Приближенный метод расчета до3вуковых сжимаемых течений около несущего крылового профиля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том VII 1976

М 2

УДК 533.6.011.34:629.7.025.73 + 518.61

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДОЗВУКОВЫХ СЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЙ ОКОЛО НЕСУЩЕГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ

Излагается метод расчета течения газа Чаплыгина около заданного профиля и приводится сравнение получаемых распределений давления с результатами численного интегрирования точных уравнений движения газа.

1. В последнее время создан целый ряд эффективных методов численного интегрирования уравнений невязкого сжимаемого течения около профиля, позволяющих рассчитывать как дозвуковые течения, так и течения с местными сверхзвуковыми зонами (см., например, [1, 2]). Наряду с ними существуют методы, предназначенные для расчета чисто дозвуковых течений, например в работе [3]. При этом дифференциальные уравнения движения заменяются системами алгебраических уравнений, которые решаются на ЭЦВМ с помощью того или иного итерационного процесса. Это требует большого объема памяти ЭЦВМ и длительного машинного времени. Поэтому для проведения массовых расчетов используются упрощенные способы учета сжимаемости, такие, как правило Прандтля— Глауэрта, поправка Кармана — Цзяна. Однако их точность, особенно в случае циркуляционного течения, не всегда удовлетворительна. Более подходящим является точное решение задачи обтекания для газа с упрощенным уравнением состояния.

2. Уравнения движения сжимаемой жидкости в плоскости потенциала принимают особенно простой вид, если зависимость плотности р от модуля вектора скорости № удовлетворяет условию

где величины р и IV отнесены к их значениям на бесконечности; М — число М.

Возьмем в качестве искомых функций угол наклона вектора скорости & и функцию (?, зависящую от скорости

а в качестве независимых переменных выберем величины ср, ф, связанные с по тенциалом Ф и функцией тока Чг соотношениями

А. А. Шагаев

О.)

<? (Г) = 1п

(2)

У\-мІ + мі іг*- + Уі -м*,

9 = ф, Ф = Т У) - М;

2

'СО*

(3)

Впервые приближенные уравнения (3) использовал С. А. Чаплыгин [4]-и поэтому газ, для которого справедливо (1), называют газом Чаплыгина. Карман [5] показал, что равенство (1) эквивалентно линейной зависимости между давлением р и удельным объемом 1 /р, и предложил заменять адиабату Пуассона отрезком прямой, касательной к ней в точке с параметрами невозмущенного потока.

В работе [6] показано, что такое приближение позволяет довольно хорошо учесть эффект сжимаемости жидкости в дозвуковом диапазоне скоростей. В то же время с математической точки зрения система (3) значительно проще исходной, так как уравнения (3) представляют собой условия Коши — Римана, определяющие аналитическую функцию & + независимого переменного <р + гф. Это позволяет свести задачу обтекания профиля к решению некоторого нелинейного сингулярного интегрального уравнения, впервые полученного в работе

[7] для случая симметричного течения.

ч»

о

Ниже излагается обобщение метода расче-+ та, предложенного в [8] на случай течения

тк с циркуляцией.

1 3. Потенциал и функция тока опреде-

ср лены с точностью до констант. Выберем величины констант такими, чтобы значение функции тока на поверхности обтекаемого тела было равно нулю, а потенциал фиг' 1 равнялся нулю в передней точке торможе-

ния. Тогда поверхность профиля вместе с нулевой линией тока, сходящей с задней кромки, изображается в плоскости потенциала (ср, берегами разреза вдоль луча (0<<у<оо, ф=0, фиг. 1).

Условимся [обозначать величины, относящиеся к верхнему берегу разреза, знаком . + *, а величины, относящиеся к нижнему берегу разреза, знаком „—“. Заметим также, что якобиан преобразования из физической плоскости в плоскость потенциала положительный и поэтому направления обхода контура в физической плоскости и плоскости потенциала совпадают.

Обозначим значения потенциала в задней кромке на нижней и верхней поверхности профиля и соответственно, тогда циркуляция скорости Г вычисляется по формуле

г = ч>7 - ъГ- (4>

Аналитическая функция & + 1<Э, дающая решение задачи обтекания профиля, должна удовлетворять следующим условиям:

& + -» ^ при )Лр2 + Ф3 ->■ оо; (5)

& = »(л:) при 0 <<р+<<р+, 0<сс_<!р~, Ф = 0; (6)

»+(<?) = &- (<Р + Г), 0+(?) =<?-(<? + Г), ф+<?<оо. (7)

Комплексный потенциал течения несжимаемой жидкости около окружности IС! = 1 •

<Р + /Ф = Ш + Уе~^ С + УУ'ч/С + С (8)

дает конформное отображение внешности окружности на внешность профиля в плоскости у + /ф, если величины V, 7, С выбрать из условия равенства значений потенциалов несжимаемого течения около окружности и сжимаемого течения около профиля в передней и задней точках торможения. Требуя еще, чтобы задняя точка торможения профиля соответствовала точке С = 1. получаем уравнения для нахождения 7, V:

сое 7 + 7 бш 7 к <р+ _1_

(9)

+ V к

у=~я7——Т-----• г- (10)

8 (сое 7 + 7 вт 7) ' ’

Будем считать, что профиль имеет хорду единичной длины и расположен при Введем параметр а, — тс < а ^ и, причем — соответствует

верхней поверхности, а отрезок 0<;а<!г соответствует нижней поверхности профиля. В передней точке торможения угол наклона вектора скорости 0 терпит разрыв, поэтому будем рассматривать непрерывный угол »н(а)> который связан с углом наклона поверхности профиля 9р (а) простым соотношением

»н = »р) — я<аС0; »н = »р-(-п:, 0<а<гс.

