) имеет вид

и = и(х + у).

Далее рассмотрим уравнение (21). Для этого перепишем его в виде

и2и3 , 2 /Оо\

и4 =--+ и^и2, (23)

и1

и применим к нему оператор И в силу уравнения (1). Если расписать каждую производную по отдельности

Бщ = иху = еи + е—и,

В и2 = И/ = {еи — е—и)и1,

В и3 = В2 / = (еи + е—и)и\ + (еи — е—и)и2,

5 и4 = Бз/ = (еи — е—и)и1 + (еи — е—и)из + 3(еа + е^и^, (24)

то правая часть уравнения (23) примет вид

2

из (еи — е—и) + ^ (еи — е—и) + и!(еи — е—и) + 3ЩЩ (еи + е—и) — ^ (еи + е—и). и1 щ

Приравняем последнее соотношение к (24) и после некоторых не сложных преобразований получим

еи — е—и

из = и1и2-. (25)

з 1 2еи + е—и к '

Уравнение (25) совпадает с (22). Таким образом, решение и(х,у) уравнения (25), удовлетворяющее уравнению (1), имеет вид

и = и(х, у),

то есть

и" = /(и). (26)

Нетрудно показать, что решения уравнения (26) удовлетворяют уравнениям (22) и (23). Таким образом, в первом случае 1) при условии а5 = 0 решения уравнения синус-Гордона (1) задаются уравнением (26).

Пусть теперь «5 == 0, тогда из уравнения (8) получаем, что

«5 = р( )1 _ , (27)

Р (у) — 111

где Р(у) функция, зависящая от у.

Если = 0, то из (3)-(7) получаем, что «4 = . Поскольку И(«4) = —4, то

соотношение (7) перепишется в виде

—4и1( Р (у) —иц) + 1 'э — ' =0 ( Р (у) — щ)!'2 .

Следовательно, имеем равенство

Г + Щ(Р (у) — щ) = 0.

Нетрудно показать, что в этом случае и2 = 0. Из этого следует, что и = сопз¿.

Теперь рассмотрим случай, когда а1а2а3, == 0. Если выразить «2 и « через «1, то будем иметь те же самые соотношения (14) и (15). Подставляя их в (3), получим дифференциальное уравнение

D{al_) = Ui¿ + f

Его решение имеет вид

Р (у) - щ

Следовательно, формулы (14) и (15) перепишутся в виде

«i f Р(у) -Ui'

«i = ^(У)П ■ (28)

ci(y)f uici(y)

«2 = -— , «3 = -—. (29)

Р(У) - ui Р(y) - Ui

Осталось найти «4 из уравнения (6)

f и2С1(У) . ,

«4 = 77 — -. (30)

Г (Р (У) — и1)Г

Осталось рассмотреть уравнение (7). Для этого вычислим

—4 и1 иэ 1( ) и1 и2 1( ) и2 1( )

И(«4) = — ^^-РТ77 +

f2 (Р (у) - Ui)f> (Р (у) - Ui)f '2 (Р (у) - m)f>' и подставим полученное в (7). Тогда справедливо соотношение

Ci(y)(uiu2f - U3Í") = 4f' + 4щ(Р(у) - Ui). (31)

Пусть ci(у) = 0 или UiU2f - U3f' = 0, тогда ai = а2 = а3 = 0, а4 = -р, и справедливо

Р(y) = Ui -

Ui

Но поскольку

D(Р (У)) = U2Í = 0,

и1

то этот случай не реализуется, так как из него следует, что и2 = 0.

