Построение и исследование вероятностной модели циклического управления потоками малой интенсивности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 370-376

УДК 519.21

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОЙ МОДЕЛИ ЦИКЛИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОТОКАМИ МАЛОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ

© 2014 г. М.А. Рачинская, М.А. Федоткин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского гасЫшкауа. [email protected]

Пкступила в редакцию 21.04.2014

На основе кибернетического подхода Ляпунова-Яблонского построена вероятностная модель системы циклического управления независимыми конфликтными потоками и обслуживания с ожиданием неоднородных требований в виде трёхмерной цепи Маркова. Классифицированы состояния полученной цепи. Найден критерий существования в системе стационарного режима. Результаты интерпретируются для задачи управления малоинтенсивными транспортными потоками на перекрёстке.

Ключевые слква: конфликтные потоки, кибернетический подход Ляпунова-Яблонского, неординарный пуассоновский поток, цепь Маркова, стационарный режим.

Введение

Оптимальное регулирование движения транспортных потоков на перекрёстке с целью избежания неограниченного роста очереди машин на переезд является актуальным вопросом для крупных городов. Перекрёсток можно рассматривать как систему массового обслуживания для потоков машин. Установленный автомат-светофор воспринимается в данном случае как обслуживающее устройство. Отсюда следует, что моделирование перекрёстка и всех его компонент следует, прежде всего, проводить средствами теории вероятностей. Хорошо изученные классические системы массового обслуживания, однако, не всегда являются адекватной моделью реальных транспортных перекрёстков. Так, например, часто входные потоки машин нельзя считать пуассоновскими. В работах [1-3] было показано, что при плохих погодных и дорожных условиях, при сильном влиянии личностного фактора водителей поток машин, двигающихся по магистралям до поступления на перекрёсток, может быть аппроксимирован неординарным пуассоновским потоком. При этом в случае низкоинтенсивного трафика такой поток состоит из так называемых пачек машин относительно небольшого размера. Итак, требуется построить адекватную модель транспортного перекрёстка как системы обслуживания неклассическими методами. Отметим, что схожая ситуация может наблюдаться в различных задачах кроме регулирования транспорта: например, в задаче управления взлетом и посадкой самолетов, при изучении системы передачи и обработки информации и т.п. Таким образом, полученные в данной работе результаты построения и дальнейшего изучения модели

могут быть применены в самых различных областях.

Итак, все рассматриваемые случайные объекты задаются на вероятностном пространстве (О, 3, Р( )). Здесь О - достоверный исход, а

юеО описывает элементарный исход случайного эксперимента, включающего движение потоков машин по магистралям до поступления на перекрёсток, а также непосредственно процесс дальнейшего управления потоками. Множество всех наблюдаемых исходов А с О этого эксперимента составляет ст-алгебру 3, на которой задана вероятностная функция Р(А): 3 ^ [0,1].

Содержательное описание системы

Рассматривается система обслуживания т > 2 статистически независимых конфликтных потоков П1,П2,...,Пт. Предполагается, что каждый такой входной поток перед поступлением в систему был сформирован под влиянием факторов, приводящих к образованию скоплений требований в пачки. Так, по потоку П у, 1 < у < т, с интенсивностью X у поступает

одно требование с вероятностью ру, два требования - с вероятностью , и три требования -с вероятностью SJ = 1 - ру - . Обслуживание

различных потоков независимо, однако полагается, что с целью безопасности обслуживание любых двух потоков должно быть разнесено во времени. Это содержательно означает конфликтность потоков. Выбран циклический алгоритм, реализуемый обслуживающим устройством. Обслуживающее устройство имеет 2т состояний (фаз): Г(1),Г(2),...,Г(2т), которые ме-

няются последовательно в цикле. При этом для каждого 1 < ] < т в состоянии вида Г(2-'_1) обслуживаются с интенсивностью ц^ только требования потока П j. Состояние Г(2служит для переналадки обслуживающего устройства, в нём совершается дообслуживание потока П ,

