CC BY
30
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 116-121.
УДК 517.957
НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КОЛЬЦОМ РАЗМЕРНОСТИ 3
Р.Д. МУРТАЗИНА
Аннотация. В работе приводится метод классификации нелинейных гиперболических уравнений иху = f(и,их,иу), интегрируемых по Дарбу, основанный на исследовании пары характеристических колец Ли. Получены конструктивные условия на правую часть f уравнения с характеристическим кольцом размерности три.
Эти уравнения обладают интегралами второго порядка. В частности, для уравнения иху = ^(u)^(ux)h(uy) приведен список уравнений, удовлетворяющих данным конструктивным условиям. Для полученных уравнений приведены формулы X- и у-интегралов.
Ключевые слова: интегралы, характеристическое кольцо, векторные поля.
1. Введение
Объектом исследования данной работы является уравнение с двумя независимыми переменными вида
^ху f ,Uy). (1)
Известно, что существует два типа интегрируемых уравнений (1). К первому типу относится волновое уравнение иху = 0, а также уравнение Лиувилля иху = еи и его многочисленные аналоги. Наиболее известным уравнением второго типа является уравнение синус-Гордона иху = sin и.
Уравнения первого типа исследовались классиками математики 18-19 веков Дарбу, Эйлером, Лагранжем, Лиувиллем, Лапласом, Ли, Якоби, Гурса [1]—[3] и называются уравнениями, интегрируемыми по Дарбу. В 1967 г. был открыт новый фундаментальный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений в частных производных Гарднером, Грином, Крускалой и Миурой: метод обратной задачи рассеяния (см. [4]-[6]). Последнее привело к развитию теории точного интегрирования уравнений второго типа.
В предлагаемой работе для решения классификационной задачи используется метод, связанный с характеристическим кольцом. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в классических работах Дарбу, Гурса, Вессио и других авторов (см. [1]-[3], [7]-[8]), однако окончательное формулирование произошло сравнительно недавно (см. [9]-[13]).
Получены конструктивные условия на правую часть уравнений (1) с характеристическим кольцом Ли размерности три. Эти уравнения обладают х- и у-интегралами второго порядка (см. [14]).
R.D. Murtazina, Nonlinear hyperbolic equations with characteristic ring of dimension 3. © Муртазина Р.Д. 2011.
Работа поддержана РФФИ (гранты 10-01-9122-СТ-а, 11-01-97005-р-поволжье-а).
Поступила 15 июля 2011 г.
2. Кольцо Ли размерности 3
Рассмотрим уравнение (1), обладающее ж-интегралом второго порядка w — ,ы(и, их,ихх). Введем обозначения:
и1 — их , и1 — иу, и2 — ихх ч и2 — иуу 1 и3 — иххх , и3 — иууу, ... .
Перейдем от переменных и1,и,и1 ,и2,и3,... к переменным и1,и,и1, w, w1, w2, ... , wn, ... . На множестве локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных и1, и, и1, w, w1, w2, ... , wn, ... оператор полного дифференцирования по переменной примет вид
— _ д _ д д _
О — и2^1 + и1т; + f т; — и2Х1 + Х2.
ди1 ди ди1
Образующие Х1 и Х2 порождают кольцо Ли.
Имеем
[Х1,Х2] — ди + ^ — Хз.
Видно, что поля Х1 ,Х2,Х3 образуют базис кольца Ли.
Из выражений для Х1,Х2 ,Х3 следует, что
д _ 1
ди1 / - Й1
Тогда
(Х2 - щХ3)
[Х1, Х3] = /иТ„ (Х2 - М1Х3) ,
/ и1 /п!
Гу у 1 _____ и1 1уМ1 + f /и1«1 — /и — /щ/й! / у _ у \
[Х21 Х3] — ------------------------Т ----- (Х2 — и1Х3) .
I и1 /«1
Теперь перейдем от переменных и1, и — V, и1 — У1, w, w1, w2, ..., wn, ... к переменным й1,и,и1,и2,и3,.... Справедливы следующие соотношения
д д д д
Su = T¡ + Wu — Sv Sw + W1U Sw1 +
д д
U1 7¡ + wui TT“ Sv 1 Sw + W1ui Sw1 +
д д д
Su2 WU2 SW + W1“2 Sw1 + ... ,
Обозначим через Z поле Х в новой системе координат, в которой оператор D перепишем в виде
— _ д _ д д д _
D = U2^=-+ U1 д-------------------+ f Ъ-+ Df "я-+ ' ' ' = U2Z1 + Z2-
ди\ ди dui du2
Имеем
Z3 ='Z1'Z2l = ^ SUT + (D/^ ^ + ....