Рассмотрим другой случай. То есть пусть с^у) и и1 и2/ — иэ/' одновременно не равны нулю. Тогда из свойств х - характеристического кольца следует, что « может зависеть только от производных по х функции и, поэтому решение существует только тогда, когда

Р(у) — и1 = В(и,и1,и2,...). (32)

Подставим (32) в формулу (31) и выразим С\(у)

4 f + 4щВ

ci(y) =

UiU2¡ - u3f

используя то, что D(с1(у)) = 0, можно продифференцировать последнее равенство и найти В. То есть

B(u1u4 — U2U3 — lú\u2) — u^u2f' + u4f' — ulf = 0. Таким образом, если u1u4 — u2u3 — u\u2 = 0, можно выразить В и применить к нему оператор дифференцирования D. Тогда, учитывая, что

D(B) = — f, (33)

получим обыкновенное дифференцирования уравнения вида

u2u5 — u3u4 — 3u\u2 = 0, (34)

осталось рассмотреть случай, когда а4 = 0. Легко проверить, что тогда справедливы формулы (28)-(29) и следующее тождество

U2Ci(y) — f(P (у) — щ) = 0

Исследуем его. Для этого выразим С\(у) и продифференцируем. В итоге получим

B(u\u2f' — щ f) = u2f2.

Используя это соотношение, нетрудно показать, что уравнение (8) не выполняется. Поэтому случай а4 = 0 не реализуется.

Таким образом, была доказана теорема:

Теорема 2. Если а5 = 0, то решение системы уравнений (3)-(8) имеет вид

а = 4U2Í' а = -4U2Í а = 4и±и2 а = '4 U2Í-Ujf+u2f'

1 V-ÍU2Í '-Uif '+v-2f 2 uju2 f-U4 f+u2f> 3 v2U2Í '-u4f '+v2f> 4 U^U2f-U4f+Ul2 f'

U1U4-U2 w¿+u1u2 /юг-)

a5 = u2v4f_u+Lv2f и справедливо соотношение (35).

Рассмотрим задачу построения решения системы уравнений (34), (1). При этом предполагается, что выполнено условие

u1 u4 — u2u3 — U\u2 = 0. (35)

Исключая случай

U2 = 0, (36)

уравнение (34) можно записать следующим образом

u4\ 3 ^ 2

" -2D(UÍ) = 0'

то есть

3

44 = 2и2и2 + Ф(у)и2. (37)

здесь ф(у) — произвольная функция. Итак, уравнения (34) и (37) эквивалентны. Отметим, что решения уравнения (36) удовлетворяют обоим уравнениям (34) и (37), и при этом нарушено условие (35).

Далее к левой и правой части уравнения (37) применим оператор И и, учитывая формулы

ВВи = еи + е-и, В2)и =(еи — е—и)и1, Вз)и = (еи + е—и)и\ + (еи — е—и)иъ 04Г)и = (еи + е—и)и\ + (еи — е—и)щ + 3(еи + е—и)щи2,

будем иметь

и = 2и1 + ф^и +Ф(у)и1. (38)

2

Отметим, что решение и системы (34), (1) удовлетворяет уравнению (38). С другой стороны, уравнение (37) эквивалентно уравнению

щ = 1и1 + ф(у)и1 +Р(У). (39)

Итак, решение и системы (38), (1) удовлетворяет одновременно и уравнению (38) и уравнению (39). Следовательно, это решение удовлетворяет уравнению

Если ф(у) == 0, то

= »(У)- (40)

-= т(е'—(41)

и = 2^-(е~ + е-)+ы(у), (42)

и следовательно,

=

п 2Ф'(у)

с другой стороны, из (41) следует, что

и = тМ^ + е-и)и1. (43)

ф (У)

Теперь подставим производные (42) к (43) в уравнение (39) и получим

(2ш(у)+ф(у))и1 + »(у) = 0. (44)

Если 2ш(у) + Ф(у) = 0, то из (44) следует, что к(у) = 0, и тогда из (41) имеем (36). Если 2^(у) + ф(у) = 0, то из (44) получаем, что

»(У)

щ = — 1-

^Ш(у)+Ф(у)

следовательно, приходим к уравнению (36).

Если ф'(у) = 0, то ф(у) = с2(у), где с2(у) - постоянная, и из (40) получаем, что к(у) = 0. Тогда уравнения (38) и (39) принимают вид

Щ = 1 и1 + С2(у)щ.

Вычислим выражение (35)

и2и2 + С2(у)^ и1 — 1ги31 + С2(у)и^ — и^Щ = 0.