новые требования на обслуживание не берутся ни из какого потока. Каждая фаза Г(к), к еМ = {1,2,...,2т}, имеет соответственно

длительность Тк. Следовательно, в фазе Г(2-'_1) может обслужиться максимально [цТ2j_1] требований, где [цТ2 _1] есть целая часть от величины цТ2J_l . Суммарная длительность цикла обслуживающего устройства обозначим

Построение математической модели

При построении математической модели описанной системы будем пользоваться кибернетическим подходом Ляпунова-Яблонского, который позволяет провести анализ структуры сложной системы и выделить её ключевые объекты, характеристики, величины и связи между ними. Согласно этому методу в изучаемой системе управления потоками и обслуживания требований необходимо выделить схему, информацию, координаты и функцию. Схема системы представляет её конструкцию и включает в себя несколько ключевых блоков. Во-первых, это входные полюса первого типа, в качестве которых выступает т входных неординарных пуассоновских потоков П1,П2,...,Пт. Выходные потоки системы при её максимальной загрузке и экстремальной стратегии обслуживания - так называемые потоки насыщения П*, П 2,..., Пт - являются входными полюсами второго типа. Второй блок схемы системы -внешняя память: накопители, в которые поступают требования на обслуживание, а именно, неограниченные очереди , 1 < j < т, по соответствующим потокам П j. Следующий блок

служит для переработки информации, имеющейся во внешней памяти: предполагается, что из накопителей по потокам требования на обслуживание выбираются согласно экстремальным стратегиям 82,...,8т : в фазе Г(2-'_1) обслуживания потока П j из очереди берется максимально возможное число заявок, но не превышающее величины lj = [ц Т 2 j _х ] и количества требований, имеющихся в этот момент в очере-

ди. Четвёртый блок - внутренняя память - обслуживающее устройство с множеством Г = {Г(1),Г(2),...,Г(2т)} из 2т описанных выше состояний. Следующий блок выделен для переработки внутренней памяти: циклический алгоритм м(Г) смены фаз обслуживающего устройства. Последний блок - выходные полюса - это выходные потоки Щ,П'2,...,П'т, получающиеся в результате обслуживания требований. Итак, схема управляющей системы представлена на рис. 1. Информацию системы согласно кибернетическому подходу составляет математическое описание и кодирование указанных блоков. Наборы возможных состояний входных потоков, потоков насыщения, очередей по потокам, состояний обслуживающего устройства и выходных потоков, а также алгоритмы перехода между состояниями образуют информацию изучаемой системы обслуживания. Её координатами являются номер входного потока, номер требования во входном потоке, номер потока насыщения, номер очереди и номер требования на обслуживание в этой очереди, номер состояния обслуживающего устройства, номер выходного потока и номер обслуженного требования в потоке. В координатах системы определяется расположение блоков на схеме. Функцией рассматриваемой системы является управление входными потоками и обслуживание требований.

Отметим, что изучение данной системы в непрерывном времени - задача весьма сложная. Идея метода построения математической модели для неё состоит в том, чтобы отслеживать состояние системы в дискретные моменты т1, 1 = 0,1,..., совпадающие с моментами переключения фазы обслуживающего устройства. Данные величины являются случайными, поскольку длительности различных фаз обслуживающего устройства различны, и, кроме того, можно задать распределение состояния обслуживающего устройства в момент т0 > 0 начала наблюдения за системой. Теперь для всех 1 = 0,1,... и 1 < j < т введём следующие случайные величины и элементы: 1) Г; е Г - состояние обслуживающего устройства на промежутке

[т,., т,.+1); 2) "ле{0,1, ...} - число требований, поступивших в систему по потоку П. за промежуток времени [т,., т,ч1); 3) %j¡ е{0,1, ...}- число требований, находящихся в очереди О. в момент времени т,.; 4) Ее{0, I. } - максимальное число требований, которые могут быть обслужены по потоку П. за промежуток времени [т,., т,ч1); 5)