Коммутаторы векторных полей Z1,Z2) Z3 имеют вид
[ Zi, Z3] = (Z2 - U1Z3),
J ui Jm (2)
Г гу гу -I U1 fuMl + f fuiui — fu — fui fui /ГУ — ry \
[ Z2, Z3] = --------------------T-^--------------- (Z2 — U1Z3) •
f U1 fui
Так как операторы Б и О коммутируют
[О, О] — Б/ • ^1 + Й2[Д ^] + [Б, ^2] —
— (¡ии1 + ¡ ¡иг + и2¡иг )^1 + и2[°ч ^1] + [°ч Z2],
то
[ О, ^] — - ^^1, [Б, ^2] — -(¡иЩ + ¡ ¡и, )^1,
а также, используя тождество Якоби, имеем
[Б^] — -- (и + им)^1,
[О, [^1 ,^3]] — ^3( и )^1 - 2 /^А(^2 - Й1^3)--^(и)^3 -^(и + ии)^1,
[ б, [ ^2, ^3]] — ^3(¡и + ¡¡и1)^1 - (Дй1 + ¡¡и1)А(г2 - ад)-
-^( ¡щ ^3 - /«1В^2 - иlZз) - Z2( ¡и + ¡щ/щ )Z1 + (¡и + ¡и1 ¡иг )Z3,
Л /йлйл 7") ^1 /пп1 +//^Й1 /п /ил /йл
гдеА — /=^ц, В —------- /-У/-----------~.
Соотношения (2) выполнены если и только если
[О, ^1^3]] — [О, А^2 - й^)], [О, [Z2, Zз]] — [О, В^2 - й^)].
Для у-характеристического кольца Ли выполняются аналогичные рассуждения. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Уравнение (1) обладает х- и у-интегралами второго порядка, если выполнены следующие соотношения:
Аих — 0, А«и1 + Аиг1 — -2 ¡игА,, (3)
В«1 — ° Вии1 + ВиЛ! — -(¡ии1 + ¡/щ )А - fu1В, (4)
где .А._ в_______+//иуи-у /и /и^/й^
/ '^1/й^ / и1/и
А«1 — 0, Аади1 + Аих1 — -2 fu1А, (5)
В«1 — 0, Вии1 + Виг1 — -(¡ии1 + ¡ ¡иг)А - fu1В, (6)
где А___ /^\и^ в____-1/^ +//^^^ /и /и^_/и^
/ — ^1 /и1) / — ^1 /и1
Доказательство. Соотношение [Б, ^^3]] — [Б,А^2 - й^3)] эквивалентно следующей системе уравнений
Z3(¡иг ) - Z1(¡и + /их/щ ) + А!их (¡ - и1 ¡иЛ ) — 0,
Б А + 2 МА — 0, (7)
БА • и1 + 2А/^и1 - Zl(¡щ) + А(f — и1 ¡щ) — ° а [Б, [ Z2, Z3]] — [Б, В(Z2 - й1Z3)] перепишем так:
Z3(¡ии1 + ¡¡иг ) - Z2(¡и + ¡иг ¡иг ) + В¡иг (¡ - и1 ¡иг ) — 0,
БВ + В¡иг + А(¡ии1 + }¡иг) — 0, (8)
БВ • и1 + В¡ + ¡и + ¡иг ¡Щ + Аи1(¡ии1 + ¡¡иг ) - Z2(¡Щ ) — 0.
Система уравнений (7), (8) эквивалентна системе
Б А + 2 ¡ЩА — 0,
БВ + В¡иг + А(¡ии1 + ¡¡иг) — 0.
Откуда следует выполнение (3) и (4). Аналогично, рассматривая у-характеристическое кольцо Ли, получаем (5) и (6). Теорема доказана.
3. Классификация уравнений
Рассмотрим классы уравнений, которые удовлетворяют условиям (3) - (6).
Пусть правая часть уравнения (1) зависит только от и. Для уравнения иху — /(и) согласно (3) - (6) имеем
р — — р , р А — 0, В — -у, А — 0, В — -у, В'щ — 0, у — С1.
Тогда / — С2еСга, где С1, С2 - постоянные, С2 — 0.
Таким образом, получили уравнение Лиувилля иху — еи, которое имеет интегралы второго порядка
_ 1 2 1-2
W — и2 — ~и^, W — и2 — ~^и^.
Теперь рассмотрим уравнение
иху — —(и)ф(щ).
Формулы (3) - (6) при f — —(и)ф(щ) преобразуются так:
А — 0, В — -—, А — В — - — .
— ф - щф' —
Вищ — 0, Аи1ф — -2ф'А, ВуЦх — -—фи\А - уф'В.
Решение последней системы уравнений определяет функции — и ф
— — С2еС“, ф — С4^и2 + С3,
где С* — постоянные, ъ — 1, 2, 3, 4 и С2 — 0, С3 — 0, С4 — 0.
Растяжением функций и, и и независимых переменных х, получаем уравнение вида
иху — еи\/и2 - 4
с интегралами
1 2 1 2и - и2 - и2 + 4
W — и2 — 7>и! — —е , W
2 1 2 ’ ^[-4 '
Рассмотрим уравнение (1) с правой частью £ — —(и)ф(щ)к(Й1). Тогда соотношения (3) -(6) примут вид
А — —к——, В — - — — - (1п—)',
к - и1к' —
А — ф-^иф' В — -— — -<1п—)' ■ (9)
Ащк — -2к'А, Вади1 — -фк(—/и1 + —2ф'к)А - —фк'В,
Аи1ф — -2ф'А, Вии1 — -фк(—и1 + —2фк')А - —ф'кВ.