В плоскости £ задача (5), (6), (7) несколько упрощается, а именно, требуется найти аналитическую во внешности единичного круга функцию 9 + 10, удовлетворяющую условиям:

-К

» = »(а) при К ( = 1; (12)

здесь е — полярный угол в плоскости С, а е0 — его значение в передней точке торможения.

Из уравнения (8) легко получить, что

ео =51 + 2^.

4. Задача (11), (12) решается с помощью итерационного процесса, в основе которого лежит формула обращения Гильберта.

Пусть в результате итерации с номером п на профиле получено распределение скорости \Уп(а). Вычисляем значения ^~ по формулам

К, Л’ тк, П

а-0. п

+ —___________ Г (g) dx ^ _ 1 Wn (a) dx д

к' П J COS» (а) Та ’ п J COS» (а) da '

а0. И

где а0 п — положение передней точки торможения на л-й итерации.

Параметры конформного преобразования ^п, У„ определяются из соотношений (9) и (10). Зависимость еп (а) находится в результате решения обыкновенного дифференциального уравнения:

dx

1 “АТ

--- > (13)

Г «« («) 1

[—-T.J-

sin —о— COS п — fn COS » (а)

йа 4К„ . Е„(а)

I—“ -

которое является следствием (8).

Передняя точка торможения (є = к + 2у„. а = а0 п) является особой для уравнения (13) и поэтому при интегрировании необходимо определять начальное значение е в точках а0 п ± Да. Они вычислялись с помощью интерполяционного полинома, построенного в соответствии с (8). Полярная координата передней точки торможения на (п + 1)-й итерации определяется таким образом, чтобы удовлетворялось условие на бесконечности:

Е0, л + 1

It

= 2»оо + 2 г.-Л- С»н(«) ^-da.

Если вместо условия (11) задано значение коэффициента подъемной силы ■Су, то е0 n , j можно найти по формуле

Е0, n+1 = “ + 2v,

где v—корень уравнения;

1 с.. sin V

я /т+

(и+ 4-а~ 1 СОвч + чЗШУ

' * К, Л 1 »К, П9

Положение точки торможения на профиле определяется теперь в результате решения уравнения

вп (“о, п+0 ~ ео, л+1-

~1.0

-0,5

і Верхняя поверхность

N ч М^Г 0,6 С у = 0, 1 и Ч-

и І7

Нижняя поверх нос ть

0,5 к X

-1,0

-0,5

0,5'

мх = 4 55 =д* I

йр.пхняя поверхность

- ^

N

\Нижняя Iповепхн ость

0,5 \

■

А -- |И/=Д*

А: '^Верхняя поверхность

М^Цбв

[Нижняя ^ и

~Ьіоверхность

0,5 ч’\ ч X

-0,5

XV-а»

^Верхняя поверх но :ті

щ ,ч-4 К

[т Ч- \ \

ижняя ч вйпхность N \

0,5

1,0 X

Фиг. 2

Фиг. 3

Очевидно также, что условие (II) можно заменить заданием точки торможения на профиле, тогда

а0, /1 + 1 — а0, П-

После того как найдены а0 п+] и зависимость (а), по формуле обращения Гильберта легко вычислить 0„+1 (о)

ТТ

<?„+!(“) = 2~ ( а (?) (Э) (14>

— 71

Для замыкания цикла остается найти №п+1 (а) при помощи (2).

Описанный выше алгоритм был реализован в виде программы для ЭЦВМ. При этом полагалось

ДГ(с<) = 5т2-|-. Г0(а) = 1.

Интеграл в формуле (14), понимаемый в смысле главного значения, вычислялся обычным образом — путем выделения особенностей.

При разбиении интервала интегрирования на 200 равных частей среднее различие в скорости на последующих итерациях становилось равным 10“7 через 30—15 итераций, в зависимости от формы профиля.

Точность результатов, которые можно получить, используя газ Чаплыгина, демонстрируется на фиг. 2 для профиля ^СА 23012 и на фиг. 3 для одного из так называемых .безударных" профилей, построенного по методу, изложенному в [9]. На этих фигурах сплошной линией изображены кривые распределения коэффициента давления, полученные по изложенной методике, а штриховой линией — расчет точных уравнений релаксационным методом [2].

Приведенные результаты означают, что течение газа Чаплыгина достаточно точно описывает дозвуковой сжимаемый поток. Изложенный метод расчета можно использовать для учета сжимаемости газа при докритических скоростях потока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Murman Е. М., Cole I. D. Calculation of plane Steady transonic flows, A1AA Paper N 70-188, 1970.

2. Jl и ф ш и ц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. „Ученые записки ЦАГИ", т. IV, № 5, 1973.

3. Sells С. С. L. Plane subcritica 1 flow past a lifting airfoil. Proc.

Roy. Soc., A, vol. 308, 1968.

4. Чаплыгин С. А. О газовых струях. Собр. сочинений, т. II,

. М., Гостехиздат, 1948.

5. Karman Th. Compressibility effects in aerodynamics. J. Aeron.

Sci., vol. 8, 1941.

6. Общая теория аэродинамики больших скоростей. Под ред.

У. Р. Сирса, разд. Е, М., Воениздат, 1962.

7. Слезкин Н. К. К вопросу о плоском движении газа. .Ученые записки МГУ“, Механика, вып. 7, 1937.

8. J1 и ф ш и ц Ю. Б., Шагаев А. А. О быстром методе расчета дозвукового течения около профиля. .Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 3, 1972.

9. Bauer F., Garabedian P., Korn D. A theory of supercritical wing sections, with computer programs and examples — 1972 (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems).

Рукопись поступила 8j/ 1975 г.