Е '.,. е{0,1, ..., I.} - число требований, которые в действительности были обслужены по потоку П j за промежуток времени [т,., т,.+1); 6)

Е е{0,1, ...} - число требований, которые в действительности были обслужены по потоку П. за промежуток времени [0, т0). Для некоторых введённых выше величин известны лишь их условные распределения. Так, для входного потока П . с нелокальным описанием

{". 1; , = 0,1,...} справедливо соотношение Р = п I Г,. = Г(к)) = ф (п, Тк), выведенное в работе [3], где

п I I п_2и

2 I

ф. (п, 0 = 2 2

п _ и _ 2у ^

и=0 у=0 Vu, v, п _ 2и _ 3уу

2 3 (^ )

х рп_2и_3уди^у .

(п _ и _ 2у)! Кроме того,

Р (Е= Ь|Г, = Г(к)) = Р. (Ь, Г(к)). Здесь Р (Ь, Г(к)) = 1 в двух случаях: если Ь = 0 и к е{1, 2, ..., 2т}\{2. _ 1} или если Ь = I и

к = 2. _ 1; в остальных же случаях Р. (Ь,Г(к)) = 0 . Следовательно, при известном значении элемента Г,. величины л. 1 и Е. 1 независимы.

Заметим, что в силу независимости входных потоков, а также в силу того, что управление потоками происходит по циклическому алгоритму, процессы обслуживания требований различных потоков независимы. Итак, исследование динамики обслуживания отдельного потока можно проводить вне зависимости от других.

Для описания состояния системы в момент т. для потока П. определим трёхмерную случайную последовательность {(Г 1, % , Е .¡-С); . = 0,1, ...}. В работе [4] было показано, что функционирование рассматриваемой системы по потоку П. описывается следующим рекуррентным соотношением для векторов указанной последовательности:

(Г+1, X.,,+1, Е') = (и(Г,), тах{0, %и + Л.,, _ Е.,,},

т1п{ %.,,. +Ли, Е}). Здесь функция и задана на множестве Г так, что и (Г(к)) = Г( к+1) при 1 < к < 2т _ 1 и и(Г(2т)) =

= Г(1). Важно отметить, что третьей компонентой векторов рассматриваемой последовательности является описание выходного потока П= {Е'.,._;;. = 0,1, ...}, получение которого часто является целью изучения подобных систем. Относительно данной последовательности сформулируем следующее утверждение.

Теорема 1. Для каждого фиксированного . е {1, 2, ...т} последовательность {(Г,., %. 1, Е' ,м); I = 0,1, ...} с заданным начальным распределением вектора (Г0, %. 0, Е' -1) является однородной марковской цепью со счётным числом состояний.

Доказательство. Введём при кг е М, хг е{0,1, ..., I.}, уг е{0,1, ..., I.}, где 0< г < вспомогательные события

А, = {ш : Г г (ш) = Г(кг), % .,г (ш) = Хг,

Е',г _1(ш) = уг; г = 0,1, ...,,}

и

А, = {ш : Г,(ш) = Г(к), %.,,(ш) = х,, Е',,_1(ш) = у,}.

Теперь применим формулу полной вероятности со счётным числом гипотез относительно значений величин л..,. и Е.,.. Указанные величины

при известной фазе обслуживающего устройства не зависят друг от друга, а также от величин Гг, , Е .гпри 0 < г <. _1 и %.,,., Е ',,_1. С учётом этого имеют место следующие преобразования:

Р (Г,+, = Г(к), %..,,+! = Х, Е',, = у1А,,) =

да

= 2 2Р (л.,, = п,Е., = Ь|Л,)Р (Г,+, = Г(к),

п=0 Ье{0,1.}

%л,.+1 = Х, Е ',,. = У1Л= n, Е.,,. = Ь, А0,,) =

да

= 2 2ф.(п,Тк,)Р(Ь,Г(к-)) Р (Г,+ = Г(к),

п=0 Ье{0,1.}

%. ,,+1 = Х, Е '.,,. = У1 Л,,. = ^ Еи = Ь, А0.) =

да

= 2 2ф. (п, Ть )Р(Ь, Г(к')) Р (и(Г(к.)) = Г(к),

п=0 Ье{0,1.}

тах{0,х1 + п _ Ь} = х, тт{х,. + п,Ь} = у). Аналогично для вероятности вида

Р (Г,+, = Г(к), %..,+, = Х, Е'.,, = у 1А) верно

Р (Г,+, = Г(к), %..,,+, = х, Е'.,, = у |А) =

X

п_и_2у

= Z Z Р ^ = % j, = b|A )Р (Г,+1 = Г(к),

п=0 ье{0,1j}

X J,1+1 = X, % ji = y I л j,,- = П, % ji = b, A0i) =

да

= Z Zj(n,T,)Pj(b,Г(к)) Р НГ(к)) = Г(к),

n=0 ье(0,ь}

(1)

тах{0, х1 + и _ Ь} = х, тт{х,- + и, Ь} = у). Сравнив полученные в результате преобразований результаты, установим, что

Р (гм = Г(к), Х j,,+ = х, Е'.,, = у|Г„ = Г(к"),

х = х, Е' ,г _1 = у?;г =0,1, ..., 0 =

= Р (Г,+, = Г(к), х..,,+, = х,

Е',, = У|Г, = Г(к), х.,, = х,, Е'.,, _ = у,). Таким образом, последовательность обладает марковским свойством. Теорема доказана.

Замечание. Свойство марковости для указанной последовательности во многом возможно благодаря удачному выбору моментов переключения фазы обслуживающего устройства в качестве моментов т,,, , = 0,1,..., в которые происходит отслеживание состояния системы. Кроме того, в силу цикличности смены фаз можно также доказать, что и случайная последовательность {Г,,; , = 0, 1, ...} является марковской. Однородность этой цепи объясняется равенством (1) для переходных вероятностей, в правой части которого отсутствует зависимость от величины ,, играющей роль времени.

Арифметические свойства распределений цепи Маркова

Введём следующие обозначения для одномерных распределений марковской цепи

{(Г,, хи, Е.,,_1); , = 0, 1, ...} при

1 < . < т, х е X = {0,1,...,}, у е У. = {0,1,...,I.}:

б..,, (Г(к), х, у) = Р (Г, = Г(к), х.,, = х, Е'.,, _ = у).

Доказано в работе [4], что справедливы следующие рекуррентные по , = 0, 1,... соотношения:

б.,,+1(Г(2. ),0, у) =

= 2б (Г (2._1), у,0)ф,- (у _ ч,тг, _,);

у=0

б. ,,-+1(Г(2.), х, ^) =

х+1.

= 2.(Г(2"1), у,0)ф,-(х +1. _v,T2j_1);

у=0

б»+, (Г(2.+1), х,0) = £ б, ,, (Г(2.), 0, ^)ф.. (х, Т..) +

™=0

+ (Г(2.), v, ^)ф. (х _ vT..);

бЛ,+1(Г(к), x,0) = = EQ,i (Г(к_1), у,0)ф j (X - v,Tk_i), (2)

w=0

к еM \{2j,2j +1}. Пространство состояний такой цепи есть прямое произведение Г х X х Yj множеств.