Из А — _ н, и А^ к — -2к'А следует, что функция к удовлетворяет уравнению
- ТТГЧГ>П"'ГЧСТТЛ‘ТЛ‘Т-ТО Л ио ТТГЧ'Г'ТТТТТЛТЧ тто Л —
'ф—йх'ф'
к' — Сж + ^, где С1, 71 - постоянные. Аналогично, из А — и Аи1ф — -2ф'А полу-
чаем, что функция ф такая, что выполняется уравнение
С2 и1
ф — —— + 72, ф 2
где С2, 72 - постоянные. А также определим функции А и А
А — С А — С
к2 , ф2 .
Теперь шестое и восьмое уравнения системы (9) перепишем так
(С'іС'2^2 - (Іпу)") щ = (71^ - С'172^2) ф,
(С'іС'2^2 - (іп^)") Щі = (72^ - С*27і^2) к.
Так как к - щк1 = 0 и ф - щф1 = 0, то
С'іС'2^2 - (Іпф)" = 0, 7іф - С*і72^2 = 0, 72^ -С127і^2. (10)
Если 7і = 0, то і72 = 0 и 72ф = 0. Пусть 72 = 0. Тогда функции ф(и),ф(иі),к(иі)
удовлетворяют уравнениям
2 и, Сіиі ^ С2Щ
(іп^)" = СіС2^2, к = , ф
к ф
В случае 72 — 0 получаем, что С1 — — — к' — 0 (/ — фЗ(и1)).
Теперь допустим, что 71 — 0. Если 72 — 0, то -
С1 72 2 С2 71 2 2
— — -----— , — —----— , (1п—) — С1С2— .
1 2
Откуда С17| — С27^. Если 72 — 0, то С2 — — — 0 (/ — ф(щ)к(и1)).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Характеристическое кольцо Ли уравнения иху — —(и)ф(и1)к(и1) размерности три, если и только если функции —(и),ф(и1),к(и1) удовлетворяют одному из следующих условий:
— либо _
(1п—)'' —С1С2—2, к' — С1 щ1, ф' — С2 и1; (11)
к ф
— либо
— — 2, к' — С1 щ1 + С3, ф' — С2 ^ + С4. (12)
С4 к ф
Здесь С1,С2,С3,С4 — постоянные.
Заменой — ^ ^С^Щ, к ^ у/С.к, ф ^ \[С~2ф формулы (11) примут вид
и1 . и1
¥, ф— -фф
(ІП^)" = ^2, к = , ф = -.
Уравнение иху = , где функция у такая, что (ІП ф)" = ф2 и ^і, ^2
х у
постоянные, имеет интегралы второго порядка
'ш = / Г, Д - ф V иі + ^, 'Ш = /-Го - ф^и2 2.
\/иі+^і \/иі+^2
Заменой ф ^ -^4^-, к ^ у/С[к, ф ^ \[С~2ф формулы (12) примут вид
С2С3
( Сз = V?, С4 = )
ф = ф2, к = иі + Сз, ф = и. + С4.
к ф
Интегралы второго порядка уравнения иху = —+— ф(иі)к(иі), где функции ф и к удо-
1хУ — и+а'
влетворяют уравнениям
ф = — + С4 и к = Щі + Сз ф к
соответственно, а а — постоянная, имеют вид
и2 ф _ и2 h
w = —-------, w = --------.
фи h и
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. E. Goursat Legon sur J’integretion des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes Hermann. Paris. 1896. 200 p.
2. G. Darboux Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications geometriques du calcul
infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. 1896. V. 1 - 4. 513 p., 579 p., 512 p., 547 p.
3. E. Goursat Recherches sur quelques equations derivees partielles du second ordre Annales de la
faculte des Sciences de I’Universite de Toulouse 2 serie. 1899. V. 1. № 1. P. 31-78.
4. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука. 1980. 290 с.
5. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир. 1987.
6. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. 1988. 696 с.
7. E. Vessiot Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x,y,p,q,r,s,t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1939. V. 18. № 9. P. 1-61.
8. E. Vessiot Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x,y,p,q,r,s,t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1942. V. 21. № 9. P. 1-68.
9. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. 23 с.
10. I.T. Habibullin Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, no. 1, paper 023, 9 pages, (2005) // arxiv : nlin.Sl/0506027.
11. Муртазина Р.Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007. Т. 13. № 4. С. 102-117.
12. I.T. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan On the classification of Darboux integrable chains // J. Math. Phys. 2008. V. 49. № 10. 40 p.
13. O.S. Kostrigina, A.V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic system of equations, J. Math. Phys. 52:033503 suppl. (2011) doi:10.1063/1.3559134. 32 p.
14. Гареева Н.В., Жибер А.В. Интегралы второго порядка гиперболических уравнений и эволюционные уравнения // Труды международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений". Орел, ОГУ. 1996. С. 39-42.
Регина Димовна Муртазина,
Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Карла Маркса, 12,
450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