Итак, условие (35) нарушено. Следовательно, случай «5 = 0 не реализуется. Рассмотрим случай 2). Тогда

Х9 = Р1Х1 + Р2Х3 + 1З3Х5 + РХ + 135Х8. (45)

Аналогично первому случаю получим систему

ИШ — М = 0, (46)

—№ — М' = 0, (47)

0(/32)+/ЗэГ = 0, (48)

Б(Рэ) + + М = 0, (49)

ИШ = Г, (50)

от = — I. (51)

Покажем, что этот случай можно свести к предыдущему. Легко видеть, что в уравнении (51) Р5 = 0. Следовательно, Х8 можно записать

Х8

32 у Р4 г , 1 г

--7ГХ1 — — — ——Х7 + ——Лд.

3:

Рэг 34

35 1 35 э 35 5 35

35

(52)

Пусть в соотношении (52) Х1, Х2, Хэ, Х5, Х7, Хд линейно зависимы, а Хд можно выразить через Х1,Х2, Хэ, Х5, Х7. Это значит, что и Х8 можно выразить через них. Следовательно, Х]^, Х2, Хэ, Х5, Х7, Х8 лиейно зависимы, что противоречит заданному условию.

3. Характеристическое кольцо Ли в случае = 5.

В этом параграфе исследуется решение уравнения синус-Гордона, для которого алгебра конечномерна и ее размерность равна 5. То есть рассмотрим случай, когда Х1, Х2, Хз,Х5,Х7 — линейно независимы, а Х8 и Хд являются их линейной комбинацией. То есть

Хд = Х1Х1 + \2Хз + АзХ5 +

и

Х8 = Ц1Х1 + ^2Хз + ЦзХ5 + ^4Х7. Тогда справедливо равенство

[А Хд] = [Д А1Х1 + А2Хз + АзХ5 + АХ] = ?Х5

и

[Б, Х8] = [Б, Ц1Х1 + /12Хз + ЦзХ5 + цХ] = —¡Х8 + ¡'Х7. Используя формулы (2), раскроем коммутаторы, и получим систему уравнений

Б(А1) — Аз! = 0, (53)

—А^ — А2Г = 0} (54)

П(А2) + АзГ = 0, (55)

И(Аз) + А4!' = ¡, (56)

Б(А4) = 0, (57)

—цз/ = —А1 /, (58)

—Ц1! — ^ ' = 0, (59)

0(^)+Цз! ' = —А21, (60)

0(цз)+ц41 ' = —Аз ¡, (61)

Б(ц4) = —А4! + !'. (62)

Легко видеть, что уравнения (53)—(57) совпадают с уравнениями (9)—(13). Значит, для них верны условия теоремы 1. Поэтому, можно считать, что коэффициенты Аг найдены. Найдем Цг, при г = 1,..., 4.

Из формул (59) и (60) выпишем

Ц2 = — , (63)

Цз = ^Г. (64)

Подставим (64) в (58). Получим неоднородное дифференциальное уравнение вида

) — у = —ff'(p(y),

решение которого дается формулой

= !'с(у) — й1/^(у).

Тогда из формул (61), (63) и (64) можно найти остальные коэффициенты. А именно

Ц2 = —/с(у) —йlfp(y), (65)

Цз = Щ с(у) — '¡¿^¡р(у), (66)

щ П2^(у) — щ с(у) Ц4 = -у,-. (67)

Уравнение (62) с учетом формул (19), (67) примет вид

4 f

с{у) = щ<р{у) +

U3f - UiU2f

Просмотрим все возможные случаи его решения. Нетрудно показать, что из условия с(у) = 0 следует, что U2 = 0. Если с(у) = 0, то, учитывая уравнение (21), получаем

u2f + uju2f' — u,f' = 0. (68)

Теперь из (21) и (68) будем иметь

Usf' — UiU2f = 0.

Последнее не выполняется . Итак, справедливо утверждение:

Лемма 2. Если размерность характеристического кольца Ли равна 5, то уравнение синус-Гордона не имеет решении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. Под ред. С.П. Новикова М.: Наука, 1980. 290 с.

2. Тахтанжян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 320 с.

3. Жибер А.В., Муртазина Р.Д., Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. 376 с.

Анатолий Васильевич Жибер, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Сабина Назировна Камаева,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Карла Маркса, 12, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]