Теорема 2. Пространство Г х X х Yj состояний цепи {(Г,,xj,,Ej,,--1);i = 0,1,...} разбито на 2 класса: незамкнутое множество Dj несущественных состояний и замкнутое множество Ej существенных состояний с периодом 2m: Dj = {(Г(к),x,у); к еM \{2j},

x е X, у EYj \{0}} и {(Г(2j),x,у); x е X \{0}, у EYj\{lj}};

Ej (Г(2 j)) = {(Г(2 j), x, lj); x e X} и {(Г(2 j) ,0, у);

У EYjЩ}};

Et (Г(к)) = {(Г(к),x,0); x e X}, к eM \ {2 j};

Ej = U Ej (Г (

Доказательство. Заметим, что переход цепи в некоторый момент т,+1 в любое состояние

вида (Г(к), х, у), к е М \{2.}, х е X, у е Yj \ {0}, означает следующее: на интервале [т,,, т,, требования потока П. не обслуживались, однако систему покинуло ненулевое количество требований этого потока, что невозможно в силу физики задачи. Далее, переход цепи в момент т,,+1 в состояние из множества

{(Г(2.), х, у), х е X \{0}, у е Yj \ {I.}} означает,

что на интервале [т,,, т,,обслужилось такое

количество требований потока П., которое

меньше максимально возможного I., хотя в

очереди все ещё присутствовали требования на обслуживание. Этот случай противоречит выбранной экстремальной стратегии обслуживания. Отсюда установим, что состояния множества О. являются несущественными.

Теперь покажем, что все состояния множества Е. являются сообщающимися. Для этого зафиксируем некоторое состояние, скажем, (Г(2._1) ,0,0) и приведём два алгоритма. Первый реализует переход системы из произвольного состояния (Г1X1,х, у) е Е. в (Г(2^ ,0,0).

Начало алгоритма 1: система в состоянии (Г(х), х, у);

2m

r=1

v=0

Присвоить переменным г, V и м> значения 5, х и 0 соответственно; Пока ((г ф 2. _ 1) или (V ф 0)) { Присвоить переменной м> значение

0;

Если (г ф 2. _ 1) {

Присвоить переменной м> значение тт{^ I.};

Присвоить переменной V значение v-w■;}

Переход в состояние и(Г(г), V, w); с вероятностью ф. (0,Тг);

Присвоить переменной г значение ((г + 1)тоа(2т +1));}

Конец алгоритма 1: система в состоянии (Г(2._1),0,0).

Второй алгоритм реализует обратный переход: из (Г(2._1),0,0) в произвольное (Г(5),х,у).

Начало алгоритма 2: система в состоянии (Г(2._1),0,0) ;

Присвоить переменной г значение 2.-1;

Пока ((г + 1)то^2т +1)) ф 5) {

Переход в состояние и(Г(г),0,0) с

вероятностью ф (0, Тг );

Присвоить переменной г значение ((г + 1)то^2т +1));}

Переход в состояние (Г(5), х, у) с вероятностью ф.(х + у,Тг);

Конец алгоритма 2: система в состоянии (Г(5), х, у).

Представив данные алгоритмы, мы указали, что все состояния множества Е. сообщаются между собой - как минимум через состояние (Г(2._1) ,0,0), а значит, образуют один класс существенных состояний. При этом отметим, что минимальным путем на множестве Е , ведущим,

скажем, из (Г(2._1),0,0) в самого себя, в силу

цикличности смены фаз обслуживающего устройства является цепочка из 2т переходов вида

(Г (2.._1) 0 0) ф^ (0,Т2 м) > (Г (2.) 0 0) ф^ (0,Т2 7) > ^ ^ (Г(2т) 0 0) ф^ (0,Т2т) > (Г(1) 0 0) ф^(",Т1) > ^

^ (Г(2._2),0,0) м(0,Т2м) )(Г(2._1),0,0).

Поскольку все состояния одного неразложимого класса цепи Маркова имеют один период, то

можно установить, что для класса Е. этот период равен 2т.

Критерий существования в системе стационарного режима

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием существования в рассматриваемой системе стационарного режима по потоку П., 1 < . < т, является выполнение неравенства X Т (25. + д. +1) _ I < 0.

