CC BY
31
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XX 198 9
№ 4
УДК 533.6.011.34 : 629.7.025.73
ПОСТРОЕНИЕ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА МЕТОДОМ КВАЗИРЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Н. Б. Ильинский, А. В. Поташев, Д. А. Фокин
На основе модели газа Чаплыгина развит способ выполнения условий разрешимости в задаче построения крылового профиля по заданному на его поверхности распределению величины скорости при обтекании плоским установившимся дозвуковым потоком идеального газа. Приведены результаты расчетов.
1. Постановка задачи: определить форму крылового профиля с кусочно-гладкой
границей и одной острой кромкой (рис. 1, а), обтекаемого плоским установившимся потоком идеального газа с заданным числом Маха на бесконечности М„, по известному распределению. приведенной скорости на поверхности профиля (ь-), 5е[0, Ц (рис. 1,6) (X— скорость, отнесенная к критической скорости звука, 5 — дуговая координата контура, отсчитываемая от я=0 на острой кромке В до на ней же, как
показано на рис. 1, а, Ь— заданный периметр). Функция Х^) кусочно-гладкая, обращающаяся в нуль в точке разветвления потока Л(.5=5а) и непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки 5а. Знак Х($) связан с направлением обхода контура, поэтому X («)<(),при Х(в)>0 при X («) ~ Х*(£—я)2/е_1
при Х(в)-----X* 52/е_1 при 5 0, Х*>0, «г — внешний к профилю
угол в задней кромке, 1<!е<;2.
2. Схема решения. Решение поставленной задачи с учетом сжимаемости, основанное на аппроксимации Чаплыгина, дано в работе [1]. Из этой работы, в частности, следует, что решение существует лишь в случае, когда исходное распределение скорости удовлетворяет трем условиям разрешимости.
Трудности, связанные с выполнением этих условий, долгое время не позволяли применить предложенный в [1] способ для практического расчета профилей. Серьезным продвижением в этом направлении и явилась работа [2], в которой для удовлетворения условий разрешимости применен численный метод, основанный на коррекции заданного распределения скорости только вдоль нижней поверхности профиля; приведены примеры, демонстрирующие влияние сжимаемости на форму профиля, и рассчитаны новые профили с высоким коэффициентом подъемной силы.
Дальнейшее продвижение в этом направлении связано с разработкой метода квазирешений задачи построения крылового профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости [3, 4]. Суть его состеит в том, что распределение скорости модифицируется на заданном участке контура так, что измененное распределение скорости минимально, в определенном смысле, отличается от исходного и удовлетворяет условиям разрешимости. В настоящей работе метод квазирешений применяется к решению задачи построения профиля в сжимаемой жидкости в приближении газа Чаплыгина.
Суть этого приближения состоит в следующем (см., например, [5]). Плоское безвихревое адиабатическое течение газа полностью определяется заданием скалярного потенциала скорости ср и функции тока г|), удовлетворяющих в плоскости х=5 — <9 уравнениям Чаплыгина
д?/<Э0 = У К (56^5, а<р/<?5 = — УК дЬ/дЬ . (1)
Здесь 0 — аргумент вектора скорости, Б к К — известные функции приведенной
скорости Я, Так как при Я<0,5 функция У К отличается от единицы не более чем на
1,6%, то при малых X можно приближенно считать У К г 1. Из общей теории бдро-
тропного течения газа известно, что задание одной из функций 5(Я,), К(Х) полностью определяет вторую и, следовательно, конкретную модель баротропного течения газа. Поэтому при К = 1 будем иметь
£(Х) = 1п [2 |Х|/(1 +У\ + 4С»Х*)], (2)
где С2 — положительная константа, выбранная, следуя [6], из условия лучшей аппроксимации функции 5(Х) формулой (2),
С2 = [2 (х -)- 1) (1 — Х^) ] —1 > Х00 = 1/ЛЛа {! _ 1 I [ 1 + (х_ 1) м^/2]] ,
Л2 = (х+ !)/(*- 1) ,
х — показатель адиабаты. Переход в физическую плоскость г=х+1у осуществляется по формуле
(1г = ё~* йда — С2 е1 <1ш> . (3)
Приведем решение задачи для газа Чаплыгина к виду, удобному для использования метода квазирешений. Так как при К £ 1 функция у.(ги) аналитическая [см. (1)], то решение задачи (включая и квазирешение) можно построить аналогично случаю несжимаемой жидкости. Функция %(ш) отыскивается в параметрическом виде Х(£) и ш (5), где £ — комплексная переменная, изменяющаяся во внешности единичного круга, причем да(оо)=оо, а острой кромке В соответствует точка £=1. Тогда
т (0 = Г [ (е~ы С + е'а/С) / (2вт а)
I
+ 2л <рв/Г]/(2тс)> ^ Х($)*/5,
величина а отыскивается из уравнения
Г(с^а + 1)/(те5Рв) = (X [ 1 — Г/(2«ув)] .