Доказательство. Поскольку доказательство теоремы довольно громоздко, приведём здесь лишь его идею и результаты промежуточных этапов.

1. Доказательство необходимости. Положим, что стационарное распределение существует, и выберем его в качестве начального. Тогда для производящей функции вида

да

Ф. (Г(2.), 7, ^) = 2 в. (Г(2., Х, ^ )7Х в силу полу-

х=0

ченных в формулах (38)-(40) из [4] соотношений справедливо равенство Ф.(Г(2.), 7, I..) =

= г. (7)в.. (Г (2-'), г, I.) + А (7) для стационарного режима. Здесь определены функции

г.(7) = 7ехр{Х.Т(5.73 + д.72 + р.7 _1)}

и

А. (7) = г. (7)2 в. (Г(2Л ,0, w) _ 7-1' х

w=0

1 . _1 1. _v_1

х 2 в.. (Г(2._1), V,0)7V 2 7Гф. (г, Т2._1).

V=0 г=0

Далее разложим две введённые вспомогательные функции в ряд Тейлора в окрестности точки 7 = 1 при 0 <| 71< 1. При этом используем рекуррентные соотношения (2) для случая функционирования системы в стационарном режиме. Результат запишется в виде

Ф. (Г(2Л, 7, I.) = [1 + (Х.Т(25. + д. +1) _ I.)(7 _ 1) + + о(7 _ 1)]Ф.(Г(2Л, 7, I. ) +

1 . _1

+(7 _ 1)2 е. (г(2л,0, w) х

w=0

х (XТ(25. + д.. +1) _ w) + о(7 _ 1). Сделав очевидные преобразования и перейдя к пределу при 7 ^ 1, получим

I. _

0 = [ф. (Г(2Л, 7, I.) + 2 (Г(2Л,0, w)]х

w=0

х (Х.Т(25. + д. +1) _ I.) + (3)

1. _

+ 2в. (Г(2Л,0, w)(lJ _ w).

w=0

Поскольку

Ф. (Г. ^ ) + 2 б, (Г (2Л,0, м>) > 0 б.,2т,(Г(2.), х, I. ) б.,2т,(Г(2.),0, у)

<8,

у=0

и при № е {0,1,...,1.. _ 1} верно неравенство

б. (Г(2.),0, №)(/.. _ м>) > 0,

то для выполнения (3) необходима справедливость соотношения

XТ(2х. + д. +1) - ^ < 0.

2. Доказательство достаточности. Предположим, что при выполнении неравенства XТ(2х.. + д. +1) _ I. < 0 стационарного режима

в системе по потоку П. не существует. Рассмотрим математическое ожидание длины очереди по потоку П . :

МХ.,2т,=2 х22б. ,2т,(Г(2.), х, у) =

х=0 г=1 у=0

да

= 2 2 хб.,2т,(Г(2Л, х,0) +

(4)

геМ\{2.} х=0 +

2 xбj,2m,(Г(2j), X, 1. ).

х=0

Теперь для любого сколь угодно большого натурального Е с учётом нормировочного условия для одномерных распределений произведём оценку:

МХ.,2т, = 2 2 хб.,2т, (Г(2\ х,0) +

геМ\{2.} х=0

да

+ 2 2 хб.,2т, (Г(2.), х,0) +

геМ\{2.} х=Е+1

Е да

+ 2 хб.,2т,(Г(2.), х, I. ) +2 хб.,2т,(Г(2\ х, I. ) >

х=Е+1

да

2 2 б,2т,(Г . х,0) +

геМ\{2.} х=Е+1

да

2 б. ,2т,(Г (2. \ х, I. )

> Е х

откуда следует Мх. 2т1 > Е(1 _ 8), т.е. средняя

длина очереди со временем неограниченно растёт.

Далее воспользуемся итеративно-мажорантным методом для последовательностей производящих функций

{Ф.,2т,(Г(к), I. ) =

да

= 2 б.,2т,(Г(2Л, х, ^) 7х; , = 0,1,...}

{Ф.,2т,(Г(к), 7,0) = 2 б.,2т,(Г (к), х,0) 7х ;

х=0

, = 0,1,...}, к еМ \{2Л. Рассмотрим для начала первую последовательность. Пусть

Ф.,2т(,+1)(Г(к ), ^1. ) =

= (7)Ф.,2т,(Г(2Л, 7, I. ) + А. ,2т,( 7), где г. (7) определена выше, а

А.,2т,( 7) = Г. (7)2 б. ,2т,(Г(2' ),0, №) _

№=0

1. _

_ 7 1 2 б.,2т(,+1)_1(Г(2. _1), V,0) X

; — V— 1

х 7V 2 ^Ф. (Г,Т2._1).

Заметим, что г (1) = 1, а — г (7) |7=1 = X Т(2х.. +

$7

=Ех

+д. +1) _ I. < 0 . Следовательно, существует точка 7 > 1 такая, что в области {7:1 < х < 7 } для значений функции верно г. (7) < 1. Выберем в качестве начального распределения такое, что Ф..,0(Г(2.),7*,I.) <да . Теперь, используя рекуррентные соотношения (2), получим оценку

1 _ 2 . 2 б^СТ^ х,0) _ | А.,2т,(7)|< г.. (7) +^б.,2т(,+1)(Г(2Л,0, ^

геМ\{2.} х= 0

_2 б ,2т,(Г(2. ), х, ^ ) _2 б.,2т,(Г(2 . у)

х =0 у=0

Согласно предположению о том, что стационарный режим не существует, имеем, что 11т,-^да (Г(к), х, у) = 0 . Следовательно, для любого сколь угодно большого натурального Е и любого малого 8 > 0 найдётся такой номер I(Е, 8), что для любого , > I(Е, 8) выполняется

2 2б.,2т,(Г(2.), х,0) _

геМ\{2х=0

Поскольку г. (7) < 1 и для любого слагаемого под знаком суммы верно № _ I. < 0, а неотрицательные коэффициенты таковы, что

2 б.,2т(,+1) (Г(2.) ,0, №) < 1, то имеем в области

№=0

{7:1 < х < 7*} оценку \А.ЛШ(7) |<К2. < 2, здесь К2. < 2 - некоторая положительная константа. Введём далее функции вида Ф Л2т(,-+1)(Г(2.), 7, I.) =

№=0

х=0

и

№=0

г=0

х=Е+1

№=0

= г.. (7)Ф/2т,.(Г(2Л,7,I.) + К2/ с тем же началь- нарного режима в системе по потоку П... Теорема доказана.

Следует отметить, что для наличия стационарного режима в системе в целом необходимо и достаточно выполнение одновременно т неравенств:

ным распределением. Такая рекуррентная последовательность является сжимающим отображением в силу г. (7) < 1. Следовательно, все её элементы ограничены сверху положительной константой

Сц : |Ф,.,2т(,.+1)(Г(2Л,7,I.)|<е.. Получаем, что

справедливо | Ф.^Г. 7,1.) |< | Ф.^Г. 7, I.) |< С2.. В области {7:1 < < х < 7*} степенной ряд вида Ф. 2т,. (Г(2Л, 7, I.) ограничен, поэтому указанная функция является аналитической, следовательно, имеет ограниченные произ-А

А

й7

7,0) |< Ьк для к е М\{2.}. Здесь Ьк, к е М есть

некоторые положтельные чсла. Подставив полученные оценки в выражение (4) для математического ожидания длины очереди, увидим, что

MX.,2ml = 2 А Ф.,2т.(Г(г), 7,0) |2=1 +

водные: Ф.2mi(r(2j),z,l.)\< <L2.. Аналогич-

ным образом получим Ф.-,2т,- (r(2j),

reM\{2.}

d

+ ^ Ф,*-^ 7,1. )|г=. 4.