Связь между дуговой координатой 5 профиля и угловой координатой у на окружности |5| = 1 определяется так же, как в случае несжимаемой жидкости [4].
После этого, решив для х(£) задачу Шварца, получим
1 _ еп + ц
= (4) + 1п (1 + еГ1а11) + (2 - в) 1п (1 - 1/0 ,
где 5 (1) — 5 {X [5 (■)[)] } — 1п | 2соз (7/2 — а|—(2 — е) 1п [2б1п ("у/2) ]. Связь 5 (X) оп-
ределяется из (2).
+ / 1п С — ^ а + £
Г = | Х^Ля,
О
Для замкнутости контура профиля необходимо и достаточно, чтобы интеграл в (3) по любой замкнутой кривой, охватывающей точку £=°°, равнялся нулю. Из этого условия имеем
2п
где
[ S (7) e'l di = Bi + 1В2 , о
Bl = Л (1 - •) + 4* sin3 all С3! ( 1 +^i С2) ,
B2 = - 2* sin (2а) Р С2/( 1 +11 а) , loo = exp (Soo) ,
Soo^S(\x).
Еще одно условие получим из (5), устремив S_>"001
1C
j ^ (7) ^7 = вз >
(5)
(6)
где Bs = 2nSao. Если условия (5), (6) выполняются, то форма соответствующего профиля определяется по (3). Если нет, то применяется метод квазирешений [4], поскольку задача отыскания квазирешения по функции S(у) и заданному отрезку коррекции решается аналогично случаю несжимаемой жидкости.
3. Примеры. Для подтверждения достоверности результатов решения рассматриваемой задачи с учетом сжимаемости в приближении газа Чаплыгина был проведен следующий вычислительный эксперимент. Расцределение скорости (рис. 2, линия 3) с профиля Жуковского, толщина которого составляет 19,5% длины хорды Ь (рис- 2, линия 1) с коэффициентом подъемной силы су= 1,42 при угле атаки (5 = 0,57° в несжимаемой жидкости, было пересчитано по формуле Кармана — Ченя (см., например [5]), и определены распределения скорости на этом же профиле в газе при различных М„о е=[0,1; 0,5] (для Моо=0,5 распределение изображено на рис. 2, линия 4). По этим распределениям указанным методом были построены профили в газе Чаплыгина, которые практически совпали с исходным (максимальное отличие толщины построенных профилей ОТ ТОЛЩИНЫ ИСХОДНОГО профиля достигается при Моо=0,5 и составляет 1% хорды), что подтверждает достоверность решения задачи.
0,50 0,75 х/Ъ
ч!Ь
0,1
0
-0,1
1 1
0,5 0,75
На рис. 2 приведены также результаты, иллюстрирующие влияние сжимаемости на форму контура при решении обратной краевой задачи. В качестве исходного было взято распределение скорости с того же профиля Жуковского (линия 1) в несжимаемой жидкости при том же угле атаки. Профиль, построенный по этому распределению в газе Чаплыгина при Мао=0,5, естественно, получился разомкнутым. После применения метода квазирешений получен профиль (линия 2) с модифицированным распределением скорости (линия 5). Этот профиль имеет 2=16% и с„=1,55 при р=1,17°.
Таким образом, учет сжимаемости приводит к значительным изменениям геометрических и аэродинамических характеристик.
При обтекании профиля потоком газа с дозвуковыми скоростями при больших числах Рейнольдса сжимаемостью пограничного слоя можно пренебречь (см., например, [6]). Если, кроме того, течение вокруг профиля безотрывно, то толщину пограничного слоя можно не учитывать. Исходя из этих соображений был спроектирован профиль, обтекаемый без отрыва потоком газа с числом Мсо=0,3 (рис. 3, линия 1). При построении было использовано распределение скорости (рис. 3, линия 2), обеспечивающее безотрывный и дозвуковой характер обтекания, а также высокое значение коэффициента подъемной силы. В качестве критерия отрыва использовался критерий Кочина — Лойцянского [7]
В рамках описанной модели спроектированный профиль при р=9,7° имеет са= 1,67.
1. Тумашев Г. Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости. — Изв. Казан, физ.-мат. об-ва, 1945, 13, сер. 3.
2. Strand Т. Design method for high liftairfoils with given velocity distribution in compressible subcritical inviscid flow. — Ugl. Noreke Vid. Selsk. Proc. Theodorsen Collog. 1976. Trandheim.
3. Елизаров А. М., Ильинский H. Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики. — Изв. вузов, Математика, 1984, № 10.
4. Елизаров А. М., Ил ь и н с к и й Н. Б., П о т а ш е в А. В. Построение крыловых профилей на основе теории обратных краевых задач методом квазирешений. — Изв. вузов, Авиационная техника, 1986, № 3.
5. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1980.
6. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. — М.: Наука, 1962.
7. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука,
ЛИТЕРАТУРА
1978.
Рукопись поступила 14/IV 1988 г.