Однако ранее мы получили, что длина очереди безгранично растёт. Данное противоречие указывает на ложность нашего предположения. Таким образом, выполнение для параметров системы условия Х..Т(25. + д. +1) _ I. < 0 является достаточным для существования стацио-

Ке/вгепсея

X.T(2s. + q. +1) -1.. < 0, . e {1,2,...,m}.

Работа выполнена в ННГУ по госбюджетной теме M 01201456585 «Математическое моделирование и анализ стохастических эволюционных систем и процессов принятия решений».

Список литературы

1. Fedotkin M.A., Rachinskaya M.A. Investigation of Traffic Flows Characteristics in Case of the Small Density // Queues: Flows, Systems, Networks. Proceedings of the International Conference «Modern Probabilistic Methods for Analysis and Optimization of Information and Telecommunication Networks», Minsk: BSU-RIVH, 2011. № 21. P. 82-87.

2. Федоткин М.А., Рачинская М.А. Исследование математической модели трафика автомобилей на основе подхода Ляпунова-Яблонского // Материалы XVI Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики», Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2011. С. 508-512.

3. Fedotkin M., Rachinskaya M. Parameters Estimator of the Probabilistic Model of Moving Batches Traffic Flow // Distributed Computer and Communication Networks, Springer International Publishing, Series «Communications in Computer and Information Science». 2014. V. 279. P. 154-168.

4. Рачинская М.А., Федоткин М.А. Построение вероятностной модели процесса циклического управления конфликтными потоками пачек в условиях малой плотности // Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Н. Новгород, 2014. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 14.01.2014, В. 2014. № 13.

2. Fedotkin M.A., Rachinskaya M.A. Issledovanie

CONSTRUCTION AND INVESTIGATION OF A PROBABILISTIC MODEL FOR THE CYCLIC CONTROL OF LOW INTENSITY FLOWS

M.A. Rachinskaya, M.A. Fedotkin

A probabilistic model for the system of a cyclic control of independent conflicting flows and a service awaiting in-homogeneous calls in the form of a three-dimensional Markov chain is constructed on the basis of the Lyapunov-Yablonsky cybernetic approach. The chain states are classified. An existence criterion for the stationary mode is derived. The results are interpreted for the problem of controlling low-intensity traffic flows at the crossroads.

Keywords: conflict flows, Lyapunov-Yablonsky cybernetic approach, non-ordinary Poisson flow, Markov chain, stationary mode.

1. Fedotkin M.A., Rachinskaya M.A. Investigation of Traffic Flows Characteristics in Case of the Small Density // Queues: Flows, Systems, Networks. Proceedings of the International Conference «Modern Probabilistic Methods for Analysis and Optimization of Information and Telecommunication Networks», Minsk: BSU-RIVH, 2011. № 21. P. 82-87.

matematicheskoj modeli trafika avtomobilej na osnove podhoda Lyapunova-Yablonskogo // Materialy XVI Mezhdunarodnoj konferencii «Problemy teoreticheskoj kibernetiki», N. Novgorod: Izd-vo Nizhegorodskogo gosuniversiteta, 2011. S. 508-512.

3. Fedotkin M., Rachinskaya M. Parameters Estimator of the Probabilistic Model of Moving Batches Traffic Flow // Distributed Computer and Communication Networks, Springer International Publishing, Series «Com-

munications in Computer and Information Science». 2014. V. 279. P. 154-168.

4. Rachinskaya M.A., Fedotkin M.A. Postroenie ve-royatnostnoj modeli processa ciklicheskogo upravleniya konfliktnymi potokami pachek v usloviyah maloj plotnosti // Nizhegorodskij gosudarstvennyj universitet im. N.I. Lobachevskogo, N. Novgorod, 2014. 30 s. Dep. v VINITI 14.01.2014, V. 2014. № 13.